Giải tích 1: Bài 4. Đạo hàm và vi phân cấp cao, định lí về hàm khả vi131

Đạo hàm và vi phân cấp cao... Định lí Rolle... Không mâu thuẫn gì, do ĐL Cauchy chỉ là điều.

GIẢI TÍCH I

BÀI 4 (§1.9, §1.10)

§1.9 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN (Tiếp th

5 Đạo hàm và vi phân cấp cao

n y

Ví dụ 2 y = ln , tính x x y(5)

Ví dụ 3. = sin cos , tính y ax bx y(20)

e (K60)

1) Cho f x    x9 ln x Tính f  10  1 (9 2) Cho   



1ln

+) ( )  os   1 2  ( )   sin  ,

2

x

+) y  ( )t 2 3  t6  d y 2  d dy( )  d(6t dt5 ) 3+) y (2)dx2  (6 )( x dx)2  (6 )(2t2 tdt )2  24t dt4

Định lí Rolle f x( ) liên tục trên [ ; ], khả vi ta b

Ví dụ 5 (K51) Cho f x( ) khả vi [0 ; 1], (0) (1f' f'

CMR : (0 ; 1): ( ) = 0  c  f' c

Ví dụ 6 (K52)

a (K52) 1. Cho = + CMR phương trìnha b c 4ax3 + 3bx2 + = 0 có nghiệm thuộc khoảngc

2. Cho a + b + = 0 CMR phương tr c

ax3 + 2bx + 2c = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0

b (K54)1. CMR: Với mọi số tự nhiên lẻ n, phư

x t dt có không quá 2 nghiệm thực p

2 CMR: Với mọi số tự nhiên lẻ , phưn

x t dt có không quá 2 nghiệm thực p

ax bx c 0 có ít nhất một nghiệm thực thuộ

2) Cho 6a+4b+3c=0 CMR phươ

ax bx c 0 có ít nhất một nghiệm thực thuộ

d(K60)1)Hàm số f x ( )  x2 2x có thỏa mãnRolle trên [  3,1]

2 ? Kết luận của định lý Rol đúng ? (không,     1 ( 3,1): 

2

GIẢI 1)

+) f(0)=0 10=f(2) không thỏa mãn ĐL trên [0 

GIẢI

+) f(x)=ax6  bx5  cx liên tục [0;1], khả vi (0;1), f(0)=f(1)=0

4arctan 1

1

x x

1

ln2

n

n k

c (K59)

1) Hàm f x   x x( 1), 1 x 2 có thỏa thiết Định lý Lagrang ? công thức Lagrangcho hàm này ? (Có, c

2) Hàm f x   x x (  1),    1 x 2 có thỏathiết Định lý Lagrang ? công thức Lagrangcho hàm này ? (Không 3) Cho x y i, i ( ; ) a b , x i  y i , i  1,n CMR n

vi trên ( ; )a b thì tồn tại số c  ( ; ) a b , sao cho :

( )

2 1,

+)

+) f t ( ) ln  t liên tục [x;x+2], khả vi (x;x+2), Lagrange, có

g b g a g c

Ví dụ 11 f x( ) = x2, ( ) = g x x3, [1 ; 2] x 

Ví dụ 12. ( ) = | |( + 1), ( ) = , [ 2 ; 1] f x x x g x x x  

Ví dụ 13

a (K53):

1 CMR  x > 0 có 3arctanx + arctan(x + 2) < 4arc

2 CMR  x > 0 có 2arccotx + arccot(x + 2) > 3arc

GIẢI 1)

[arctan( 1) arctan ] 1 (1 )

1 arctan( 2) arctan( 1) 1

0

k k

a , có bốn thực phân biệt CMR : 3a12  8a 2

2 Cho hàm f(x) liên tục trên [0,1], khả vi trên (0,1

+) Phương trình f(x)=1-x có nghiệm trong khoảng +)  a b; a, b  (0,1) : f a f b ( ) ( ) 1  

thuẫn với định lý Cauchy hay không ?

Giải thích ? ( không mâu thuẫn)

GIẢI

 7 , 3

+) không Cauchy

Không mâu thuẫn gì, do ĐL Cauchy chỉ là điều