bộ đề thi chọn HSG cấp huyện lớp 9 môn toán

Từ điểm M thuộc cạnh AC kẻ các đường thẳng song song với các cạnh AB và BC cắt BC tại E và AB tại F.. Một đường thẳng đi qua A và vuông góc với AM cắt CD tại N.. Từ một điểm M di động

Trang 1

UBND HUYỆN LAI VUNG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2014 – 2015

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 02 trang)

MÔN THI: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

x

Câu 4 (3,5 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD (AB<AD) Gọi M là điểm đối xứng của B qua C;

N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD Gọi K là giao điểm của

BN và AC

a) Chứng minh 5 điểm A, N, D, C, B cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm I của đường tròn đó

b) Gọi H là điểm nằm trên AC sao cho AH=1

3AC, J là giao điểm của DH

và AB Chứng minh IJ  AB

c) Chứng minh SADMC = .

2

BN BD

Trang 3

HUYỆN LAI VUNG

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN: TOÁN

2 2

x x

x

x x x

1,0 0,5

0,5

b) A có giá trị nguyên khi 4

x nguyên hay 4 chia hết cho x

Do 0 < x < 5 nên x1,2,4

0,5 0,5

x y

Vậy P = 2

0,25

0,5 0,25 b)

T có nghĩa khi 7 3 0

x x

3 2

x x

Trang 4

Câu Nội dung Điểm

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = –1

(1)

x 2 03x 7 0

D K

N

M C

A

B

Trang 5

a) Ta có A, B, C, D cùng thuộc đường tròn có tâm I là giao điểm

AH  ACAH  AI  AI

(vì I là trung điểm của AC)

Vậy H là trọng tâm của ABD

 J là trung điểm của AB

 IJ//ADIJ  AB

0,5

0,25 0,25 0,5 c) Từ gt  C là trung điểm BM và I là trung điểm BD nên CI  DM

hay AC  MN  BN  AC tại K là trung điểm BN

SADMC = SABCD = 2SABC = 2 .1 . 1 . 1 .

* ACDB là hình thang vuông có OM là đường trung bình nên

OM vuông góc CD Hay CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O

tại M

0,5

0,5 0,5 b) * Theo tính chất đường trung bình trong hình thang:

2 2

K

C

D

H O

M

Trang 6

Ghi chú: Học sinh giải cách khác đúng, lập luận chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa

Trang 7

NĂM HỌC 2015 – 2016

Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 17/01/2016

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:

NỘI DUNG ĐỀ THI

(Đề thi có 02 trang, gồm 5 câu)

Câu 3 (5,0 điểm)

a) Giải phương trình: 3 x 10  3 17 x 3

b) Cho một tam giác vuông Nếu tăng hai cạnh góc vuông lên 2cm và 3cm thì diện tích tam giác tăng lên 44cm2 Nếu giảm cả hai cạnh góc vuông đi 4cm thì diện tích tam giác giảm đi 58cm2 Tính hai cạnh góc vuông

c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2

và N Chứng minh M, N tương ứng là trung điểm của HB, HC

c) Cho AB = 6cm, AC = 8cm Tính diện tích tứ giác MDEN

Trang 8

Câu 5 (4,5 điểm)

a) Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm hai đường chéo AC và

BD Đường thẳng qua O song song AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N Chứng minh: 1 1 2

ABCD MN b) Cho tam giác ABC Từ điểm M thuộc cạnh AC kẻ các đường thẳng song song với các cạnh AB và BC cắt BC tại E và AB tại F Hãy xác định vị trí của M trên AC sao cho hình bình hành BEMF có diện tích lớn nhất

- HẾT -

Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm

Trang 9

Hướng dẫn chấm gồm 06 trang

NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN: TOÁN

3 Điểm toàn bài tính theo thang điểm 20, làm tròn số đến 0,25 điểm

II HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM:

Trang 10

Nội dung Điểm

0 2

Mặt khác: p; p – 1; p + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết

cho 3, mà p là số nguyên tố lớn hơn 3, p không chia hết cho 3

 (p – 1) hoặc (p + 1) chia hết cho 3 hay 2

23

b a

Giải ra: a = 12, b = 11 => n = 132

0,5

Trang 11

Gọi x y, là hai cạnh góc vuông; x 4,y 4 0,25

Diện tích tam giác vuông là

Nhận xét y 1 không phải là nghiệm của (*) 0,25

Chia cả 2 vế của (*) cho y 1 ta được: 2 1

Trang 12

H A

Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật 0,25

Vì O là trung điểm AH nên O cũng là trung điểm DE hay D, O, E

Do DM, EN cùng vuông góc DE (tiếp tuyến) nên DM // EN, suy ra

Trang 13

I F

Trang 14

Nội dung Điểm

S’=IH MF (S’ là diện tích hình bình hành BEMF)

S= 1 .

2BC AH (S là diện tích tam giác ABC) 0,25

Ta có: ' . 2 (1)

1 2

Trang 15

PHÒNG GIÁO DU ̣C VÀ ĐÀO TẠO

NĂM HỌC 2018 – 2019

Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 25/11/2018

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:

NỘI DUNG ĐỀ THI

(Đề thi có 02 trang, gồm 5 câu)

Câu I (4,0 điểm)

1 Tính A = ( 83 22 5)( 2 10 0, 2)

2 Tìm các số tự nhiên n sao cho B = n +2n+18 là số chính phương 2

3 Với a, b là các số nguyên Chứng minh rằng nếu a chia cho 13 dư 2 và b

chia cho 13 dư 3 thì a + b chia hết cho 13 2 2

Câu II (4,0 điểm)

1 Cho biểu thức C = x x - 3 - 2( x - 3)+ x + 3

x - 2 x - 3 x + 1 3 - x Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức C

Câu III (4,0 điểm)

1 Giải các phương trình sau:

a) x + 2x = 4x + 44 3

b) 12 + x + 2 = 1 + 2x + 1

2.Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

An dự định đi từ A đến B bằng xe đạp điện trong khoảng thời gian nhất định Nếu An đi với vận tốc 20 km/h thì đến B sớm 12 phút Nếu An đi với vận tốc 12 km/h thì đến B trễ 20 phút Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu của An

Trang 16

Câu IV (4,0 điểm)

1 Cho hình vuông ABCD và điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C) Một

đường thẳng đi qua A và vuông góc với AM cắt CD tại N

a) Chứng minh BM = DN

b) Tính tỉ số AM

MN

2 Cho tam giác ABC, đường cao AH Trên tia đối tia AH lấy điểm D sao cho

AD = BC Tại B kẻ BE  AB sao cho BE = AB (E và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau từ bờ là AB) Tại C kẻ CF  AC sao cho CF = AC (F và B thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau từ bờ là AC) Chứng minh rằng ba đường thẳng DH,

BF và CE đồng quy

Câu V (4,0 điểm)

Cho đường tròn (O ; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn Từ một điểm

M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các tiếp tuyến ME,

MF với đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm) Đường thẳng chứa đường kính của đường tròn song song với EF cắt ME, MF lần lượt tại C và D Dây EF cắt

OM tại H, cắt OA tại B

1 Chứng minh rằng: OA.OB không đổi

2 Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đường

Trang 17

PHÒNG GIÁO DU ̣C VÀ ĐÀO TẠO

Hướng dẫn chấm gồm 04 trang

NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN: TOÁN

3 Điểm toàn bài tính theo thang điểm 20, làm tròn số đến 0,25 điểm

II ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

và a n 1 1   hay a   n 2 0,25 Thay a  vào (*) tính được n = 7 n 2 0,25

3 Với a, b là các số nguyên Chứng minh rằng nếu a chia cho 13 dư 2

và b chia cho 13 dư 3 thì a +b chia hết cho 13 2 2 1,5 Do: a chia cho 13 dư 2 nên a=13x+2 ( x   ) 0,25

b chia cho 13 dư 3 nên b=13y+3 ( y   ) 0,25

Suy ra: a +b = 2 2 (13x+2) +(13y+3) 2 2 0,25 = 169x +52x+4+169y +78y+92 2 0,25 = 13(13x +4x+13y +6y+1) 13.K 132 2   0,25 Vậy: a +b2 2 chia hết cho 13 (đpcm) 0,25

Trang 18

Nội dung Điểm

1,0

Áp dụng kết quả câu 2a) ta có 1 2 2

D (a + b +8)17

Trang 19

0,25-Nội dung Điểm

x + 2 + 2x + 1  nên từ (4) suy ra phương trình đã cho có nghiệm x = 1 (thỏa điều kiện xác định)

0,25

2) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

An dự định đi từ A đến B bằng xe đạp điện trong khoảng thời gian

nhất định Nếu An đi với vận tốc 20 km/h thì đến B sớm 12 phút Nếu

An đi với vận tốc 12 km/h thì đến B trễ 20 phút Tính quãng đường AB

và thời gian dự định đi lúc đầu của An

1,5

Gọi x (giờ) là thời gian dự định đi lúc đầu (x>0) 0,25

Theo đề bài có phương trình: 20(x - ) = 12(x + )1 1

20x - 4 = 12x + 4 8x = 8 x = 1

Vậy: Thời gian dự định là 1 (giờ)

Quãng đường AB dài: 20.(1 - ) = 20.( ) =161 4

0,5

Trang 20

Nội dung Điểm

1 Cho hình vuông ABCD và điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C)

Một đường thẳng đi qua A và vuông góc với AM cắt CD tại N 2,0

N

B A

2 Cho tam giác ABC, đường cao AH Trên tia đối tia AH lấy điểm D

sao cho AD = BC Tại B kẻ BE  AB sao cho BE = AB (E và C thuộc

hai nửa mặt phẳng đối nhau từ bờ là AB) Tại C kẻ CF  AC sao cho

CF = AC (F và B thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau từ bờ là AC)

Chứng minh rằng ba đường thẳng DH, BF và CE đồng quy

C A

I

Trang 21

Nội dung Điểm

0,5

Chứng minh tương tự ta được DB  CE 0,25 Trong  DBC có DH, CE, BF là các đường cao nên chúng đồng quy 0,25

Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn Từ một

điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các tiếp

tuyến ME, MF với đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm) Đường thẳng

chứa đường kính của đường tròn song song với EF cắt ME, MF lần lượt

tại C và D Dây EF cắt OM tại H, cắt OA tại B

C

D

K N B H

E

F

A

O M

 vuông tại E, đường cao EH nên OE2 OH.OM (2) 0,5

Từ (1), (2) suy ra: OA.OB = OE2 = R (không đổi ) 2 0,5

Trang 22

Nội dung Điểm

2 Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên

Vì OA.OB =R2

2ROBOA

  mà R không đổi, OA không đổi do đó OB

không đổi mà O cố định nên B cố định

0,5

Vậy khi điểm M di chuyển trên đường thẳng d thì EF luôn đi qua điểm

3 Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích của HBO lớn nhất 1,0

Gọi K là trung điểm của OB, mà BHO vuông tại H nên ta có HK=BO

-Hết -

Trang 23

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS QUẢNG TRỊ Khóa ngày 19 tháng 3 năm 2019

Cho tam giác ABC vuông tại A (ACAB); gọi H là hình chiếu của A trên BC,

D là điểm nằm trên đoạn thẳng AH (D A D, H) Đường thẳng BD cắt đường tròn tâm C bán kính CA tại E và F (F nằm giữa B và D); M là điểm trên đoạn thẳng

AB sao cho ACF= 2BFM; MF cắt AH tại N.

a) Chứng minh BH BC =BE BF. và tứ giác EFHC nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh HD là phân giác góc EHF

c) Chứng minh F là trung điểm MN.

-HẾT -ĐỀ CHÍNH THỨC

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	693,18 KB