Tài liệu Xử lý tín hiệu số_Chương I (Phần 2) doc

Nhận xét : Từ hệ phương trình 1.52, ta thấy rằng br và ak là các hằng số, do đó hệ thống đệ qui có đáp ra yn có đáp ứng ra phự thuộc vào kích thích vào ở thời điểm hiện tại và quá khứ v

Bước 3 :

Xác định các hệ số bất định trong nghiệm tổng quát thông qua các điều kiện đầu là các giá trị ban đầu của y(n - k)

Phương pháp này có tính chất lý thuyết hơn là thực tiễn, nhằm tìm nghiệm dưới dạng giải tích Chúng được trình bày ở đây như là một minh họa để thấy rõ những khó khăn khi dùng phương pháp giải tích số và sau này ta sẽ thấy những ưu điểm của phương pháp khác dùng trong thực tế

Ví dụ 1.11 :

Cho phương trình sai phân sau :

n

n y n

y n

6

1 ) 1 ( 6

5 ) (

với điều kiện ban đầu : y(-2) = 25 và y(-1) = 6

Giải :

Bước 1 :

Giả thiết nghiệm thuần nhất có dạng (nhược điểm là ở chỗ phải mò dạng nghiệm):

n n

y ( )= 1 + 2

trong đó a, b là các hằng số thực

ta thay y(n) = an vào phương trình thuần nhất ta có :

0 6

1 6

a

chia cả hai vế cho an-2

0 6

1 6

5

2 − a + =

a

Trong đó hai nghiệm : a1 = ½ và a2 = 1/3

Cuối cùng ta có nghiệm :

n n

y ( )= 1.2− + 2.3− Với c1 và c2 là hai hằng số tùy ý

Bước 2 :

Tìm nghiệm riêng tương ứng với phương trình có vế phải Ta cũng lại giả thiết nghiệm có dạng :

n 3

p(n) c 5

Thay vào phương trình ta có

0 5

6

1 5

6

5 5

3 −n − −n− + −n− =

c

từ đó rút ra c3 = 1 ⇒ yp = 5-n

Vậy nghiệm tổng quát là

y(n) = yp(n) + yc(n) = c1.2-n + c2.3-n + 5-n

Bước 3 :

Từ điều kiện ban đầu y(-2) = 25 và y(-1) = 6

Ta có hệ phương trình

4c1 + 9c2 = 0 2c1 + 3c2 = 1 chọn c1 = 3/2 và c2 = - 2/3

cuối cùng nghiệm phương trình là :

n n n

n

3

2 2 2

3 )

1.5 Các Hệ Thống Đệ Qui Và Không Đệ Qui

1.5.1 Hệ Thống Không Đệ Qui

Một hệ thống tuyến tính bất biến được đặc trưng bởi PT-SP-HSH bậc N như sau :

∑

∑

=

=

−

=

0 r r N

0 k

k.y(n k) b x(n )

nếu trường hợp N = 0, ta có :

∑

=

−

0

r 0

r x ( n ) a

b )

n (

∑

=

−

= M

0 r

r.x(n ) b

) n (

Định nghĩa :

Hệ thống được đặc trưng bởi phương trình sai phân tuyến tính bậc không (N = 0) được gọi là hệ thống không đệ qui

Nhận xét :

Từ quan hệ (1.49) ta thấy rằng br là hằng số Hệ thống không đệ qui là hệ thống có đáp ứng ra y(n) chỉ phụ thuộc vào kích thích vào ở thời điểm hiện tại và quá khứ, ta viết như sau :

) n ( h

Hình 1.28

-1 0 1 2 3 4 5

1

n

ở đây F[.] ký hiệu là hàm, nếu đặt h(k) = br, ta có :

∑

=

−

= M

0 k

) n ( x )

k ( h ) n (

Phương trình (1.51) là biểu thức của tích chập giữa h(n) và x(n) khi h(n) là nhân quả và có chiều dài hữu hạn : L[h(n)] = M + 1 : hữu hạn và h(n) chính là đáp ứng xung của hệ thống không đệ qui hay nói rõ ràng phương trình

(1.49) là hệ thống không đệ qui

Ví dụ 1.12 :

Hãy tìm đáp ứng xung của hệ thống không đệ qui cho

bởi phương trình sai phân sau :

y(n) = x(n) + x(n - 1) + x(n - 2) + x(n - 3)

Giải :

Trong trường hợp N = 0, M = 0, hệ thống này không đệ qui và L[h(n)] = 4 Để tìm h(n), ta thay x(n) = δ(n) thì y(n) = h(n), ta có :

y(n) = δ (n) + δ (n - 1) + δ (n - 2) + δ (n - 3)

) n ( rect ) n (

Vậy hệ thống này là hệ thống FIR, h(n) được biểu diễn trên hình 1.28.

1.5.2 Hệ Thống Đệ Qui

Trong trường hợp nếu N > 0, ta có phương trình SP-TT-HSH bậc N như sau :

∑

∑

=

=

−

−

−

1

k 0 k M

0

r 0

a

b ) n ( x a

b )

n (

∑

∑

=

=

−

−

−

1 k k M

0 r

r.x(n ) a y(n k) b

) n (

Định nghĩa :

Hệ thống được đặc trưng bởi phương trình sai phân bậc N > 0 được gọi là hệ thống đệ qui

Nhận xét :

Từ hệ phương trình (1.52), ta thấy rằng br và ak là các hằng số, do đó hệ thống đệ qui có đáp ra y(n) có đáp ứng ra phự thuộc vào kích thích vào ở thời điểm hiện tại và quá khứ và cả đáp ứng ra ở thời điểm quá khứ

y(n) = F[y(n-1), y(n-2), … , y(n-N), x(n-1), … , x(n-M)] (1.65)

ở đây F[.] ký hiệu là hàm Nếu ta giải phương trình (1.52) với kích thích vào x(n) = δ(n)

ta sẽ tìm được đáp ứng xung h(n) Đáp ứng xung của hệ thống đệ qui lúc này có chiều

dài vô hạn Nếu giải ở điều kiện y(n) = 0, n < 0 thì hệ thống sẽ nhân quả và h(n) sẽ là dãy nhân quả Vậy hệ thống đệ qui là hệ thống có đáp ứng xung dài vô hạn

Ví dụ 1.13 :

Hãy tìm đáp ứng xung của hệ thống đệ qui cho bởi

phương trình sai phân sau :

y(n) = a.y(n - 1) + x(n) ; n < 0 với điều kiện đầu y(0) = 0

Giải :

Trong trường hợp N = 1, M = 0 thì hệ thống sẽ là đệ

qui Nếu ta thay x(n) = δ(n) , ta sẽ có y(n) = h(n), dùng phương trình (1.38) để tìm h(n), đơn giản ta được :

h(n) = an.u(n)

h(n) được biểu diễn ở hình 1.29

Đây là hệ thống đệ qui và cũng là hệ thống IIR, L[h(n)] = [0, +∞] = ∞

1.5.3 Hệ thống đệ qui thuần tuý

Hệ thống đệ qui thuần tuý là trường hợp riêng của hệ thống đệ qui khi M = 0

Nếu N > 0 và m = 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính bậc N như sau :

∑

=

−

−

k

k y n k a

n x b n y

1

)

vậy phương trình sai phân (1.51) là phương trình đặc trưng cho hệ thống đệ qui thuần tuý

Nhận xét :

Từ phương trình (1.54), ta thấy rằng b0 và a0 là các hằng số, vậy thì hệ thống đệ qui thuần tuý là hệ thống mà đáp ứng ra y(n) của nó phụ thuộc vào kích thích ngõ vào chỉ ở thời điểm hiện tại và đáp vào đáp ứng ngõ ra chỉ ở thời điểm quá khứ

y(n) = F[x(n), y(n - 1), y(n - 2) , … , y(n - N) ] (1.67)

ở đây f[.] ký hiệu là hàm

Tất nhiên hệ thống đệ qui thuần tuý (1.54) cũng là hệ thống IIR, tức là đáp ứng xung h(n) của nó có chiều dài vô hạn

Ví dụ1.14 :

Cho hệ thống đệ qui thuần tuý mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số

hằng sau :

y(n) – 3.y(n - 1) +2.y(n - 2) = x(n)

) n ( u 2

1 ) n ( h

n













=

Hình 1.29

-1 -2 0 1 2 3 4 5

n 1

Hãy tìm đáp ứng xung h(n), xét độ ổn định của nó với điều kiện đầu y(n) = 0 với n < 0.

Giải :

Ơû đây N = 2, M = 0 và b0 = 1

Để xác định h(n) ta chỉ cần tìm y0(n)

Phương trình đặc trưng có dạng :

0 2 3

2 − α+ =

α

ta có: α1 = 1; α2 = 2

vậy y0(n) = A11n ≠ A22n = h(n)

Xác định A1 và A2 theo điều kiện đầu và đặt x(n) = δ(n)

n = 0 : y(0) – 3y(-1) +2y(-2) = δ(0) = 1

ta có : y(0) = 1

n = 1 : y(1) – 3y(0) +2y(-1) = δ(1) = 0

ta có : y(1) = 3

thay vào y0(n) ta có :

y(0) = A1 + A2 = 1 y(1) = A1 + 2A2 = 3 từ đây ta có : A1 = -1 và A2 = 2

cuối cùng h(n) = -1 + 2.2n = 2n+1 – 1, n ≥ 0

Vì α1 = 1 và α2 = 2 > 1 nên hệ thống này là không ổn định

Nhận xét :

Hệ thống đệ qui thuần tuý trong ví dụ này có cùng vế phải của phương trình sai phân với hệ thống đệ qui trong ví dụ trên, vậy chúng có chung phương trình đặc trưng,

vì vậy độ ổn định của chúng giống nhau mặc dù đáp ứng xung của chúng khác nhau Sau này khi xét trong miền z, ta thấy chúng có cùng các cực, vì vậy tính ổn định của chúng là như nhau

1.6 Thực Hiện Hệ Thống Số

Nhờ có phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng, chúng ta có thể thực hiện trực tiếp các hệ thống số bằng các phần tử thực hiện

1.6.1 Các Phần Tử

Các phần tử thực hiện được biểu diễn trên hình 1.30

Để biểu diễn sơ đồ khối thực hiện hệ thống, chúng ta viết lại phương trình sai phân của các hệ thống như sau :

4 43 4

42 1

)]

( ), , ( [ 1 0

1

) ( )

( ) (

M n x l n x F

M

r r

r n x b n

x b n y

−

−

=

+

=

Hệ thống đệ qui

4

4 3 4

4 2 1

4 43 4

42 1

)]

( ), , ( [

1 )]

( ), , ( [ 1 0

2 1

) ( ) ( ) ( )

( ) (

N n y l n y F

N k k M

n x l n x F

M r

b n

x b n y

−

−

=

−

−

+

=

Hệ thống đệ qui thuần tuý :

4

4 3 4

4 2 1

)]

( ), , ( [ 1 0

2

) ( ) ( ) ( ) (

N n y l n y F

N k

r y n k a

n x b n y

−

−

=

+

=

1.6.2 Thực Hiện Các Hệ Thống Rời Rạc

Một hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả và ổn định là hệ thống thực hiện được về mặt vật lý, dù cho là hệ thống đó là không đệ qui, đệ qui hay đệ qui thuần tuý

Dựa vào phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng cho từng hệ thống này, chúng

ta có thể xây dựng sơ đồ khối tổng quát của chúng như trên hình 1.31 : (a) : hệ thống

không đệ qui, (b) : hệ thống đệ qui, (c) : hệ thống đệ qui thuần nhất

D

; D : bộ trễ

x1(n)

x2(n)

xL(n )

∑

=

L 1 i

i(n) x

; Bộ cộng

x(n)

α

α.x(n

Hình 1.30

Nhận xét :

- Hệ thống không đệ qui, sơ đồ của

nó không có nhánh phản hồi, vì

vậy nó luôn luôn ổn định, tức là

hệ thống FIR luôn ổn định

- Hệ thống đệ qui, sơ đồ nó gồm hai

khối F1 và F2, F1 giống hệ thống

không đệ qui còn F2 là nhánh phản

hồi Do đó nhánh phản hồi nên ta

phải xét độ ổn định của hệ thống

IIR

- Hệ thống đệ qui thuần tuý, sơ đồ

nó có b0 ø F2, do F2 là nhánh phản

hồi nên nó cũng là hệ thống IIR

và ta phải xét độ ổn định của nó

- Ta có thể dùng các phần tử thực

hiện để tìm cấu trúc chi tiết của

hệ thống này

Ví dụ 1.15 :

Cho phương trình sai phân tuyến tính hệ

F1[x(n -1), x(n -2), … ,

F1[x(n -1), x(n -2), … , x(n -M) ]

(a)

(b)

F2[y(n -1), y(n -2), … , y(n -N) ]

Hình 1.31

(c)

y(n)

Hình 1.32

b1

D

b5

b2

D

D

D

D

số hằng :

y(n) = b0x(n) + b1x(n-1) + b2x(n-2) + b5x(n-5) Hãy vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống cho bởi phương trình này

Giải :

Đây là sơ đồ hệ thống không đệ qui : N = 0; M = 5 Sơ đồ của hệ thống như trên

hình 1.32.

1.7 Tương Quan Của Các Tín Hiệu

1.7.1 Mở đầu

Trong việc xử lý tín hiệu, ta cần có những so sánh các tín hiệu với nhau, chẳn hạn như tín hiệu Rada, Rada sẽ phát ra tín hiệu để tìm mục tiêu là x(n), tín hiệu này sau khi đập vào mục tiêu (như máy bay chẳn hạn) sẽ phản xạ trở về Rada, Rada thu lại tín hiệu này nhưng bị trễ đi một thời gian D = n0Ts (Ts là chu kỳ lấy mẫu), tín hiệu mà Rada thu lại sẽ bị suy giảm với hệ số suy giảm là A, tức là Rada sẽ thu lại tín hiệu Ax(n-n0) Ngoài tín hiệu phản xạ từ mục tiêu này, Rada còn bị nhiễu cộng can thiệp là γ(n) vậy tổng cộng nếu trong không gian có mục tiêu mà Rada phát hiện được thì Rada sẽ thu được tín hiệu chung là :

y(n) = Ax(n-n0) + γ(n) Còn nếu không có mục tiêu trong không gian hoặc Rada không phát hiện được mục tiêu thì Rada chỉ thu được nhiễu cộng γ(n), và ta có :

y(n) = γ(n)

so sánh hai tín hiệu x(n) và y(n) ta sẽ phát hiện được mục tiêu hay không, và xác định được thời gian trễ D = n0Ts, từ đó, ta xác định được khoảng cách của mục tiêu

Một phương pháp so sánh hay dùng nhất đó là “tương quan” sẽ được mô tả dưới đây

1.7.2 Tương Quan Chéo Và Tự Tương Quan

a Định Nghĩa Tương Quan Chéo

Giả sử ta có hai dãy x(n) và y(n), tối thiểu một trong hai dãy có năng lượng hữu hạn Tương quan chéo của x(n) và y(n) được định nghĩa như sau :

∑∞

−∞

=

±

±

=

−

= m

xy(n) x(m)y(m n) n 0, 1, 2,

tương đương với

∑∞

−∞

=

±

±

= +

= m

xy(n) x(m n)y(m) n 0, 1, 2,

Ví dụ 1.16 :

Cho hai tín hiệu x(n) và y(n) sau đây





=

lại òn

với

với

c n 0

4 n 0 4

n 1 ) n

(

y

Hãy tìm tương quan chéo của x(n) và y(n)

Giải :

Theo định nghĩa, ta có thể giải bằng đồ thị được minh họa trên hình 1.33

rxy(0) = 2,5 , rxy(1) = 2,5 , rxy(2) = 2,25

rxy(3) = 1,75, rxy(4) = 1 , rxy(5) = 0

rxy(-1) = 1,5, rxy(-2) = 0,75 ,rxy(-3) = 0,25

rxy(-4) = 0

b Định Nghĩa Tự Tương Quan

Trong định nghĩa tương quan chéo, nếu ta có x(n) ≡ y(n) thì ta có định nghĩa tự tương quan

Vậy hàm tự tương quan của x(n) được định nghĩa như

sau :

∑∞

−∞

=

±

±

=

−

= m

xx(n) x(m)x(m n) n 0, 1, 2,

r

tương đương với

∑∞

−∞

=

±

±

= +

= m

xx(n) x(m n)x(m) n 0, 1, 2,

r

) n ( y

Hình 1.33b

-1 0 1 2 3

n 1

) 1 m (

Hình 1.33c

0 1 2 3 4 5

m

1 n

)

n

(

x

Hình 1.33a

-1 0 1 2 3 4 5

1

n

) 4

m

(

Hình 1.33d

0 1 2 3 4 5 6 7 8

m 1

) 2 m (

Hình 1.33e

-2 -1 0 1 2 3 4 5

m 1

) 4 m (

Hình 1.33f

-4 -3-2-1 0 1 2 3 4

m 1

1

) n ( h

Hình 1.33h

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

n

Ví dụ 1.17 :

Cho dãy : x(n) = rect3(n)

Hãy tìm hàm tự tương quan rxx(n) và cho nhận xét về kết quả thu được

Giải :

Giải bằng đồ thị được minh hoạ trên hình 1.34

Nhận xét :

Hàm tự tương quan rxx(n) bao giờ cũng đạt được cực đại tại gốc toạ độ n = 0, bởi vì rằng một dãy bất kỳ bao giờ cũng giống chính nó

1

) n (

rxx

Hình 1.34c

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

n

n

) n ( x

Hình 1.34a

-1 0 1 2 3 4

1

n

n

) 1 m (

Hình 1.34b

-1 0 1 2 3 4 5 6 1

n

BÀI TẬP CHƯƠNG I

Bài tập 1.1

Hãy xác định các tín hiệu sau đây có tuần hoàn hay không ?, nếu tuần hoàn, hãy xác định chu kỳ cơ bản của chúng

a x(n) = cos(0,125πn)

b x(n) = Re{ejnπ/12} + Im {ejnπ/18}

c x(n) = sin(π + 0,2n)

d x(n) = ejn(π/12)cos(nπ/17)

Bài tập 1.2

Hãy xác định các tín hiệu sau đây có tuần hoàn hay không ?, nếu tuần hoàn, hãy xác định chu kỳ cơ bản của chúng

a x(n) = cos(0,01πn)

b x(n) = cos(30πn/105)

c x(n) = cos(3πn)

d x(n) = sin(3n)

e x(n) = sin(62πn/10)

Bài tập 1.3

Hãy tìm quan hệ giữa dãy xung đơn vị và dãy nhảy đơn vị

Bài tập 1.4

Hãy biểu diễn toán học và đồ thị của các dãy sau :

) (

0 n rect N−n và rect N−n0(n−n ) với N > n0

Bài tập 1.4

Hãy tìm quan hệ giữa dãy nhảy đơn vị và dãy chữ nhật

Bài tập 1.5

Hãy tìm quan hệ giữa dãy nhảy đơn vị và dãy dốc đơn vị

Bài tập 1.6

Tìm chu kỳ N của tín hiệu sau :























 +

























=

4

n sin 3

n sin 15

n cos 8

n cos )

n

(

Bài tập 1.7

Ngõ vào của một hệ thống bất biến –dịch tuyến tính (linear shift-invariant) là tuần hoàn với chu kỳ N

a Chứng minh ngõ ra của hệ thống cũng tuần hoàn với chu kỳ N

b Nếu hệ thống là tuyến tính nhưng biến đổi-dịch, thì ngõ ra có còn tuần hoàn hay không ?

c Nếu hệ thống là không tuyến tính nhưng bất biến - dịch, thì ngõ ra có còn tuần hoàn hay không ?

Bài tập 1.8

Tìm phần chẵn và lẻ của những tín hiệu sau :

a x(n) = u(n)

b x(n) = αnu(n)

Bài tập 1.9

Nếu x1(n) là chẵn và x2(n) là lẻ , thì y(n) = x1(n) x2(n) là gì ?

Bài tập 1.10

Nếu x(n) là lẻ, thì y(n) = x2(n) là gì ?

Bài tập 1.11

Nếu x(n) = 0, cho n < 0, Pe là công suất ở phần chẵn của x(n), và P0 là công suất

ở phần lẻ, Cho biết các câu đúng sau :

a Pe ≥ P0

b P0 ≥ Pe

c Pe = P0

d Tất cả các câu trên không đúng

Bài tập 1.12

Xét tín hiệu hình sin tương tự

t

100π

= sin3 )

t (

xa

a Vẽ tín hiệu xa(t) với 0 ≤ t ≤ 30 ms

b Giả sử tín hiệu lấy mẫu tại Fs = 300 mẫu/s Xác định tần số lấy mẫu tối

thiểu tín hiệu rời rạc x(n) = xa(nT), T = 1/Fs và chứng minh tín hiệu là tuần hoàn lấy mẫu

Bài tập 1.13

Xét tín hiệu hình sin tương tự

t 3

π

=sin480 sin720 )

t (

xa được lấy mẫu 600 lần trên một giây

a Xác định tỉ số lấy mẫu Nyquist của tín hiệu xa(t)

b Xác định tần số chồng (folding)

c Xác định những tần số của tín hiệu đã lấy mẫu x(n)

d Nếu x(n) cho qua bộ chuyển đổi lý tưởng D/A, Xác định tín hiệu khôi

phục ya(t)

Bài tập 1.14

Một đường truyền số (Digital Communication) mang những mẫu dạng mã nhị phân của tín hiệu ngõ vào

t 2cos1800

π

=3cos600 )

t (

xa Đường truyền hoạt động ở tốc độ 10.000 bit/s và mỗi mẫu ngõ vào được lượng tử sang

1024 mức điện áp khác nhau

a Xác định tần số lấy mẫu và số chồng (folding)

b Xác định tỉ số Nyquist của tín hiệu xa(t)

c Xác định những tần số của tín hiệu đã lấy mẫu x(n)

Bài tập 1.15

Hãy xét các hệ thống sau đây có phải là tuyến tính hay không

a T[x(n)] = x2(n) = y(n)

b T[x(n)] = nx(n) = y(n)

Bài tập 1.16

Hãy xét các hệ thống có quan hệ ngõ vào là x(n) với ngõ ra y(n) sau đây có phải là tuyến tính hay không, dịch – bất biến hay dịch – biến đổi, ổn định hay bất ổn định, nhân quả hay không nhân quả, và nghịch đảo hay không nghịch đảo

a y(n) = x(n) + x(-n)

=

= n

0 k

) k ( x ) n (

y

−

=

0

n n n n k

) k ( x )

n (

y

d y(n) = log{x(n)}

e y(n) = median{x(n-1), x(n), x(n+1)}

Bài tập 1.17

Cho các đáp ứng xung của hệ thống dịch-bất biến tuyến tính bên dưới Xác định điều kiện của a để hệ thống ổn định

a h(n) = anu(-n)

b h(n) = an{u(-n) – u(n - 100)}

c h(n) = a|n|

Bài tập 1.18

Cho hệ thống dịch - bất biến tuyến tính dưới dạng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc nhất

y(n) = ay(n-1) + x(n)

Xác định điều kiện để hệ thống này ổn định