Tìm giá trị lớn nhất của số nguyên dương n sao cho tồn tại n tam thức bậc hai khác nhau từng đôi một thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: i mỗi tam thức bậc hai có hệ số của x2 bằng 1; [r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT
Môn: TOÁN; Lớp: 10
DE THI CHINH THUC (Dé thi c6 01 trang, gom 05 cau)
Cau 1
a) Giải phương trình z3 + 42? + 1 = x(x 4+ 1)v4z2 + 1
Loe ` #2(œ — 1) = 0(œ — 2)
b) Giải hệ phương trình { +2+ V#+l=u+VW+1l
Câu 2 Tìm tất cả các giá trị của tham so m để phương trình sau có nghiệm
m(wøœ — 2+ V6 — z) + 2V—z2 + 8z — 12 = Ú
Câu 3
a) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O c6 AB =c, BC = a,CA = b
sanDAB e
Gọi D là giao điểm của các tiếp tuyến tại Ø và Ở của (ÓO) Chứng minh ———— =
` bcv/2(2 + c2) — a
b) Trong mặt phẳng với hệ trục toa dé Oxy, cho tam giác nhọn AC có đường cao
AH (II € BC) và D,E lần lượt là trung điểm của 48, AC Gọi F' là điểm đối xứng
với qua E Giả sử F(—3;3) và đường trung trực của C?ƒ có phương trình z — 1 = 0 Tìm tọa độ giao điểm A/ của các đường thắng D,ƑA Tìm tọa độ giao điểm Ñ của
tia ŒD với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABƠ (N # C), biết đường thắng đi qua
N va tam đường tròn ngoại tiếp tam giác TIƠP có phương trình z — 2u — 1 =0
Cau 4 Mot ving dat hinh chi nhat ABCD cé AB = 25 km, BC = 20 km va M,N lan lượt là trung điểm của 4D, BƠ Một người cưỡi ngựa xuất phát từ 4 đi đến Œ bằng
cách di thang từ 4 đến một điểm X thuộc đoạn A⁄N rồi lại đi thắng từ X đến C
Vận tốc của ngựa khi đi trên phần 4N là 15 km/h, vận tốc của ngựa khi đi trên
phan MNCD là 30 km/h Tìm vị trí của X để thời gian ngựa di chuyển từ 4 đến Œ
là ít nhất?
Câu 5 Tim gia trị lớn nhất của số nguyên dương ø sao cho tồn tại ø tam thức bậc hai khác nhau từng đôi một thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) mỗi tam thức bậc hai có hệ số của z2 bằng 1;
ii) tổng của 2 tam thức bậc hai bất kỳ có đúng 1 nghiệm
(Hai tam thức bậc hai là khác nhau nếu có ít nhất một hệ số tương ứng khác nhau)
HET
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu 0à máu tính cam tay
- Gidm thi khéng gidai thich gì thêm
Họ và tên thí sinh: 111122212221 121 1111 1111k ke : Số báo danh:
Trang 2SO GIAO DUC VA DAO TAO KY THI CHON HOC SINH GIOI TINH CAP THPT
Môn: TOAN; Lớp: 10
(Hướng dẫn giải gồm 05 trang) HUONG DAN GIẢI
Ta có
(1 © 4z” +1—zV\4zˆ +1—zˆ\j4z”+1+z”=0
= Na +1 ~ 2} | V40? +1 —- z2] =0
& V42” +1 =z” (do \J4z” +1—z >|a|—ø > 0;Vz € R)
& xv —42° -1=0
ex = 245 (dow? > 0;Vx € R)
° z=42+5 z==\2+ö
Đáp số: 9 = {2+ v5:V2 +5]
1.b
Dicu ki¢n: « > —1L;y > —1 Khi đó
Œ) © (+ 0)(#” — #ụ + yˆ — ø) =0
UỤ =—#
=>
xe —ayty — 7
Với = —z thì (2) trở thành
#”+N+z+1=_-z+\-z +1
Sứ +ø + [Nø 1= VI=z]=0
œzlz+1+_——2” —— — 0
z-+l +wl1—+z
©=+z—=0 do #+14+———S———>z+1>0:vz >-IÌ,
Xz-+1+wvl—-z
Khi z0 thì y = 0
Với z” — z + ` = ø ta có z >0
Trang 3
Ta có
3” —ø -+U?=#
Íz”+z+1=y~+.ju+1
x? —y=ay-y tay
|e? -y +(ve+1—-Jy +1) =
ma
l(c -yy+)+ =0(do z>0)
¿+1 +Al+1 F4 Tl
fa? —y =("—y)(y +1)
> ;
% =
Si, do y +1 + ————— > yt 12 0;Vr = 0;y > -1
t=O Jaa
>
y=0 |y=I
Đáp số: (x;y) = (0;0);(ay) = (id)
Diéu kién 2< 2 <6
pat t=Vr—2+V6—2 thi 2V—2? +8%-12 =P —4 va
2<tav2—24+V6—2 <J%e—246—2) = 2)
Phương trình (1) trở thành £” + mm — 4= 0 (2) Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là phương trình (2) có ít nhất một
Do phương trình (2) có ae = 1.(—4) < 0 và A = m” +16 nên với mọi mE R
phương trình (2) luôn có 2 nghiệm trái dấu ¢,,t, 1a
—m — Am” + 16 —m + |m” + 16
‡ =——————<()<† -—
Do vậy
— Am” +16
@œ¿<==————<»wb
1m +4 < Am +16 <1m + 4A2
m<0
>
sV2m > —16
es (2 <m<0
Vậy tập hợp tất cả các giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là S' = va; 0)
2
Trang 4
Áp dụng Định lý sin, ta có
—-
— Tp sinDBA S
sin DAB _ DA _ SnDBA (4, rp TC)
sin DAC TƠ.—————— sin DCA sinDCA
DA
sin(180° — ABz) _ sin ABr _ sin ACB |
C sin(180° — ACy) sin ACy smABO 0
Goi M latrung diém cia BC, tacé O,M,D thang hang
Theo Định lý cosin và công thức đường trung tuyến, ta cần chứng minh
AD —= ————<— _———— cos BAC
cos BAC
Ta có O4 = OB” = OM.OD (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
OM OA
Suy ra —— = —
OA OD
Trudng hop AB = AC Tacé AOAM ~ AODA (c-g-c)
Suy ra
AM _ OM = OM = cos BOM = cos BOC = cos BAC, đpem
AD OA OB
Trudng hop AB = AC Tacé A,O,M,D thang hang theo thit tu đó nên
OM — OM a OA = OB => AM = OM = cos BAC, dpcm
Trang 5
Gọi A là đường thẳng chứa trung truc cua CH Do ABCF 1a hinh binh hanh nén FCHM lahinh thang Laicé HMF = DHB = DBH = OFM nên FCHM là hình thang cân Suy ra Ä/ đối xứng với #' qua A
Vì vậy tọa độ của Mƒ là nghiệm của hệ ‡†„_ 3
0.(x +3)—1.(y—3) =0 =
>
Suy ra M(5;3)
Do FCHM là hình thang cân nên nó là tứ giác nội tiếp đường tròn (6)
Do DN.DƠ = DA.DB = DH.DM nên tứ giác MCHN nội tiếp Suy ra Ñ € (5%)
x—2y—-1=0 z=l
Tọa độ tâm J của (5) là nghiệm của hệ
z—=l—=0
Suy ra J(1;0) Theo giả thiết N(2n + 1;n) thì ø >0 do Ý,P khác phía so với A
Do N €(S) nén JN = JF hay
J(2n} +1ñnỶ =4 +3? =5«n=5 5 (do n > 0)
Dap sd: M(5;3); N([2V5 +4,N5),
y = 0
A 25 B
1U 10
MÌ—
10 10
Đặt XA/ = z (km) thì 0< z < 25 và XN = 2ð — z
Thời gian đi từ A đến Œ của ky binh là (đơn vị: giờ)
pe V2? + (25 — x) yew
(theo Định lý Pitago và công thức £ = *),
v
'Fa có
nó V8” +20” + y10" + (25 = 2)
Trong Oxy, xét u(2x7;20) va v(10;25 — x), ta cé
lan + 107+ (20-425 — ay
T>
_ vba" — 90% + 2125 _ Đ(% = + 2000 > 25
= V5 (gid)
>5
Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi 5 ©#=ö
Cz
Vậy vị trí cần tìm của điểm XY 1a XM =5km,XN = 25km
4
Trang 6Với n = 2 ta thay P(x) = 2° + 2,P (xz) = ø” —+ thỏa mãn Do đó n > 2
Với n = 3 tathay P(x) = 2° +2,P (x)= 2° + 42,P(x) = 2” — 4x thỏa mãn
Do dé n > 3
Giả sử tồn tại n (n > 4) tam thttc bac hai thỏa mãn yêu cầu bài toán
Khi d6 ton tai 4 tam thttc bac hai P(x), P(x), P,(x), P(x) trong so ching sao cho 1 3 mỗi tam thức có hệ số của z” bằng 1 và tổng của 2 tam thức bất kỳ trong chúng đều có đúng 1 nghiệm Đặt ? (z) = P(z)+ P) với 1 <¡< 7< 4 Giả sử nghiệm duy nhất (nghiệm kép) của P(x), P,,(2),P.,(x), P(x) lan lugt 1a a,b,e, đ
Tacó 2{+— a} +2{z — e)” = 2{+2 T— b}` + 2(+ — đ)”;Vz ER
œ+c=b+d
Suy ra
y [vo cm xe
ac = bd ac = bd ac = bd
leno =(b—đ} —._.-
Néu a—c=0-—d thi 2a=a+c+a-—c=b+d+b—d=2) hay a=b
Khi dé P(x) = P,(x), vo ly do P(x),1 < 7< 4 đôi một phân biệt
Nếu ø—ec=d— thì a= d Khi đó P(z) = P), vô lý
Tóm lại không tồn tại n (n > 4) tam thức bậc hai thỏa mãn yêu cầu bài toán Vậy giá trị lớn nhất cần tìm của ø là n = 3