Tài liệu Xử lý tín hiệu số_Chương I (Phần 1) docx

Tín hiệu tương tự : Là tín hiệu có biến thời gian liên tục và có biên độ liên tục hay nói cách khác, là một hàm của tín hiệu liên tục là liên tục hình 1.2a.. Tín hiệu lượng tử : Là tín h

Chương I

TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC

1.1.1 Định Nghĩa

Một cách khái quát theo tính vật lý, tín hiệu là một hiện tượng được phát sinhtrong một môi trường nào đó Các tín hiệu như âm thanh, hình ảnh và chuỗi số nhịphân luôn tồn tại quanh ta Tín hiệu được phân ra làm hai loại là tín hiệu liên tục vàtín hiệu rời rạc

1.1.2 Tín Hiệu Liên Tục (Continuous - Time Signal)

Tín hiệu có thời gian t liên tục trong khoảng (a, b), mà a có thể là -∞ và b có thểlà ∞ Tín hiệu liên tục có nhiều dạng, về mặt toán học ta có các hàm x1(t) = cos πt,

t

2 ( t ) e

x = − , … , xem dạng tín hiệu x(t) có thời gian t liên tục được gọi là tín hiệu liên tục

ở hình 1.1a, với -∞ < t < ∞.

1.1.3 Tín Hiệu Rời Rạc (Dicrete - Time Signal)

Tín hiệu x(t) có thời gian t rời rạc được gọi là tín hiệu rời rạc ở hình 1.1b là dạng

của tín hiệu, chúng ta có thể ký hiệu là {xn} với n là số nguyên (n = 0, ±1, ±2, … )

* Biến thời gian và biên độ

a Tín hiệu tương tự : Là tín hiệu có biến thời gian liên tục và có biên độ liên tục

hay nói cách khác, là một hàm của tín hiệu liên tục là liên tục hình 1.2a.

b Tín hiệu lượng tử : Là tín hiệu có biến thời gian liên tục và có biên độ (được

định) rời rạc hay nói cách khác, là một hàm của tín hiệu liên tục là rời rạc hình 1.2b.

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

)n(x

c Tín hiệu lấy mẫu : Là tín hiệu có biến thời gian rời rạc và có biên độ (được

định) liên tục hay nói cách khác, là một hàm của tín hiệu rời rạc là liên tục hình 1.2c.

d Tín hiệu số : Là tín hiệu có biến thời gian rời rạc và có biên độ rời rạc hay nói

cách khác, là một hàm của tín hiệu rời rạc là rời rạc hình 1.2d.

1.1.4 Phân Loại Tín Hiệu

- Dạng sóng : Tín hiệu tam giác, sin, xung vuông, nấc,

- Tần số : Tín hiệu hạ tần, âm tần, cao tần, siêu cao tần,

- Liên tục : Tín hiệu liên tục biên độ và thời gian

- Rời rạc : Tín hiệu rời rạc biên độ và thời gian

- Tuần hoàn : Tín hiệu có dạng sóng lặp lại sau mỗi chu kỳ

1.1.5 Phân Loại Hệ Thống

Một khối có quan hệ vào ra của tín hiệu vào và tín hiệu ra gọi là hệ thống Quanhệ tín hiệu qua hệ thống có hai loại cơ bản là tương tự và số và được phân ra hệ thốngnhư sau :

Biên độ

Thời gian

1Biên độ

- Hệ thống có tín hiệu vào tương tự và tín hiệu ra tương tự gọi là hệ thống

tương tự hình 1.3a.

- Hệ thống có tín hiệu vào số và tín hiệu ra số gọi là hệ thống số hình 1.3b.

- Hệ thống có tín hiệu vào tương tự qua chuyển đổi ADC và tín hiệu ra số qua

chuyển đổi DAC gọi là hệ thống chuyển đổi tương tự – số hình 1.3c.

1.2.1 Biểu Diễn Tín Hiện

a Biểu Diễn Toán Học

Xét hàm x(n) với n là phần tử nguyên

- Ký hiệu tín hiệu rời rạc :

- Lấy mẫu tín hiệu : Từ tín hiệu tương tự x(t),

lấy mẫu tín hiệu tương tự này ta sẽ có tín hiệu x(n) = x(nTs), với Ts là chu kỳ

lấy mẫu, Ts = 1/Fs, với Fs là tần số lấy mẫu và x(nTs) được viết là x(n) hình 1.2 biểu diễn dạng tín hiệu lấy mẫu.

toán thức biểu

n

N n N n

x

0 )

1

n0

4n04

n)

n(x

b Biểu diễn đồ thị

Hệ thống tương tự

n

Hình 1.4

1

-1 0 1 2 3 4 5 6

Để minh hoạ theo kiểu nhìn trực quan, ta có thể vẽ đồ thị của hàm đã giải như ví dụ 1.1 như hình 1.4

c Biểu diễn dãy số

Chúng ta không để ở dạng chung (một tổng hay tích) mà khai triển các giá trị

của ví dụ 1.1 như sau : x(n)={ ,n(n−1),x(n),x(n+1), }

↑

=

0, ,4

1 ,2

1 ,4

31,

{ ,)n(x

↑ : chỉ mẫu tại n = 0

1.2.2 Một Số Dãy Cơ Bản

Ơû đây, ta biểu diễn dãy hàm tín hiệu đưới dạng rời rạc

a Tín hiệu xung đơn vị (unit Impulse) : hình 1.5

Xung đơn vị là chuỗi thời gian δ được xác định bởi

0n0

0n1

)n(

với

với

δ

… -1 0 1 …

n

)(n u

2sin(

b Tín hiệu hàm bước đơn vị (Step Signal) : hình 1.6

01

)(

n

n n

và ngược lại :

)1()()(n =u n −u n−

0nn

)n(

ur

với

với

với

0n0

1Nn01

)n(

0nvới 0

a)n(x

n

(1.7)

• Suy giảm khi a <1

• Tăng lên khi a > 1

Có thể định nghĩa theo tín hiệu phức

n f j

e n

f Tín hiệu hình sin : hình 1.10

Tín hiệu được gọi là tuần hoàn với chu kỳ là N nếu :

)()(n x n N

Tín hiệu hình sin có chu kỳ N :

)(

2sin)

N n

Nếu lấy mẫu tín hiệu sin với tần số ω =2πf bằng tần số mẫu Fs ta thực hiệnbằng cách thay t = n.Ts = n/Fs, θ =ωt0 =ω.n0.T s:

)(t = π f t+θ

)/ 2/ 2sin(

)

Như vậy chu kỳ tuần hoàn N của x(n) là N = Fs/f

1.2.3 Một Số Định Nghĩa

a Phép nhân hai tín hiệu rời rạc :

)}

()

({.y x n y n

b Phép nhân hai tín hiệu rời rạc với hệ số :

)}

(.{.y α y n

c Phép cộng hai tín hiệu rời rạc :

)}

()({x n y n y

d Phép dịch (trễ) :

Dãy x được dịch đi sang phải n0 mẫu, thành dãy y :

)()(n x n n0

Dãy x được dịch đi sang trái n0 mẫu, thành dãy y :

)nn(x)n(

e Tín hiệu rời rạc tuần hoàn với chu kỳ là N nếu thoả mãn :

)()(n x n N

Tín hiệu tuần hoàn có thể được ký hiệu với chỉ số p (period) : xp(n) Tín hiệu chỉđược xác định trong một khoảng hữu hạn N mẫu được gọi là tín hiệu có độ dài hữu hạnN

f Tín hiệu Năng lượng (Energy) và tín hiệu công suất (power) :

* Năng lượng của tín hiệu được định nghĩa bằng tổng bình phương các modul :

Năng lượng của tín hiệu có thể là hữu hạn hay là vô hạn Gọi E là năng lượngcủa tín hiệu, thì nếu E hữu hạn (0 < E < ∞), thì x(n) được gọi là tính hiệu năng lương

với

0n3

0n2

1)

n(x

n n

Giải :

Từ định nghĩa hàm năng lượng

24

3518

934

)3

1(4

111

3)

2

1(

)n(xE

n

n n

1

n

n n

n

2

=

−+

E là hữu hạn, do đó đây là tính hiệu năng lượng

* Công suất của tín hiệu được định nghĩa:

2

1N2

1lim

Gọi P là công suất tín hiệu Nếu E hữu hạn thì p = 0 Ngược lại, nếu E vô hạn vàcông suất trung bình của P có thể hữu hạn hay vô hạn Nếu P hữu hạn và khác khôngthì x(n) được gọi là tính hiệu công suất

Ví dụ 1.3 :

Xét tín hiệu có năng lượng vô hạn Công suất trung bình của tín hiệu là :

2

1/12

/11lim12

1lim

)(1

2

1lim

0 2

=+

+

=+

N

n u N

P

N N

N

n N

Đây là tín hiệu công suất

Bảng tóm tắt

g Tín hiệu tuần hoàn và tín hiệu không tuần hoàn

* Tín hiệu là tuần hoàn với chu kỳ N (N > 0) , nếu và chỉ nếu

Giá trị nhỏ nhất của N được gọi là chu kỳ

x(n + kN) = x(n) ; k nguyên dương

* Nếu không có giá trị N thỏa (1.19), thì tín hiệu gọi là không tuần hoàn

h Tín hiệu đối xứng (chẵn) và tín hiệu không đối xứng (lẻ):

Tín hiệu x(n) được gọi là đối xứng khi

Ngược lại, tính hiệu x(n) được gọi là không đối xứng khi

1.3.1 Lấy mẫu tín hiệu

Lấy mẫu tín hiệu là đổi một tín hiệu liên tục thời gian sang tín hiệu rời rạc thờigian mà thường được gọi là tín hiệu số

1.3.2 Nguyên lý lấy mẫu

Hình 1.11 trình bày nguyên lý lấy mẫu tín hiệu Tín hiệu tương tự có thời gian

liên tục ở ngõ vào x(t) được nhân với tín hiệu lấy mẫu s(t) để tạo mẫu xˆ(t)

)t(s)t(x)t(

xˆ =x(t)

s(t)

) t ( xˆ

x(t)

s(t)

Hình 1.11

Thường sự lấy mẫu xảy ra đều ở khoảng thời gia T, gọi là chu kỳ lấy mẫu T =1/fs hay fs = 1/T gọi là tần số lấy mẫu.

1.3.3 Định lý lấy mẫu

Xét tín hiệu cần lấy mẫu có thời gian liên tục x(t) và tín hiệu lấy mẫu là chuổixung có độ rộng xung rất nhỏ là dt, biên độ bằng 1, xảy ra đều ở chu ký T Hai tín hiệux(t) và s(t) nhân với nhau cho ra tín hiệu mẫu xˆ(t) gọi là tín hiệu đã lây mẫu Thay vìgọi xˆ(t) là các mẫu thì ta có thể viết x(nT) với n = 0, 1, 2, …, -1, -2, …

Giả sử phổ biên độ hai bên của tín hiệu tương tự x(t), tức độ lớn của biến đổi

Fourier X(f) hình 1.13 Do tự nhiện hay do tác động của mạch lọc thông thấp, tần số

cao nhất của tín hiệu giả sử là fM Trong phổ hai bên ta xem phổ của tín hiệu tương tựđược giới hạn trong khoảng tần số (-fM, fM) Sự biến thiên cụ thể của phổ biên độ trongkhoảng tần số (0, fM), hoặc trong khoảng tần số (-fM, fM) nếu là phổ hai bên, tùy thuộcvào từng tín hiệu cụ thể

-2f s -f s -f s /2 0 f s /2 f s 2f s f

)(Xˆ

(c)

-2fs -fs -fM 0 fM fs-fM fs+fM 2fs f

)(Xˆ-fs/2 -fs/2

(b)

-fM 0 fM f

) ( X

(a)

(d)

-2fs -fs -fs/2 0 fs/2 fs 2fs f

)(Xˆ

Hình 1.13

Hình 1.13a : Giả sử phổ của tín hiệu tương tự

Hình 1.13b : Phổ của các mẫu khi fs > 2fM

Hình 1.13c : Phổ của các mẫu khi fs = 2fM

Hình 1.13d : Phổ của các mẫu khi fs < 2fM

Khai triển Fourier của tín hiệu lấy mẫu s(t) là :

tmf2cosT

dt2T

dt)t(

1 m

dt2)t(xT

dt)t(s)t(x)t(

1 m

Trong trường hợp ở hình 1.13c là giới hạn mà ta có thể khôi phục tín hiệu tương tự

đúng

* Định lý lấy mẫu :

Để các mẫu biểu thị đúng tín hiệu tương tự, tức từ các mẫu ta có thể phục hồi tín hiệu tương tự đúng, tốc độ lấy mẫu phải lớn hơn hay ít nhất là bằng hai lần thành phần tần số cao nhất của tín hiệu tương tự :

f s ≥ 2f M

Tần số giới hạn 2fM gọi là tốc độ Nyquist Ơû một tần số lấy mẫu fs nào đó thì fs/2gọi là tần số Nyquist Ví dụ trong tiếng nói, tần số thường được giới hạn fM = 3,4KHznên tần số lấy mẫu phải ít nhất bằng 2x3,4KHz = 6,8KHz, nhưng thường chọn là 8KHz

Hình 1.13d tần số lấy mẫu f s < 2f M (lấy mẫu dưới mức) thường xảy ra hiện tượng chồng

phổ (aliasing) Để tránh hiện tượng chồng phổ, ta phải giới hạn thêm tần số fM hoặctăng tần số lấy mẫu lên Trong điều kiện< nếu lấy mẫu ở tần số quá cao thì mạch dễphức tạp và tổn hao bộ nhớ Lưu ý, tần số lấy mẫu phải chậm hơn tốc độ xử lý của hệthống xử lý tín hiệu số và máy tính nhất là khi xử lý tín hiệu trong thời gian thực

1.3.4 Lấy mẫu bởi xung Dirac

Ta sử dụng chuổi xung là hàm delta Dirac tuần hoàn ở chu kỳ T (tần số fs = 1/T),mỗi xung có khổ rộng tiến về không Biểu thức của chuổi xung là :

t(

t(s)t(x)t(

khai triển Fourier của chuổi xung ta có :

j s

eT

1)t(

j s

e)t(xT

1)t(s)t(x)t(

Aùp dụng định lý dịch chuyển tần số của biến đổi Fourier : nếu X(f) là biến đổi của x(t)thì X(f – f0) là biến đổi của x(t)ej 2π0 t Do đó khi lấy biến đổi Fourier hai vế phươngtrình ta được :

1)(

(Xˆ

Biến đổi Fourier của chuổi xung delta là :

1)

*)(X)(Xˆ

1

Kết quả cho thấy, phổ của các mẫu là sự lặp lại phổ của tín hiệu tương tự ở tầnsố giữa 0, ± fs, ± 2fs, … Từ đây ta thấy để phổ không lấn lên nhau, tốc độ lấy mẫu phải

thoả định lý lấy mẫu, tức f s ≥ 2f M hình 1.13c.

1.3.5 Khôi phục tín hiệu

Ơû phần đầu, ta biết một cách tổng quát mạch không phục tín hiệu tương tự từ cácmẫu rời rạc của tín hiệu là một lọc thông thấp có tần số cắt bằng tần số Nyquist fs/2nếu tần số lấy mẫu fs thoả định lý lấy mẫu (fs phải ít nhất bằng tốc độ Nyquist tức ítnhất gấp đôi thành phần tần số cao nhất của tín hiệu tương tự còn lại sau khi đã quatiền lọc chống chồng chập) Bản thân mạch khôi phục tín hiệu tương tự là mạch tươngtự

)t(

x0Các mẫu tín hiệu rời rạc Tín hiệu tương tự được khôi phục

Mạch khôiphục h(t)

x(nT) hay )

t ( xˆ

Hình 1.14a

1.3.6 Nguyên lý khôi phục

Mục đích của mạch khôi phục tương tự là chuyển đổi các mẫu rời rạc xˆ(t) hoặcx(nT) trở thành tín hiệu tương tự x0(t) hình 1.4 Cách dễ hình dung là nối các đỉnh của

các mẫu lại với nhau, hình bao nhận được chính là tín hiệu tương tự Cách thực tế làdựa vào nguyên lý mạch lấy mẫu – và – giữ (sample – and - hold) hoặc mạch táchsóng đỉnh (peak detector) do sự nạp xả của tụ điện Mỗi mẫu được duy trì biên độ chođến khi gặp mẫu kế tiếp Việc nối gần như ngang này (do sư xả điện của tụ điện,đường nối là hàm mũ giảm chậm) làm dạng sóng gồm các xung mẫu thành một hìnhbao có dạng gần đúng với tín hiệu tương tự biểu thị bởi x(nT) tức tín hiệu tương tự sautiền lọc Về mặt tần số là bỏ bớt các thành phần tần số cao nên mạch là một mạch lọcthông thấp

Biểu thức của tín hiệu lấy mẫu là :

t(

1)(

1.3.7 Mạch khôi phục lý tưởng

Mạch khôi phục lý tưởng khi cho tín hiệu tương tự ra x0(t) giống như tín hiệutương tự x(t) được biểu thị bởi các mẫu xˆ(t), hay nói cách khác phổ X0(f) giống như phổX(f) Nếu phổ X(f) được hạn chế tần số và các phổ lặp lại của Xˆ( ) không lấn lên nhau

hình dưới trong khoảng Nyquist [-fs/2, fs/2 ] phổ Xˆ( ) sẽ giống như X(f)/T :

2

f f )

( X T

1 ) (

2

f - với

Hình 1.14c

t

Trong trường hợp này, đáp ứng tần số của mạch khôi phục lý tưởng là lọc thôngthấp có đáp ứng phẳng trong suốt khoảng Nyquist rồi giảm ngay xuống không bênngoài khoảng.

với

2

f 2

f - với

s s

k0

fT

)(

2 / f

ft 2 j ft

2

s

dfTedf

e)(H)t(

ta có kết quả

t f

t f sin T

/

T / sin ) t ( h

s

sπ

ππ

đáp ứng xung của mạch khôi phục lý tưởng sinx/x hình 1.16 đáp ứng này là phi nhân quả nên không thực tế Mạch khôi phục cầu thang hình 1.14 là đơn giản nhất và thường

gặp nhất Đáp ứng xung h(t) của nó là một xung vuông kéo dài từ xung lấy mẫu hẹp ở t

= 0 đến t = T lúc lấy mẫu để nối gần đúng giữa hai mẫu :

với

0

với

k0

Tt1

)t(h

biến đổi Fourier của h(t) là :

s

f f

s

s fT

f / f

f / f sin T e

T / f

T / f sin T ) (

π

ππ

-2fs -fs -fs/2 0 fs/2 fs 2fs f

)(XˆT

đáp ứng biên độ của H ( ) hình 1.17.

t(

xa

a Xác định tỉ số lấy mẫu tối thiểu để tránh để tránh trùng chập (aliasing)

b Giả sử tín hiệu lấy mẫu tại Fs = 200 Hz Xác định tín hiệu rời rạc sau khi lấy

mẫu

c Giả sử tín hiệu lấy mẫu tại Fs = 75 Hz Xác định tín hiệu rời rạc sau khi lấy mẫu

d Nếu tần số tín hiệu sin là F < Fs/2 thì miền nào phù hợp với câu c.

Giải :

a Tần số của tín hiệu tương tự là F = 50 Hz Tỉ số lấy mẫu tối thiểu là để tránh

trùng chập là Fs = 100 Hz

b Nếu tín hiệu lấy mẫu Fs = 200 Hz, tín hiệu rời rạc là

n2

n200

)n(x

c Nếu tín hiệu lấy mẫu Fs = 75 Hz, tín hiệu rời rạc là

n3

4n

n3

2-2

t(

ya

t 50

= cos3 πNhư vậy F = 50 Hz trùng chập với F = 25 Hz tại tỉ số lấy mẫu Fs = 75 Hz

Ví dụ 1.5 :

Xét tín hiệu tương tự

-2fs -fs -fs/2 0 fs/2 fs 2fs f

) ( H

Hình 1.17

Mạch khôi phục lýtưởng

t30010

t

)t(

xaTìm tỉ số Nyquist của tín hiệu ?

Giải :

Tần số hiện tại của tín hiệu trên là :

F = 25 Hz, F = 150 Hz, F = 50 HzVậy Fmax = 150 Hz và theo định lý lấy mẫu, ta lấy mẫu tín hiệu là Fs > 2Fmax = 300 Hz

Tỉ số Nyquist là FN = 2Fmax Vậy FN = 300 Hz

Ví dụ 1.6 :

Xét tín hiệu tương tự

t12.00010

t 00t

)t(

xa

a Tìm tỉ số Nyquist của tín hiệu ?

b Giả sử lấy mẫu tín hiệu Fs = 5000 mẫu/s Xác định tín hiệu rời rạc sau khi lấy

Tỉ số Nyquist là FN = 2Fmax Vậy FN = 12 kHz

b Khi ta chọn Fs = 5 kHz và do đó tần số xếp chồng (folding) Fs/2 = 2,5 kHz

Vậy tín hiệu sau khi lấy mẫu là :

n5

6cosn

5

32sin5n5

1cos3

F

nx)nT(x)n(x

s a a

n5

11cosn

5

212sin5n5

1cos

n5

1cosn

5

22sin5n5

1cos

cuối cùng ta thu được :

n5

22sin5n5

1cos

x(n)

Nhận xét :

- Với tần số F1 = 1kHz nhỏ hơn Fs/2 thì không ảnh hưởng

- Với tần số F2 = 3kHz và F3 = 6kHz lớn hơn Fs/2, sẽ bị ảnh hưởng do chồngchập tần số

F’

2 = F2 – Fs = - 2kHz

F’

3 = F3 – Fs = 1kHz

Hình 1.19

c Chỉ có thành phần tần số 1 kHz và 2kHz của tín hiệu lấy mẫu thì chúng ta có thể

khôi phục lại như sau :

t 40005sin-t

=13cos)

t(

yaRõ ràng là có sự khác nhau với tín hiệu gốc xa(t) Sự méo của tín hiệu tương tự gốc là

do ảnh hưởng bị chồng chập

1.4 Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến (LTI)

Trong hệ thống tồn tại hai dạng tuyến tính và phi tuyến nhưng để dễ phân tích,

ta thường khảo sát nó ở dạng tuyến tính

1.4.1 Hệ Thống Tuyến Tính

Hệ thống là tuyến tính khi nó có tính chồng chất như được mô tả trong hình 1.18

nếu

)t(ya)t(ya)t(xa)t(xa

)t(y)t(x

)t(y)t(x

2 2 1

1 2

2 1

1

2 2

1 1

+

→+

→

→

trong đó a1, a2 là các hằng số, sự chồng chất cũng áp dụng cho nhiều tín hiệu hơn hai

1.4.2 Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến

a Định nghĩa :

Nếu y(n) là đáp ứng với kích thích x(n),

thì hệ thống tuyến tính được gọi là bất biến khi

y(n - k) là đáp ứng của kích thích x(n - k), ở đây

k là số nguyên

Nếu biến số là thời gian, thì ta nói hệ

thống bất biến theo thời gian như hệ thống y(n) = 2x(n) + 3x(n-1) là hệ thốngtuyến tính bất biến

b Tích chập : Khi hệ thống là tuyến tính và bất biến, thì ta có quan hệ sau :

=δ

k

k

)kn(h)k(x)

n(h)k(x)

n(y

)n(h)kn(h)]

kn([

T

)n(h)]

n([

T

(1.23)Như vậy hk(n) là đáp ứng xung của hệ

thống tuyến tính Còn h(n) là đáp ứng xung của

hệ thống tuyến tính bất biến, lúc này h(n) sẽ

không phụ thuộc vào k, tức là nếu biến là thời

Hệ thốngtuyến tính

Hình 1.18