Vectơ chỉ phương của đường thăng Định nghĩa: Vectơ w được gọi là vectơ chỉ phương của đường thắng A nếu u#0 va gia cua u song song hoặc trùng với A.. Vectơ pháp tuyến của đường thắng và
Trang 1Œy: Danh Thanh 7T uẫn ` - ` ; T rường THPT Bàn Tân Định
ÔN TẬP HÌNH HOC VE PHƯƠNG TRÌNH CỦA DUONG THANG
A KIÊN THỨC
1 Vectơ chỉ phương của đường thăng
Định nghĩa: Vectơ w được gọi là vectơ chỉ phương của đường thắng A nếu u#0 va gia cua u song song hoặc trùng với A
b) Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thắng
Đường thắng đ có vec tơ chỉ phương u(u, „) (u¡z 0) Khi đó hệ số góc của d la: k= 5
Uy
Ví dụ viết phương trình tham số của đường thắng đ đi qua hai điểm B(2 ; 1) ,C(3 ; - 4) Tính hệ số góc của d
Giải
Vì d đi qua B( ; 1) ,CÓ ; - 4)— BC(2;- 5) la vecto chi phuong cua d
5
Phương trình tham sô của d a | mS b
y=yạ+1¿í
3 Vectơ pháp tuyến của đường thắng
và hệ số góc của d là k=——
Dinh nghia: Vecto n duoc gọi là vectơ pháp tuyến đường thắng A nếu n#0 van vuông
góc với vectơ chỉ phương của A
4 Phương trình tổng quát của đường thẳng
Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đông thời băng 0 được gọi là PTTQ của đường thăng
Nhận xét Nếu đường thắng có pt: ax + by +c = 0
Thì có vectơ pháp tuyến là ø(a;b) và có vectơ chỉ phương là z(—b;a) hoặc ø(b;—a)
Ví dụ Lập phương trình tổng quát của đường thắng A đi qua hai điểm AQ ; 1), B(4; - 3)
Giải
Ta có: AB(;- 4) là chỉ phương của A nên n(4;1) là vectơ pháp tuyến của A Vậy A có phương trình tông quát là: 4Œ&- 3) + l@- 1)=0 ©4x+ y -13 =0
6 Góc giữa hai đường thăng
Chú ý: 0° <(A,,A,)<901
A,//A, hoaic A, =A, thi (A,,A,)= 0°
A, LA, @a,b,+a,b, =0
Nếu A,:y=kx+b, A,:y=k,x+b, thi Al A, @ kk, =-1
B MOT SO DANG TOAN THUONG GAP ;
DANG I Viét phương trình tham số của đường thang A
Phương pháp:
> Tìm điểm M,(xạ;yạ) thuộc A
> Tim vecto u(u,;u,) la vectơ chỉ phương của A
> Khi đó đường thắng A có phương trình tham số là: (t là tham số)
làn
Y=Vo tut
DANG 2 Viết phương trình tông quát của đường thang A
Phương pháp:
1 Viết phương trình đường thẳng bằng cách tìm điểm và tìm vectơ pháp tuyến
> Tìm điểm Mạ(x;yạ) thuộc A
> Tim vecto n(a;b) là vectơ pháp tuyến của A
Trang 2> Khi đó đường thắng A có phương trình tổng quát là:
a(x— xạ)+ b(y— yạ)=0 Sau đó khai triển và đưa về dạng ax + by +c = 0 ,
2 Viêt phương trình đường thăng khi biêt trước hệ sô góc K
> Tìm điểm Ä⁄¿(x¿;yạ) thuộc A
> Khi đó phương trình của đường thắng A có dạng:
y=k{%— xạ)+ yạ (hoặc sự dụng đạng y = kx + b)
Sau đó khai triển và đưa về đạng ax + by +c = 0
3 Viết phương trình của đường thắng A qua điểm M,(xạ;yạ) và song song với đường thang d: ax + by +c = 0
> Phương trình của đường thắng A có dạng: ax + by +c =0 (1)
> Thay tọa độ của điểm Me(Œa:y¿) vào (1) ta tìm được c
3 Viét phuong trinh cilia duong thang A qua diém M,(%)3y,) va vuông góc với đường thẳng đ: ax + by +c = 0
> Phương trình của đường thắng A có dạng: — bx + ay +c =0 (1)
> Thay tọa độ của điểm Ả⁄¿(x;;yạ) vào (1) ta tìm được c
DẠNG 3 Xét vị trí trơng đối của hai đường thẳng
Cach 1:
Dé xét vi tri tuong déi cua hai duong thing: A,:a,x+byt+c,=0,A,:a,x+b,y+c, =0 ta lam nhw sau:
(D
,„ |x+by+c,=0
Xét hệ:
a;x+b,y+c; =0
Nếu hệ (I):
> Có nghiệm (xo; yo) thì A, cắt A, tại MŒo ; yo)
> V6 nghiém thi A,//A,
> Vô số nghiệm thì A, =A
Cách 2: Nếu a,b,c, #0 thi:
> 124 LA KA,
a, b,
> 22444 SAA,
a, b, Cy
>„ + T-2—Ó — AEA,
a, b, Cc, DANG 4 Tính góc tạo bởi hai đường thang
> Tìm vectơ pháp tuyến n(a, ;b,) của A¡:ax+b,y+c¡=0
> Tìm vectơ pháp tuyến n.(a, ;b,) của A,:a,x+b,y+c; =0
> Khi đó góc giữa hai đường thắng A, và A, được xác định bởi công thức:
laa, + bb] - +b ib, a? +b Na +b COS (A, ,A,)
> sau dé suyra (A,,A,) =?
Dé tinh khoang cach tur diém Mo(xo ; yo) đên đường thăng A: ax + by + c = 0, ta dùng công thức:
lax, + by, + c|
Va +b’
Tỉnh khoảng cách giữa hai đường thắng song song A, và A
> Lay diém Mo(Xo ; yo) thuộc A,
d(M, A) =
Trang 3> Khoảng cách giữa A, va A là: d(A,,A;) = d(M,A)
DẠNG 6 Chuyển đồi từ phương trình tham số sang phương trình tông quát và ngược lại
Vi du 1.Cho d: mm Viết phương trình tổng quát của d
y =
Cách 1 Ta có: d đi qua điểm M( 2 ; 4) và có vfcp u(3;2) => n(2;—3) là vtpt cua d Vay PTT’Q cua d la:
2(x — 2) +(-3)(y — 4) = 0 hay 2x —-3y+ 8=0
Cách 2 Từ x=2+3r=er=*=^ thế vào y = 4 + 2t, ta có: y=4+t2| ST? ]@3y=12+2x~4G2y-3y+8=0
Ví dụ 2 Cho đường thắng d có PTTQ là : 2x— 3y + 8 = 0 Viết phương trình tham số củad
Thê x = 2 vào 2x — 3y + § =0, ta có : 4— 3y + §=0 -3y=—12 © y=4 Vậy d di qua diém M(2 ; 4)
Từ phương trình của d ta có n2 ;—3) la vtpt của d Suy ra „(3 ;2) la vtcp cua d Vay PTTS cua d là:
c©
y=ÿyạ+1u,f y=4+2/
Bài 1 Lập phương trình tham sô và phương trình tông quát của d trong các trường hợp sau:
a) Đi qua M(2; -3) có vtcp (2;1)
b) ĐiquaM( -2; -3) có vipt n(—2;5)
c) _ Điqua2 điểm A(2; 4) và B(9; - 2)
d) - Đi qua điêm M(0; 2) và có hệ sô góc là k = 5
Bài 2 Việt phương trình tông quát cua d trong hai trường hợp sau
a) DiquaN(5;- 2) va song song voi đ :2x_— 4y +1 =0
b) Đi qua điểm M(3;; - 4) và vuông góc với đ:x+ 3y=0
c) _ Là đường trung trực của đoạn thắng MN, với M(1; - 1) và N@; 2)
Bài 3 Tính góc giữa cặp đường thắng 4, vàd,
á, :4x— 10y+ 1 =0 và đ, :2x-— 4y +13 =0
x=3+2/
y=-2-f
Bài 4 Tìm khoảng cách từ điểm M(9 ; 0) đến d : 2x— y = 9
Bai 1 Việt phương trình tông quát, phương trình tham sô của đường thăng trong môi trường hợp sau:
Di qua diém M(2;1) và tạo với đường thăng 2x — y = 0 góc 450
Bai 2 Cho tam giác ABC biết A(— 4; 1), BQ; 4), C(;— 2)
a Viết phương trình tổng quát của đường thắng AB
b Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thắng AB
c Tính đường cao AH
Bài 3 Hai cạnh của hình bình hành có phương trình
x— 3y = 0 và 2x + 5y + 6 = 0 Một đỉnh của hình bình hành là A(4; —1) Viết phương trình hai cạnh còn lại
Bài 4 Cho đường thăng A : x-— y + 2 = 0 và hai điêm
O(0; 0), A(2; 0)
a.Chứng minh rằng hai điểm A và O năm cùng một phía đối với đường thắng A
b.Tìm điểm đối xứng của O qua A
c Trên A, tìm điêm B sao cho độ dài đường gâp khúc OBA ngăn nhât
ä : 12x— 6y+ 10=0 và ä, |