Giúp các em học sinh ôn thi THPT QG có tài liệu, bài tập áp dụng để giải quyết các bài toán về nguyên hàm cơ bản. Trong tài liệu này, tôi đã trình bày chi tiết về lý thuyết, ví dụ và ra các bài tập tự luận và bài tập trắc nghiệm để củng cố. Lưu ý: Tài liệu này chỉ đến phần nội dung tìm nguyên hàm bằng các công thức cơ bản. Các nội dung về đổi biến, từng phần được trình bày ở những tài liệu khác.
Trang 1NGUYÊN HÀM
1.1 Nguyên hàm
Cho hàm số f (x) xác định trên K
mọi x ∈ K
Định lí 1 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)= F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K
Định lí 2 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì mọi nguyên hàm của f (x) trên K đều có
Z
1.2 Tính chất của nguyên hàm
• Tính chất 1:
ÅZ
ã0
• Tính chất 2:
Z
• Tính chất 3:
Z
Z g(x)dx
1.3 Sự tồn tại nguyên hàm
Định lí 3 Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
1.4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Z
Z
Z
Z
Z
Z 1
Z
Trang 22 Tìm nguyên hàm cơ bản
2.1 Hàm đa thức
Phương pháp:
• Sử dụng các tính chất của nguyên hàm để đưa về các nguyên hàm cơ bản
– Tính chất 2:
Z
Z
– Tính chất 3:
Z
Z g(x)dx
• Áp dụng các công thức nguyên hàm:
*
Z
Z
Z
α + 1xα+1.
Ví dụ 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
Giải
Trang 3
2.2 Hàm số mũ
Phương pháp
• Sử dụng công thức nguyên hàm
Z
Ví dụ 2 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
c) f (x)= ex +2− 23x+1
2x
Giải
Trang 4
2.3 Hàm số chứa căn thức
Phương pháp:
f(x)= f (x)1n
• Áp dụng công thức nguyên hàm
Z
Ví dụ 3 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
x − √3
x
c) f (x)= √31
x
√
x2
Giải
Trang 5
2.4 Hàm số lượng giác
Áp dụng các công thức nguyên hàm:
*
Z
*
Z
*
Z 1
*
Z 1
Ví dụ 4 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
x 2
sin2x
cos2x
Giải
Trang 6
2.5 Hàm số phân thức hữu tỉ
Để tìm nguyên hàm
Z P(x)
Z 1
• Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x), ta phân tích đa thức Q(x) thành nhân tử rồi áp dụng phương pháp đồng nhất thức
m
x − b
x − b
• Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x), ta sử dụng phương pháp chia hai đa thức
Ví dụ 5 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
x5
x2− x
Giải
Trang 7
2.6 Bài tập áp dụng
2.6.1 Bài tập tự luận
Câu 1 Tính các nguyên hàm sau:
a)
Z
b)
Z
c)
Z
d)
Z
e)
Z (2x − 1)2(1+ 2x)2
dx
f)
Z (2x − 1)3dx
Trang 8
Câu 2 Tính các nguyên hàm sau:
a)
Z
b)
Z
(sin x − cos x) dx
c)
1
ã dx
d)
ã dx
e)
Z
2 sin3x+ 5
f)
Z tan x+ sin2
Trang 9
Câu 3 Tính các nguyên hàm sau:
a)
ã dx
b)
x2 + √5
x7
ã dx
c)
Z
x3− 2x2+ 4
d)
Z
e)
x −2 x3dx
f)
Z
x2+ √3
Câu 4 Tính các nguyên hàm sau:
Trang 10Z
b)
Z
c)
Z 2
d)
Z
1
e)
Z
f)
Z
Trang 11
Câu 5 Tính các nguyên hàm sau:
a)
Z
1
√
b)
c)
Z
1
√
d)
Z
1
Trang 12
2.6.2 Bài tập trắc nghiệm
Câu 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
Z
Z
Z
Z
Z g(x)dx −
Z
f(x)dx
C.
Z
Z
Z
Câu 2 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.
Z
Z
f0(x)dx= f (x)
C.
Z
f (x) · g(x) dx= f (x) ·
Z
ÅZ
ã0
= f (x)
Câu 3 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.
Z
Z
x2dx= x3
Z
x2dx= x3
Z
Câu 4 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
Z
Z
C.
Z
1
Z
Câu 5 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
Z
Z
Z 1
Câu 6 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.
Z
1
Z
C.
Z
1
Z 1
Câu 7 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là sai?
A.
Z
Z
C.
Z
1
Z
Câu 8 Nguyên hàm của hàm số f (x)= x3
A.
Z
Z
C.
Z
Z
Câu 9 Nguyên hàm của hàm số f (x)= x(x − 1)2là:
A.
Z
Z
C.
Z
2x3
Z
Câu 10 Nguyên hàm của hàm số f (x)= x2− 1 −1
A.
Z
Z
C.
Z
Z
Trang 13Câu 11 Nguyên hàm của hàm số f (x)= 2x3− x2
A.
Z
x3
Z
x3
C.
Z
x3
Z
x3
Câu 12 Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f (x)= x2− 2x+ 1
x?
A F(x)= x3
C F(x)= x3
2+ ln |x| + x
Câu 13 Nguyên hàm của hàm số f (x)= (x2− 3x)(x+ 1) là:
A.
Z
3x2 2
ã
·Å x2
Z
C.
Z
2x3
3x2
Z
Câu 14 Nguyên hàm của hàm số f (x)= (x − 1)(x − 2)(x + 2) là:
A.
Z
x3
B.
Z
ã Å x2
ã + C
C.
Z
D.
Z
Câu 15 Nguyên hàm
Z
17
Câu 16 Nguyên hàm
Z
A − 5
7
29
12.
Câu 17 Nguyên hàm của hàm số f (x)= 2
x3 là:
A.
Z
Z
C.
Z
Z
− ln |x3|+ C
Câu 18 Nguyên hàm của hàm số f (x)= 1
x2 − x2− 1
A.
Z
Z
C.
Z
Z
Câu 19 Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)= 4x3− 3x2+ 2x − 2 thoả mãn F(1) = 9 là:
Trang 14Câu 20 Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)= 2x2+ x3− 4 thoả mãn F(0)= 3 là:
A F(x)= x4
Câu 21 Nguyên hàm của hàm số f (x)= 5x
là:
A.
Z
f(x)dx= 5x
Z
C.
Z
Z
Câu 22 Nguyên hàm của hàm số f (x)= 2 · 7x là:
A.
Z
f(x)dx= 2 · 7x
Z
f(x)dx= 2 · 7x
C.
Z
f(x)dx= 7x
Z
Câu 23 Nguyên hàm của hàm số f (x)= 10−xlà:
A.
Z
Z
C.
Z
Z
Câu 24 Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f (x)= 4x
A F(x)= 4x
ln 2 − 1. C F(x)= 4x+1
ln 4 + 2 D F(x)= 4x+ 1
Câu 25 Nguyên hàm của hàm số f (x)= ex− 3xlà:
A.
Z
Z
f(x)dx= ex
C.
Z
Z
f(x)dx= ex
Câu 26 Nguyên hàm của hàm số f (x)= 42xlà:
A.
Z
Z
C.
Z
Z
Câu 27 Nguyên hàm của hàm số f (x)= 32x−1là:
A.
Z
Z
C.
Z
Z
Câu 28 Nguyên hàm của hàm số f (x)= 3x+ 2xlà:
A.
Z
f(x)dx= 3x
ln 3+ 2x
Z
C.
Z
Z
Câu 29 Nguyên hàm của hàm số f (x)= 2x− 7x
A.
Z
B.
Z
5x(ln 2 − ln 5) −
7x
C.
Z
2x
7x
ln 7
5x
ln 5
+ C
Trang 15Z
5
ãx
Å 7 5
ãx
Câu 30 Nguyên hàm của hàm số f (x)= √x+ √1
A.
Z
Z
3
√
C.
Z
2
√
Z
3
√
Câu 31 Nguyên hàm của hàm số f (x)= √3
xlà:
A.
Z
3
3
√
Z
4
3
√
C.
Z
4
3
√
Z
3
3
√
Câu 32 Nguyên hàm của hàm số f (x)= √7
xlà:
A.
Z
8
8
√
Z
8
7 + C
C.
Z
8
Z
7
8 + C
Câu 33 Nguyên hàm của hàm số f (x)= √1
A.
Z
Z
C.
Z
Z
Câu 34 Nguyên hàm của hàm số f (x)= √43
A.
Z
5
4
√
Z
5
4
√
C.
Z
Z
f(x)dx= 4√4
x3+ C
Câu 35 Nguyên hàm của hàm số f (x)= √2
xlà:
A.
Z
4
3
√
Z
3
3
√
C.
Z
4
3
√
Z
4
3
√
x4+ C
Câu 36 Nguyên hàm của hàm số f (x)= √5
A.
Z
6
5
√
x6− 4√x+ x2
Z
5
6
√
C.
Z
6
5
√
x6− 2√x+ x2
Z
f(x)dx= √5
Câu 37 Nguyên hàm của hàm số f (x)= 3
cos2x là:
A.
Z
Z
C.
Z
Z
Câu 38 Nguyên hàm của hàm số f (x)= 2 − sin x là:
A.
Z
Z
Trang 16Z
Z
Câu 39 Nguyên hàm của hàm số f (x)= 2 cos2 x
A.
Z
Z
C.
Z
Z
Câu 40 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f0(x)= 3 − 5 cos x và f (0) = −5 Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 41 Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)= 2x − 3 cos x thoả mãn Fπ
A F(x)= x2− 3 sin x+ 3 −π2
4.
C F(x)= x2+ 3 sin x + 3 −π2
Câu 42 Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)= 3x2− 1
Câu 43 Nguyên hàm của hàm số f (x)= x3− 1
A.
Z
1
Z
C.
Z
Z
Câu 44 Nguyên hàm của hàm số f (x)= x −3
A.
Z
Z
x2
x2
+ C
C.
Z
Z
Câu 45 Nguyên hàm của hàm số f (x)=Å x2+ 1
x
ã2
là:
A.
Z
1
Z
C.
Z
3 ·
x
ã3
Z
x3
x2
2 + C
Câu 46 Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x)= 1
7
4.
Câu 47 Cho hàm số f (x)= 5+ 2x4
A.
Z
5
Z
Trang 17Z
Z
Câu 48 Nguyên hàm của hàm số f (x)= x2− x+ 1
A.
Z
Z
C.
Z
Z
Câu 49 Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)= 3x+ 4
A F(x)= ln |x|3− 4
C F(x)= 3 ln |x| + 4 ln x2+ 5 D F(x)= 3 ln |x| + 4 ln x2+ 1
Câu 50 Nguyên hàm của hàm số f (x)= x2− 5x+ 2
A.
Z
x3
5x2
x2
Z
C.
Z
Z
Trang 18Nguyên hàm của một số hàm phân thức hữu tỉ Câu 1 Tính các nguyên hàm sau:
a)
Z
b)
Z
c)
Z
d)
Z
Câu 2 Tính các nguyên hàm sau:
a)
Z
3
b)
Z
−4
c)
Z
d)
Z
Câu 3 Tính các nguyên hàm sau:
a)
Z
2
b)
Z
−5
c)
Z
3
d)
Z
−1
Câu 4 Tính các nguyên hàm sau:
a)
Z
b)
Z
2x − 1
c)
Z
3 − 4x
d)
Z
−x
Câu 5 Tính các nguyên hàm sau:
a)
Z
b)
Z
c)
Z
d)
Z
Trang 19ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM
1 C 2 D 3 B 4 B 5 D 6 D 7 C 8 C 9 C 10 A
11 B 12 D 13 C 14 A 15 D 16 A 17 C 18 A 19 D 20 A
21 D 22 A 23 B 24 C 25 A 26 C 27 D 28 B 29 B 30 B
31 C 32 B 33 A 34 D 35 C 36 A 37 B 38 C 39 D 40 B
41 A 42 B 43 C 44 C 45 A 46 B 47 A 48 C 49 B 50 D