Phát triển phương pháp phủ tuyến tính để kiểm tra tính hurwitz chặt và ứng dụng vào thiết kế tham số tối ưu trong điều khiển hệ tuyến tính bất định389

Các phương pháp hiện có để nghiên cứu hệ điều khiển bền vững cho đối tượng có thông số bất định mới khắc phục được khó khăn bản chất này trong một số trường hợp đơn giản như cấu trúc bất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

-

Phạm Văn Minh

PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP PHỦ TUYẾN TÍNH ĐỂ

THIẾT KẾ THAM SỐ TỐI ƯU TRONG ĐIỀU KHIỂN HỆ

TUYẾN TÍNH BẤT ĐỊNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

-

Phạm Văn Minh

PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP PHỦ TUYẾN TÍNH ĐỂ KIỂM TRA TÍNH HURWITZ CHẶT VÀ ỨNG DỤNG VÀO THIẾT KẾ THAM SỐ TỐI ƯU TRONG ĐIỀU KHIỂN HỆ

Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và Tự động hóa

LUẬN ÁN TIẾN SĨ ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1) TS Nguyễn Cảnh Quang 2) PGS TS Nguyễn Thế Thắng

1

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Xây dựng hệ điều khiển cho một đối tượng thường dựa vào mô hình Giữa mô hình

và đối tượng thật bao giờ cũng có sai lệch, do nhiều nguyên nhân khác nhau như: Phương pháp nhận dạng gần đúng, thông tin thu thập được không đầy đủ trong thời gian thực, do xấp xỉ hoá các hiệu ứng phi tuyến Sai lệch mô hình làm giảm hiệu quả của hệ điều khiển

Để khắc phục phần nào ảnh hưởng do sai lệch mô hình gây ra, người ta có thể dùng nhiều biện pháp khác nhau Một trong những phương pháp hiệu quả được kể đến là điều khiển bền vững với mô hình bất định

Mô hình bất định được đề cập đến từ giữa thế kỷ 20 nhưng chỉ từ xuất hiện, công trình của Kharitonov (1978), đặc biệt khoảng 20 năm trở lại đây với sự phát triển của thiết

bị tính, người ta mới quan tâm nhiều đến việc phát triển những phương pháp điều khiển bền vững với mô hình bất định và ứng dụng loại điều khiển bền vững vào những bài toán thực tế Có thể tìm thấy nhiều ví dụ ứng dụng mô hình bất định trong các tài liệu [12, 27,

32, 42, 65, 77]

Mô hình bất định thực chất là tập gồm vô vàn phần tử Các phương pháp phân tích

và thiết kế hệ với mô hình bất định đều gặp khó khăn là phải xét mọi phần tử của tập

mô hình này Đây là khó khăn thuộc về bản chất khi dùng mô hình bất định Các phương pháp hiện có để nghiên cứu hệ điều khiển bền vững cho đối tượng có thông số bất định mới khắc phục được khó khăn bản chất này trong một số trường hợp đơn giản như cấu trúc bất định dạng khoảng hay dạng tuyến tính với thông số bất định dạng hộp Vì vậy cần có Q những phương pháp thích hợp để dùng cho các trường hợp phức tạp hơn Trong luận án này NCS chọn một hướng nghiên cứu nhằm đưa ra một phương pháp xác định tham số tối

ưu cho bộ điều khiển áp dụng cho hệ SISO tuyến tính có thông số bất định đảm bảo thỏa mãn tính ổn định bền vững và một số chỉ tiêu chất lượng, khắc phục được một phần khó khăn bản chất

2

Hướng nghiên cứu này có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực ứng dụng mô hình bất định vào điều khiển các đối tượng thực

Mục tiêu của luận án

Mục tiêu của luận án là: Phát triển một phương pháp nhằm khắc phục một phần khó khăn khi sử dụng mô hình có thông số bất định với cấu trúc dạng đa thức và tập thông số bất định dạng hộp Phương pháp được áp dụng để kiểm tra tính Hurwitz chặt và để xác định tham số bộ điều khiển bền vững cho một lớp hệ SISO tuyến tính có thông số bất định đảm bảo thỏa mãn chặt điều kiện ổn định và một số chỉ tiêu chất lượng đề ra

Đối tượng và phương pháp nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu là hệ thống điều khiển bền vững có mô hình tuyến tính với thông

số bất định

- Phương pháp nghiên cứu: Qua tìm hiểu các phương pháp hiện có tìm ra những khó khăn gặp phải khi xét mô hình tuyến tính với thông số bất định, tìm cách khắc phụcphần nào các khó khăn đó

Tinh thần của phương pháp được minh hoạ bằng một số ví dụ, trong đó có những ví dụ xuất phát từ các bài toán thực tế

2 Nội dung

Nội dung là các nghiên cứu sau :

- Các phương pháp xét sự ổn định bền vững, và một số chỉ tiêu chất lượng của hệ

- Các phương pháp thiết kế bộ điều khiển bền vững hiện có, những khó khăn gặp phải và đề nghị cách khắc phục một phần khó khăn đó

- Các phương pháp đưa bài toán thiết kế bộ điều khiển bền vững cho đối tượng có

mô hình tuyến tính với thông số bất định về một dạng của bài toán tối ưu dạng qui hoạch nửa vô hạn (semiinfinite programming), đảm bảo ổn định bền vững và một

số chỉ tiêu chất lượng đặt ra trước Đề nghị phương pháp tìm nghiệm của bài toán này sao cho thoả mãn chặt các ràng buộc chứa thông số bất định nhờ dùng khái

3

niệm “một trị cực tiểu non” Phương pháp được minh họa qua một số ví dụ và được kiểm nghiệm kết quả qua mô phỏng nhờ phần mềm Matlab

3 Ý nghĩa khoa học và giá trị thực tiễn của luận án

Đề tài nghiên cứu của luận án có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực ứng dụng mô hình bất định vào điều khiển các đối tượng thực Ý nghĩa khoa học và giá trị thực tiễn của luận án được thể hiện qua việc phát triển phương pháp phủ tuyến tính để xác định được một trị cực tiểu non MuNcủa cực tiểu toàn thể M min ( ), g q q Q, với g q( )là đa thức

dạng

1 0

( ) m L mij

i j j i

g q g q và Q dạng hộp Trị cực tiểu này có thể dùng để giải quyết bài toán:

- Kiểm tra tính thực dương chặt của hàm ( )g q dạng đa thức và Q dạng hộp

- Kiểm tra sự thỏa mãn chặt điều kiện ổn định bền vững cho hệ thống có mô hình tuyến tính với cấu trúc bất định dạng đa thức và dạng hộpQ

- Xác định tham số bộ điều khiển bền vững nhờ đưa bài toán tối ưu về bài toán qui hoạch nửa vô hạn và đề nghị một phương pháp tìm nghiệm thoả mãn chặt điều kiện ổn định

và chất lượng dạng đại số

Những kết quả trên góp phần vào việc khắc phục khó khăn khi dùng mô hình có thông số bất định Do đó làm cho việc ứng dụng loại mô hình này vào những bài toán thực

tế được dễ dàng hơn

4 Điểm mới của luận án

Qua nghiên cứu hệ điều khiển bền vững có mô hình tuyến tính với thông số bất định, tác giả luận án đã đưa ra một đánh giá tổng quan về các phương pháp xét ổn định bền vững và chất lượng cũng như các phương pháp thiết kế bộ điều khiển bền vững Luận án

đã có những đóng góp mới, cụ thể như:

- Phát triển một phương pháp phủ tuyến tính để xác định được một trị cực tiểu non MuN

của cực tiểu toàn thể M min ( ) g q với g q dạng đa thức và ( ) Q dạng hộp Luận án đã xây dựng thuật toán 1 để xác định một trị cực tiểu non tiệm cận MuN Tính tiệm cận và đánh giá sai số gặp phải cũng được xét qua định lý 1

4

- Dùng trị cực tiểu non MuNđể kiểm tra tính dương chặt của một hàm g q( )dạng đa thức

và Q dạng hộp Do đó MuNứng dụng để kiểm tra sự thoả mãn chặt điều kiện ổn địnhbền vững dạng đại số và để tìm nghiệm của bài toán qui hoạch nửa vô hạn

- Đưa việc xác định tham số bộ điều khiển bền vững về bài toán tối ưu dùng qui hoạch phi tuyến hoặc qui hoạch nửa vô hạn nên có điều kiện để xét tính ổn định bền vững và một số chỉ tiêu chất lượng như bám tiệm cận đầu vào, quá trình quá độ tắt với hệ số tắt

Một số kết quả của luận án đã được công bố trong các hội nghị khoa học kỹ thuật hoặc tạp chí như: Tạp chí KH&KT Quân sự học viện KTQS số 173 (2015), số 175 (2016)

5

tính có thông số bất định) mô hình không có cấu trúc, cấu trúc của hệ điều khiển bền , vững, các ví dụ minh hoạ Đồng thời giới thiệu vấn đề ổn định bền vững và thiết kế bộ điều khiển bền vững

Chương 2: Xác định một trị cực tiểu non và ứng dụng để kiểm tra ổn định bền

dụ minh họa đã được trình bày

6

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HỆ ĐIỀU KHIỂN BỀN

VỮNG VỚI ĐỐI TƯỢNG CÓ MÔ HÌNH BẤT ĐỊNH

Trong chương này NCS sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản về mô hình bất định,

và hệ điều khiển bền vững cho đối tượng với mô hình tuyến tính có thông số bất định

Xây dựng hệ thống điều khiển (HTĐK) cho một đối tượng thường dựa vào mô hình, tuỳ vào đặc điểm của đối tượng người ta sử dụng loại mô hình thích hợp, giữa mô hình và đối tượng thật bao giờ cũng có những sai lệch do nhiều nguyên nhân như: Thông tin không đầy đủ, phương pháp nhận dạng gần đúng, tác động của nhiễu, tuyến tính hóa khâu phi tuyến hính các sai lệch mô hình làm giảm hiệu quả của hệ điều khiển c Dùng

mô hình bất định (MHBĐ) trong việc xây dựng hệ điều khiển bền vững là một biện pháp hiệu quả để khắc phục các ảnh hưởng ai lệch mô hình của đối tượngs

1.1.1 Mô tả đối tượng điều khiể nhờ mô hình bất địnhn

Mô hình bất định có thể trình bày dưới dạng một tập mô hình (P0, P), trong đó:

Mô hình chuẩn P0 (Nominal model) được xây dựng từ những thông tin xác định, sai lệch

P là do sự thiếu thông tin hoặc dùng phương pháp nhận dạng gần đúng gây ra Sai lệch

mô hình thường không được biết chắc chắn từ trước, tuy vậy việc phân tích và thiết kế hệ

thống điều khiển cần đến một đánh giá định lượng về sai lệch P Việc đánh giá định lượng thường ở dưới dạng bị chặn (bounded) dạng thích hợp của P (ví dụ: dạng chuẩn

| P|, || P|| , ( , …) hoặc ở dưới dạng tập biến thiên của thông số )

7

Để lập mô hình bất định người ta có thể tiếp cận theo 2 cách: Mô tả mô hình đối tượng dưới dạng bất định có cấu trúc và bất định không có cấu trúc Dưới đây ta xét hệ SISO liên tục, tuyến tính có hệ số không biến thiên theo thời gian (hệ số hằng)

1.1.1.1 Mô hình bất định có cấu trúc

Khi dựa vào bản chất vật lý hoặc yêu cầu công nghệ của đối tượng, trong bước nhận dạng ta có thể xác định được cấu trúc của mô hình (Có nghĩa là biết được bậc của tử số và mẫu số hàm truyền của mô hình tuyến tính), ta có thể dùng mô hình tuyến tính có hệ số không biến thiên theo thời gian và thông số hóa độ bất định ta có được mô hình với thông

số bất định Khi đó thông tin định lượng về sai lệch mô hình P được thể hiện dưới dạng tập biến thiên của thông số bất định Q q xuất hiện trong hàm truyền của đối tượng Hình hình 1.1 là mô hình đối tượng P s q chứa thông số bất định ( , ) q ở công thức (1.1) :

Hình 1.1: Đối tượng với hàm truyền chứa thông số bất định

Trong hình đó:

- u là tín hiệu điều khiển của đối tượng

- y là tín hiệu của đối tượngra

Hàm truyền đối tượng có dạng:

0 0

p

p

m

k k

n

i P

i i

Đối tƣợng điều khiển

( , )

P s q

8

1 0 0

q là giá trị chuẩn củaq ; w j j là hằng số trọng Với 1 p , là hằng số thể hiện

độ bất định, q, q0 là chuẩn cỡ lp của biên độ sai lệch từ q0 tới q, trường hợp p=2 ta có siêu cầu (hypersphere) có tâm tại q0, khi p= tập bất định Q ó dạng hộp (box, chypercube)

j j j

- z là véc tơ biến trạng thái z z ,z z1 2 n T

- u là tín hiệu vào của đối tượng

- y là tín hiệu của đối tượngra

- A q ; b q ; c q là các ma trận, véc tơ hệ số chứa thông số bất định

Các ví dụ 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 dưới đây có đối tượng mô tả dưới dạng mô hình bất định (MHBĐ) có cấu trúc, được thông số hóa nhờ thông số bất định Ở bước nhận dạng đối

tượng, ta phải xác định được bậc của tử số và mẫu số của hàm truyền dạng (1.1 hay ) phương trình trạng thái (1.6) và tập bất định Với mô hình bất định thông số dạng (1.1) Q

9

và (1.3) hoặc dạng (1.6) và (1.3) thực chất là tập mô hình Ở một chế độ vận hành cụ thể, đối tượng có mô hình là một phần tử nào đó (không biết trước) của tập mô hình trên Xét một số ví dụ về mô hình bất định có cấu trúc và được thông số hoá (ta gọi là

mô hình có thông số bất định)

Ví dụ 1.1:

Một ổn áp xoay chiều với động cơ thừa hành có sơ đồ tối giản hình 1.2, mô hình thông số hoá trên hình 1.3 Đầu ra Y chính là điện áp ra Us của ổn áp Đầu ra này phụ thuộc vào điện áp lưới UL và vị trí của con chạy trên biến áp tự ngẫu:

0

L s

Biến áp tự ngẫu

UL

10

trong đó là tốc độ động cơ, UM là điện áp đặt vào động cơ Trong điều kiện động cơ kéo con trượt của ổn áp có thế coi b0, T1, T2 là những hằng số xác định, ở bước tổng hợp hệ điều khiển các hằng số này coi như đã biết vì chúng được xác định ở bước nhận dạng Thành lập hàm truyền từ UMtới điện áp đo (được coi là mô hình của đối tượng) ta được:U

q q q q q trong đó q , q0 được xác định theo biểu thức ở trên Đặt q q x ta được:

Ví dụ 1.2:

Xét mô hình cẩu trục được mô tả ở dạng biến trạng thái trong [65] (xem biểu thức (5.18) trong [65] c), ác giá trị: mc là trọng lượng của tời, mllà trọng lượng của tải, l là độ dài của dây cáp, là hằng số gia tốc trọng trường, g z1 là vị trí dây cáp, z2 là vận tốc bệ cẩu,

3

z là góc tạo bởi dây cáp với phương thẳng đứng, z4 là vận tốc của cáp, và u là đạo hàm của lực tác động vào tời, ta lập được phương trình trạng thái và phương trình đầu ra

11

Trong đó véc tơ biến trạng thái z z ,z ,z ,z1 2 3 4 T, phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:

Giả sử hệ thống sử dụng bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái hằng R, u Rz Trong

ví dụ này, giả sử rằng chúng ta chỉ biết được độ dài của cáp là và trọng lượng của tải l ml

nằm trong khoảng xác định Chọn độ dài tương đối của cáp là l 1/ l ta có được

10 1 l 20 2

l q q , m q q với q10=1/10 độ dài cáp danh định, q20=1 là trọng lượng của tải trọng danh định Chọn các giá trị bất định q1, q2 có giá trị nằm trong khoảng: 0≤q1≤0,01; 0≤q2≤ 10 Với giả thiết các giá trị danh định: g=10 và mc=10, ta xác định được ma trận trạng thái của hệ là:

Ma trận trạng thái có hệ số A q có chứa các phần tử a qij( ) là hàm phi tuyến dạng multilinear theo q Đây chính là mô tả hệ thống ở dạng phương trình trạng thái có chứa thông số bất định

Từ ma trận trạng thái với giả thiết các giá trị danh định của thông số bất định là

1 0.005; 2 5

q q , chọn bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái ở chế độ danh định có R=[240

500 -990 4000] thì các điểm cực của đa thức đặc tính hệ kín có giá trị là -1, -2, -3, -4 ta cũng xác định được đa thức đặc tính của hệ kín như sau:

0

11

1

l c

c

c

m gm

m( m m )g

l

m l

i i i

( s,q ) a ( q )s

trong đó các hệ số ai(q) là đa thức dạng đa tuyến tính (multilinear) nên đa thức đặc trưng s,q là đa thức đa tuyến tính của các thông số bất định qj (j=1 7) Các thông số qj biến thiên trong hộp (box)

Ví dụ 1.4 trong [6] giới thiệu phương pháp kiểm tra ổn định hệ phi tuyến nhờ mô hình tuyến tính hóa với thông số bất định

Có thể tìm thấy một số ví dụ ứng dụng mô hình có thông số bất định khác để điều khiển quá trình công nghiệp như của Barmish, Husek, Djaferis: [12], [48], [65]

1.1.1.2 Mô hình bất định không có cấu trúc

Khi dựa vào bản chất vật lý hoặc đặc điểm công nghệ của đối tượng ta không thể sử dụng được mô hình thông số hóa (ví dụ đối tượng có trễ: Quá trình nhiệt, quá trình xảy ra phản ứng hóa học…) mà phải sử dụng mô hình không có cấu trúc, có thể tham khảo một số

ví dụ ứng dụng dạng mô hình bất định không có cấu trúc để điều khiển quá trình công nghiệp trong các tài liệu 7, 42, 77] [2

Mô hình không có cấu trúc hình 1.4a thường được mô tả dưới dạng sai lệch dạng cộng tính, nhân tính hoặc chia tính (với sai lệch P), cụ thể các dạng như sau:

13

Dạng cộng tính (hình 1.4b):

P(s)=P0(s)+ Pa(s) 7) (1Dạng nhân tính (hình 1.4c):

P(s)=P0(s)[1+ PM(s)] (1.8) Dạng chia tính (hình 1.4d):

0

1 d

P ( s )

P( s )

P ( s ) .9) (1 Hình 1.4 mô tả đối tượng có sai lệch P dạng (1.7), (1.8), (1.9) sai lệch P ( Pa, PM,

Pd) chưa biết cụ thể, nhưng thường được đánh giá qua hàm chặn (Bounded) với chuẩn thích

hợp Ví dụ đơn giản nhất là dùng hàm chặn dưới dạng:

Chuẩn Euclide:

P j K j , .10) (1Hoặc dạng chuẩn vô cùng :

P( j ) P ( j )

.12) (1

1.1.1.3 L ợi thế và khó khăn khi sử dụng mô hình bất định

Sửdụng mô hình bất định có nhiều lợi thế nhưng cũng gặp không ít những khó khăn như sau:

a) Những lợi thế:

- Kể được sai lệch mô hình

- Kể được sự thay đổi thông số hoặc cấu trúc của đối tượng ví dụ 1.2 ( )

- Kể được tác dụng của nhiễu (ví dụ 1.1)

- Kể đến hiệu ứng phi tuyến [6]

- Dùng mô hình tuyến tính bất định cho phép thành lập được các điều kiện ổn định

và chất lượng (Sử dụng các phương pháp đánh giá và chất lượng của hệ tuyến tính)

một cách đơn giản hơn so với dùng các loại mô hình khác như phi tuyến, ngẫu nhiên, mờ…

b) Những khó khăn:

Việc sử dụng mô hình bất định cũng gặp phải khó khăn liên quan đến 2 việc là xác định mô hình (nhận dạng) và xây dựng hệ điều khiển, cụ thể là:

Khó khăn trong việc lập mô hình bất định:

Trường hợp mô hình bất định không cấu trúc ta phải xác định hàm chặn K(s) hoặc đơn giản hơn K(j ) thuộc RH∞ Đây chính là khó khăn lớn trong bước nhận dạng Trường hợp mô hình có cấu trúc (bất định thông số) ta phải xác định cấu trúc bất định và tập Q Trong một số trường hợp thực tế tập Q xác định không khó dựa vào đặc điểm công nghệ của đối tượng (Các ví dụ 1.1, 1.2, 1.3)…

Phương pháp xác định mô hình (nhận dạng đối tượng nằm ngoài phạm vi nghiên cứu ) của luận án

Khó khăn trong việc kiểm tra điều kiện ổn định và chất lượng:

15

Việc dùng mô hình bất định trong bài toán phân tích cũng như tổng hợp bộ điều khiển gặp khó khăn lớn là phải xét mọi phần tử trong tập mô hình bất định, ta gọi đây là khó khăn bản chất (Khó khăn gây ra do bản chất của mô hình bất định) Đây chính là khó khăn lớn nhất bắt buộc phải khắc phục khi ta giải các bài toán điều khiển Tuy nhiên hiện nay, các phương pháp hiện có thường chỉ xét được một

số hữu hạn phần tử do đó không đảm bảo được sự thỏa mãn chặt điều kiện ổn định và chất lượng của hệ điều khiển

Luận án có mục tiêu quan trọng là khắc phục một phần khó khăn này cho trường hợp hệ với mô hình tuyến tính có thông số bất định tạo điều kiện thuận lợi hơn cho , việc dùng mô hình bất định để điều khiển một số đối tượng thực

1 2 H1 ệ điều khiển bền vững với đối tƣợng có thông số bất định

Quỹ đạo mong muốn của đối tượng thường là quỹ đạo tối ưu và thường được thể hiện ở tín hiệu đặt (tín hiệu vào r(t) ) Quỹ đạo tối ưu có thể được xác định bằng các phương pháp điều khiển tối ưu (Pontriagin, Bellman…) hoặc bằng phương pháp chuyên gia Khi xác định quỹ đạo mong muốn thường chưa kể được tính ổn định Vì vậy người ta phải xây dựng hệ điều khiển còn gọi là hệ điều chỉnh (Regulation System) để ổn định hóa quỹ đạo mong muốn này và kỳ vọng thực hiện thêm được một số chỉ tiêu chất lượng khác 1.1.2.1 Nhiệm vụ của hệ điều khiển bền vững

Hệ điều khiển bền vững có 2 nhiệm vụ quan trọng sau:

NV1: Ổn định hóa quỹ đạo mong muốn

NV2: Thực hiện một số tiêu chí chất lượng đặt ra như:

(CL2-1) Giảm thiểu ảnh hưởng của sai lệch mô hình

(CL2-2) Bám đầu vào tốt (good setpoint tracking),

(CL2-3) Giảm tác dụng của nhiễu (distubance attenuation)

(CL2-4) Giảm tác dụng của sai số đo (measurement arror rejiection)

(CL2-5) Độ tắt của quá trình quá độ nhanh nhất

(CL2-6) Độ quá điều chỉnh, thời gian điều chỉnh (setting time) ngắn nhất

(CL2-7) Độ sai lệch xác lập nhỏ nhất

16

Ngoài ra còn phải kể đến một số tiêu chí chất lượng khác như tính khả thực trong việc vận hành hệ thống Hiện nay, chưa có một phương pháp thiết kế nào có thể đảm bảo tất cả các chỉ tiêu chất lượng mong muốn kể trên

1.1.2.2 Cấu trúc của hệ điều khiển bền vững

Hệ điều khiển bền vững SISO thường được xây dựng theo nguyên tắc phản hồi và thường dựa trên mô hình của đối tượng theo cấu trúc kinh điển (Classic Control) hay cấu trúc điều khiển theo mô hình nội (IMC: Internal Model Control) như trong [27, 65]

d) u(t) là tín hiệu điều khiển đối tượng

e) d(t) (Disturbance) là nhiễu tác động, ví dụ ở đầu ra của đối tượng

f) n(t) là nhiễu do khâu đo lường tín hiệu ở đầu ra của đối tượng

Hình 1.6: Cấu trúc hệ điều khiển SISO theo mô hình nội

Hình 1.5: Cấu trúc hệ điều khiển SISO kinh điển có

- z là véc tơ trạng thái của hệ, z z ,z , ,z1 2 n T

- u là tín hiệu điều khiển đối tượng, y là tín hiệu đầu ra của đối tượng

Nghiên cứu hệ thống điều khiển bền vững dẫn tới các bài toán sau:

- Phân tích HTĐK bền vững (robustness analysis): Cho họ mô hình S của hệ và tập các yêu cầu chất lượng (CL) Kiểm tra xem toàn bộ họ S có thoả mãn chất lượng hay không

18

- Tìm giới hạn bền vững (robustness margins): Giả sử có một phần tử S0 S S ( 0 thông thường là mô hình ở chế độ chuẩn (nominal systems) đã thoả mãn (CL), tìm giá trị lớn nhất của một chuẩn đối với bất định S để toàn bộ họ S thoả mãn (CL)

- Thiết kế HTĐK bền vững cho họ mô hình đối tượngP : Tìm bộ điều khiển C s,x

hoặc R(k) để hệ thống điều khiển S: (P, C) thoả mãn chất lượng đã cho

Ổn định là điều kiện cần để một hệ thống động vận hành, vì vậy ở bài toán phân tích cũng như bài toán tổng hợp ta đều phải xét tới ổn định Hệ thống được gọi là ổn định nếu

đa thức đặc trưng ( , ) s q của hệ là Hurwitz

Hệ thống có thông số bất định được gọi là ổn định bền vững nếu nó ổn định với mọi giá trị của thông số bất định nằm trong tập thông số bất định của hệ Hiện nay đã có một số tiêu chuẩn ổn định bền vững được áp dụng Có thể tìm thấy tổng quan về các phương pháp nghiên cứu ổn định bền vững cho hệ SISO tuyến tính có thông số bất định trong các tài liệu [7, 41, 48]…Trên thực tế điều kiện ổn định bền vững thường được xét bằng các phương pháp gián tiếp dưới dạng các tiêu chuẩn ổn định

Do bản chất của mô hình có thông số bất định tất cả các phương pháp nghiên cứu ổn định bền vững đều phải xét điều kiện ổn định có được thỏa mãn với mọi trị số của thông số bất định q Q hay không? Đây là khó khăn được gọi là khó khăn về bản chất mà tất cả các phương pháp xét ổn định bền vững hiện nay đều phải tìm cách khắc phục

Ổn định là vấn đề quan trọng nhất phải quan tâm trong bài toán phân tích cũng như tổng hợp hệ điều khiển bền vững, vì vậy luận án dành cả chương 2 để trình bày sâu hơn về vấn đề ổn định bền vững, cho một tổng quan ngắn gọn về vấn đề ổn định bền trong đó cógiới thiệu một số phương pháp nghiên cứu ổn định bền vững hiện có nêu những ưu điểm

và những khó khăn của các phương pháp này Trong chương 2, luận án cũng trình bày một phương pháp phủ tuyến tính để xác định cực tiểu non áp dụng vào bài toán kiểm tra ổn định bền vững, phương pháp này khắc phục được một phần khó khăn bản chất do mô hình

có thông số bất định gây ra

1.3 Vấn đề thiết kế bộ điều khiển bền vững cho đối tượng có thông

số bất định

Xét hệ điều khiển bền vững được xây dựng trên nguyên lý phản hồi Nhiệm vụ thiết

kế hệ điều khiển cho đối tượng có thông số bất định bao gồm xác định cấu trúc của hệ

Hình 1.8: Sơ đồ cấu trúc tối giản hệ SISO dạng hàm truyền có phản hồi đầ u ra

Việc xác định tham số của bộ điều khiển cho đối tượng có thông số bất định thường dựa vào sơ đồ cấu trúc tối giản Hình 1.8 vẽ sơ đồ cấu trúc tối giản của hệ điều khiển dựa vào hàm truyền, với P s,q là mô hình của đối tượng chứa thông số bất định q Qđã được mô tả ở mục 1.1.1.1 Bộ điều khiển có hàm truyền C s,x dạng (1.14 ):

i i i

x c ,c , ,c ,d ,d , ,d là véc tơ tham số của bộ điều khiển và chính là

ẩn số trong bài toán thiết kế bộ điều khiển bền vững

Hệ điều khiển SISO cũng có thể dùng phương trình trạng thái (1.13) với phản hồi

trạng thái mô tả trên hình 1.7, trong đó R là bộ điều khiển tĩnh phản hồi trạng thái

1 2

T n

( , )

P s q

Bộ điều khiển

( , )

C s x

er

20

Ở dạng hàm truyền hay ở dạng phương trình trạng thái véc tơ tham số x của bộ điều khiển cần được xác định để hệ điều khiển thỏa mãn ổn định và chất lượng đã được mô tả trong mục 1.1.2.1

- Trường hợp đối tượng được mô tả bằng mô hình bất định không có cấu trúc: Độ bất định được thể hiện ở hàm chặn K(j ) dạng (1-7a), (1-7b) Các phương pháp đánh giá ổn định và một số chỉ tiêu chất lượng như (CL2-1), (CL2-2), (CL2-3) cũng như phương pháp thiết kế bộ điều khiển đều sử dụng hàm chặn này nên phương pháp tần số, đặc biệt là phương pháp H được sử dụng rộng rãi [27, 42, 77]

- Trường hợp đối tượng với mô hình bất định có cấu trúc, độ bất định được thể hiện qua độ bất định thông số (1-2), (1-3) Tập thông số bất định Q thường được xác định qua bản chất vật lý hoặc yêu cầu công nghệ của đối tượng Từ tập Q xác định hàm chặn K(j ) là một việc khó khăn nên việc sử dụng tiêu chuẩn dạng tần số đánh giá các chất lượng (CL2-1), (CL2-2), (CL2-3) kết hợp với phương pháp H cho việc thiết kế bộ điều khiển là không hợp lý [27, ]65 Vì vậy cần hướng tới một giải pháp thích hợp để thiết kế bộ điều khiển bền vững cho mô hình có thông số bất định là rất cần thiết, là đòi hỏi cần phải giải quyết

Do bản chất của mô hình bất định nên mọi phương pháp thiết kế bộ điều khiển bền

vững đều gặp khó khăn là phải xét với mọi phần tử trong tập bất định của đối tượng Trường hợp bất định thông số thì phải xét với mọi giá trị q Q Đ y là khó khăn thuộc về âbản chất khi dùng mô hình bất định mà mọi phương pháp thiết kế bộ điều khiển đều phải tìm cách khắc phục Chương 3 trình bày tỷ mỉ về vấn đề xác định tham số bộ điều khiển bền vững là vấn đề chính mà luận án muốn đề cập Một tổng quan ngắn gọn về vấn đề này được trình bày trong mục 3.1, tiếp theo mục 3.2 của luận án sẽ giới thiệu một phương pháp tối ưu để xác định tham số tối ưu bộ điều khiển bền vững, đảm bảo thỏa mãn chặt điều kiện

ổn định bền vững và một số chỉ tiêu chất lượng khác

1.4 Kết luận chương 1

Điều khiển dựa vào mô hình bất định là một biện pháp làm giảm tác dụng của sai lệch mô hình đối tượng, điều này mang lại nhiều ý nghĩa trong thực tiễn

Việc thiết kế bộ điều khiển bền vững nói chung hay việc xác định tham số cho

bộ điều khiển khi hệ thống có đối tượng với mô hình tuyến tính có chứa thông số bất

21

định nói riêng đòi hỏi phải thỏa mãn đồng thời cả 2 yêu cầu là ổn định bền vững và đạt được một số tiêu chí chất lượng đặt ra với mọi thông số bất định ( q Q ) Tuy nhiên yêu cầu về ổn định bền vững là điều kiện tiên quyết phải xét tới, chỉ khi nào thỏa mãn yêu cầu ổn định bền vững ta mới xem xét tới các tiêu chí về chất lượng Các tiêu chí về chất lượng của các hệ thống khác nhau cũng khác nhau, phụ thuộc từng trường hợp cụ thể, nhưng thông thường các tiêu chí về chất lượng bao gồm các chất lượng đã đưa ra ở trên như (CL2-1), (CL2-2), (CL2-3), (CL2-4), (CL2-5), (CL2-6)

Khái niệm về mô hình bất định, cấu trúc của bộ điều khiển bền vững và bài toán thiết kế bộ điều khiển bền vững đã được trình bày một cách vắn tắt trong chương 1

22

CHƯƠNG 2: XÁC ĐỊNH MỘT TRỊ CỰC TIỂU NON

VÀ ỨNG DỤNG VÀO KIỂM TRA TÍNH

ỔN ĐỊNH BỀN VỮNG HỆ TUYẾN TÍNH

Nội dung chương này là một đề xuất của NCS sử dụng phương pháp phủ tuyến tínhxác định một trị cực tiểu non Trị cực tiểu non được dùng để kiểm tra tính ổn định bền vững hệ tuyến tính có thông số bất định Để có thể làm rõ hơn được ý nghĩa của phương pháp này, trước khi đi vào phần khái niệm, cách xác định một trị cực tiểu non và ứng dụng vào kiểm tra tính ổn định bền vững của hệ có thông số bất định, luận án sẽ giới thiệu tóm tắt phần nội dung cơ bản nhất của các phương pháp kiểm tra tính ổn định bền vững đã có, đưa ra những nhận xét về ưu điểm và những khó khăn cần khắc phục

Hình 2.1: Sơ đồ cấu trúc tối giản hệ điều khiển phản hồi đầu ra

Hình 2.1 là sơ đồ điều khiển phản hồi đầu ra y dạng tối giản của hệ SISO, trong đó

cả đối tượng điều khiển và bộ điều khiển được biểu diễn dưới dạng hàm truyền Tín hiệu đặt r là tín hiệu mong muốn mà đầu ra y của hệ cần phải bám theo Giả thiết hàm truyền

Đối tượng điều khiển

( )P

Bộ điều khiển

23

( , )

P s q của đối tượng là hàm thực hữu tỷ, tức là có dạng hai đa thức chia cho nhau và hệ

số của các đa thức này đều là số thực:

( , )

( , )

( , )

p p

( )

c c

0 1

( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )

( ) ( ) ( )

n n

s q D s q D s N s q N s

Nhiệm vụ bài toán xét tính ổn định bền vững của hệ kín này là kiểm tra tính Hurwitz của

đa thức đặc tính ( , )s q (còn gọi là đa thức đặc trưng), tức là phải kiểm tra xem nghiệm của đa thức ( , )s q có nằm bên trái trục ảo với mọi thông số bất định q Q thuộc miền Q

hay không Nếu điều đó là đúng thì hệ kín ở hình 2.1 được gọi là ổn định bền vững và đa thức đặc tính ( , )s q được gọi là Hurwitz chặt

Với hệ mô tả dưới dạng phương trình trạng thái (2.5) thì hệ điều khiển có thể xây dựng ở dạng phản hồi trạng thái R cho ở hình 2.2 hoặc phản hồi đầu ra như ở hình 2.3 Phương trình trạng thái của hệ được biểu diễn như sau:

r t( ) là tín hiệu đặt (reference signal)

( )u t là tín hiệu đầu vào, ( )y t là tín hiệu đầu ra của hệ

24

A q b q c q ( ), ( ), ( ) của mô hình là ma trận hàm, vector hàm và hàm điều khiển đầu ra,

chúng đều phụ thuộc vào L các thông số bất định q1, ,qL được viết chung lại thành vector ( , , ) 1 T

L

q q q

y

Hình 2.2: Sơ đồ cấu trúc hệ điều khiển phản hồi trạng thái

Từ mô hình trạng thái (2.5) ta cũng sẽ có được hàm truyền của đối tượng điều khiểnnhư sau:

1

Hình 2.3: Sơ đồ cấu trúc hệ điều khiển phản hồi đầu ra

với hàm truyền của đối tượng là:

1

Đối tƣợng điều khiển

( ) ( )

z A q z b q u

Bộ điều khiển

R

25

( , ) dets q sI A q ( ) b q C s c ( ) ( ) T

Trong đó C(s) là bộ điều khiển ở hệ phản hồi đầu ra

Nhiệm vụ bài toán xét tính ổn định bền vững của hệ phản hồi trạng thái hay phản hồi đầu

ra cũng sẽ vẫn được thay bằng bài toán kiểm tra tính Hurwitz chặt của đa thức ( , )s q với

q Q

2.1.2 Một số phương pháp điển hình đã có để kiểm tra tính ổn định bền

vững của hệ tuyến tính chứa thông số bất định

Hiện đã có nhiều phương pháp giúp kiểm tra tính Hurwitz chặt của đa thức ( , )s q cho ở công thức (2.4), (2.7) hoặc tính ổn định bền vững hệ (2.5) Tùy thuộc vào độ phức tạp của cấu trúc bất định a qi( ) trong đa thức đặc trưng ( , )s q và dạng của tập thông

số bất định Q mà áp dụng linh hoạt các phương pháp kiểm tra ổn định sao cho phù hợp, tập thông số bất định Q được mô tả ở trong mục 1.1.1.1 công thức (1.3), (1.4)… Dựa vào mức độ phức tạp của các hệ số a q trong phương trình đặc trưng (2.7) mà i( )nhiều tác giả [41, 46, 65 ] đã phân loại các đa thức đặc trưng theo thứ tự từ đơn giản đến phức tạp như sau:

1 Đa thức có cấu trúc khoảng (Interval polynominal) có các giá trị a q i i( ), 0,1, ,nbiến thiên độc lập trong khoảng compact:

( ) , 0,1, ,

( , )s q s q s q s q đa thức đặc trưng này có các hệ số là các thông số bất định q1 và q2 có giá trị biến thiên trong khoảng là 1.15 q1 2.25, 3.15 q2 4.25

2 Đa thức có cấu trúc bất định tuyến tính (linear uncertainty): có hệ số

( ) Mi L mikj

i ik j

j k

có các hệ số a q a q a q là các hàm đa tuyến tính của 1( ), ( ), ( ) 2 3 q1 và q2

4 Đa thức có cấu trúc bất định phi tuyến (nonlinear uncertainty): a q i i( ), 0,1, ,n là hàm phi tuyến của một đối số q Ví dụ đa thức:

(mikj nguyên dương) Ví dụ đa thức dạng polynomic có 2 thông số bất định như sau:

1

( , , )T , 1, 2, ,

sử dụng phương trình trạng thái, các tác giả thường áp dụng trực tiếp phương pháp

Để phân tích ổn định của hệ SISO tuyến tính có thông số bất định ta có thể dùng phương pháp tần số (hình học), phương pháp đại số, phương pháp H Phương pháp H

không tiện dùng cho cách tiếp cận thông số như đã kể đến trong [27, 65]

Phương pháp nghiên cứu ổn định bền vững của đa thức (2.4) hay (2.7) với mọi thông

số bất định dạng hộp (2.10) có thể phân thành các nhóm sau: Phương pháp tần số, PP đại

số, PP đưa về xét ổn định của một số hữu hạn các đa thức không chứa thông số

2.1.2.1 Phương pháp đưa về xét ổn định một số hữu hạn đa thức không chứa

thông số

Là phương pháp đưa điều kiện cần và đủ ổn định bền vững cho đa thức (2.4), (2.7)

về điều kiện ổn định của một số hữu hạn đa thức k( ), s k 1, ,F không chứa thông số bất định q (cô lập các thông số bất định q ) do đó ta có thể kiểm tra sự thoả mãn chặtđiều kiện ổn định của (2.4), (2.7)

Những phương pháp áp dụng cho đa thức (2.4), (2.7) với hệ số a q i i( ), 0,1, ,n

dạng khoảng (2.8), tức là với ai ai a i i, 0,1, , n , dùng tiêu chuẩn Kharitonov [69] dẫn tới việc xét ổn định của 4 đa thức k( )s không chứa thông số bất định q được lập từ các giá trị biên a ai, i , gọi là đa thức Kharitonov Theo hướng của Kharitonov nhiều công trình [8, 11, 28, 53, 67] đưa ra điều kiện ổn định bền vững cho một số trường hợp đơn giản khác

Trường hợp cấu trúc bất định tuyến tính, điều kiện cần và đủ để ( , )s q ổn định bền vững là các đa thức cạnh phải ổn định [8, 11] Mỗi đa thức cạnh chỉ chứa một thông số Đa thức một thông số được đưa về đa thức khoảng và ta lại có thể dùng tiêu chuẩn Kharitonov (xem ví dụ 2.3)

Để kiểm tra ổn định bền vững của đa thức ( , )s q với cấu trúc bất định dạng multilinear, dạng đa thức, dạng phi tuyến ta không dùng được kết quả của Kharitonov hay kết quả đa thức cạnh, người ta có thế dùng điều kiện ổn định dạng đại số hay điều kiện tần

số (hình học)

28

2.1.2.2 Phương pháp tần số

Dựa vào việc vẽ họ đặc tính tần (Value set) trong mặt phẳng phức của ( , ) j q với mọi q Q và 0, , theo nguyên tắc loại trừ điểm zero (zero exclusion principle) [12, 41, 48, 65] điều kiện ổn định bền vững được đưa về việc kiểm tra các điều kiện:

Khó khăn của phương pháp là vẽ đặc tính tần trong mặt phẳng phức và xét xem có chứa điểm zero không rồi rút ra kết luận về tính ổn định bền vững của hệ hó định nghĩa Kđược một độ đo (số hoá) thông tin về ổn định Độ đo này sẽ cần đến khi đưa bài toán xác định tham số x của bộ điều khiển C s x ( , ) về bài toán tối ưu hoá

Một khó khăn khác nữa của phương pháp dùng đặc tính tần trong mặt phẳng phức là trên thực tế khi vẽ đặc tính tần trong mặt phẳng phức ta phải rời rạc hoá (“băm”) tập Q và tần số và chỉ xét được một số hữu hạn điểm qh Q và h 0, Như vậy có khả năng bỏ sót những điểm ở đó hệ không ổn định Trường hợp bỏ sót dù chỉ 1 điểm ở đó hệ không ổn định thì khi xét theo phương pháp dùng đặc tính tần trong mặt phẳng phức sẽ thấy hệ ổn định Kết luận sai lầm này có thể gây ra nguy hiểm cho sự vận hành hệ thống Như vậy phương pháp đặc tính tần trong mặt phẳng phức khó đảm bảo thoả mãn chặt điều kiện ổn định (xem phụ lục)

-Phương pháp sử dụng trực tiếp tiêu chuẩn Hurwitz

Phương pháp sử dụng tiêu chuẩn ma trận Lyapunov hoặc Kronecker [57]

Các phương pháp đại số kể trên có thể được áp dụng cho hệ với đa thức đặc trưnghoặc hệ biểu diễn ở dạng phương trình trạng thái

29

1) V ới cấu trúc a qi( ) phi tuyến phương pháp đơn giản nhất là đưa về đa thức khoảng, sau khi xác định được:

min ( )i

i q

a a q , i max ( ) i

q

và coi các a q i i( ), 0,1, ,n biến thiên độc lập trong khoảng ai a q i( ) ai, ta lại

có thể dùng tiêu chuẩn Kharitonov Tuy vậy cách làm này chỉ dùng được khi đảm bảo tìm được ai là cực tiểu toàn thể (global minimum) và ai là cực đại toàn thể (global maximum) của ( )a q trên tập i Q Hơn nữa cách làm này chỉ cho điều kiện đủ của ổn

định nên có thể bỏ sót những trường hợp ( , )s q thoả mãn điều kiện ổn định và do đó làm thu hẹp lớp controller của bài toán thiết kế bộ điều khiển

2) Dùng tiêu chuẩn Routh hoặc Hurwitz ta được điều kiện cần và đủ của ổn định dạng:

( ) mk L mkij 0

k ki j

j i

3) Ở dạng phương trình trạng thái ta cũng có thể dùng tiêu chuẩn ổn định dạng Kronecker, dạng Lyapunov Matrix hoặc dạng Bialtermat [57] ta được một bất đẳng thức dạng (2-66), (2-67) hoặc dạng (2-68), (2-69) trong [57] Nghĩa là điều kiện ổn định bền vững được đưa về việc kiểm tra tính dương của một hàm g q( )

4) Một số công trình dùng hàm Lyapunov [23, 54, 61] để được một điều kiện đủ dạng đại

số (2.11), (2.12) của ổn định tuỳ thuộc vào dạng hàm Lyapunov của hệ xét

5) Bài toán kiểm tra sự ổn định của (2.7), (2.10) dẫn đến việc kiểm tra tính dương chặt (Strictly positivity test) của (2.12) (2.10), Khó khăn của nhiệm vụ này là xét (2.12) có thoả mãn với q Q (thoả mãn chặt) hay không? Để kiểm tra tính dương của (2.12) Galoff J, Zettler [25], [79] đưa ( )g q về dạng tổ hợp convex của đa thức Berntein (đa thức (6) trong [ ]) và rút ra một điều kiện đủ cho tính dương của 79 (2.12) Cách làm này thu hẹp lớp ( , )s q thoả mãn điều kiện ổn định bền vững

6) Trong [71] Y Kuroiwa giới thiệu một điều kiện cần và đủ để một đa thức dạng polynomic của biến , ổn định với cả dải x , Điều kiện dẫn tới xét sự thoả mãn của LMI (Linear matrix enequality) M P( ) 0 (xem (13) trong [71]) ( )M P phụ thuộc hệ số C của đa thức ( )P x là hàm của x Vì vậy rất khó kiểm tra được điều kiện

30

“băm” Q rồi xét ở một số hữu hạn điểm qh Q có thể bỏ sót những điểm ở đó g q( ) 0(bỏ sót những điểm làm cho ( , )s q ) không ổn định), tức là dùng điều kiện đại số cũng có thể gặp sai lầm như khi dùng đặc tính tần trong mặt phẳng phức

Như vậy để kiểm tra ổn định bền vững của ( , )s q cho ở (2.4), (2.7) bằng một phương pháp tần số hay một phương pháp đại số ta đều phải xét với q Q Trên thực tế nếu phải “băm” các giá trị q Q và 0, ta chỉ xét được với một số hữu hạn điểm

h

q Q và h 0, thì điều kiện ổn định sẽ không được thoả mãn chặt (xem phụ lục).Dưới đây NCS trình bày một phương pháp tiệm cận để kiểm tra ổn định bền vững qua việc xét tính dương chặt của hàm ( )g q dạng đa thức, với tập thông số bất định dạng k Qhộp

2.2 Phương pháp tiệm cận kiểm tra tính dương chặt của hàm số

chứa thông số bất định

Khi dùng một tiêu chuẩn dạng đại số để kiểm tra ổn định bền vững cho một hệ thống điều khiển tuyến tính chứa thông số bất định sẽ dẫn tới nhiệm vụ kiểm tra tính dương chặt của một số hữu hạn hàm g q với q Q Để dơn giản cho việc trình bày chúng ta xét k( )tính dương chặt của một hàm ( )g q dạng đa thức (2.12) chứa thông số bất định dạng (2.10):

L j j j

Trong không gian Q bằng cách băm tập Q ta chỉ có thể xét được hàm ( )g q ở một số hữu hạn điểm qh Q Thông tin của g qh không đủ tin cậy để kiểm tra tính dương chặt của hàm g q dạng (2.13), (2.14) (Xem phụ lục) ( )

Có một số phương pháp tiến hành trong không gian Q để kiểm tra tính dương của hàm

Với F q là dạng hàm đa thức hoặc ma trận hàm đa thức, ta có được: ( )

31

min ( )

Trong đó M0h là một trị gần đúng trội của Mh

Tuy vậy dùng trị gần đúng trội không đảm bảo kiểm tra được tính dương chặt của (2.13), (2.15) vì nếuM0N 0 chưa chắc đã đảm bảo 0M

Hình 2.4: Biểu diễn tính tiệm cận của cực tiểu trội M 0N và cực tiểu non M uN

Vì không chắc chắn tìm được M nên ta cần tìm một trị gần đúng non (cực tiểu nonLower bound, under estimated minimal value) Mu sao cho:

-u

Dùng giá trị Mucho việc kiểm tra tính dương của (2.13), (2.15) Hiện nay, có một

số phương pháp như trong [3, 4, 16, 18, 19, 24, 26, 33, 34, 35, 39, 45, 46, 47, 73] và các tài

Hiện nay, được quan tâm nhiều là phương pháp chuyển không gian đối với bài toán qui hoạch nửa vô hạn SDP relaxation (semidefinite programming relaxation) của Lassere [34] và của Parrilo [47] Về lý thuyết chúng cho ta nghiệm của POP dưới dạng một dãy cực tiểu non MuNtiệm cận với cực tiểu toàn thể M:

à lim

N

và khi đã thỏa mãn một số giả thiết nhất định phương pháp còn cho giá trị tối ưu của biến

*

q (minimizer): M g q* Dựa vào các công cụ toán học như độ đo xác xuất và những

mô men (Probability measure and its moments); tuyến tính hóa đa thức, SDP, SOS (sum of

square), LMI (linear matrix inequelity) như đã giới thiệu trong [39] Phương pháp SDP relaxation chuyển bài toán POP (2.13), (2.15) tối ưu hóa không lồi (non-convex optimization) về một dãy bài toán tối ưu lồi (convex optimization) SDP và có thể dùng LMI để tìm nghiệm của SDP Phương pháp cũng đã có một số phần mềm để thực hiện [19, 35] Tuy vậy, phương pháp chỉ ở giai đoạn phát triển ban đầu nên còn nhiều khó khăn cần phải khắc phục như nhận định của một số chuyên gia về lĩnh vực này là: Tuy về lý thuyết

rất đầy đủ và chặt chẽ nhưng thực tế sử dụng lại rất khó khăn và mất nhiều công sức (poweful in theory but very expensive in practice ; hiện nay đã có phần mềm cho bài toán ) SDP relaxation tuy vậy gần như không thể sử dụng chúng trong thực tế The present status (

of SDP relaxation software packages excludes their use in practice), vì vậy rất cần thiếtphải khai thác cấu trúc để thuận lợi trong việc tính toán (Exits strong need to: -Exploit system theoretic structure in computations-construct efficient recursive relaxation schemes)…Vì những khó khăn trên, nên hiện nay các kỹ sư rất khó sử dụng được phương pháp này Hy vọng trong tương lai các phương pháp gần đúng nhất là các phương pháp cho giá trị cực tiểu non được hoàn thiện thêm để các kỹ sư có thể sử dụng thuận tiện nhất

Nhiệm vụ của luận án này là xác định tham số bộ điều khiển bền vững cho đối tượng có mô hình tuyến tính chứa thông số bất định với cấu trúc bất định dạng polynomic

và tập dạng hộp Để thực hiện nhiệm vụ trên chúng ta phải kiểm tra tính dương của hàm Q ( )

g q dạng polynomic (2.13) với Q dạng hộp (2.14) Tuy ở đây dạng hộp là một trường Q hợp đơn giản của dạng (2.15), nhưng bài toán (2.16) với dạng (2.13), (2.14) vẫn là bài toán non-convex, nên để kiểm tra tính dương của hàm ( )g q ta vẫn cần đến những phương pháp xác định trị gần đúng non dạng (2.21) hoặc (2.22) Như đã trình bày ở trên, các kỹ sư rất khó áp dụng các phương pháp hiện có vì nó rất phức tạp và tốn nhiều công sức, vì vậy cần

có một phương pháp đơn giản hơn để các kỹ sư dễ dàng sử dụng để tìm cực tiểu non dạng (2.21), (2.22)

ổn định dạng tần số T x, 0; 0, , trong đó ω=q được coi là thông số bất định Trong [3] tác giả dùng phương pháp phủ tuyến tính cho hệ có một thông số bất định với cấu trúc bất định dạng đa thức Trong [4] NCS cùng các tác giả áp dụng phương pháp phủ tuyến tính cho hệ có nhiều thông số bất định với cấu trúc bất định đa thức và tập bất định Q dạng hộp Trong luận án này NCS phát triển phương pháp phủ tuyến tính để áp dụng vào việc thực hiện nhiệm vụ của luận án là kiểm tra tính Hurwitz chặt và xác định tham số của

bộ điều khiển bền vững cho đối tượng có thông số bất định

2.2.1 Một trị cực tiểu non

Xét bài toán (2.16) vớig q( )là đa thức dạng polynomic (2.13) và tập thông số bất định q Q dạng hộp (2.14), ta gọi là bài toán (2.23):

0 1 1

min ( ) min

( , , ) , 1,2, ,

ij

L

i j

M tức là g q( ) 0với q Q , ta gọi đó là tính dương chặt của hàm g q Muốn vậy ta ( )tìm cách chuyển (ánh xạ, relaxation) bài toán (2.23) từ không gian sang không gian khác Q(Ký hiệu là không gian Y) , ở không gian mới này ta có điều kiện xác định được một trị gần đúng non Mu M(2.21), hoặc một dãy cực tiểu non tiệm cận MuN (2.22)

2.2.1.1 Xác định một trị cực tiểu non bằng phương pháp phủ tuyến tính

Để xác định được cực tiểu non Mu ta cần các giả thiết sau:

1) Giả thiết 1 (GT2-1 Hàm ): g q( ) có dạng đa thức (2.13)

2) Giả thiết 2 (GT2-2): Tập Q có dạng hộp (box, Hypercube) (2.14), với q qj; j là số thực hữu hạn không âm

3) Giả thiết 3 (GT2-3 ): m L m, , ij là những số nguyên dương hữu hạn

34

Trong trường hợp GT2 2 không được thoả mãn do có một thông số bất định - qj nào

đó nằm ở nhiều khoảng (hình 2.5), ta chia tập Q ra thành một số tập Q (hình 2.5), mỗi h

hộp Q là compact và xét riêng bài toán h Mh cho từng tập Q : h

q bài toán (2.26) lại thỏa mãn giả thiết 2 (GT2-2)

Hình 2.5: Biểu diễn tập có một thông số bất định q1 nào đó nằm ở 2 khoảng

j

35

1

1

min F( ) min ( )

( ) ij; 0

m

i i

j

Các biến y qi không phải là biến thiên độc lập mà phụ thuộc vào biến q (2.28) Trị số hàm F y cũng như tập ràng buộc Y cũng được xác định qua biến q, hàm g q

và hàm F y (2.31) là các hàm liên tục, tập Q (2.14) và tập Y (2.32) là tập compact, vì vậy theo định lý Weierstrass bài toán (2.23) và bài toán (2.31) phải có nghiệm và tồn tại cực tiểu toàn thể M

Như vậy, về thực chất bài toán (2.31) là dạng thông số của bài toán (2.23), trị cực tiểu M có thể xác định theo bài toán (2.23) trong không gian Q và cũng có thể xác định theo bài toán (2.31) trong không gian : Y

min ( ) min ( )

Q q Q y Y Y

Trường hợp biết chắc chắn tập Y là coY nvex thì bài toán (2.31) có dạng convex programming, dùng một phương pháp hiện có cho bài toán convex về nguyên tắc ta tìm được trị cực tiểu toàn thể M MY Tuy vậy trên thực tế tập Y được cho ở dạng thông số (2.32) nên rất khó biết tính convex của Y , trường hợp không biết chắc chắn tập Y là convex thì bài toán (2.31) không chắc chắn là bài toán convex, nên ta có thể dùng phương pháp phủ tuyến tính để tìm một trị cực tiểu non Mu của MY (Mu M )

Các hàm y qi là hàm tăng đơn điệu theo q nên trong tập Q dạng hộp (2.14) ta tìm được trị cực tiểu toàn thể (infimum) yi và trị cực đại toàn thể (suprimum) yi:

36

1

1

min ( ) max

max ( ) min

ij

ij

m L

i q Q i

q Q j j

m L

Hình 2.6: Minh họa phép chuyển tập ràng buộc Q Y và phép phủ tuyến tính Y bằng H

Hình 2.6 minh họa phép chuyển tập Q(2.14) thành tập Y (2.32) và phép phủ tập H dạng hộp có các cạnh song song với trục tọa độ (2.36), (2.37) lên tập Y (2.35) được gọi là phép phủ tuyến tính Trong tập H ta xác định cực tiểu toàn thể của F y :

1

u

Tuy vậy nếu chỉ dùng một tập phủ H lên tập Y thì trị gần đúng non Mu có thể khá xa với giá trị thật M Dưới đây mục 2.2.1.2 sẽ giới thiệu cách phủ tiệm cận để được một trị gần đúng non tiệm cận

1q1

2y

1y

2y

Y

H

37

2.2.1.2 Khái niệm và cách xác định một trị cực tiểu non tiệm cận M uN

Để có một trị cực tiểu non tiệm cận ta chia cạnh q của hộp j Qthành N phần bằng nhau, khi đó tập Q được chia thành NL hộp con ta ký hiệu là Qv trong đó v ứng với NL giá trị khác nhau và được tạo thành từ L ký tự

1 , 1

q q q

q q qq

q q q

v N j L

Trong đó

11

ij j v

i i i

q Q y Y j