BAT PHUONG TRINH CHUA CAN.. KIEN THUC CAN NHO... BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ.
Trang 1E BAT PHUONG TRINH CHUA CAN
I KIEN THUC CAN NHO
1 Dang co ban:
Malia |e
<B A>0
VA <VBO/B>0
A<B
`" |
B<0 SA <ÄJBSA<B
2 Các dạng khác:
Đặt điều kiện, nâng cả 2 vế lên luỹ thừa tương ứng để khử
căn lưu ý điều kiện khi lũy thừa bậc chẵn
Đặt ẩn phụ
Cân nhớ:
+ Nếu a>0 và b>0O, ta có: a>boa’*>b’
B>0
A>B*
+ Với mọi a,beR, ta có: a>boa>b?
Il CAC VI DU
Vi du 1:
Giải bất phương trình: Vx? —3x+2 +Ajx? -4x+3>3Nx?—5x+4
(ĐH Quốc Gia TPHCM năm 1997)
Giải
Điều kiện 4x” -4x+3>0«{©©jx<l vx>3 ©x<4 vx>4()
x* —5x+42>0 x<l vx>»4
*xX>4: Ta có: A|x?—3x+2 +Alx?—4x+3 >2A|x2—5x+4 (2)
158
©(x-1)(x—2) +4/(x—1)(x—3) >2A/(x—1)&—4) Œ9
©wx-2+Xxx-3>24x-4_ @) (chia 2 vế cho /@x—l >0)
vì
>4—>x-2>x-4>0<©x4x-2>xx-4
—=x>4 là nghiệm của (3) > x >4 1a nghiém cia (2)
* x = 1: (2) thỏa
*x <1: (*) OV2-x4+v3-x 22V4-x (4) (chia 2 vế (*) cho V@I—x >0)
Với x<l—
0<2-x<4-x=x2-x<x4-x 0<3-x<4-x=x3-x<x4-x
= (4) không thỏa = (2) không thỏa
Tóm lại, nghiệm của bất phương trình cho là: x>4 x=l
Vi du 2:
Tim a dé bat phương trình : Vx -Vx-1>a 6 nghiệm với a là tham
số dương
_= +43-x<244-x
(ĐH Y DƯỢC TPHCM năm 1996)
Giải
` >0 'x-Nx-1>a Điều kiện * ©x>l
x-l>0 pat y=Vx -Vx-1 > y'- —_~-_1_ <0, Vx >1
2Vx 2Ax-—I
BBT:
1
159
Trang 2Dựa vào BBT để bất phương trình: Vx —-Vx-1>a c6 nghiệm
©0<a<l
Vi du 3:
Giai bat phuong trinh: (x —3)V¥x? +4 <x’ -9
†(ĐÐĐH DÂN LẬP VĂN LANG năm 1997)
Giải
Ta có: (x-3)\jx2+4 <x?—9 ©(x-3Nx?+4<(x-3)(x+3) (I)
TH: x-3>0©>x>3:()©x?+4<x+3
x7 4+4<x7 46x49 @x2-2 (2)
Kết hợp với x>3 ta được: x>3
TH2: x-3<50@x<3_ (3)
(I) ovx24+4>x43 (4)
.Nếu x+3<0€©x<-3 thì (4)thổa Vx <-3 (5)
.Nếu x+3>0«©>x>-3 thì (4) SX) 43x” +6x+9x<~Š (6)
5
3< <-—
=> <x< 6 (7)
5
6) và (6) => X<—=
Tóm lại, nghiệm của bất phương trình là: x < _ x>3
Vi du 4:
Giải bất phương trình:
Jx-3-Nx-l<Ax-2 (1)
(Trường TH Kỹ Thuật Y Tế 3 năm 1997)
Giải x-320
Điều kiện x-l>0 <>x>3
x-2>0
()©=x-3<wx-1l+Xx-2
160
©x-3<x-l+x-2+24(x-l)(x—2)
© -x<24(x-l)(x—2) (2) (2) thỏa với x>3
Vậy nghiệm bất phương trình là x >3
Ví dụ 5:
Cho bất phương trình: (x? +1)? +m<xvx? 4244
1 Giải bất phương trình trên khi m = 3
2 Xác định tham số m để bất phương trình đã cho được thỏa với mọi x trên đoạn [0.1]
(ĐH Quốc Gia TPHCM năm 1997 đợt 3, Khối A)
Giải
1 (x7+1+m<x\x?+2+4 (*) Với m=3: (*)©(x?+1®+3<x\x?+2+4
> xt 42x? <xyx? 42 (**)
.x<0: (**) không thỏa => bat phuong trình VN
.X=0: (**) thỏa
.X>0: (##) > x(x? +2) <Vx?2 42
& x7 (x? $2) < x7 42 x?(x? +2) <1
a> xt 42x? -1<0S0<x? <V2-100<x<yv2-1
Vay nghiém: O<x< 2-1
2 Xác định m để bất phương trình cho thỏa Vxe [0,1]
(9) ©m<-(x2 +1? +xA|x2+2+4
cm<-x!~2x2 +xA|x2+2 +3
©m<-x?(2+2)+x\|x?+2+3 (#*)
pat t-xvx242 vdi 0<x<1>0<t<v3
(**) > m<-t? +t+3 (5)
161
Trang 3BBT:
13
3
(*) đúng Vx e[0,1] thì Œ*##*) đứng vte| 0,v3 | om<
II BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
4.1 Cho bất phương trình: mx—+x/x—- 3 <m +1
1 Giải bất phương trình với m = 1
2 Với giá trị nào của mì thì bất phương trình có nghiệm
(ĐH HÙNG VƯƠNG KHỐI A năm 1999)
4.2 Giải bất phương trình: x(x—4)N—x? +4x +(x—2)”<2
(ĐH Quốc Gia TPHCM năm 1999 Đợt 1 Khối D)
4.3 Định m để bất phương trình: V2x* +1<m—xc6 nghiém (1)
4.4 Định m dé bat phuong trinh: —4./(4 —x)(2+x) < x? -2x+m-18
nghiệm đúng với mọi xe [-2.4]
4.5 Giải bất phương trình: Vx +2 —V3-x <V5—2x
(ĐH THỦY LỢI năm 2001)
4.6 Giải bất phương trình: Ix + + + [x — + > 2
(ĐH AN GIANG - KHỐI A năm 2001)
4.7 Giải bất phương trình: Vx +3 >V2x -8 +V7-x
(ĐH Ngoại Thương Khối A năm 2001)
162
HUONG DAN VA GIAL TOM TAT
4.1
1 mx-V¥x-3<m+l1 (1) Véim=1: I) @x-vx-3 <2
~2<Jx- 2 <
=) 2<4x veal 5x+7<0 x>3 x>3
VN
2 )omx-m-1<Vx-3
Dat y=f(x)=mx-m-1
là đường thang (A) quay quanh
diém I (1, -1)
Vẽ đồ thị hàm
y=xx-3
x=3>y=0
x=4—y=l
x=7>y=2
— đồ thị (C) của y=xx—3 như hình vẽ
Khi đường thẳng (A): y = mx - m - 1 tiếp xúc với đồ thị (C) phương trình hoành độ giao điểm của (A) và (C)
x>3 mx—-m_—l=xx-3 =|
(mx—m—1)Z =X-3
x>3
m x” -(2m” +2m +1)x+m” +2m+4=0
A =(2m” +2m +1)" -4m (m7 +2m +4)
=8m” -4m —]
wi
Khi(A) tiếp xúc với (C) © A=0<>m Sm > 0)
1+V3
= hé số góc của (A¡) tiếp xúc với (C) là m= PIN
163
Trang 4
=> Phương trình có nghiệm <> m > a
4.2 x(x —4)V¥—x? 44x +(x—2)? <2 (1) Điểu kiện 4.4 Đặt t=./(4—x)(2+x) =V—-x? 42x48
x
()©-t-t+4<2<t?+t-2>0 BBT:
4
©x?-4x+l<0<2-43<x<2+x3 -2 1
Đặt f(x)=W2x“ +l+x, xeR, f(x)=—-————+tlI=——=——-
V2x2 +1 V2x? +1 Phương trình cho ©f()=tÝ-4t+I0<m
BBT:
=
2x7 4+1=4x? x._2
V2) v2
6
lim, _, f(x) = lim, _ „ (V2x? +1+x)=lim,.,,, (V2 |x| +x)
=> m > max f(£) =10
lim, _ „ f(x) =lim,_ „(\2 +1)x = +00
Vxe K VỚI 2 <x< 2 : Hai về của (*) đều không âm, nên bình
phương 2 vế:
Trang 5Ax? —12x +9 <2x? —11x +15 2x? -K-6<0 <x <2
-2<x<—
A«: ĐÁ: gỗ + 3 5
Vậy bất đăng thức cho <> 2*X*? ©-2<x<2
——<X<2
a oA 1 xe]
4.6 Điều kiện x-— 20 5 >O<c=x>l
Bất đẳng thức ©\xŸ +1 +Xx”—1>2
©xÌ+I+xÌ—1+2N\x”-1>4<©>wdx”-I>2-xÌ (®) Bất đẳng thức (*) đúng Vx>3/2 (1)
với I<x<Ÿ2 thì (*) ©xŠ—I>4—4x3+ x6
¬— (2)
ava @ 5x» Š
AT Jx+3 >V2x-84+V7-x (1) Điểu kiện 4<x<7 (*) ()©x+3>(\2x-8§+47-x}
©x+3>x-l+2v(2x-8)(7-x)
©2>4/2x-8)-—x)
©4>(2x-8)(7—x)
& x? -11x+3020Ox<5vx2>6 (#*)
(*) và (**) >4<x<5v6<x<7
166
