Hỏi bạn Tùng có bao nhiêu cách mời, biết rằng hai bạn Long và Lân rất ghét nhau nên Tùng không thể đồng thời mời cả hai bạn này cùng có mặt.. Tìm hệ số của số hạng chứa x.[r]
Trang 1SO GD&DT THỪA THIÊN HUẺ THỊ HỌC SINH GIỎI TOÁN KHÓI 11
TRƯỜNG THPT THUẬN AN
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kề thời gian phát đề)
Họ và tên thí sinh - - c1 1113151111111 1111 181 118g HH Hàn Số báo danh: - 2222
ĐÈ CHÍNH THỨC
Bai 1: (4 điểm) Giải các phương trình sau :
1 4sinx.cos x + tant )(2sin* x—1)=2sin3x 2 1+ sin= sin — cos- sinŸ x= 200s'[ 2-2)
Bài 2: (2 điểm) Bạn Tùng có 10 người bạn thân, trong đó có Long và Lân Tùng muốn mời 5 bạn
đến tham dự sinh nhật của mình Hỏi bạn Tùng có bao nhiêu cách mời, biết rang hai ban Long va
Lân rất ghét nhau nên Tùng không thể đồng thời mời cả hai bạn này cùng có mặt
Bài 3: (3 điểm)
r ° 1 2 H _ ntl n+2 2n
I Chứng minh: €ÿ ,+C? ¡+ +C? ¡=C€?2 n+l ¡+ 1+ CS
4
` nk» _k „ si ek ae l "
2 Tim hé s6 cua so hang chita x” trong khai triên nhị thức Newtơn Phủ ,
Xx
$C 2n+1 + +Œ;, 2n+1 =2-]
biết rang C! ntl
Bai 4: (2 diém) Cho dãy sô (w ):1 ` 5) 4" Tim sô hạng tông quát của ø theo n
=—Su —
n+l
Bai 5: 2 điểm) Ba số x, y, Z theo thứ tự lập thành mot cấp số nhân; đồng thời chúng theo thứ tự là
số hạng thứ nhất, số hạng thứ ba và số hạng thứ chín của một cấp số cộng Tìm 3 số đó biết tổng của chúng bằng 13
Bài 6: (3 điểm) Trong mặt phăng Oxy, cho AABC Biết B,C năm trên đường thằng đ:x-+-y—3=0,
A nằm trên đường thăng d':3x+y+2=0, trong tam cua tam giac ABC la Ga) va dién tich tam giac ABC bang 10 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác, biết hoành độ của điểm A không âm
Bài7: (2 điểm) Cho tam giác ABC, về phía ngoài của tam giác, dựng 3 tam giác đều
ABC,, BCA,,CAB, Chứng minh AA,,BB,,CC, đồng quy
Bài 8: (2 điểm) Cho 3 số dương a, b, c thỏa : athens,
Ja+2b+3c Vb+2c+3a xle+2a+3b
Trang 2
DAP AN, BIEU DIEM
1) 1)(2điêm) Giải phương trình: 4sin x.cos x-+- tan} sin’ x —1)=2sin3x +2 tos ì , 10a ‘2 ;
(4diém)
x=-—+k2r
2)(2điểm) Giải phương trình: 1+ sin sina — cos sin’ x= reo # 3
° 2sin°-Ý— sin *—1=0 &sin =1 © x—=x~-+k4x 0.5
2) Bạn Tùng có 10 người bạn thân, trong đó có Long và Lân Tùng muốn mời 5 bạn đến tham dự
sở sinh nhật của mình Hỏi bạn Tùng có bao nhiêu cách mời, biết rằng hai bạn Long và Lân rất ghét (2diém) nhau nên không thê đồng thời có mặt
Số cách bạn Tùng chọn Š người bạn trong 10 người đến dự sinh nhật của mình là :
5 0,5
Cy, = 252
Số cách bạn Tùng mời 5 người bạn trong 10 người đồng thời có cả Long và Lân là:
3 0,5
C, =56
Vi hai ban Long va Lân rât ghét nhau nên không thể đồng thời có mặt, vì vậy bạn Tùng 0.5
chỉ có thể mời nhiều nhất là 1 ban Long hoặc Lân dự sinh nhật ° Vậy, số cách bạn Tùng mời 5 bạn đến dự sinh nhật là: 252 — 56 = 196 0.5
Trang 3
3) 1) (1,0 điểm) Chimg minh: C),+C>,,,+ +C%,,, =Cr +077 +$ 4C032
n+l 2n+1 2nt+l] 2n+1 + 2nt+l] 2n+1
3diém
( }lvi Co =O Vk€Ñ,k<2n~T+] nên:
0,5 Con — CoCo — Cs reeteeee ees Cou = Cora
Do do: Coat + Con + T Cont = = Cr + Cor + T Cr (dpcm) 0,5
2) (2,0 diém) Tìm hệ sô của sô hạng chứa x'” trong khai nhị thức New ton Phủ
X
biếtrăng Cj ,+C? ,+ +Œ?=2”—I
Theo câu l) và từ C, =C2” =1 ta có:
0,5
Coral + Coat + † Con = (Củ, + Cont + † Cy) 1 (1)
Ma 27 = q + D””= Cont + Cont + T đặn (2) 0,5
Do đó, từ (1), (2) và từ giả thiệt đã cho suy ra: 32 —1=2”"-1en=10 0,5
Với n =10, tính được hệ số của số hạng chứa x““ trong khai nhị thức New tơn
| 10 ° 0,5
nha là Ci = 210
~ ` A A A ro A A: ` A 3 ~~ 1
^ A A z 2 ~ ` 5" —_ 5
5) Ba số x, y, Z theo thu tự lập thành một cấp sô nhân; dong thời chúng theo thứ tự là số hạng thứ nhất, số hạng thứ ba và số hạng thứ chín của một cấp số cộng Tìm 3 số đó biết tổng chúng bằng (2điêm) | 13
Vi x, y, z theo thir tu la số hạng thứ nhất, thứ 3 và thứ 9 của một cấp số cộng, do đó nếu
gọi d là công sai của cấp số cộng thì ta có: y=x+2d; z=x+4+8d
Trang 4
Tổng của 3 số là 13 nên: x-L y-Lz= 13 & 3x -+ 10đ = 13 0,5
X, y, z theo thứ tự lập thành 1 cấp số nhân nên:
d=0
xZ=y Ox(x+8d)=(x+2dy S xd-d* =08 1 0,9
x=
1
6) Trong mat phang Oxy, cho AABC Biét B,C nam trên dudng thang d: x +y—3=0, Anam (3diem) | trén duong thang d':3x+y+2=0, trong tam ctia tam giac ABC là GS) va dién tich tam
giác là 10 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác, biết hoành độ của A không âm
¬ oo 5/2
B,C€d:x+y—3=0 vàG là trọng tâm nén: d(A, BC) = 3d(G, BC) = > (*) 0,5
Vi a>O nén ta nhan gia tri a=0 => A(O;—2)
Ngoài ra, từ (*) và diện tích tam giác ABC băng 10, ta suy ra duoc BC = 442 và tọa độ 0.5
0,5
®e b—=3—=(3;0), C(—l;4) 7) Cho tam giác ABC, về phía ngoài của tam giác, dựng 3 tam giác đều ABC,, BCA,,CAB, Ching (2điểm) minh AA,, BB,,CC, đồng quy
Trang 5
Xét phép quay tâm B, góc quay 60”, ta có:
Gọi I la giao điểm của AA,,CC, thi AIC, = 60°
0,5
Trên C7, lấy điểm E sao cho [E=IA, suy ra tam giác IAE déu
Xét phép quay tâm A, góc quay 60”, ta có
0,5
Ở 60° (O) = Bes Q 4 60, (FI =F Q 690 (CG) = B
Ma C,E,C, thang hang, suy ra B1,B thăng hàng Vậy AA,.PB,,CC đồng quy tại Ï 0,5
8) Cho 3 sô dương a,b,c thda:a+b+c= 2° Chứng minh : , uy,
(2điểm)
Vat2b+3c Vb+2c4+3a Ne+2a+3b
Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số ta có:
Tương tự ta có: ! (Fee + 3a) >3, 4 ict a+ 30) >3 0,5
Cộng các bất đăng thức trên về theo về ta được:
———+_———+1-————1(34135+3e)>` "