Tiểu luận độ tin cậy và tuổi thọ của thiết bị cơ khí

Xác định đường kính trung bình của thanh trụ tròn µr với các thông số sau:...15 biết rằng các thông số là đại lượng ngẫu nhiên theo phân phối chuẩn:...15 Danh mục từ viết tắt: - ĐTC: Độ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

VIỆN CƠ KHÍ

-🙠🙠🙠🙠🙠🙠🙠 -TIỂU LUẬN

ĐỘ TIN CẬY VÀ TUỔI THỌ THIẾT BỊ CƠ KHÍ

Giảng viên hướng dẫn:

Học viên:

SHHV:

Hà Nội, ngày 8 tháng 10 năm 2021

Nội dung

1 Trình bày khái niệm về biến ngẫu nhiên: 2

1.1 Hàm phân phối (F) 3

1.2 Hàm mật độ (f) 3

1.3 Các tham số của biến ngẫu nhiên 3

a Kỳ vọng 3

b MODE biến ngẫu nhiên 4

c Trung vị 4

d Phương sai ngẫu nhiên 4

e Hệ số biến động của đại lượng ngẫu nhiên X với µ ≠ 0 5

f Mô men 5

2 Trình bày một trong các hàm phân phối điển hình: 5

3 Trình bày chỉ tiêu của độ tin cậy hệ thống không phục hồi.(STT lẻ) 6

R(t)=P(T≥t) 6

3.1 Cường độ hỏng 7

3.2 Kỳ vọng thời gian làm việc dẫn đến khi hỏng (kỳ vọng tuổi thọ) 7

μ= ET=0 ∞t ftdt 7

3.3 Phương sai của tuổi thọ 8

3.4 Độ lệch tiêu chuẩn của tuổi thọ 8

4 Trình bày cách loại bỏ sai số thô, cho ví dụ minh hoạ 9

5 Tính độ tin cậy của hệ thống nối tiếp gồm 3 phần tử nối tiếp: Động cơ, bộ truyền động, cơ cấu chấp hành có: 11

6 Nguyên tắc chung thiết kế theo độ tin cậy và luật phân phối của độ bền và ứng suất 12

a Nguyên tắc thiết kế theo độ tin cậy 13

b Luật phân phối độ bền và ứng suất 13

c Bài tập 14

7 Xác định đường kính trung bình của thanh trụ tròn µr với các thông số sau: 15

(biết rằng các thông số là đại lượng ngẫu nhiên theo phân phối chuẩn): 15

Danh mục từ viết tắt:

- ĐTC: Độ tin cậy

1 Trình bày khái niệm về biến ngẫu nhiên:

- Hàm phân phối (lý thuyết, thực nghiệm)

- Hàm mật độ (lý thuyết, thực nghiệm)

- Các tham số của biến ngẫu nhiên: kỳ vọng, phương sai

Trình bày:

- Biến ngẫu nhiên: là các biến số biểu thị giá trị của đại lượng ngẫu nhiên x,

y, z, … (trong các phép thử được tiến hành với điều kiện không đổi)

- Biến ngẫu nhiên mang giá trị rời rạc x1, x2, x3, …, xn => Biến ngẫu nhiên rời rạc => Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

- Biến ngẫu nhiên mang giá trị liên tục trên trục số => Biến ngẫu nhiên liên tục

- Trong quá trình đo đạc, quan sát kỹ thuật: phần lớn các thông số đều là biến ngẫu nhiên với giá trị không âm

1.1 Hàm phân phối (F)

- Đặc trưng đầy đủ của đại lượng ngẫu nhiên là hàm phân phối phối xác suất của nó: F(x) = P(X< x) với -∞ < x < ∞

- Hàm phân phối tổng quát của biến ngẫu nhiên rời rạc:

- Hàm phân phối tổng quát của biến ngẫu nhiên rời rạc (tích luỹ)

i

- Hàm phân phối tích luỹ trong xúc xắc: Fx(x) = x/6 với 1 ≤ x ≤6

- Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục:

−∞

x

fxdx luôn f (x )≥ 0

1.2 Hàm mật độ (f)

- f x hàm mật độ xác suất hay mật độ của đại lượng x tại -∞ có F(-∞)=0, tại x tiến đến +∞: Fx(∞) = 1  0 ≤ F(x) ≤ 1

f x(x)= d F x (x )

'

(x ) với F ( x ) khả vi liêntục

¿ lim

∆ x→ ∞

∆ x

Với x1 < x2: Fx(x2) - Fx(x1) = P(X< x2) - P(X< x1) = P(x1 ≤ X ≤ x2) =∫

x1

x2

f (x )dx

1.3 Các tham số của biến ngẫu nhiên

a Kỳ vọng

- Là giá trị trung bình, giá tri mong muốn mô tả khuynh hướng trung tâm

- Rời rạc: kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên rời rạc X mà nó có thể nhận các giá trị xi với xác suất Pi (i = 1, …) được xác định:

i=1

∞

x i P i

- Nếu X chỉ lấy hữu hạn trong n giá trị => kỳ vọng tồn tại khi tổng trên tiến đến hội tụ tuyệt đối

∑

i=1

∞

|x i|P i<∞

- Liên tục: với hàm mật độ f(x)

−∞

+∞

xf ( x ) dx

Nếu tích phân hội tụ tuyệt đối

- Đại lượng X gồm tập mẫu x1, x2, … xn

Giá trị trung bình số học: X =´ 1

i=1

n

x i

b MODE biến ngẫu nhiên

- Rời rạc: giá trị  mà tại đó P(x) cao nhất – xác suất lớn nhất

- Liên tục: df (x )

c Trung vị

- Là giá trị x tại đó hàm phân phối F(x) = 50%

∫

−∞

+∞

f (x)dx=50 %

d Phương sai ngẫu nhiên

- Phương sai ngẫu nhiên (2)   độ lệch: xác định sai lệch xung quanh

kỳ vọng, độ lệch chuẩn

- Biến ngẫu nhiên rời rạc:

i=1

∞

(x i−µ)2P i

i=1

∞

x i P i−µ2

- Khi biến ngẫu nhiên liên tục X với mật độ f(x)

−∞

+∞

(x−¿ µ2

−∞

+∞

¿

- Độ lệch tiêu chuẩn: là căn bậc 2 của phương sai

Độ lệch tiêu chuẩn thực nghiệm s là số đo sự tản mát của số liệu thực nghiệm:

+ phương sai thực nghiệm:

s2=1

i=1

n

(x i−´x )2

+ Độ lệch tiêu chuẩn thực nghiệm

i=1

n

(x i− ´x )2

e Hệ số biến động của đại lượng ngẫu nhiên X với µ ≠ 0

μ

- Đối với dãy sự kiện với giá trị trung bình ´x ≠ 0

- Độ lệch thực nghiệm s: γ= σ

μ

f Mô men

- Là giá trị kỳ vọng luỹ thừa của biến ngẫu nhiên tại điểm α của biến ngẫu

nhiên

m k (α) = E[(X - α)α) = E[(α) = E[(X - α)X - α) k ]

- Nếu α=0 thì m k (α) = E[(X - α)0) gọi là mô men gốc.

- Nếu α=E(α) = E[(X - α)X) thì m k (α) = E[(X - α) μ ) gọi là mô men trọng tâm.

- Mô men gốc cấp 1 chính là kỳ vọng:

m 1 (α) = E[(X - α)0) = E(α) = E[(X - α)X)

- Mô men trọng tâm cấp 1 bằng 0

- Mô men trọng tâm cấp 2 chính là phương sai:

m 2 (α) = E[(X - α) μ )= D(α) = E[(X - α)X)

2 Trình bày một trong các hàm phân phối điển hình:

(stt1 làm yêu cầu số 1 phân phối rời rạc)

- Đại lượng X lấy n giá trị khác nhau x1, x2,… x n với xác suất p1, p2,… p n nếu

p i=1

n với mọi i = 1,…n thì đại lượng X gọi là phân bố đều rời rạc

- Hay hàm phân phối

i=1

n x i∗1

1

i=1

n

x i

2

∗1

2

=1

2

−(1

i=1

n

x i)

2

3 Trình bày chỉ tiêu của độ tin cậy hệ thống không phục hồi.(STT lẻ)

R(t)=P(T≥t) Với T = 0, bắt đầu làm việc Sau T ngẫu nhiên bắt đầu bị hư hỏng lần đầu T có thể = Σ khoảng thời gian làm việc gián đoạn

Xác suất để đại lượng ngẫu nhiên: T lấy giá trị không nhỏ hơn t đã cho (SX trước thời điểm t không xảy ra hư hỏng) hoặc bằng tuổi thọ nếu sản phẩm làm việc liên tục → Dùng tuổi thọ chung cho ∀ trường hợp Với T: Đại lượng ngẫu nhiên không âm

Ví dụ: Xác suất không hỏng sau 2000h làm việc bằng 0,95 → Trong một số lớn các thiết bị trong cùng điều kiện làm việc, trung bình có 5% hư hỏng trước 2000h

 Xác suất không hỏng R(t) phụ thuộc vào thời điểm đang xác định tức là tuổi thọ sản phẩm → R(t) còn gọi là hàm tin cậy (Độ tin cậy)

 Tính chất của độ tin cậy:

 0 ≤ R (t)≤1 (R(t) số đo xác xuất của sự kiện)

 R(0) = 1 Thời điểm ban đầu sản phẩm hoàn toàn tốt không thể xảy ra hư hỏng

R(t1) > R(t2) với t2 > t1 (R(t) đơn điệu không tăng)

 Sản phẩm hỏng trước thời điểm t là sự kiện bù của sự kiện không hỏng trước t

 Xác suất hỏng:

Q (t)=P(T <t )=1−R (t)

Q(t) hàm phân phối tuổi thọ: liên tục và có đạo hàm Hàm mật độ phân phối tuổi thọ:

{ f (t )= dQ(t )

f (t )=−dR (t )

↔ {f (t )=∫

0

t

f (t ) dt

t

∞

f (t )dt

 Một tập mẫu có n phần tử làm việc cùng điều kiện: Tại thời điểm t có n(t) sản phẩm không hỏng

 Xác suất không hỏng thực nghiệm (tần suất không hỏng):

R n (t )=R (t )= n (t )

n

 Hàm phân phối tuổi thọ thực nghiệm;

Q n (t )=Q (t )= n−n(t )

 Hàm mật độ tuổi thọ thực nghiệm:

∆ n

n ∆ t

∆ n: Số sản phẩm không hỏng trong khoảng ∆ t sau thời điểm t Khi n lớn → Định nghĩa xác suất

3.1 Cường độ hỏng

f (t)

∫

t

∞

f (t ) dt

Ý nghĩa: Là mật độ phân phối xác suất có điều kiện để xuất hiện hư hỏng tại thời điểm t với điều kiện là trước đó sản phẩm đã làm việc không hỏng

→ Xác suất làm việc không hỏng trong khoảng làm việc bất kỳ (t1, t2)

R(t1, t2)=exp[−∫

t1

t2

λ (t ) dt]

→Ước lượng thống kê của hàm cường độ hỏng

R(t) R(t)

¿(n (t) n −

n(t+∆ t)

∆ n: Số sản phẩm hỏng trong ∆ t

“Cường độ hỏng là số sản phẩm hỏng trong một đơn vị thời gian chia cho số sản phẩm không hỏng trước thời điểm đang xét”

3.2 Kỳ vọng thời gian làm việc dẫn đến khi hỏng (kỳ vọng tuổi thọ)

0

∞

t f (t )dt

¿∫

0

∞

→ Diện tích hình dưới đường cong

Nếu có tập mẫu t1, t2, …tn của tuổi thọ ngẫu nhiên → ước lượng thống kê của

kỳ vọng tuổi thọ được gọi là tuổi thọ trung bình

´

n(t1+t2+…+t n)=1

i=3

n

t i

3.3 Phương sai của tuổi thọ

σ2

(T )=D (T )=E(T −μ)2=∫

0

∞

t2f (t) dt−μ2 Phương sai thực nghiệm của tuổi thọ

s2=σ2(T )= 1

i=1

n

(t i−´t)2

3.4 Độ lệch tiêu chuẩn của tuổi thọ

Độ lệch tiêu chuẩn thực nghiệm

3.5 Đường cong hư hỏng theo thời gian

Do công nghệ, lắp ráp, hỏng nhiễugẫy khi làm việc Sau đó giảm dần đến cuối chu kỳ chạy rà

Tình trạng tốt nhất, nếu bảo dường đúng kỹ thuật cường độ hỏng mức thấp nhất

và không đổi

Hỏng tăng không tránh được trong quá trình

mòn, lão hóa

Hệ số biến động của tuổi thọ

v= σ (N )

E (N )

- Nếu làm việc từ sau chạy rà t1 và kết thúc trước t2 thì thừa nhận cường độ hỏng trong suất quá trình làm việc

 Xác suất không hỏng: R (t )=e−λt

 Xác suất hỏng: Q(t) = 1-e−λt

 Mật độ tuổi thọ: f (t )= λ e−λt

→ E (T )=1

λ σ2(T )=1

λ2 Cường độ hỏng tăng tuyến tính

a

Với a là hằng số dương

f (t )= t

0

t

θ

a exp ⁡(

e2

2 a)

Phân phối Rayleigh

→ Hàm độ tin cậy: R (t )=exp ⁡(−e2

2 a )

- Cường độ hỏng dạng lũy thừa (2=a)

λ (t )= α t

α−1

β α exp[−(β t )2]

R (t )=exp[−(β t )2]weibull

Cường độ hỏng theo luật cũ (tăng hay giảm theo t)

- Cường độ hỏng dạng gấp khúc

b<t<t0, λ>0

c(t−t0)+λ t >t0

4 Trình bày cách loại bỏ sai số thô, cho ví dụ minh hoạ.

- Khái niệm: Sai số thô là sai số do phá vỡ những điều kiện căn bản của việc chọn mẫu, phép đo, hoặc do sơ suất của người thực hiện dẫn đến các lần đo

có kết quả khác nhau nhiều

- Ví dụ:

+ Người kiểm tra cố ý chọn ra các sản phẩm tốt để kiểm tra đánh giá

+ Kỹ thuật viên ghi nhầm kết quả đo

- Phương pháp khử sai số thô:

+ Kiểm tra các điều kiện cơ bản có bị vi phạm hay không

+ Sử dụng một phương pháp đánh giá, để loại bỏ hoặc giữ lại những kết quả không bình thường, chủ yếu dựa vào bình phương trung bình σ

a Khử sai số thô khi biết σ :

- Giả sử có giá trị đột xuất X* trong dãy số liệu thu được: X1, X2, …, Xn

- Giá trị trung bình cộng: X =( X´ 1+X2+ + Xn)/n

- Tỷ số so sánh nhau: u=|X∗− ´X|/σ√(n+1)/n

- Ta tìm được 2(1-F(u)) với F(u) là hàm phân phối:

2 π ∫

−∞

u

e

−t2

2

- Thông thường người ta sử dụng các mức ý nghĩa sau:

α=0.05, 0.01, 0.001,

- Nếu chọn trước giá trị α thì:

2(1-F(u)) ≤ α ta có thể bỏ giá trị X*

2(1-F(u)) > α ta phải giữ lại giá trị X*

- Ví dụ: Trong dãy 41 quan sát độc lập với độ lệch bình phương trung bình

σ =0.133 ta thấy có 1 giá trị đột xuất 6.886, đồng thời giá trị trung bình của

40 kết quả còn lại là X =6.5 Vậy độ tin cậy 95% có thể xem X* chứa sai số´

thô được không? Lấy α=0.05

Giải:

- Ta có:

0.133√4140

=2.72¿

- Ta có: 2(1-F(2.72)) = 2(1-0.9967) = 0.066 < 0.05

- Vậy độ tin cậy 95% ta coi X* chứa sai số thô (với kết quả tìm được X* chưa sai số thô độ tin cậy 99%)

b Khử sai số thô khi chưa biết σ

- Khi chưa biết σ, ta phải ước lượng gần đúng theo kết quả thực nghiệm, ta xác định sai số tiêu chuẩn sau:

´

i=1

n

X i , S2

i =1

n

(X i− ´X )2

- Tỷ số: t = (|X* - X´ |)/S

- Với α đã cho, tra bảng H ta được t(∝ n−1)

+ t < t(∝ n−1) : giữ lại X*

+ t > t(∝ n−1) : bỏ X*

- Nghĩa là so sánh t với t(∝ n−1) kèm theo độ tin cậy p, việc loại bỏ hay giữ lại X* hoàn toàn phụ thuộc vào số lượng và độ tin cậy đặt ra trước p

- Ví dụ:

+ Dạng bảng

+ Ta đưa về dạng điểm

+ Dạng khoảng

X (X1,X2) (X2,X3) … (Xn, Xn +1)

+ Ta đưa về dạng điểm lấy x1=(X1+X2):2 , x2=(X2+X3):2 , …

5 Tính độ tin cậy của hệ thống nối tiếp gồm 3 phần tử nối tiếp: Động cơ, bộ truyền động, cơ cấu chấp hành có:

STT: 1

- 1 phần tử hỏng, 2 phần tử còn lại ngừng hoạt động

- Cường độ hỏng:

λ s=∑

i=1

3

λ i=1,615 10−4h−1

- Cường độ phục hồi:

i=1

3

i=1

3

i=1

3

μ i=7,5 10−1h−1

- Kỳ vọng thời gian làm việc không hỏng của hệ:

λ s=6191.95 h

- Kỳ vọng thời gian phục hồi:

μ s=1,33 h

- Xác suất làm việc không hỏng sau khoảng t0 tính từ lúc đầu làm việc:

R s(t0)=e−λ s t0

=e−1.615 10−4 t0

- Hệ số sẵn sàng:

γ i=λ i

μ i=1.73 x 10

− 3

i =1

3

γ i

=0.9982

- Hệ số không sẵn sàng:

K s=1−Ss=0.0018

- Hàm sẵn sàng:

λ s+μ s[1+λ s

μ s e

−(λ s+μ s)t

]

Ss(t) = 0.9982 + 0,0001726.e -0.7501615.t

- Hàm không sẵn sàng:

K s (t )= λ s

λ s+μ s[1−e− (λ s+μ s)t]=1−Ss (t )=¿

0.0018−0,0001726 e−0.7501615 t

6 Nguyên tắc chung thiết kế theo độ tin cậy và luật phân phối của độ bền và ứng suất.

Xác định vật liệu (giới hạn chảy) để đảm bảo thanh vật liệu làm việc với xác suất không hỏng: 0.91 (STT:1)

Biết rằng độ lệch chuẩn của giới hạn chảy là 40MN/m2

Thanh chịu tải tổng hợp gồm:

Tải trọng biến đổi gây ứng suất kéo µK

us = 246MN/m2, K

us=10,5MN/m2

Ứng suất nén với µN

us = 70MN/m2, N

us=28MN/m2

Bài làm:

a Nguyên tắc thiết kế theo độ tin cậy

- Tải trọng, độ bền là các đại lượng ngẫu nhiên, do đó:

´

- Tổng quát:

+ Độ bền là số đo khả năng của hệ thống chống lại tác dụng của tải trọng => Không gây hỏng

+ Tải trọng là tập hợp các nhân tố gây dạng hỏng tương ứng

- Thiết kế kỹ thuật phải có thông tin đầy đủ về 2 phân phối US và DB

- Sơ đồ thiết kế độ tin cậy

- Các bước thiết kế theo độ tin cậy:

1 Xây dựng nhiệm vụ thiết kế

2 Xác định số bộ các tham số kết cấu

3 Phân tích tính chất và hậu quả hưu hỏng

4 Kiểm tra sự tối ưu của việc chọn các tham số kết cấu quan trọng nhất

5 Thiết lập quan hệ: tham số giới hạn và tiêu chuẩn quyết định hỏng

6 Tính ứng suất hỏng

7 Chọn phân phối ứng suất thích hợp

8 Tính toán độ bền

9 Chọn phân phối độ bền thích hợp

10 Tính toán các chỉ tiêu độ tin cậy theo các phân phối trên

11 Lặp lại các bước thiết kế nhằm đảm bảo 1 số chỉ tiêu ĐTC đã cho

12 Tối ưu hoá kết cấu theo tính năng làm việc, giá, khối lượng

13 Lặp lại các bước tối ưu hoá với các phần tử của hệ nếu cần

14 Lặp lại các bước tính nhằm tối ưu hoá độ tin cậy của hệ nếu cần

b Luật phân phối độ bền và ứng suất

- Độ bền có thể xác định theo 2 cách:

+ Độ bền chi tiết được xác định tại các điểm yếu nhất  phân phối xác định theo giá trị cực tiểu của tập mẫu lấy từ tập toàn bộ  Phân phối cực trị của độ bền

+ Điểm yếu nhất của chi tiết được tăng bền nhờ các điểm bền hơn ở xung quanh, tức là có quá trình trung bình hoá trong vật liệu  Phân phối chuẩn của

độ bền: Chảy, bền mỏi

- Hạn chế khi dùng phân phối chuẩn cho độ bền:

+ Miền xác định (-∞;+∞)  giá trị âm độ bền không có nghĩa

+ Khi hệ số biến động < 0.2 thì chấp nhận được

+ Phân phối chuẩn đối xứng Không dùng khi biết phân phối của tập không đối xứng

+ Các nghiên cứu:

 Đặc trưng độ bền của hợp kim có luật loga

 Đặc trưng độ bền của gốc sắt có luật Weibul

 Thay đổi phân phối độ bền do nhiệt luyện, trạng thái bề mặt, nhiệt độ

- Ứng suất: không có quy luật thích hợp cho mọi trường hợp

+ Phân phối chuẩn: Sức đẩy động cơ phản lực, áp lực lên nắp xi lanh động cơ đốt trong

+ Tuỳ theo các điều kiện làm việc, chế độ làm việc, tải trọng có thể phân phối không đối xứng

c Bài tập

Xác định vật liệu (giới hạn chảy) để đảm bảo thanh vật liệu:

+ Xác suất không hỏng: R = 0.91 (STT:1)

+ Độ lệch chuẩn của giới hạn chảy: σ B = 40MN/m2

+ Ứng suất kéo µK

us = 246MN/m2, K

us=10,5MN/m2

+ Ứng suất nén với µN

us = 70MN/m2, N

us=28MN/m2

Ứng suất tổng cộng trong thanh  Phân phối chuẩn có kỳ vọng:

μ u=246−70=176 MN /m2

Độ lệch: σu=√282−10.52=30 MN /m2

Hàm ϕ có: 1−ϕ(−z0)=ϕ(z0)=R=0.91 → z0=1.34

z0=−μ B−μ u

√σ B2+σ u2 =

−μ B−176

√402+302=−1.34

7 Xác định đường kính trung bình của thanh trụ tròn µ r với các thông số sau:

(biết rằng các thông số là đại lượng ngẫu nhiên theo phân phối chuẩn):

STT Xác suất không hỏng R Lực kéo µP(kN) Sai lệch P(kN)

- Ứng suất trong thanh:

U = P/A ; A = πrr2

μ A=π μ r2, σ A=π μ r σ r , μ U=μ P

π μ r2

- Dung sai của bán kính:

σ U2

=σ2P

(μ1A)2+σ2A

(μ1A)2

π2μ r4σ2P+4 π2μ r4μ P2(α3)2

σ2P

+4

9α

2μ P2

π2μ P2

√σ B2+σ U2 =

π μ r2

√σ B2+

σ2P+4

9α

2

μ2P

π2μ r4

- Giả sử α = 0.15, dung sai = 1.5%µr

- Ta có: