LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR - VÔ HƯỚNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG VŨ TRỤ HỌC. LUẬN VĂN THẠC SỸ VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN

Tuy nhiên, lý thuyết này với phương trình Einstein không thể giải thích được một số vấn đề như sự giãn nở tăng tốc của Vũ Trụ và một số vấn đề khác nữa.. Mục đích Tìm hiểu lý thuyết tươ

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Hà Nội - 2020

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Thầy hướng dẫn: TS Nguyễn Anh Kỳ

Hà Nội – 2020

Lời cam đoan

Sau một thời gian nghiên cứu, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Anh Kỳ, tôi đã hoàn thành luận văn tốt nghiệp đúng thời hạn Đề tài luận văn có sự kế thừa những kết quả nghiên cứu trước đó Tôi xin cam đoan đây là những kết quả nghiên cứu của mình

Hà Nội, tháng 4 năm 2020 Học viên Lê Thị Nga

Lời cảm ơn

Tôi chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Anh Kỳ đã hết lòng ủng hộ, giúp

đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình làm luận văn

Tôi chân thành cảm ơn Thạc sỹ Phạm Văn Kỳ đã luôn tận tình giúp đỡ,

chỉ bảo cho tôi

Tôi chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Viện Vật Lý đã luôn

sẵn sàng giúp đỡ, chỉ dẫn cho tôi trong suốt quá trình học tập tại Học Viện

Tôi trân trọng cảm ơn Học viện Khoa học và công nghệ đã tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành khóa học và luận văn này Cảm ơn gia đình và bạn bè đã

động viên tôi trong quá trình học tập và làm luận văn

Hà Nội 30/4/2020

Học viên Lê Thị Nga

MỤC LỤC

1.2.1 Tác dụng Hilbert- Einstein và tác dụng toàn phần 91.2.2 Phương trình Einstein trong chân không và với sự có mặt của

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR – VÔ HƯỚNG 25

2.1 GIỚI THIỆU LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR – VÔ HƯỚNG 252.2 PHƯƠNG TRÌNH CỦA LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR – VÔ

2.2.1 Các phương trình của vũ trụ tensor – vô hướng 312.2.2 Mô hình hàm thế

2 2

PHỤ LỤC B: CHỨNG MINH ĐẠI LƯỢNG T LÀ TENSOR

MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài

Lý thuyết tương dối tổng quát (hay còn gọi là lý thuyết tương đối rộng), của A Einstein là lý thuyết hấp dẫn cải tiến lý thuyết hấp dẫn của Newton, nên còn gọi là lý thuyết hấp dẫn Einstein, có thể giải thích và tiên đoán chính xác nhiều hiện tượng trong Vũ Trụ Tuy nhiên, lý thuyết này với phương trình Einstein không thể giải thích được một số vấn đề như sự giãn nở tăng tốc của

Vũ Trụ và một số vấn đề khác nữa Do đó lý thuyết tương đối tổng quát cần được mở rộng (cải tiến)

Lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng là một trong những lý thuyết mở rộng đơn giản nhất nhằm giải thích sự giãn nở tăng tốc của Vũ Trụ và một số vấn đề khác của vật lý hiện đại

Mục đích

Tìm hiểu lý thuyết tương đối tổng quát và lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng, trên cơ sở đó nghiên cứu sự giãn nở tăng tốc của Vũ Trụ và sự tiệm cận của lý thuyết với lý thuyết của Einstein, từ đó đặt ra hướng nghiên cứu mới về

một số hiện tượng khác trong vụ trụ

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Lý tương đối tổng quát và các lý thuyết hấp dẫn cải tiến, với trọng tâm là

lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng và một số vấn đề vũ trụ học liên quan

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu

Đề xuất một phương án của lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng Kết quả

có thể cho ta cái nhìn chi tiết hơn về hiện thực thay đổi của Vũ Trụ, giải thích được nguyên nhân một số hiện tượng xảy ra trong Vũ Trụ và có thể làm tiền đề cho một số nghiên cứu mới về Vũ Trụ

GIỚI THIỆU

Lý thuyết tương đối tổng quát là lý thuyết hấp dẫn được Albert Einstein phát triển từ năm 1907 và được công bố cuối năm 1915, đầu năm 1916, thuyết được xây dựng bằng con đường suy luận lý thuyết và về sau đã được nhiều thí nghiệm và thực tế kiểm chứng [13, pp.316-367] Thuyết tương đối tổng quát miêu tả trường hấp dẫn như là một tính chất hình học của không gian và thời gian (không thời gian) Trong lý thuyết này, do sự tương tác giữa vật chất và không thời gian làm cho không-thời gian trở nên cong, không còn là không-thời gian phẳng Minkowski Thuyết tương đối tổng quát sử dụng hình học Riemann

để mô tả các hiện tượng vật lý trong không thời gian cong Độ cong của thời gian có liên hệ chặt chẽ trực tiếp với năng lượng và xung lượng (năng-xung lượng) của vật chất và bức xạ, liên hệ này được xác định bằng phương trình Einstein

không-4

.2

đã bẻ cong không-thời gian Các phương trình vật lý có thể được viết dưới dạng hiệp biến nên dạng của chúng không thay đổi dù không gian là phẳng hay cong Trong trường hợp trường hấp dẫn rất yếu, ta có thể coi không-thời gian là phẳng và các bài toán được giải dựa trên nguyên lý tương đối hẹp Khi trường hấp dẫn là đáng kể (chưa đủ lớn tới mức để phải lượng tử hóa) và ảnh hưởng của nó không thể bỏ quá thì các bài toán phải xét trong không-thời gian cong (tức dựa trên lý thuyết tương đối tổng quát) Khi không có mặt vật chất, phương trình Einstein nói trên có vế phải bằng 0 và mô tả trường hấp dẫn trong chân không hay trường hấp dẫn tự do (ví dụ bên ngoài nguồn hấp dẫn)

Phương trình Einstein nói trên có thể thu được thông qua nguyên lý tác dụng tối thiểu với mật độ Lagrangian của trường hấp dẫn là L g R Phương trình miêu tả khá tốt các quy luật và hiện tượng xảy ra đối với vật chất thông

thường Tuy nhiên, đối với các quy luật của Vũ Trụ liên quan vật chất tối hay năng lượng tối (tức hiện tượng Vũ Trụ giãn nở tăng tốc) [1, pp.5-8], phương trình không còn có thể miêu tả đầy đủ và chính xác Để giải quyết vấn đề năng lượng tối, có đề xuất đưa vào hằng số Vũ Trụ  trong mật độ Lagrangian của trường hấp dẫn, lúc này Lagrangian có dạng [1, pp.5-8]

L g   R 2 , khi đó phương trình Einstein trở thành [13, pp.382]

4

.2

63,8% là năng lượng tối (dark energy), 26,8% là vật chất tối (dark matter)

[https://vi.wikipedia.org/wiki/N%C4%83ng_l%C6%B0%E1%BB%A3ng_t%E1%BB%91i] Năng lượng tối được cho là một đặc tính ẩn của không-thời gian Giãn nở tăng tốc của Vũ Trụ là sự mở rộng với tốc độ ngày càng tăng Có nhiều

bằng chứng chỉ ra rằng kể từ khi xảy ra Vụ Nổ Lớn (Big Bang), Vũ Trụ đã trải

qua hai giai đoạn tăng tốc [1, pp.5-8]: Giai đoạn tăng tốc đầu tiên là ở kỷ nguyên

lạm phát (inflation) trước khi có sự thống trị của bức xạ (radiation) và giai đoạn

tăng tốc thứ hai là ở kỷ nguyên của vật chất thống trị (chủ yếu là năng lượng tối) Tuy nhiên, nếu cho rằng năng lượng tối liên quan đến hằng số Vũ Trụgắn liền với năng lượng chân không (các cặp hạt ảo sinh và hủy nhau liên tục trong tíc tắc, tạo ra hấp dẫn) thì hiện nay, người ta ước tính tổng năng lượng tối (theo các trạng thái lượng tử của chân không) toàn Vũ Trụ được một trị số lớn hơn trị số quan sát đến 120 bậc [2, pp.177] Sự sai lệch là quá lớn Ngoài ra, nếu cho rằng năng lượng tối là một trường thì trong tương lai xa, Vũ Trụ có thể bị

xé toạc hoặc bị co lại về một điểm Mặt khác, nếu cho rằng trong Vũ Trụ chỉ có vật chất thông thường thì sẽ không thể giải thích được hiện tượng giãn nở có gia tốc của Vũ Trụ, điều đó có nghĩa rằng lý thuyết Einstein không đầy đủ đối với những vùng rộng lớn của Vũ Trụ, nên cần được cải tiến Hiện nay có nhiều lý

thuyết cải tiến được đề xuất, song chưa một lý thuyết nào thành công mỹ mãn Do vậy, chúng ta cần tiếp tục tìm cải tiến mới

Lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng [2, pp.231-236] là một trong những

lý thuyết đầu tiên được sửa đổi từ lý thuyết tương đối tổng quát và luôn được các nhà khoa học nghiên cứu phát triển tích cực cho đến nay Một trong những mục tiêu của lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng là giải thích sự giãn nở tăng tốc của Vũ Trụ (tức vấn đề năng lượng tối) Một điểm rất đặc biệt và thú vị của

lý thuyết này là hằng số tương tác hấp dẫn Newton G = G(ϕ) thay đổi theo sự giãn nở của Vũ Trụ (thay đổi theo thời gian) và khi t → ∞ thì G(ϕ) → constant

[5] Ngày nay, ở giai đoạn muộn của Vũ Trụ, ta có thể coi hằng số tương tác hấp dẫn Newton là không đổi (thay đổi theo thời gian rất chậm nên có thể bỏ qua)

và có giá trị G = 6 67×10-11 Nm 2 kg -2) Đặc điểm này cũng có thể suy rộng ra cho các hằng số tương tác khác, chẳng hạn như hằng số tương tác Cu-lông giữa hai điện tích, hay các hằng số tương tác khác trong Mô hình chuẩn (tương tác mạnh và tương tác điện-yếu)

Lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng cũng có thể được dùng để miêu tả khá tốt kỷ nguyên lạm phát (được A Starobinsky, A Linde và A Guth đề xuất đầu tiên ([16], [17], [18]) bắt đầu khoảng 10-36 giây sau Big Bang và kết thúc

vào thời điểm khoảng 10-32 sau Big Bang Trong kỷ nguyên lạm phát , tuy giãn

nở Vũ Trụ diễn ra trong thời gian cực ngắn, nhưng với tốc độ giãn nở cực lớn, kích thước Vũ Trụ tăng lên khoảng 1030 lần so với kích thước ban đầu (hiện tại,

Vũ Trụ quan sát được có đường kính khoảng 93 tỷ năm ánh sáng) Kỷ nguyên lạm phát được đưa vào để giải thích tại sao ngày nay Vũ Trụ lại đồng nhất và đẳng hướng, tại sao không-thời gian ngày nay của Vũ Trụ lại gần như phẳng, v.v Cũng vì thế, trường vô hướng được đưa vào như là động lực của lạm phát

và làm cho Vũ Trụ giãn nở với tốc độ cực lớn trong kỷ nguyên này (về vấn đề này có thể tham khảo ([7], [9], [11]) Ngoài ra, lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng cũng được dùng để giải thích vật chất tối (xem, ví dụ, [11] và [14]) Lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng có thể dùng để miêu tả rất nhiều hiện tượng khác trong Vũ Trụ học [2, pp.169-178]

Trọng điểm của lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng là hàm thế của trường

vô hướng V(ϕ) Nó có thể được chọn thích hợp để phục vụ mục đích nhất định

nào đó, chẳng hạn như trong nghiên cứu vấn đề giãn nở tăng tốc của Vũ Trụ, người ta có rất nhiều cách chọn dạng của hàm thế, trong luận văn này, ta đã chọn hàm thế có dạng đơn giản mà mang lại kết quả khá thú vị Trong phần trình bày

kết quả của luận văn, đại lượng a(t) được dùng để biểu diễn cho bán kính của

vũ trụ ở thời điểm t bất kỳ Tham khảo [3] và [4], ta có thể tìm được các nghiệm

a(t) ứng với một số hàm thế được chọn Hàm thế, như được chọn trong luận văn

này, có ý nghĩa như nguồn sản sinh năng lượng tối Trong thời kỳ lạm phát, hàm thế còn có ý nghĩa như nguồn sinh ra vật chất Việc lựa chọn hàm thế của chúng tôi dựa theo tiêu chí hàm có dạng đơn giản, có thể dễ dàng tính toán để cho kết quả về những thông số cơ bản của Vũ Trụ như ta mong đợi và lựa chọn của chúng tôi đã đáp ứng được tiêu chí đề ra Chúng tôi hy vọng sự lựa chọn hàm thế này có thể được kiểm chứng thông qua thực nghiệm và quan sát thực tế

Sau khi hoàn thành nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã thu được kết quả khá thú vị (chi tiết sẽ được trình bày ở chương 3) Tuy nhiên, để đánh giá kết quả nào phù hợp với thực tiễn tình hình Vũ Trụ hiện nay thì cần thêm một số kết quả

cụ thể về các thông số đo được qua quan sát và thực nghiệm, kết quả nghiên cứu

đề tài sẽ là cơ sở lý thuyết tốt để đánh giá, kiểm tra thực nghiệm, và cũng từ thực nghiệm, kiểm tra độ chính xác của kết quả nghiên cứu này

CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT HẤP DẪN EINSTEIN

1.1 GIỚI THIỆU LÝ THUYẾT HẤP DẪN EINSTEIN

Như đã nói ở phần giới thiệu, thuyết tương đối tổng quát là lý thuyết hình học của lực hấp dẫn do nhà Vật lý Albert Einstein công bố đầu năm 1916 và hiện được coi là lý thuyết miêu tả hấp dẫn thành công của vật lý hiện đại

Thuyết tương đối tổng quát miêu tả trường hấp dẫn như là tính chất hình học của không gian và thời gian (không-thời gian) Độ cong của không-thời gian

có liên hệ chặt chẽ với năng lượng và xung lượng của vật chất và bức xạ Mối liên hệ được xác định bằng phương trình Einstein – một hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến

Nhiều tiên đoán và hệ quả của thuyết tương đối tổng quát khác biệt hoàn toàn so với kết quả của vật lý cổ điển đặc biệt khi xét đến sự trôi của thời gian, hình học của không gian, chuyển động của vật thể rơi tự do và sự lan truyền của ánh sáng Những khác biệt đó là gì? Là sự giãn của thời gian do hấp dẫn, sự dịch chuyển đỏ do hấp dẫn của ánh sáng, sự chậm của thời gian do hấp dẫn, sự tồn tại sóng hấp dẫn (không thể xảy ra trong thuyết hấp dẫn cổ diển của Newton), v.v

Mặc dù cho đến nay đã có một số lý thuyết khác về lực hấp dẫn được nêu

ra, nhưng thuyết tương đối tổng quát vẫn là lý thuyết đơn giản nhất phù hợp với thực nghiệm và quan sát thực tế Tuy nhiên, vẫn còn tồn tại một số vấn đề chưa

có câu trả lời rõ ràng, tiêu biểu như các nhà vật lý chưa biết làm thế nào để kết hợp thuyết tương đối rộng với các định luật của vật lý lượng tử nhằm tạo ra một

lý thuyết đầy đủ và nhất quán là thuyết hấp dẫn lượng tử

Lý thuyết của Einstein có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý thiên văn và vũ trụ học như chỉ ra sự tồn tại của lỗ đen – những vùng mà không gian

và thời gian bị uốn cong đến mức ánh sáng cũng không thể thoát ra được Thuyết tương đối tổng quát có thể tiên đoán và miêu tả các tính chất của sóng hấp dẫn

và còn là cơ sở cho các mô hình vũ trụ học hiện tại về sự giãn nở không ngừng của vũ trụ

1.2 PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN

1.2.1 Tác dụng Hilbert- Einstein và tác dụng toàn phần

Trường hấp dẫn (tự do hoặc có mặt của vật chất) được mô tả bởi phương trình Einstein Phương trình Einstein cho trường hợp trường hấp dẫn tự do, hay phương trình Einstein trong chân không

R là độ cong vô hướng của không thời gian,

g là định thức của ma trận được lập bởi các lượng tenxơ metric gv

Trong không-thời gian phẳng thì gv là metric Minkowski gv diag(1, 1, 1, 1)  nên   g 1 0. Trong trường hợp tổng quát (không-thời gian trong trường hấp dẫn), metric là một hàm của tọa độ : gv gv( ),x nhưng vẫn đảm bảo điều kiện

0.

g

 

Ta có thể chứng minh rằng tác dụng (1.4) ở trên là bất biến, thật vậy,

Thứ nhất, mối liên hệ của các tenxơ mêtric giữa hai hệ quy chiếu bất kì

[g(x)] là ma trận được lập từ các lượng gv,

[J] là ma trận được lập từ các lượng ,

v

x J

với chú ý, định thức của ma trận bằng định thức của ma tận chuyển vị (J = J t),

do đó, khi lấy định thức hai vế của (1.3) ta được

  2  

g x  J g x , (1.7)

trong đó, g(x) và J tương ứng là định thức của các ma trận [g(x)] và [J] ;

Thứ hai, nếu sử dụng hệ quy chiếu quán tính địa phương tại điểm đang

xét x thì ta được g x     , do đó từ (1.4) suy ra g(x)< 0 trên hệ bất kì, lúc ( ) 1này, nhân hai vế của (1.4) với (−1) rồi lấy căn hai vế ta được

g x J g x 

   (1.8)

a Phương trình Einstein trong chân không

Trong chân không, phương trình Einstein được thu nhận từ tác dụng của không-thời gian có dạng

tổng trên chỉ lấy theo chỉ số ν, với G(µ,ν) là phần bù đại số của phần tử g µν nghĩa

là G(µ,ν) = (−1)µ+ν nhân với định thức còn lại sau khi đã bỏ đi hàng và cột chứa

gµν, trong các giáo trình đại số tuyến tính cũng cho ta

[ g G( , )]

g g

v v

Xét lân cận của một điểm x xác định bất kỳ trong hệ quy chiếu A bất kỳ,

ta luôn tìm được hệ quy chiếu B sao cho tương ứng có một lân cận điểm x’ được coi là quán tính Ứng với mỗi điểm x khác nhau xác định trong hệ quy chiếu A,

ta luôn có một hệ quy chiếu B khác nhau Nguyên lý trên gọi là nguyên lý quán tính địa phương trong thuyết tương đối Về mặt toán học, với mỗi điểm x xác

định của hệ quy chiếu A thì dạng toàn phương ds 2 = g µν (x)dx µ dx ν (với hệ số hằng

số g µν (x) không đổi tại điểm đã cho), từ đó ta có thể chéo hóa dạng toàn phương

tại điểm đã cho để đưa về các lượng Minkowski đối với gµν (tức là gµν = diag (1,

−1, −1, −1)) – dạng quán tính Về mặt vật lý thì điểm tương ứng x’ này là điểm rơi tự do tại điểm đã cho x Khi rơi tự do, lực quán tính và lực hấp dẫn triệt tiêu lẫn nhau, do đó tại điểm x’ là quán tính Như vậy, vùng lân cận điểm x’ của hệ quy chiếu B được coi là quán tính địa phương, khi đó tại lân cận điểm này, ta có

Ta dễ dàng chứng minh đượcRv và µvđều là các tensor Thật vậy,

Thứ nhất, biến phân của vector

Thứ hai, biến phân của một tensor là một tensor, ví dụ xét tensor Fv là

tích của hai vector A và B v,

Thứ ba, mặc dù  µv không là một tensor nhưng biến phân của nó   µv

lại là một tensor Thật vậy, mối liên hệ của các đại lượng Kritôphen trên hai hệ quy chiếu là

Ta lại xét hai tenxơ Av và Bv, nếu chúng bằng nhau trên hệ quy chiếu

x thì cũng sẽ bằng nhau trên mọi hệ quy chiếu x’ Thật vậy,

A x B x , đó là điều cần phải chứng minh

Như vậy, hai vế của (1.34) đều là tensor, do đó, nó không chỉ đúng cho

hệ quy chiếu quán tính địa phương mà còn đúng cho mọi hệ quy chiếu

Nhân hai vế của (1.34) với v

g (chú ý đến đạo hàm hiệp biến của v

gvRv  (gvµv gvµ), (1.35)

Nếu đặt

A  gvµv gvµ), (1.36) thì ta được:

gvRv  A, (1.37) mặt khác, theo tính chất của đạo hàm hiệp biến

( )

A ,

A A

g g

A 1 . ( g A. ).

x g

g A

x g

với Aα được tính theo (1.36)

Ở vô cùng  v  0 nên Aα =0, từ (1.49) ta thu được

µv µv

b Phương trình Einstein với sự có mặt của vật chất

Khi có mặt của vật chất, phương trình Einstein được thu nhận từ biến phân của tác dụng toàn phần có dạng

) 1

[ (

v v

n n

d x x

)1

v v

4 1

ở đây, g là định thức của ma trận được lập nên từ các lượng gv

Và nếu ta gọi định thức của ma trận được lập nên từ các lượng v

g là h thì vì

v

g g   (kí hiệu Conecker) nên hai ma trận được lập nên từ các lượng g µv

và g μν là nghịch đảo của nhau, khi đó

g.h =1

Ta lại có

1 1

,

g h

so sánh (1.66) với (1.44), ta suy ra được

1

n n

 ,  tùy ý (tùy theo n

phép biến đổi tọa độ R: Tịnh tiến, quay, ), ta thu được phương trình Einstein với sự có mặt của vật chất và phương trình chuyển động của vật chất trong không-thời gian cong, đó là

Phương trình (1.76) là phương trình hấp dẫn Einstein với sự có mặt của vật chất,

trong đó T μν là tenxơ năng-xung lượng của vật chất mà ta sẽ chứng minh ở phụ lục B Phương trình Einstein thể hiện sự phụ thuộc của tensor độ cong không-thời gian vào tensor năng-xung lượng của vật chất, hay nói cách khác là hình học không-thời gian được quyết định bởi chính vật chất chứa trong không-thời

gian đó Ta còn có thể biến đổi phương trình (1.76) về dạng khác như sau: Vì g không phụ thuộc tường minh vào ψ n nên

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR – VÔ HƯỚNG

2.1 GIỚI THIỆU LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR – VÔ HƯỚNG

Lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng đã được nói trong phần giới thiệu ở trên và trong lý thuyết này, tác dụng tổng quát có dạng

𝑆 = ∫ 𝑑4𝑥√−𝑔 [𝑝(𝜑)𝑅 +𝜔(𝜑)𝜑 𝑔𝜇𝑣𝛻𝜇𝜑𝛻𝑣𝜑 − 𝑉(𝜑)] + 1

𝑐∫ 𝐿𝑀√−𝑔 𝑑4𝑥,

trong đó, các số hạng liên kết cặp p(φ), ω(φ) và hàm thế V (φ) là tự do, ta có thể

tùy ý chọn chúng sao cho quá trình tính toán đạt được các kết quả phục vụ được mục đích mong muốn

Lý thuyết với p(φ) = constant, được gọi là lý thuyết hấp dẫntensor - vô

hướng với cặp tối thiểu (minimally coupled), ngược lại nó được gọi là lý thuyết

không tối thiểu Nếu chọn p(φ) = φ/2 và ω(φ) = constant, ta sẽ được lý thuyết

Brans-Dicke, lý thuyết này được ra đời từ rất sớm, nó là khởi đầu cho các lý thuyết hấp dẫntensor - vô hướng

Trong luận văn này, ta chỉ xét tác dụng của lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng dưới dạng đơn giản nhất như sau (viết trong hệ đơn vị 8 G c 1),

𝑆 = ∫ 𝑑4𝑥√−𝑔 [12𝑅 +1

2𝑔𝜇𝑣𝛻𝜇𝜑𝛻𝑣𝜑 − 𝑉(𝜑)] + ∫ 𝐿𝑀√−𝑔 𝑑4𝑥, (2.1)

ở đây L M là mật độ Lagrangian của vật chất thông thường

Lấy biến phân của tác dụng (2.1) theo các tensor metric g μν chúng ta thu được phương trình Einstein mở rộng có dạng

Cụ thể, ta tìm được (2.2) và (2.3) xuất phát từ (2.1) như sau:

Ta viết lại (2.1) dưới dạng

m

hay

  , mặt khác nếu coi số hạng L không chứa g thì số hạng thứ ba

cũng triệt tiêu Vậy ta còn

( ),2

2 2

g g

vì  là vô hướng nên đạo hàm hiệp biến cũng bằng đạo hàm thường, do đó,     ( )

2.2 PHƯƠNG TRÌNH CỦA LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR – VÔ

HƯỚNG

2.2.1 Các phương trình của vũ trụ tensor – vô hướng

Như ta đã biết metric vũ trụ Friedman- Lemaitre- Robertson- Walker (FLRW) là