Giải tích 1: Bài 1. Hàm số, dãy số.134

Để tạo điều kiện học tốt trong quá trình h học chế tín chỉ, bài giảng Giải tích 1 cho cá ngành 1, 2 và 3 được viết trên cơ sở đề cươ tích 1 của Bộ môn Toán cơ bản cho các em s Đại học Bá

NHIỆT LIỆT CHÀO MỪN

SINH VIÊN K66

 “Non sông Nam có trở nên tươi đẹp hay

sánh vai với các cường quốc năm châu đượ không

các em”

9 1945 Hồ C

Để tạo điều kiện học tốt trong quá trình h học chế tín chỉ, bài giảng Giải tích 1 cho cá ngành 1, 2 và 3 được viết trên cơ sở đề cươ tích 1 của Bộ môn Toán cơ bản cho các em s Đại học Bách Khoa Hà Nội (có kèm theo đ các nhóm ngành) Bài giảng chứa đựng đầy kiến thức cơ bản, các dạng toán quan trọn minh hoạ bằng các đề thi cuối kỳ từ K50 đến bài giải mẫu Các bài tập phong phú về dạng

có đáp số kèm theo, tạo điều kiện thuận lợi

em sinh viên tự học tốt Do khối lượng bài g hạn, nên không thể đưa vào lời giải của tất c

dụ cũng như các đề thi của các khóa trước, dẫn ra lời giải của một số dạng toán tiêu biểu lời giải thú vị sẽ được thực hiện trên lớp Vì v bài giảng này không đặt mục đích thay thế b

lý thuyết trên lớp Đây là tài liệu có ích cho sinh viên muốn đạt kết quả tốt môn học này

Hà Nội ngày 10 tháng 10 năm

PGS TS Nguyễn Xuân T Ghi chú Bài giảng này nên phô tô một mặt,

mặt để sinh viên ghi chép

MỤC LỤC

CHƯƠNG I PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM

BIẾN SỐ

Bài 1 Hàm số, dãy số 1

Bài 2 Giới hạn, liên tục 7

Bài 3 Đạo hàm và vi phân 16

Bài 4 Đạo hàm và vi phân cấp cao, định lí khả vi 22

Bài 5 Định lí về hàm khả vi và ứng dụng 27

CHƯƠNG II PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM

Bài 11 Ứng dụng của tích phân xác định 62

CHƯƠNG III HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

Bài 12 Hàm nhiều biến 68

Bài 14 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao, cự Bài 15 Cực trị có điều kiện 87

Bài 16 Tích phân kép (Nhóm ngành 3) 91

Tài liệu học tập 99

Đề thi cuối kỳ các năm học từ K50 đến nay

TÀI LIỆU HỌC TẬP

Sách, giáo trình chính :

[1] GS TS Nguyễn Đình Trí (chủ biên), PGS Việt Dũng, PGS TS Trần Xuân Hiển, PGS T

NXB Giáo dục, Hà Nội, 2015, 424 trang

[2] GS TS Nguyễn Đình Trí (chủ biên), PGS Việt Dũng, PGS TS Trần Xuân Hiển, PGS T

[3] Nguyễn Xuân Thảo , Bài giảng Giải tích I, 2 [4] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, N

Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp tập 3: Phép tính

nhiều biến số, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2003, 2

[5] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, N

Hồ Quỳnh, Bài tập toán học cao cấp tập 2: Ph

giải tích một biến số, NXB Giáo dục, Hà Nội,

256 trang

[6] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đình, N

Hồ Quỳnh, Bài tập toán học cao cấp tập 3: Ph

giải tích nhiều biến số, NXB Giáo dục, Hà Nộ

tích phân của hàm nhiều biến, NXB Khoa học

thuật, Hà Nội, 2005, 575 trang

[3] Trần Bình, Hướng dẫn giải bài tập giải tích

học, tập 1, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 200

trang

[4] Trần Bình, Bài tập giải sẵn giải tích II, NXB

học và kỹ thuật, Hà Nội, 2001, 400 trang

[5] George F Simmons, Calculus With Analyti Geometry, McGraw – Hill Science/ Engineerin

1996 USA

[6] James Stewart, Calculus, Brooks/ Cole Publ Company 2003 USA

GIẢI TÍCH I

CHƯƠNG 1 : PHÉP TÍNH VI PHÂN

BÀI 1 (§1.1 §1.5) Tổng quan

-) Galile (300 năm trước): “Cuốn sách vĩ đại

tự nhiên được viết bằng các kí hiệu của Toán họ

-) Toán học là môn học chứa nhiều thành sáng tạo nhất của nhân loại và có sức hút khôthể cưỡng lại được

-) Toán học Giải tích giải quyết các bài động, còn Đại số giải quyết các bài toán tĩnh

Phương pháp học

-) Giải tích là công cụ, cách sử dụng thế nChứ không chỉ ở định lí hay cách chứng minh -) Học lí thuyết trước khi làm bài tập Việcngược lại được ví như: Đi giày trước khi đi tất -) Trong học chế tín chỉ, Sinh viên là người qđịnh

3 Chứng minh logic

a) Phương pháp bắc cầu: (P Q, Q R) (P Rb) Phương pháp phủ định: ( ) (P Q Q

Ví dụ 1 3 + 2 3 + + n 3 =

2

12

1

(1),2

.2

2 2

II Các tập hợp số

1 Sự cần thiết mở rộng tập hợp số

2 Hệ tiên đề của tập hợp số thực

a) (+, ): a, b, c có + a b , a bgiao hoán, kết hợp

b) a, b ! x : + = a x b

c) a, b , 0 ! a x : a.x b = d) a, b a hoặc b b a

quan hệ thứ tự có tính chất phản đối xứng, bắc cầe) Tiên đề supremum

A , A bị chặn trên đều có supremum

a, b , < a b r : < < a r b

§ 1.2 TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ CÁC TÍNH CH Đặt vấn đề

- Vận tốc khác tốc độ?

a aa

§ 1.3 HÀM SỐ Đặt vấn đề

nghiệm, độ cao của

tên lửa được cho

bởi công thức

f t( ) = 128 16t t 2

+)

2 2

2 Một số khái niệm

a) Đồ thị của hàm = ( ) là {( , ( )), TXĐy f x x f x xb) = ( ) chẵn MXĐ có ( ) = (y f x x f x f x)

+) y x( ) a x a x ( a x a x ) y x ( ), x+) Hàm y lẻ

b) (K59) y sinx cos 2x (không chẵn, không

GIẢI

Ví dụ 3 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ (nếu c

Do đó y tuần hoàn với chu kỳ 2 

đ) Hàm hợp: = ( ), = y f x x ( ), có hàm hợp t

y f =  (f(t)) e) Hàm ngược: = ( ), TXĐ , TGT: có hàmy f x X Yngược = x (y)

b) (K59) f x( ) 2 x 2 x, trên ( ,0] (

4 log

2

y

§ 1.4 HÀM SỐ SƠ CẤP

1 Định nghĩa Các hàm số sơ cấp cơ bản là x

ax, logax, sin , cos , tan , cot , và các hàm lưx x x xgiác ngược

2 Các hàm số sơ cấp cơ bản

a) = y x , TXĐ: phụ thuộc , đồ thị (1 ; 1), b) = y a x, 0 < 1, TXĐ: a , TGT: > 0, đồngykhi > 1, nghịch biến khi < 1 a a

a x y + =ax ay , a x y = a x / a yc) = logy ax, 0 < 1, TXĐ: > 0, TGT: a x , đbiến khi > 1, nghịch biến khi < 1 a a

logaxy = log a|x| + log a|y|, log a x

y = loga|x| lologax =  loga|x|;

+) = arccos : [ 1 ; 1] y x [0 ; ] là hàm ngượchàm = cos y x

+) = arctan : (y x ; )  ; 

2 2 là hàm ncủa hàm = tan y x

+) = arccot : (y x ; ) (0 ; ) là hàm ngượcủa hàm = cot y x

x x

là hàm cosin-hyperbolic củ +) y = tanh x = coshsinhx

+) y = coth x = coshxsinh

e e

x e e là hàm cotan-hype của x

Các hàm hyperbolic có một số tính chất tương tự cá hàm lượng giác, cụ thể :

+) cosh 2 x sinh 2 x 1

CM

+) cosh2 x 2 oshc 2 x 1 2sinh 2 x1

+) tanh( x y) 1 tanh x tanhtanhx tanh yy +) +) tanh2 x 12 t

3 Hàm số sơ cấp

Định nghĩa Tạo nên từ các hàm số sơ cấp cơ bảbởi số hữu hạn các phép tổng, hiệu, tích, thươngphép lấy hàm hợp và các hằng số

Ví dụ 1 y 3 x+sinx

GIẢI

d) Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn

1 ) Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn dãy đơn điệ

GIẢI

+) 1 x1 2, ,1 xn 1 2.

+)

2 1

22