Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết

Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết Bộ tài liệu ôn tập trắc nghiệm môn giải tích II BKHN có đáp án và lời giải chi tiết

BÁCH KHOA ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI

GIẢI TÍCH II

Hà N ội, tháng 9 năm 2021

MỤC L C Ụ

LỜI NÓI ĐẦU

Hiện nay, với hình thức thi đổi m i t thi t ớ ừ ự luận sang thi tr c nghi m, chinh ắ ệ

vì v y nhi u bậ ề ạn sinh viên s g p khó ẽ ặ khăn trong việc ôn tập Trong tinh hình đó, nhôm “BK – Đại cương môn phai” đã biên soạn “BỘ TÀI LIỆU ÔN T P TRẬ ẮC NGHIỆM MÔN GIẢI TÍCH II” để giúp các bạn thuận tiện hơn trong việc ôn tập Nhóm tác gi : Team Gi i Tích II BK- ả ả Đại cương môn phái

(Đỗ Tuấn Cường, Đinh Tiến Long, Phạm Thanh Tùng, Trần Trung Dũng, Đỗ Ngọc Hiếu, Nguy n Thu Hi n, Nguy n Minh Hiễ ề ễ ếu)

Chịu trách nhi m nệ ội dung: Ph m Thanh Tùng ạ

Do quá trình so n b tài li u gạ ộ ệ ấp rút cùng v i nh ng h n ch ớ ữ ạ ế nhất định v ềkiến thức, dù đã cố gắng hết sức nhưng chắc chắn không th tránh kh i nh ng sai ể ỏ ữsót v tính toán, lề ỗi đánh máy, mọi ý ki n góp ý c a bế ủ ạn đọc xin gửi qua đường link fb “fb.com/tungg810” hoặc email tungcrossroad@gmail.com

Tài li u ch mang tính ch t tham kh o, không có tác d ng thay th các giáo ệ ỉ ấ ả ụ ếtrình, sách gi khoa chính tháo ống Xin chân thành cảm ơn!

I Bài t p tr c nghi m Tích phân Euler ậ ắ ệ

Câu 9: Biểu di n tích phân ễ 3 3

II Bài t p tr c nghi ậ ắ ệm Tích phân đường

1 Tích phân đường loại I:

Câu 24: Tính + +x y dx) + − +( xy e−y− +x sin )y dyvới 𝐿là đường

𝑥2+ 𝑦 = 2𝑥2 theo chiều dương

A. {𝑎 = 1𝑏 = 0 B.{𝑎 = 0𝑏 = 1 C {𝑎 = 0𝑏 = 0 D.{𝑎 = 1𝑏 = 1

Câu 32: Tìm hằng s ố𝑎, 𝑏 để biểu thức [𝑦2+ 𝑎𝑥𝑦 + 𝑦 sin(𝑥𝑦)]𝑑𝑥 + [𝑥2+ 𝑏𝑥𝑦 +

𝑥 sin(𝑥𝑦)]𝑑𝑦 là vi ph n toàn ph n c a mầ ầ ủ ột hàm s ố𝑢(𝑥, 𝑦)nào đó

+ với 𝐶 là biên c a hình ủphẳng 𝐷: 𝑥 + 𝑦 ≤ 92 2 , theo chiều dương, bạn 𝐴 l p luậ ận “Ta đặt 22x 52y

Q −P= , 𝐶là đường cong kín, chiều dương, giớ ại h n miền 𝐷 nên

𝐼 = 0” Hỏi bạn 𝐴 làm vậy có đúng không? Nếu sai, thì sửa lại đáp án chính xác

các đường 𝑦 = 𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 1,2 chiều dương

3 ng d ng c Ứ ụ ủa tích phân đường

Câu 41: Tính di n tích c a miệ ủ ền D giớ ại h n bởi 𝐿: { 𝑥 = 2(𝑡 − sin 𝑡)𝑦 = 2 1 − cos 𝑡( ) với trục 𝑂𝑥 biế ằt r ng 𝑡 đi từ2𝜋 dến 0

A. 13𝜋 (đvdt) B.12𝜋 (đvdt) C.11𝜋 (đvdt) D 10𝜋 (đvdt)

Câu 42: Tính công c a lủ ực 𝐹 = (𝑥 + 2𝑦 𝑖 + 3𝑥 + 4𝑦 𝑗) ( ) làm d ch chuy n mị ể ột chất điểm t ừ𝐴(1,3) đến 𝐵( )2,4 dọc theo đoạn thẳng 𝐴𝐵 (đvc: đơn vị công)

Câu 43: Tính khối lượng của đường cong v t ch t ậ ấ 𝐿 có phương trình {0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋/2𝑦 = sin 𝑡𝑥 = cos 𝑡biết hàm mật độ là 𝑝(𝑥, 𝑦 = 𝑦)

III Bài t p tr c nghi m Tích phân m t ậ ắ ệ ặ

miền 𝑉: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0 hướng ra ngoài Tìm khẳng định đúng

Câu 65: Biết

S

a b

xdydz zdxdy + = 

 với 𝑆 là ph n trên c a m t nón ầ ủ ặ có phương

trình 𝑧 = −√𝑥2+ 𝑦2 , −1 ≤ 𝑧 ≤ 0 khi nhìn t chiừ ều dương trục 𝑂𝑧 Tính 2𝑎 + 𝑏

Câu 66: Tính +zdz dọc theo đường tròn 𝐶: 𝑥 + 𝑦 = 1,𝑧 = 02 2

chiều dương giới hạn mặt cầu 𝑧 = 1 − 𝑥 − 𝑦√ 2 2

xydydz+yzdzdx zxdxdy+

 biết 𝑆là m t ngoài c a t ặ ủ ứ diện𝑂𝐴𝐵𝐶với𝑂(0,0,0 , 𝐴 1,0,0 , 𝐵 0,1,0 , 𝐶 0,0,1) ( ) ( ) ( )

IV.Bài t p tr ậ ắc nghi m Lý thuy ệ ết trường

1 Trường vô hướng:

Câu 78: Tính đạo hàm theo hướng 𝑙 = (1,2, −2) của 𝑢 = 𝑒𝑥(𝑦2+ 𝑧 − 2) 𝑥𝑦𝑧3 tại 𝐴(0,1,2)

Câu 83: Theo hướng nào thì s ự biến thiên c a hàm ủ 𝑢 = 𝑥 sin 𝑧 − 𝑦 cos 𝑧 t i g c tạ ố ọa

độ là lớn nhất

A 𝑙 = (0,1,0) B.𝑙=(0, −1,0) C 𝑙 = (0, −2,0) D 𝑙 = (0, −3,0)

Câu 84: Cho điểm 𝐴(2, −1,0 , 𝐵 1,1,3) ( ) Tính đạo hàm của hàm 𝑢 = 𝑥 + 3𝑦 +3 2

𝑒𝑧+ 𝑥𝑦𝑧2 tại điểm 𝐴 theo hướng 𝐴𝐵󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍

Câu 90: Biết 𝐹 = (3𝑥2+ 𝑦𝑧)𝑖 + 6𝑦( 2+ 𝑥𝑧)𝑗 +(𝑧2+ 𝑥𝑦+ 𝑒𝑧)𝑘󰇍là trường th , tìm ếhàm th v ế ị

Câu 99: Tính lưu số của 𝐹 = (𝑦2+ 𝑧2)𝑖+(𝑥2+ 𝑧2)𝑗+(𝑥2+ 𝑦2)𝑘󰇍 dọc theo đường cong 𝐶 trong đó 𝐶 là giao c a m t củ ặ ầu 𝑥2+ 𝑦 + 𝑧 = 42 2 và mặt nón có phương trình 𝑧 = −√𝑥2+ (𝑦 − 1)2 với hướng cùng chiều kim đồng h khi nhìn t g c O ồ ừ ố

Câu 100: Tính thông lượng của 𝐹 = (6𝑧 − 2𝑦 )𝑖 + 2𝑥 − 3𝑧 𝑗 + 2𝑦 − 4𝑥 𝑘3 ( ) ( 3 )󰇍 qua mặt cong 2𝑆: 𝑥2+ 𝑦 + 3𝑧 = 1, 𝑧 ≥ 04 2 hướng lên trên

V L ời giải tham khả o

=12 𝐵 (72 ,52) =2 1 Γ (72).Γ(52)

Giải:

3 6 3

u

x u

u x

=(ln 3)2−7/2 ∫ 𝑢2−17 𝑒−𝑢𝑑𝑢

𝜋 2 0

=30 ∫ 𝑢1 30−11 (1 − 𝑢)2930−1𝑑𝑢

1 0

=30 𝐵 (1 30 ,1 2930) =301 𝜋

sin ( 𝜋30)

Câu 7: Tính tích phân

10 1 0

−𝜋 4

=12 ∫ √1 + 4𝑢𝑑𝑢

1 0

0 ≤ 𝑥 ≤ 4Phương trình𝐵𝐶 {𝑥 = 4 ⇒𝑑𝑠 = √0 ≤ 𝑦 ≤ 21 + 0𝑑𝑦 𝑑𝑦=

−𝜋 2

= 2 2 cos 𝜑∫ 𝑑𝜑

𝜋 2

−𝜋 2

𝑑𝑥 + ∫ 2(1 − 𝑥2) ( −2𝑥)𝑑𝑥

−1 1

= 2Đoạn th ngẳ 𝐵𝐶: { 𝑦 = 𝑥 − 1 ⇒ 𝑑𝑦 𝑑𝑥Đi từ 𝐵(1,0) đến 𝐶(0, −1) =

= ∫(−4 sin 𝑡 − 8 sin 𝑡 + 2𝑚 cos2 2𝑡)cos 𝑡𝑑𝑡

=−103

⇒ 𝑚 = 1

Câu 24: Tính + +x y dx) + −( xy+e−y− +x sin )y dyvới 𝐿 là đường

𝑥2+ 𝑦 = 2𝑥2 theo chiều dương

Gọi 𝐷 là miền được gi i hớ ạn b i chu tuyở ến ∆𝐴𝐵𝐶

𝐷 được gi i h n bớ ạ ởi các đường: {𝐵𝐶: 𝑦 = −𝑥 + 2𝐴𝐵: 𝑦 = 2𝑥 + 2

∫ 2𝑥𝑑𝑥

2−𝑦 𝑦−2 2

Bổ sung thêm đoạn BA {đi từ 𝐵(1,0)𝑦 = 0 đến 𝐴(−1,0)

Ta có: đường 𝐴𝐵⏜ ∪ 𝐵𝐴là đường cong kín gi i h n miớ ạ ền ( )𝐷 : 𝑥2+ 𝑦2≤ 1, 𝑦 ≥ 0, có chiều âm

= 0 (Ho c có th s dặ ể ử ụng tính đố ứng đểi x ra giá trị bằng 0 ngay)

𝐶: 𝑦 = 1 − 𝑥4√ 2là đường cong h ở đi từ 𝐴(−1,0) đến 𝐵( )1,0

Bổ sung thêm đoạn 𝐵𝐴: {Đi từ 𝐵(1,0 → 𝐴𝑦 = 0) (−1,0)

−𝜋2

= ∫ cos2𝑡 𝑑𝑡

𝜋 2

−𝜋2

=𝜋2

Đoạn 𝐵𝐴: {đi từ 𝐵𝑦 = 0 ⇒(1,0) đến 𝐴𝑑𝑦= 0(−1,0) ⇒ 𝐼2= ∫ 2𝑒𝑥𝑑𝑥

−1

1

= 2(𝑒−1− 𝑒) Vậy 𝐼 = 𝜋/2 − 2(𝑒−1− 𝑒)

Cách 1: Dùng đường thay thế là đường g p khúc: ấ

Chọn đường đi là đường gấp khúc 𝐴𝐶𝐵

⇒ 𝐼1= ∫(𝑥4− 4𝑥)𝑑𝑥

3

−2

= 45Đoạn 𝐶𝐵: {đi từ 𝐶𝑥 = 3 ⇒(3, −1) đến 𝐵𝑑𝑥= 0(3,0)

Cách 2: Dùng đường thay th ế là đường th ẳng

Phương trình đường thẳng đi qua 𝐴, 𝐵 là 𝑦 = 𝑥/5 − 3/5

Tích phân không ph thu⇒ ụ ộc đường đi

Cách 1: Chọn đường đi là đường gấp khúc

Chọn đường đi là đường gấp khúc 𝐴𝑂𝐵

Đoạn : 𝐴𝑂 { 𝑦 = 0 ⇒Đi từ 𝐴(1,0 → 𝑂)𝑑𝑦= 0(0,0) ⇒ 𝐼1= ∫ 0𝑑𝑥

0

1

= 0Đoạn : 𝑂𝐵 { 𝑥 = 0 ⇒Đi từ 𝑂(0,0 → 𝐵)𝑑𝑥= 0(0,1) ⇒ 𝐼2= ∫ 𝑒𝑦(𝑦2+ 𝑚𝑦)𝑑𝑦

1 0

= 𝐼 = 𝑒 ⇒ 𝑚 = 2Tích phân trên phải dùng tích phân từng phần hai lần, tương đối dài

Cách 2: Chọn đường đi là một đường cong

Nhận xét: Tích phân 𝐼 phức tạp là do biểu thức 𝑒𝑥 2 +𝑦vì để làm đơn giản tích phân

𝐼 cần khử biểu thức này ⇒ Biến 𝑒𝑥 2 +𝑦= 𝐶 ⇒ 𝑥2+ 𝑦 = 𝐶 𝐶 hằng ( là số)

Do tích phân 𝐼 không phụ thuộc đường đi nên sẽ chọn đường đi mới thỏa mãn

𝑥2+ 𝑦 = 𝐶

Để tìm ta d𝐶, ựa vào điểm đầu 𝐴(1,0) và điểm cuối 𝐵(0,1)

Đường cong mới 𝐿′: 𝑥2+ 𝑦 = 𝐶 đi qua 𝐴, 𝐵 ⇒ {1022+ 1 = 𝐶 ⇒ 𝐶 = 1+ 0 = 𝐶

Chọn đường đi 𝐿′: 𝑦 = 1 − 𝑥2 đi từ 𝐴(1,0)đến 𝐵(0,1) ⇒ 𝑑𝑦= −2𝑥𝑑𝑥

⇒ 𝐼 = 𝑒 ( 2𝑥 1 − 𝑥∫[ ( 2)2]𝑑𝑥 + ∫[(1 − 𝑥2)2+ 𝑚(1 − 𝑥2)](−2𝑥)𝑑𝑥

0 1

⇒ 𝐼 không phụ thuộc vào đường đi

Tích phân phức tạp do biểu thức (𝑦 − 𝑥 − 12 )2⇒ Chọn đường đi mới khử biểu thức này

Chọn đường đi mới dạng 𝐿′: 𝑦 − 𝑥2− 1 = 𝐶 ( 𝐶 là hằng số)

=263 −203 = 2

x L

Câu 32: Tìm hằng s ố𝑎,𝑏 để biể u thức [𝑦2+ 𝑎𝑥𝑦 + 𝑦 sin(𝑥𝑦)]𝑑𝑥 + 𝑥[ 2+ 𝑏𝑥𝑦 +

𝑥 sin(𝑥𝑦)]𝑑𝑦 là vi phần toàn ph n c a m t hàm s ầ ủ ộ ố𝑢(𝑥, 𝑦) nào đó

𝑑𝑥 + ∫√2𝑥 − 𝑥12𝑒2𝑥

2 0

1 − 𝑥2

√2𝑥 − 𝑥2𝑑𝑥 = ∫ 𝑥𝑒2𝑥

2 0

𝑑𝑥 + ∫ 𝑒2𝑥(1 − 𝑥2)

2 0

𝑑𝑥 = 0

(5x 2 )y dy y

+ với 𝐶 là biên c a hình ủphẳng 𝐷: 𝑥 + 𝑦 ≤ 92 2 , theo chiều dương, bạn 𝐴 l p luậ ận “Ta đặt 22x 52y

Q −P = , 𝐶là đường cong kín, chiều dương, giớ ạn miền i h 𝐷 nên

𝐼 = 0” Hỏi bạn 𝐴 làm vậy có đúng không? Nếu sai, thì sửa lại đáp án chính xác

Đáp án: B Sai, 𝐼 =10𝜋

Giải:

gián đoạ ại điển t m 𝑂(0,0 ∈ 𝐷: 𝑥 + 𝑦 ≤ 9) 2 2

⇒ Không s dử ụng được công th c Green ứ

Đặt {𝑥 = 3 cos 𝑡𝑦 = 3 sin 𝑡, 𝑡 y t chạ ừ0 đến 2𝜋 ⇒ {𝑑𝑥 = −3 sin 𝑡 𝑑𝑡𝑑𝑦= 3 cos 𝑡𝑑𝑡

2 2

𝑑𝑥 + ∫ 2(𝑚 − 𝑥2) ( −2𝑥)𝑑𝑥

−1 1

+ 𝐶 = 𝑥 + 𝑥𝑒𝑦− 𝑥 + 𝑒 − 1 + 𝑧𝑒𝑧 𝑧− (𝑒𝑧− 1 + 𝐶 = 𝑥𝑒 + 𝑧𝑒 + 𝐶) 𝑦 𝑧

các đường 𝑦 = 𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 1,2 chiều dương

Đáp án: D. 1

6

Giải:

𝐿: 𝑦 = 1 − 𝑥√ 4là đường cong h ở đi từ 𝐴(1,0) đến 𝐵(−1,0)

Bổ sung thêm đoạn 𝐵𝐴: {Đi từ 𝐵(−1,0 → 𝐴 1,0𝑦 = 0) ( )

đi từ 𝐵(−1,0) đến 𝐴(1,0) ⇒ 𝐼2= ∫4𝑥 + 122 𝑑𝑥

1

−1

= 2 arctan 2 Vậy 𝐼 = 4/7 − 2 arctan 2

Câu : 41 Tính di n tích cệ ủa miền D giớ ại h n bởi 𝐿: { 𝑥 = 2(𝑡 − sin 𝑡)𝑦 = 2 1 − cos 𝑡( ) với trục 𝑂𝑥 biế ằt r ng 𝑡 đi từ2𝜋 dến 0

Câu 42: Tính công c a lủ ực 𝐹 = (𝑥 + 2𝑦 𝑖 + 3𝑥 + 4𝑦 𝑗) ( ) làm dịch chuyển một chất điểm từ 𝐴(1,3) đến 𝐵(2,4 d) ọc theo đoạn th ng ẳ 𝐴𝐵 (đvc: đơn vị công) Đáp án: D 27 (đvc)

Đặt {𝑃 = [8𝑥𝑄 = 5𝑦 − 2𝑥[ 43− 2𝑦ln(ln(1 + 𝑥1 + 𝑥22𝑦𝑦22)])]

⇒ 𝑃𝑦′= 𝑄𝑥′= −2ln(1 + 𝑥2𝑦2) − 1 + 𝑥4𝑥2𝑦22𝑦2

⇒ Tích phân 𝑊 không ph thuụ ộc vào đường đi

Chọn đường đi là đường gấp khúc 𝐴𝑂𝐵 với 𝐴(0,1) và 𝐵(1,0 , 𝑂 0,0) ( )

= ⋯ =𝜋4Xét mặt 𝑆2:

Giải:

Mặt 𝑆: {𝑧 = 2 − 2𝑦 − 𝑥𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ 0 ⇒ {𝑧𝑥′ = −1

𝑧𝑦′ = −2 ⇒ 𝑑𝑆 = √1 + 𝑧(𝑥′)2+ (𝑧𝑦′)2𝑑𝑥𝑑𝑦 = 6𝑑𝑥𝑑𝑦√Hình chi u cế ủa 𝑆 lên 𝑂𝑥𝑦 là miền 𝐷 được gi i h n bớ ạ ởi {2𝑥 + 4𝑦 = 4𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

∫ 𝑟2√1 + 4𝑟2𝑑(𝑟2)

1 0

=5√512+ 160

⇒ 𝐼 =2 (1 5√512+ 160) ∫ 𝑑𝜑

2𝜋 0

∫ √1 + 𝑥 + 𝑦𝑑𝑥

2 0

∫ 𝑟 𝑟2.sin2𝜑 𝑟𝑑𝑟

2 1

Xét mặt

' 2

∫ √1 − 𝑟2 𝑑(𝑟2)

1 0

=12 ∫ 𝑑𝜑

𝜋 2 0

∫ √1 − 𝑢 𝑑𝑢

1 0

=16 𝜋Xét 𝐼2, mặt 𝑆: 𝑧 = 1 − 𝑥 − 𝑦√ 2 2, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑛( 󰇍, 𝑂𝑧) < 𝜋/2

∫(1 − 𝑟2) 𝑟𝑑𝑟

1 0

=8 𝜋1

Vậy 𝐼 = 𝐼1+ 𝐼2=24 𝜋7

Sxdzdx z dxdy +

 với 𝑆 là phía ngoài mặt 𝑧 = 𝑥 + 𝑦2 2 với điều kiện 0 ≤ 𝑧 ≤ 2, 𝑦 ≥ 0

Hình chi u cế ủa 𝑆 lên 𝑂𝑥𝑦 𝐷 là 𝑥𝑦: 𝑥2+ 𝑦2≤ 2, 𝑦 ≥ 0

Đặt {𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 𝐽 = 𝑟𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 Miền ( )𝐷 : {0 ≤ 𝑟 ≤ √20 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋

=15 𝜋2

S

a xydydz x y dzdx x y dxdy

b

miền 𝑉: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0 hướng ra ngoài Tìm khẳng định đúngĐáp án: C.𝑎 + 𝑏 = 7

∫ 𝑑𝑦

1−𝑥 0

∫ 4𝑦𝑑𝑧

1−𝑥−𝑦 0

Bổ sung thêm mặt 𝑆′: { 𝑧 = 0𝑥2+ 𝑦 ≤ 12 hướng xuống dưới

Mặt 𝑆 ∪ 𝑆′ là m t cong kín, gi i h n miặ ớ ạ ền 𝑉: {𝑥2+ 𝑦𝑧 ≥ 02+ 𝑧2≤ 1hướng pháp tuyến ngoài

∫ 𝑑𝜃

𝜋 2 0

∫ 𝑟2(sin 𝜃)2 𝑟2sin 𝜃 𝑑𝑟

1 0

Bổ sung thêm mặt 𝑆′: { 𝑧 = 1𝑥2+ 𝑦 ≤ 12 , hướng lên trên

Mặt 𝑆 ∪ 𝑆′ là mặt cong trơn kín, giới hạn miền 𝑉:𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 12 2 , hướng pháp tuyến ngoài

Hình chi u cế ủa 𝑉 lên 𝑂𝑥𝑦 𝐷: 𝑥 là 2+ 𝑦 ≤ 12

∫ 𝑟(6𝑟2+ 1 1 − 𝑟)( 2)𝑑𝑟

1

0

=3𝜋2Mặt 𝑆′: {𝑧 = 1 ⇒𝑥2+ 𝑦2𝑑𝑧≤ 1 , (𝑛󰇍, 𝑂𝑧) < 𝜋/2= 0

Hình chi u cế ủa 𝑆′ lên 𝑂𝑥𝑦 là 𝐷: 𝑥2+ 𝑦 ≤ 12

∫ 𝑟 [6𝑟2(sin 𝜑)2+sin 2𝜑2 ] 𝑑𝑟

1 0

Bổ sung thêm mặt 𝑆′: { 𝑧 = 2𝑥2+ 𝑦 ≤ 42 , hướng lên xuống dưới

Mặt 𝑆 ∪ 𝑆′ là mặt cong trơn kín, giới hạn miền 𝑉:(𝑥2+ 𝑦2)/2 ≤ 𝑧 ≤ 2, hướng pháp tuy n trong ế

= 𝜋 ∫( (𝑢 + 2))

𝑢 + 1 √𝑢 + 1 (2 −

𝑢2) 𝑑𝑢

2

0

=𝜋2 ∫(𝑢 + 2 4 − 𝑢(𝑢 + 1 √𝑢 + 1)() )𝑑𝑢

2 0

Hình chi u cế ủa 𝑆′ lên 𝑂𝑥𝑦 𝐷:𝑥 + 𝑦 là 2 2≤ 4

= − ∫ 𝑑𝜑

2𝜋 0

∫ 𝑟𝑑𝑟

√1 + 𝑟2= ⋯ = −2𝜋(√5 − 1)

2 0

⇒ 𝐼 = 𝐼1− 𝐼2=(−2 + 10√5)𝜋3

Câu 65: Biết

S

a b

xdydz zdxdy + = 

 với 𝑆 là ph n trên cầ ủa mặt nón có phương trình 𝑧 = −√𝑥2+ 𝑦2 , −1 ≤ 𝑧 ≤ 0 khi nhìn t chiừ ều dương trục 𝑂𝑧 Tính 2𝑎 + 𝑏Đáp án: A 1

Giải:

Bổ sung thêm mặt 𝑆′: { 𝑧 = −1𝑥2+ 𝑦 ≤ 12 hướng xuống dưới

Mặt kín 𝑆 ∪ 𝑆′giới hạn miền 𝑉: − 1 ≤ 𝑧 ≤ −√𝑥2+ 𝑦2

Câu 66: Tính +zdz dọc theo đường tròn 𝐶: 𝑥 + 𝑦 = 1,𝑧 = 02 2

chiều dương giới hạn mặt cầu 𝑧 = 1 − 𝑥 − 𝑦√ 2 2

Áp d ng công th c Stoke: ụ ứ

∮ 𝑥2𝑦3𝑑𝑥 𝑑𝑦+ + 𝑧𝑑𝑧

𝐶

= ∬ −3𝑥𝑆 2𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦Hình chi u c a mế ủ ặt 𝑆 lên 𝑂𝑥𝑦 là 𝐷: 𝑥 + 𝑦 ≤ 12 2

∫ 𝑟2sin2𝜑 𝑟2cos2𝜑 𝑟𝑑𝑟

1 0

Áp d ng công th c liên h ụ ứ ệ giữa tích phân m t lo i I và ặ ạ loại II

𝐼 =∬(𝑃 cos 𝛼 + 𝑄 cos 𝛽 + 𝑅 cos 𝛾)𝑑𝑆

𝑆

= ⋯ =∬ 𝑑𝑆1

𝑆

Mặt 𝑆: 𝑧 = 𝑥2+ 𝑦 ⇒ 𝑧2

𝑥′= 2𝑥, 𝑧𝑦′ = 2𝑦 ⇒𝑑𝑆 = √1 + 4𝑥 + 4𝑦2 2𝑑𝑥𝑑𝑦Hình chi u cế ủa 𝑆 lên 𝑂𝑥𝑦 𝐷: 𝑥 + 𝑦 ≤ 4 là 2 2

= 𝜋∫ √1 + 4𝑢𝑑𝑢

4 0

Bổ sung thêm mặt 𝑆′: {𝑥2+ 𝑦𝑧 = 02≤ 16 hướng theo chi u âm trề ục 𝑂𝑧

Mặt 𝑆 ∪ 𝑆′ t o thành mạ ặt cong kín, hướng pháp tuy n trong gi i h n miế ớ ạ ền

Mặtn 𝑆′: {𝑧 = 0 ⇒𝑥2+ 𝑦2≤ 16𝑑𝑧= 0hướng theo chi u âm trề ục 𝑂𝑧, (𝑛󰇍, 𝑂𝑧) > 𝜋, 2 có hình chiếu lên 𝑂𝑥𝑦 là 𝐷: 𝑥2+ 𝑦2≤ 16

xydydz+yzdzdx zxdxdy+

 biết 𝑆là m t ngoài c a t ặ ủ ứ diện𝑂𝐴𝐵𝐶với𝑂(0,0,0 , 𝐴 1,0,0 , 𝐵 0,1,0 , 𝐶 0,0,1) ( ) ( ) ( )

∫ 𝑑𝑦

1−𝑥 0

∫ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑧)

1−𝑥−𝑦 0

Mặt 𝑆 kín gi i h n miớ ạ ển 𝑉: 0 ≤ 𝑦 ≤ √1 − 𝑧2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2,hướng pháp tuy n ngoài ếĐặt 𝑃 = 2𝑥 , 𝑄 = 𝑦 , 𝑅 = −𝑧 ⇒ 𝑃2 2 2 𝑥′= 4𝑥, 𝑄𝑦′= 2𝑦, 𝑅𝑧′= −2𝑧 liên tục.

−𝜋 2

∫(4𝑟 + 2𝑟2cos 𝜑)𝑑𝑟

1 0

Mặt 𝑆′:𝑥 + 𝑧 = 2 hướng theo chi u âm trề ục 𝑂𝑧 có hình chi u lên ế 𝑂𝑥𝑦 là 𝐷: 𝑥 + 1/2( )2+ 𝑦 = 9/4,2 vecto pháp tuyến 𝑛󰇍 = (−1,0, −1 𝑛), |󰇍| = 1/√2

Áp d ng công th c liên h ụ ứ ệ giữa tích phân m t lo i I và lo i II ặ ạ ạ

𝐼2= 1

√2∬[−1 (𝑥 + 𝑧) + 0 (𝑦 + 𝑥) − 1 (𝑧 + 𝑦)]𝑑𝑆𝑆′ =

−1

√2∬(𝑥 + 𝑦 + 2𝑧)𝑆′ 𝑑𝑆Với 𝑆′: 𝑧 = 2 − 𝑥 ⇒𝑑𝑆 = √1 + 𝑧( 𝑥′)2+ (𝑧𝑦′)2𝑑𝑥𝑑𝑦 = 2𝑑𝑥𝑑𝑦√

−𝜋 2

∫ 𝑟𝑑𝑟

2 1

Vậy theo nhiệt độ tăng nhanh ất theo nh hướng  = ( 𝑙 −58 ,−54 ,154 )

Câu 81: Tính góc giữa hai vecto 𝑔𝑟𝑎𝑑󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍𝑧 (đơn vị: radian) c a các ủ trường vô hướng sau 𝑧1= √𝑥2+ 𝑦2, 𝑧2= 𝑥 − 3𝑦 + √3𝑥𝑦 tại 𝑀(3,4) (Chọn đáp án gần đúng nhất)Đáp án: A 2

𝑢𝑥′(𝑂) = 0

𝑢′𝑦(𝑂) = 12

𝑢𝑧′(𝐴) = −12𝑂𝐴

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (1,−2,2) ⇒ |𝑂𝐴󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍| = 3 ⇒ cos 𝛼 = 13 , cos 𝛽 =−23 , cos 𝛾 =23

⇒ 𝑔𝑟𝑎𝑑󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍𝑢 = sin𝑧 ,−cos𝑧 ,𝑥 cos𝑧 + 𝑦 sin𝑧( )

Để tốc độ biến thiên của 𝑢 ại t 𝑂(0,0,0) là l n nh t thì cớ ấ ần theo hướng

𝑙 = 𝑔𝑟𝑎𝑑󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍𝑢(𝑂) = (0,−1,0)

Câu 84: Cho điểm 𝐴(2, −1,0 , 𝐵 1,1,3) ( ) Tính đạo hàm của hàm 𝑢 = 𝑥 + 3𝑦 +3 2

𝑒𝑧+ 𝑥𝑦𝑧2 tại điểm 𝐴 theo hướng 𝐴𝐵󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍

Câu 88: Biết 𝐹 = 𝑒𝑥 2 +𝑦 +𝑧 2 2[(2𝑥2𝑦𝑧 𝑦𝑧+ )𝑖 + 2𝑦( 2𝑥𝑧 𝑥𝑧+ )𝑗 + 2𝑧( 2𝑦𝑥 + 𝑥𝑦) 󰇍]𝑘 là trường thế Tìm hàm th v ế ị

+ ∫ 𝑒𝑥 2 +𝑦 2 +𝑡 2(2𝑥𝑦𝑡2+ 𝑥𝑦)𝑑𝑡

𝑧 0

+ 𝐶 = 𝑥𝑦 ∫ 𝑒𝑥 2 +𝑦 2 +𝑡 2(2𝑡 + 12 )𝑑𝑡

𝑧

0

+ 𝐶 = 2𝑥𝑦 ∫ 𝑒𝑥 2 +𝑦 2 +𝑡 2 𝑡2𝑑𝑡

𝑧

0

+ 𝑥𝑦 ∫ 𝑒𝑥 2 +𝑦 2 +𝑡 2𝑑𝑡

𝑧 0

+ 𝐶 Đặt {𝑒𝑥2 +𝑦 2 +𝑡𝑡 = 𝑢2 𝑡𝑑𝑡 = 𝑑𝑣 ⇒ {

) = 𝑥𝑦𝑧𝑒𝑥 2 +𝑦 2 +𝑡 2− 𝑥𝑦 ∫ 𝑒𝑥 2 +𝑦 2 +𝑡 2𝑑𝑡

𝑧 0

⇒ 𝑢 = 𝑥𝑦𝑧𝑒𝑥 2 +𝑦 2 +𝑡 2− 𝑥𝑦 ∫ 𝑒𝑥 2 +𝑦 2 +𝑡 2𝑑𝑡

𝑧 0

+ 𝑥𝑦 ∫ 𝑒𝑥 2 +𝑦 2 +𝑡 2𝑑𝑡

𝑧 0

= 𝑥3+ 2𝑦3+𝑧3 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑒 + 𝐶3 𝑧

Vậy hàm ế vị 𝑢 = 𝑥th là 3+ 2𝑦3+𝑧3 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑒3 𝑧+ 𝐶

Câu 91: Tính thông lượng của 𝐹 = 𝑥𝑖 +(𝑦3+ 2𝑧 𝑗 + 3𝑥 𝑧 − 𝑥 𝑘) ( 2 )󰇍 qua m t cặ ầu

∫(sin 𝜃)3𝑑𝜃

𝜋 0

=85 𝜋

⇒ Φ = 𝐼 + 𝑉(𝑉)=5 𝜋 +8 43 𝜋 =4415 𝜋

Câu 92: Tính thông lượng của 𝐹 = 𝑥𝑦 𝑖 − 𝑧𝑒 𝑗+2 𝑥 (𝑥2𝑧 + sin 𝑦 𝑘)󰇍 qua là m 𝑆 ặt

𝑧 = 𝑥 + 𝑦 , 𝑧 ≤ 4,2 2 hướng ra ngoài (Chọn kết qu gả ần đúng nhất)

Bổ sung thêm mặt 𝑆′: { 𝑧 = 4𝑥2+ 𝑦 ≤ 42 hướng lên trên

Mặt 𝑆 ∪ 𝑆′ là mặt cong kín, hướng pháp tuyến ngoài gi i h n miớ ạ ền

( )𝑉 : 𝑥2+ 𝑦2≤ 𝑧 ≤ 4Đặt 𝑃 = 𝑥𝑦 , 𝑄 = −𝑧𝑒 , 𝑅 = 𝑥 𝑧 + cos 𝑦 ⇒ 𝑃2 𝑥 2

Bổ sung thêm hai mặt:

𝑆′: { 𝑧 = 2𝑥2+ 𝑦 ≤ 12 hướng lên trên, 𝑆′′: {𝑥2+ 𝑦𝑧 = 52≤ 16 hướng xuống dưới

Mặt 𝑆 ∪ 𝑆 ∪ 𝑆′ ′′ là mặt cong kín, hướng pháp tuy n trong, gi i hế ớ ạn miền

Mặt 𝑆 kín gi i h n miớ ạ ển 𝑉: 0 ≤ 𝑦 ≤ √1 − 𝑧2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2,hướng pháp tuy n ngoài ếĐặt 𝑃 = 2𝑥 , 𝑄 = 𝑦 , 𝑅 = −𝑧 ⇒ 𝑃2 2 2

󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍𝑢 = (𝑢𝑥′, 𝑢𝑦′, 𝑢𝑧′) = (𝑦 + 𝑧,𝑥 + 𝑧,𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑧 𝑖 + 𝑥 + 𝑧 𝑗 + 𝑥 + 𝑦 𝑘) ( ) ( )󰇍 Đoạn : 𝐴𝐵 {vecto ỉ phương ch 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 = (3,5,2)AB

đi qua A(−1, −1, −1) ⇒ 𝐴𝐵: 𝑥 + 13 =𝑦 + 15 =𝑧 + 12 = 𝑡

(Đề bài không nói gì v chi u thì hiề ề ều là đường cong cho chiều dương)

∫ 𝑟2sin2𝜑 𝑟2cos2𝜑 𝑟𝑑𝑟

1 0

= ⋯ =−𝜋8

Câu 98: Tính lưu số của 𝐹 = (𝑦𝑒 + 3𝑦 + 𝑧 𝑖+ 𝑥𝑒 + 𝑦 − 5𝑧 𝑗 + 1 + 2𝑥 𝑘𝑥𝑦 ) ( 𝑥𝑦 ) ( ) 󰇍 dọc theo đường cong 𝐿 là giao c a mủ ặt 𝑥2+ 𝑦 + 𝑧 = 42 2 và mặt 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0hướng ngược chiều kim đồng h n u nhìn t chiồ ế ừ ều dương trục 𝑂𝑧

Câu 99: Tính lưu số của 𝐹 = (𝑦2+ 𝑧2)𝑖+(𝑥2+ 𝑧2)𝑗+(𝑥2+ 𝑦2)𝑘󰇍 dọc theo đường cong 𝐶 trong đó 𝐶 là giao c a m t củ ặ ầu 𝑥2+ 𝑦 + 𝑧 = 42 2 và m t nón có ặ phương trình 𝑧 = −√𝑥2+ (𝑦 − 1)2 với hướng cùng chiều kim đồng h khi nhìn t g c O ồ ừ ốĐáp án: B 0

⇒ |𝑛󰇍| = √(2𝑥)2+ ( )2𝑦2+ ( )2𝑧2= 4

(Dấu " − " do (𝑛󰇍, 𝑂𝑧) > 𝜋/2)

⇒ cos 𝛼 =−2𝑥4 =−𝑥2 , cos 𝛽 =−2𝑦4 =−𝑦2 , cos 𝛾 =−2𝑧4 =−𝑧2

Áp d ng công th c liên h ụ ứ ệ giữa tích phân m t lo i II và tích phân m t loặ ạ ặ ại I:

𝑑𝑆 = 0

− Bộ đề cương Giải tích II, Vi n Toán ng d ng và Tin h ệ ứ ụ ọc.

− Bộ đề thi Gi a kì và Cu i kì môn Giữ ố ải tích II Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội