Đây là tài liệu hay về môn học Giải tích 1, như chúng ta biết môn học này là một môn rất khó đối với đa số sinh viên, đây là một số bài làm khá phổ thông và chi tiết về các dạng toán trong chương đạo hàm và vi phânĐây là tài liệu hay về môn học Giải tích 1, như chúng ta biết môn học này là một môn rất khó đối với đa số sinh viên, đây là một số bài làm khá phổ thông và chi tiết về các dạng toán trong chương đạo hàm và vi phânĐây là tài liệu hay về môn học Giải tích 1, như chúng ta biết môn học này là một môn rất khó đối với đa số sinh viên, đây là một số bài làm khá phổ thông và chi tiết về các dạng toán trong chương đạo hàm và vi phânĐây là tài liệu hay về môn học Giải tích 1, như chúng ta biết môn học này là một môn rất khó đối với đa số sinh viên, đây là một số bài làm khá phổ thông và chi tiết về các dạng toán trong chương đạo hàm và vi phânĐây là tài liệu hay về môn học Giải tích 1, như chúng ta biết môn học này là một môn rất khó đối với đa số sinh viên, đây là một số bài làm khá phổ thông và chi tiết về các dạng toán trong chương đạo hàm và vi phân
Trang 1Bài tập chương 2
Ngày 15 tháng 3 năm 2022
1 Bài tập 1
Tìm đạo hàm của các hàm sau
(i) y =
−1 −csc θ
2 −θ
2
4
2
(ii) y = 2 tan2x − sec2x
(iii) s = cot3 2
t
(iv) s = csc5(1 − t + 3t2)
(v) r =√
2θ sin θ
(vi) r = 1 + sin θ
1 − cos θ
Lời giải:
(i)
y′= 2
−1 −csc θ
2 −θ
2
4
1
2csc θ cot θ −
1
2θ
(ii)
y′ = (2 tan2x)′− (sec2x)′ = 4 tan x sec2x − 2 sec x tan x
(iii)
s′= [cot3(2
t)]
′= 3 cot2(2
t)[cot(
2
t]
′ = 3 cot2(2
t)[
−1 sin(2
t)
]−2
t2 =
6 cot2(2
t) sin (2
t)
t2
Trang 2(iv) Trình bày vào đây.
(v)
r′= ( 2θ sin θ)
′
2√ 2θ sin θ) =
2 sin θ + 2θ cos θ
2√ 2θ sin θ =
sin θ + θ cos θ
√ 2θ sin θ (vi)
r′= (1 + sin θ)
′(1 − cos θ) − (1 + sin θ)(1 − cos θ)′ (1 − cos θ)2
= cos θ(1 − cos θ) − (1 + sin θ) sin θ
(1 − cos θ)2 =cos θ − sin θ − 1
(1 − cos θ)2
2 Bài tập 2
Tìm dy/dx
(i) x3+ 4xy − 3y4/3= 2x
(ii) √
xy = 1
(iii) y2=r 1 + x
1 − x.
Lời giải:
(i)
d
dx(x
3+ 4xy − 3y4) = d
dx2x
⇔ 3x2+ 4y + 4xdy
dx− 4y1dy
dx = 2
⇔ dy
dx(4x − 4y
1
) = 2 − 3x2− 4x
⇔ dy
dx =
2 − 3x2− 4y 4x − 4y1 (ii)
d dx
√
xy = d
dx1
⇔
y + xdy dx
2√
xy = 0
⇔ 1 2
r y
x+
1 2
r x y
dy
dx = 0
⇔ dy
dx = −
y x
Trang 3d
dxy
2= d dx
r 1 + x
1 − x
⇔ 2ydy
dx =
1
r 1 + x
1 − x(1 − x
2)
⇔ dy
dx =
1 2yr 1 + x
1 − x(1 − x)
2
3 Bài tập 3
Không giải phương trình Tìm d2y/dx2
(i) x3+ y3= 1
(ii) y2= 1 − 2
x.
Lời giải:
(i)
d
dx(x
3
+ y3) = d
dx = 1
⇔ 3x2+ 3y2dy
dx = 0
⇔ dy
dx = −
x2
y2
⇔ d
dx(
dy
dx) =
d
dx(−
x2
y2)
⇔ d
2y
dx2 =
2xy2+ 2yx2dy
dx
y4
=
−2xy2+ 2yx2(−x
2
y2)
y4 = −2x
y2 −2x
4
y5
Trang 4d
dxy
2= d
dx(1 −
2
x)
⇔ 2ydy
dx =
2
x2
⇔ dy
dx =
1
x2y d
dx(
dy
dx) =
d
dx(
1
x2y) =
−2(x2y)′ (xy)2
⇔ d
2y
dx2 = −
2(2xy + x2dy
dx)
x4y2 =
−4xy − 2x2dy
dx
x4y2 = −8x3y2− 4x2
4x6y3 = − 2
x3y − 1
x4y3
4 Bài tập 4
(i) Tìm giá trị của dy/dt tại t = 0 nếu y = 3 sin 2x và x = t2+ π
(ii) Tìm giá trị của ds/du tại u = 2 nếu s = t2+ 5t và t = (u2+ 2u)1/3
(iii) Tìm giá trị của dw/ds tại s = 0 nếu w = sin(√
r − 2) và r = 8 sin(s + π/6) (iv) Tìm giá trị của dr/dt tại t = 0 nếu r = (θ2+ 7)1/3 và θ2t + θ = 1
Lời giải:
(i)
y = 3 sin(2t2+ 2π)
y′= 3 cos(2t2+ 2π)4t
= 12t cos(2t2+ 2π)
t = 0 ⇒ y′= 0 (ii)
s = (u2+ 2u)2 + 5(u2+ 2u)1
s′ = 2
3(u
2+ 2u)−1 +5
3(u
2+ 2u)−2
(2u + 2)
u = 2 ⇒ s′ =9
2
Trang 5w = sin(
r
8 sin(s +π
6) − 2)
w′= cos(
r
8 sin(s +π
6) − 2)[
r
8 sin(s +π
6) − 2]
′
= cos(
r
8 sin(s +π
6 − 2)
4 cos(s +π
6) r
8 sin(s +π
6)
s = 0 ⇒ w′=√
3 (iv)
r = (θ2+ 7)1, t = 0, θ2t + θ = 1 ⇒ θ = 1, t = 1 − θ
θ2
dr
dθ =
1
3(θ
2+ 7)−22θ =1
6 dt
dθ =
1 − θ
θ2
= −1θ2− (1 − θ).2θ
θ4 = −1
⇒dr
dt = −
1 6
5 Bài tập 5
Nếu y3+ y = 2 cos x, tìm giá trị d2y/dx2 tại điểm (0, 1)
Lời giải:
d
dx(y
3+ y) = d
dx2 cos x
⇔ 3y2dy
dx +
dy
dx = −2 sin x
⇔ dy
dx =
−2 sin x 3y2+ 1
⇒ d
2y
dx2 = d dx
−2 sin x 3y2+ 1
⇔ d
2y
dx2 =
−2 cos x(3y2+ 1) + 2 sin x.6ydy
dx (3y2+ 1)2
Tại điểm (0, 1)
d2y
dx2 = −1
2
Trang 66 Bài tập 6
Hàm số
f (x) =
x, 0 ≤ x ≤ 1
2 − x, 1 < x ≤ 2 (i) có liên tục tại x = 1 không?
(ii) có khả vi tại x = 1 không?
Giải thích
Lời giải:
(i)
lim
x→1 +x = lim
x→1 +2 − x = 1 lim
x→1 −x = lim
x→1 −2 − x = 1
⇒ Hàm liên tục tại x = 1
(ii)
f′(x) = 1, 0 ≤ x ≤ 1
−1, 1 < x ≤ 2
Ta có
f′(1−) = 1
f′(1+) = −1
⇒ f′(1−) ̸= f′(1+)
⇒ Hàm f (x) không khả vi
7 Bài tập 7
Tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong x +√
xy = 6 tại điểm (4, 1)
Trang 7Lời giải:
x +√
xy = 6 ⇒ xy = (6 − x)2⇒ y =(6 − x)
2
x d
dx(x +
√ xy) = d
dx6
⇔ 1 +
y + xdy dx
2√
xy = 0
⇔ 1 +1 2
r y
x+
1 2
r x y
dy
dx = 0
⇔ dy
dx =
−1 −1 2
r y x 1 2
rx y
x = 4 ⇒ y(4) = 1, y′(4) = −5
4
⇒ ytt= 1 −5
4x + 5 = −
5
4x + 6
8 Bài tập 8
Tìm độ dốc của đường cong x3y3+ y2= x + y tại các điểm (1, 1) và (1, −1) Lời giải:
d
dx(x
3y3+ y2) = d
dx(x + y)
⇒ 3x2y3+ 3y2x3dy
dx + 2y
dy
dx = 1 +
dy dx
⇒ dy
dx(3y
2x3+ 2y − 1) = 1 − 3x2y3
⇒ dy
dx =
1 − 3x2y3
3y2x3+ 2y − 1 (1, 1) ⇒ dy
dx = −
1 2 (1, −1) ⇒ dy
dx = ∞
9 Bài tập 9
Nếu hai điện trở R1 và R2 (ohm) được mắc song song trong mạch điện để thành một điện trở tương đương R, giá trị của R được xác định từ phương trình
1
R =
1
R1
+ 1
R2
Trang 8Nếu R1 đang giảm với tốc độ 1 ohm/sec và R2 đang tăng với tốc độ 0.5 ohm/sec, tốc độ thay đổi của R như thế nào khi R1= 75 ohm và R2= 50 ohm? (Gợi ý: dR1/dt = −1 ohm/sec và dR2/dt = 0.5 ohm/sec, tìm dR/dt) Lời giải:
1
R =
1
R1+
1
R2 ⇒ R = R1R2
R1+ R2
dR1
dt = −1Ω/s,
dR2
dt = 0, 5Ω/s, R1= 75Ω, R2= 50Ω d
dtR =
d
dt
R1R2
R1+ R2
⇔dR
dt =
(dR1
dt R2+
dR2
dt R1)(R1+ R2) − R1R2(
dR1
dt +
dR2
dt ) (R1+ R2)2 = 0.02
10 Bài tập 10
Tọa độ của một hạt chuyển động trong mặt phẳng xy là các hàm khả vi theo thời gian t với dx/dt = 10 m/sec và dy/dt = 5 m/sec Tốc độ của hạt chuyển động ra xa gốc tọa độ khi nó đi qua điểm (3, −4) là bao nhiêu? (Gợi ý: tìm dD/dt với D2= x2+ y2 là bình phương khoảng cách từ gốc đến điểm (x, y)) Lời giải:
D2= x2+ y2,dx
dt = 10m/s,
dy
dt = 5m/s
Thay (1, −4) vào D2= x2+ y2⇒ D = 5
d
dt(D
2) = d
dt(x
2+ y2)
⇔ 2DdD
dt = 2x
dx
dt + 2y
dy dt
10dD
dt = 20x + 10y
⇒ dD
dt =
20x + 10y
10 = 2
11 Bài tập 11
(i) Chứng tỏ rằng hàm tuyến tính hóa của f (x) = (1 + x)k tại x = 0 là L(x) = 1 + kx
(ii) Sử dụng gần đúng tuyến tính (1 + x)k ≈ 1 + kx để tìm gần đúng hàm
f (x) =√3
4 + 3x cho các giá trị x gần không
Trang 9(iii) Sử dụng gần đúng (1 + x)k ≈ 1 + kx để ước lượng √3
1.009
(iv) Tìm hàm tuyến tính của f (x) =√
x + 1 + sin x tại x = 0
Lời giải:
(i)
f′(x) = k(1 + x)k−1
f′(0) = k Phương trình tiếp tuyến y = 1 + k(x − 0) = 1 + kx
(ii)
f (x) = (4 + 3x)1 = 41(1 + 3
4x)
1
Áp dụng
(1 + x)k≈ 1 + kx
⇒ (1 +3
4x)
1
= 1 + 1
4x
f (0) = 41
(iii) Trình bày vào đây
(iv) Trình bày vào đây
12 Bài tập 12
Hãy viết công thức để ước lượng sự thay đổi diện tích mặt xung quanh của một hình nón có độ cao thay đổi từ h0 đến h0+ dh và bán kính r không đổi (Gợi ý: S = πr√
r2+ h2)
Lời giải:
h = h0+ dh, r = const S(h0) = πrpr2+ h2
Trang 10Áp dụng công thức
f (a + dx) ≈ f (a) + dy
⇒ S(h0+ dh) ≈ S(h0) + dS
dS = S′(h0)dh = dr
dhπ(
q
r2+ h2) +
dr
dh2r + 2h0 2pr2+ h2
πr
dh
r = const ⇒ dr
dh = 0
⇒ dS = 2h0πr
2pr2+ h2dh = h0πr
pr2+ h2dh Công thức ước lượng sự thay đổi mặt xung quanh của một hình nón là
S(h0+ dh) = πr
q
r2+ h2+√πrh0
r2+ h2dh
13 Bài tập 13
Sử dụng công thức Leibniz để tính đạo hàm cấp 100 của hàm số (i) f (x) = (x + 1) sin x
(ii) g(x) = exsin x
(iii) h(x) = x ln x
Lời giải:
(i) Công thức Lebiniz
dn(u.v) =
n
X
k=0
n k
dn−kdkv
u = x + 1 ⇒
(
u′ = 1
u(n) = 0
v = sin x ⇒
v′(x) = x = sin(x +π
2)
v′′(x) = − sin x = sin(x + 2π
2)
v(n)x = sin(x + nπ
2)
⇒ f(100)x =
100
X
k=0
C100k uk(x)v(100−k)x
Trang 11= C100u(x)v + C100u(x)v x
= (x + 1) sin(x +100π
2 ) + 100 sin(x +
99π
2 )
= (x + 1) sin x − 100 cos x (ii) Công thức Lebiniz
dn(u.v) =
n
X
k=0
n k
dn−kdkv
u = ex⇒
(
u′ = ex
u(n) = ex
v = sin x ⇒
v′(x) = x = sin(x +π
2)
v′′(x) = − sin x = sin(x + 2π
2)
v(n)x = sin(x + nπ
2)
⇒ f(100)x =
100
X
k=0
C100k uk(x)v(100−k)x
= C1000 u(x)v(100)+ C1001 u′(x)v(99)x
= exsin(x +100π
2 ) + 100e
xsin(x +99π
2 )
= exsin x − 100excos x
(iii) Trình bày vào đây