(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng

(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng(Luận văn thạc sĩ) Một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TRẦN VIỆT CƯỜNG

Thái Nguyên - 2021

Danh sách hình vẽ

1.1 Hyperbol Kiepert 3

1.2 Điểm Fermat thứ nhất X13 và thứ hai X14 4

1.3 Điểm Miquel M 5

1.4 Định lý Naponeon gốc 7

1.5 Định lý Menelaus 8

1.6 Định lý Céva 9

1.7 Định lý Céva dạng Sin 11

1.8 Định lý Desargues 11

1.9 Điểm Miquel M 12

1.10 Tứ giác nội tiếp 13

1.11 Định lý Morley 13

2.1 CJ D là tam giác đều 16

2.2 Tổng quát của định lý Napoleon 17

2.3 Các điểm Fermat tạo thành tam giác đều 19

2.4 ∆M N O là tam giác đều 20

2.5 A0B0C0 và ABC thấu xạ 21

2.6 Tam giác M N P đều 23

2.7 Sáu điểm D, E, F, G, H, I nằm trên một đường tròn 24

2.8 Sáu điểm D, E, F, G, H, I nằm trên một đường tròn 26

2.9 A1B1C1 và tam giác Morley thấu xạ 27

2.10 A0B0C0 là tam giác đều 29

2.11 QL chia đôi AB 30

2.12 P A2+ P B2+ P C2 không phụ thuộc vị trí của P 31

2.13 P A2+ P B2+ P C2, P A4+ P B4+ P C4 không phụ thuộc vị tríP 32

2.14 M A = M T 35

AB k CD Đường thẳng AB song song với CD

AB ⊥ CD Đường thẳng AB vuông góc với CD

4ABC ∼ 4DEF Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF [

(AB, CD) Góc giữa hai đường thẳng AB và CD

(c.g.c) Dấu hiệu đồng dạng cạnh, góc, cạnh

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, ngoài sự nỗ lực họchỏi của bản thân, em luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình củaPGS TS Trần Việt Cường, Giảng viên Trường Đại học Sư phạm, Đại học TháiNguyên Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lờitri ân nhất của em đối với những điều thầy đã dành cho em

Em xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo, Khoa Toán Tin, quý thầy côgiảng dạy lớp Cao học K12A5 (2018 - 2020) Trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạođiều kiện cho em hoàn thành khóa học

Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Trung học phổ thông Ngân Sơn, huyệnNgân Sơn, tỉnh Bắc Kạn đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập.Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp,những người đã động viên, hỗ trợ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện luận văn

Xin trân trọng cảm ơn

Thái Nguyên, tháng 01 năm 2021

Tác giả luận văn

Trần Thị Huệ

Mở đầu

1 Mục đích của đề tài luận văn

Trong chương trình Hình học ở bậc trung học, tam giác có vai trò vô cùngquan trọng Việc chứng minh các tính chất hình học, giải các bài toán hình họcđòi hỏi người làm toán phải vận dụng các tính chất của tam giác một cách linhhoạt Tam giác đều luôn ẩn chứa các tính chất thú vị, là chủ đề được quan tâmbởi những người yêu thích hình học phẳng Có nhiều kết quả từ chủ đề nàynhư: định lý Napoleon là định lý cổ điển nổi tiếng trong hình học phẳng, định

lý Kiepert, định lý Jacobi, định lý Petr Doumund Neuman, định lý Barlotti Những định lý này cũng đang tiếp tục truyền cảm hứng sáng tạo chocác nhà Toán học và những người yêu thích môn Toán

Napoleon-Có một số tam giác đều cổ điển đối với một số tam giác như các tam giác đềuNapoleon và các điểm Napoleon, các tam giác đều Morley và các điểm Morley,tam giác đều với điểm Fermat Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm tổnghợp một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng

2 Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết

Tam giác đều là những vấn đề lý thú trong hình học phẳng với những kếtquả đẹp Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về các kết quả mới phát hiệngần đây của tam giác đều tôi đã lựa chọn đề tài “Một số kết quả mới về tam giácđều trong hình học phẳng” dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Việt Cường.Nội dung của đề tài luận văn được viết trong 2 chương:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, ngoài trình bày các kiến thức chuẩn bị có liên quan đến

đề tài Các nội dung trên được tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu

1.1 Một số điểm đặc biệt trong tam giác

1.2 Một số định lý cơ bản trong tam giác

Chương 2 Một số định lý cơ bản trong tam giác

2.1 Chuỗi sáu tam giác đều

2.2 Tam giác đều với hình thang cân gắn với cạnh của tam giác

2.3 Tam giác đều với điểm Fermat

2.4 Tam giác đều với cấu hình L.Bankoff, P.Erds và M.Klamkin

2.5 Tam giác đều với một số bộ đường tròn

2.6 Một số bài toán khác có liên quan đến tam giác đều

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số điểm đặc biệt trong tam giác

1.1.1 Đường hyperbol Kiepert

Đường hyperbol Kiepert là một đường hyperbol chữ nhật đặc biệt trongtam giác Đường hyperbol Kiepert là quỹ tích các điểm đồng quy trong định

lý Kiepert Đường hyperbol Kiepert đi qua các điểm sau: trọng tâm, trực tâm,Spieker tâm (tâm đường tròn nội tiếp tam giác trung bình), hai điểm Fermat,hai điểm Napoleon, hai điểm Vecten, điểm Tarry, điểm Brocard, liên hợp đẳnggiác của trung điểm Brocard

Hình 1.1: Hyperbol Kiepert

Đường hyperbol Kiepert là liên hợp đẳng giác của trục Brocard Tâm đường

hyperbol Kiepert được đặt tên là X 115 trong bách khoa toàn thư về các tâm củatam giác

1.1.2 Điểm Fermat thứ nhất, thứ hai

Hai điểm Fermat của tam giác ABC được ký hiệu làX13 và X14 Trong hìnhhọc phẳng, điểm Fermat của một tam giác, cũng được gọi là điểm Torricelli hoặcđiểm Fermat-Torricelli, là một điểm sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đếncác đỉnh của tam giác là bé nhất

Hình 1.2: Điểm Fermat thứ nhất X13 và thứ hai X14

Định lý 1.1.1 Cho tam giác ABC với F là điểm Fermat thứ nhất (hoặc thứhai), lấy K là điểm tùy ý trên hyperbol Kiepert Gọi P là điểm bất kỳ nằm trênđường thẳng F K Khi đó, AK cắt đường thẳng qua P và vuông góc BC tại A0.Định nghĩa B0, C0 tương tự Khi đó, tam giác A0B0C0 là tam giác đều

Chú ý rằng điểm Fermat thứ nhất, tâm đường tròn ngoại tiếp, điểm thẳng hàng; điểm Fermat thứ hai, tâm đường tròn ngoại tiếp, điểm Napoleonthứ hai là thẳng hàng, vì vậy nếu K là điểm Napoleon thứ nhất (hoặc thứ hai),

Napoleon-P là tâm đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đều A0B0C0 trong Định lý 1.1.1 làtam giác Napoleon bên ngoài (hoặc bên trong)

1.1.3 Tam giác thấu xạ

Tam giác ABC và tam giác A0B0C0 thỏa mãn AA0, BB0, CC0 cùng đi qua mộtđiểm (hay còn gọi là đồng quy) gọi là hai tam giác thấu xạ

1.1.4 Điểm Napoleon thứ nhất (hoặc thứ hai)

Hai tam giác Napoleon trong và ngoài của tam giác ABC thấu xạ với tamgiác ABC tại hai điểm gọi là điểm Napoleon thứ nhất và thứ hai của tam giác

1.1.6 Hai tam giác cùng hướng

Hai tam giác ABC, A 0 B 0 C 0 được gọi là cùng hướng nếu các hướng của gócđịnh hướng giữa hai tia tương thích với chúng bằng nhau

Để biểu thị hai tam giác ABC, A 0 B 0 C 0 cùng hướng, ta viết ∆ABC ↑↑ ∆A 0 B 0 C 0

1.1.7 Phép đồng dạng

Trong mặt phẳng, phép biến hình biến hai điểm A, B bất kỳ lần lượt thành

A0, B0 sao cho A0B0= kAB với k > 0 được gọi là phép đồng dạng tỉ số k

1.1.8 Số phức

Mỗi biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực, i2 = −1 được gọi làmột số phức Ta nói a là phần thực, b là phần ảo, số i là đơn vị ảo

Tập hợp các số phức ký hiệu là C

1.1.9 Căn nguyên thủy bậc n của đơn vị

Định nghĩa 1.1.3 Cho ε ∈ C và n ∈ N∗ Khi đó ε được gọi là một căn bậc n

của đơn vị nếu εn = 1

Định nghĩa 1.1.4 Cho n là một số nguyên dương và ε là một căn bậc n củađơn vị Khi đó ε được gọi là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị nếu ε không làcăn bậc nhỏ hơn n của đơn vị

1.2 Một số định lý cơ bản trong tam giác

1.2.1 Định lý Napoleon

Định lý 1.2.1 (Định lý Napoleon gốc) Liền kề bên ngoài tam giác ABC, vẽ

ba tam giác đều có độ dài cạnh lần lượt là ba cạnh AB, BC và CA của tam giác

ABC Khi đó, tâm O 1 , O 2 , O 3 của ba tam giác đều là ba đỉnh của một tam giácđều

Chứng minh Vẽ đường tròn tâm O2 và O3 ngoại tiếp các tam giác CAE và ABF

cắt nhau tại điểm thứ hai là M Khi đó, ta có \AM B = AM C = 120\ ◦ Suy ra

Định lý 2.5.2 ([1]) Cho tam giác ABC, điểm P nằm trong tam giác Ba đườngthẳng P A, P B, P C cắt ba đường tròn(BCP ), (CAP ), (ABP ) lần lượt tại A0, B0, C0.Lấy các điểm F, I trên cạnh BC, lấy H, E trên cạnh CA, lấy D, G trên cạnh AB

sao cho DE, EF, F G, GH, HI lần lượt song song với C0A, CA0, A0B, AB0, B0C Khi

đó, sáu điểm D, E, F, G, H, I nằm trên một đường tròn và ID song song với BC0.Định lý 2.5.3 ([1]) Cho tam giác ABC với các góc A, B, C Trên cạnh AB lấyđiểm D và G, trên cạnh BC lấy điểm I và F, trên cạnh CA lấy điểm E và H

3 ∆A1B1C1 và tam giác Morley là thấu xạ

Hình 2.9: A 1 B1C1 và tam giác Morley thấu xạ

A =



0 + 23

b

b

B +



0 + 23

b

B + 0 · C.b

Đây là một trường hợp của Định lý 2.5.1 với k = 0, l = 2/3 Do đó, sáu điểm

D, E, F, G, H, I nằm trên một đường tròn và [DIB = 2Ab

Do đó, tam giác A1B1C1 đều Áp dụng định lý Pascal cho lục giác DEF GHI,

ta có DE, IH, F G cắt IF, GD, EH tại ba điểm thẳng hàng Áp dụng định lýDesargues, ta có tam giác A1B1C1 và ABC đồng dạng

3 Xét tam giác Morley MaMbMc của ∆ABC ta có

(MbMc, AB) = −1

3

b

A − Bb



+π3

= (DE, AB)

Vì thế B1C1 k MbMc Tương tự, ta có

C 1 A 1 k M c M a và A 1 B 1 k M a Mb.

Vậy tam giác A1B1C1 đồng dạng với tam giác Morley

Hình 2.10: A0B0C0 là tam giác đều

Định lý 2.5.4 ([1]) Gọi A0, B0, C0 là trung điểm của các cung DE, F H, HI của

(ω) sao cho A0, B0, C0 nằm trên nửa mặt phẳng xác định bởi DE, F G, HI khôngchứa (hoặc chứa) lần lượt các điểm A1, B1, C1 Khi đó:

1 A0B0C0 là tam giác đều

2 Hai tam giác A0B0C0 và ABC đồng dạng (xem Hình 2.10)

2.6 Một số bài toán khác liên quan đến tam giác

đều

Bài toán 2.6.1 (Tạp chí Toán học Pêru) Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O),

P đối xứng C qua B, P Q, P L các tiếp tuyến đến (O) Chứng minh rằng QL chiađôi AB

Hình 2.12: P A 2 + P B 2 + P C 2 không phụ thuộc vị trí của P

Chứng minh Do P là điểm trên cung BC nên ABP C là tứ giác nội tiếp Ápdụng định lý Ptolemy, ta có

AP · BC = AB · P C + AC · P B.

Vậy P A2+ P B2+ P C2 không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

Bài toán 2.6.3 Cho tam giác ABC đều cạnh a, nội tiếp đường tròn tâm O P

là một điểm thuộc cung nhỏ BC không chứa A

a) Chứng minh rằng P A = P B + P C

b) Chứng minh rằng tổng P A2+ P B2+ P C2 không đổi

c) Chứng minh rằng tổng P A4+ P B4+ P C4 không đổi

d) Chứng minh rằng thương P A

4 + P B4+ P C4

P A 2 + P B 2 + P C 2 không đổi

Hình 2.13: P A 2 + P B 2 + P C 2 , P A 4 + P B 4 + P C 4 không phụ thuộc vị trí P

Chứng minh a) Trên đoạn AP lấy điểm D sao cho P D = P B

Do [AP B = ACB = 60[ ◦ và P B = P D, suy ra tam giác BP D đều

Vậy AP4+ BP4+ CP4 luôn có giá trị không đổi khi P di chuyển

d) Sử dụng các kết quả đã chứng minh trong các câu trên, ta có

Bài toán 2.6.4 Cho tam giác ABC đều nội tiếp trong đường tròn tâm O M

là một điểm thuộc AC sao cho AM = 2M C, N là trung điểm AB Tia M N cắt

(O) tại P Chứng minh rằng

Gọi O, O0 là tâm của 4T BC và 4T EF Ta có

Hơn nữa, IQ cắt KN tại trung điểm H nên IKQN là hình bình hành Do đó

IK k QN, IN k QK, suy ra IK, IM vuông góc với BF, CE tức là

M là trực tâm tam giác IKN (2.3)

Hơn nữa, OO0k U V và U KV N là hình thoi nên U V vuông góc KN, tức là

Từ (2.2), (2.3) và (2.4) suy ra O, I, O0, M thẳng hàng Mặt khác, OO0 là trungtrực của T A nên suy ra M A = M T

Kết luận

Luận văn đã giải quyết những vấn đề sau:

1 Trình bày một số kiến thức chuẩn bị như các điểm Fermat thứ nhất, thứhai, điểm Napoleon, điểm Miquel

2 Trình bày một số định lý cơ bản trong tam giác liên quan như các định lýNapoleon, định lý Miquel, định lý Ptolemy, định lý Céva, định lý Menelaus,định lý Desargues

3 Tổng hợp một số kết quả mới về tam giác đều trong hình học phẳng, baogồm các kết quả về chuỗi sau tam giác đều, tam giác đều kết hợp vớihình thang cân gắn với các cạnh của một tam giác, tam giác đều với điểmFermat, tam giác đều với cấu hình L Bankoff, P Erds và M Klamkin, tamgiác đều với một số bộ đường tròn

4 Giải một số bài toán liên quan đến tam giác đều

Tài liệu tham khảo

[1] T O Dao (2018), “Some new equilateral triangles in a plane geometry”,Global journal of advanced research on classical and modern geometries,Vol 7, issue 2, pp.73–91

[2] T O Dao (2017), Advanced Plane Geometry, Message 4279, December 22,2017

[3] F van Lamoen, “Online catalogue of Archimedean circles”, available athttp://home.wxs.nl/~lamoen/wiskunde/Arbelos/10Schoch.htm

[4] P Yiu (1998), Euclidean Geometry, Department of mathematics FloridaAtlatic University, Chapter 1, Chapter 6