b Xác định vị trí của B trên nửa đường tròn O sao cho tổng diện tích các tam giác SAB và CAB lớn nhất.. Tìm lim yn.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỶ THỊ CHỌN HỌC SINH GIOI TINH CAP THPT
MÔN: TOÁN LỚP 11
DE CHINH THÚC (Đề thi có 01 trang, gôm 5 câu)
Câu 1
a) CHIải phương trình: 2cos4x + cos2x = Ï+ V3sin2x
b) Giải phương trinh: 8x° + 10x—-17 = 8/24? +30x-7
Cau 2
a) Cho khai trién (1+ 2x)” =a, +ax+ +a,x”, v6in la s6 tự nhiên thỏa mãn
C, T = 78 Tìm số lớn nhất trong các số đạ, đ, 4
b) Cho tam giác ABC thỏa mãn C < 8 < 4< 90° Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 3 Trong mặt phắng (P) cho nửa đường tròn (Ó) đường kính 4C, điểm Ø di động trên nửa đường tròn (Ó) với B khac A và C Trên nửa đường thăng 4x vuông góc với (?) lây điểm S$ sao cho Š4= 4C = a Gọi 77, K lần lượt là chân đường cao hạ từ 44 xuống $8, $%C
a) Chứng minh răng tam giác ⁄177K vuông Tính diện tích tam giác Š%C theo a biết
ax34
34 —
b) Xac dinh vi tri cua B trén nwa duong tron (O) sao cho tông diện tích các tam giác
SAB va C4B lớn nhat
Câu 4 Cho dãy số (xa) xác định như sau:
*› =3 Và x„¡=—®S———— VỚI n= 1,2
x -x,+6
nt
Với môi sô nguyên dương ø, đặt y„ = > —: lìm lim y„
i=l x; +
Câu 5 Cho x, y, z dương thỏa mãn 3xy + yz + 2zx = 6 Tìm giá trị lớn nhât của biểu thức
l+x° 4+y> 9427
- “Thí sinh không được sử dụng tải liệu và máy tính cầm tay
- Giám thị không giải thích gi thêm
Họ và tên thí sinh: SỐ bảo danh:
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIOI TINH CAP THPT
MON: TOAN LOP 11 HUONG DAN CHAM
Lưu ý: Mọi cách giải khác mà đúng và gọn đêu cho điêm tương ứng
cos’ 2x —3sin? 2x + cos2x— V3 sin2x =0 "
& (cos2x— V3 sin 2x)(cos2x — V3 sin 2x + =0 0.5 cos2x— |3 sin2x = 0 (1)
cos2x +3 sin 2x =—1 (2)
1
3.0d
2
Vậy: Nghiệm phương trình đã cho là:
3 5 8x°+10x-17=8y ()
—24x° +30x-7=y (2) Cong vé theo vé (1) va (2) taco: (2x -— 2)? +8(2x-2)=y? +8y 0.5
Tu phuong trinh nay rut ra duoc: y = 2x — 2 "
Cau lb | Dat x=cost voi te[0;7] taduoc: cos3t= 5
Giai phuong trinh nay ta duoc: ƒ =—;f = 9! = 9
Do 3 sé cosy COS—— COS đôi một phân biệt nên phương trình (3) có
0,5
đúng 3 nghiệm là: x = cos—; x = cos — 3x = cos —
Vậy phương trình có 3 nghiệm là: x = S05 x= cos x= cos 0.25
C7 C? Cc"
Tacó: C,+2—*+3—44+ 4+n—+ =78
ae > n+(n—-1)+(n—-2)+ 4+1= 78
n(n+1)
=78 on +n-156=0 >n=12
0.5
Trang 3Voi n=12 két hop voi gia thiét ta duoc: a, =C5.2" voik=0,], ,12 0.5
2
Xét a,,, >a, Sk >k<7 Da <a, < <a <a, (1) 0.5
Tương tự ta có: a, >a) > > A, >a, (2) 0.5
Từ (1) va (2) ta duoc: Max(dy.@)5 )) = dg = 2°C,, 0.5
1 1
= 7 + qleos(A — B)-(cos4+ cosB)|
Chung minh dugc: cos4+cosB < cos(A-— B) (1)
C4u 2b | That vay: cos(A— B)= “ ; Tsine’ = a COSA + sm cosB 0.5
<cosA+cosB (do 0<C<B<A<90° ) 0.5
Suy ra: P >— Dau băng xây ra khi sinC hoac 4 sin B => tam giác
đều hoặc vuông cân tại A
1
Vậy: MinP = 1 đạt được khi A4BC đêu hoặc vuông cân tại A 0.5
: Ta có: BC L AB (góc nội tiêp chăn nửa
: đường tròn)
' => BC 1 (S4B) > BC L 4H
=> AK | (SBC) => AK 1 KH 0,75
3.0d
2
AS4C vuông tại A và AC = AS = a > AK = > 0,25
2
2
AS⁄1B vuông tại A > >= 1 _ 7 = 4p? = 84 0.25
2
0.25
Trang 4
— BCBS a2
Dat ACB=a voi 0° <a <90° ,Khido: AB = asina , BC =acosa 0.25
2
1+
Cau3b | T° =(1+cosa)’ sin’ a = (1+ cosay (1— cosa) "
2.0d | Ap dung bat dang thitc cô s¡ cho 4 số dương :
(1+ cosa) +(1+ cosa) + (1+ cosa) +3(1- cosa) = 4N3T? 05
<©6>41377 ¬r<33 có “=” khi cosa =~ = a= 60"
Vậy: Điểm B thuộc nửa duong tron (O) va ACB = 60° 0.5
2
x +4)(x,-2
Do x, =3 nén bang qui nap chimg minh duoc x, >2 voimoineN "
(x,- 2)
Xu — X„ = x -x, +6 >0 > (x,) la day tang (2) 0.25
Gia su day (x,,) bi chan trên => 3ø > 3 dé limx, =a Khi đó:
a —-a+6
Do do: limx, = +00 (3)
X„iT2 x,-2 x +4 x +4 x,-2 x,,,-2
Đặt x = a, y= 2b,z = 3e
Từ giả thiệt (*) => tén tai AABC sao cho: a = tan—;b = tan—;c = tan— 0,5
P=cos’ —+cos’ —+ cos’ — =2-sin’ —+sin—.cos
2 °
<2—-SInˆ—+sin—=—-—| ——sin— | <—
A
Dau bang xay ra khi: 22> 2 B
B=C b=c=-~V3 0.5
3