Bài giảng môn học tín hiệu và hệ thống106

1 Khái niệm tín hiệu và hệ thống 1.1 Định nghĩa tín hiệu và phân loại tín hiệu − Định nghĩa: Tín hiệu là một hoặc nhiều hàm thời gian, mang thông tin vật lý và đ−ợc truyền tải bằng một

BàI GIảNG MÔN HọC TíN HIệU Và Hệ THốNG

Nguyễn Doãn Phước

Bộ môn ĐKTĐ, Trường ĐHBK Hà Nội

Mục lục

1.1 Định nghĩa tín hiệu và phân loại tín hiệu 2 1.2 Định nghĩa hệ thống và phân loại hệ thống 4

2.1 Đáp ứng thời gian và mô hình đáp ứng xung 6 2.2 Mô hình trạng thái hệ liên tục 9 2.3 Mô hình trạng thái hệ không liên tục 10

3.1 Chuỗi Fourier 11 3.2 Phép biến đổi Fourier (toán tử Fourier) 13

4.1 Đặc tính tần số và đồ thị hàm đặc tính tần 17 4.2 Đáp ứng tần số và quan hệ với đáp ứng thời gian 18 4.3 Lọc tín hiệu 20

5.1 Phép biến đổi Laplace (toán tử Laplace) 22 5.2 Hàm truyền mô tả hệ liên tục tuyến tính tham số hằng 24

6.1 Phép biến đổi Z 25 6.2 Hàm truyền mô tả hệ tuyến tính không liên tục 27

1 Khái niệm tín hiệu và hệ thống

1.1 Định nghĩa tín hiệu và phân loại tín hiệu

− Định nghĩa: Tín hiệu là một hoặc nhiều hàm thời gian, mang thông tin vật lý và đ−ợc

truyền tải bằng một đại l−ợng vật lý (khác)

Ví dụ: Tiếng nói là một đại l−ợng vật lý Tiếng nói đ−ợc biến đổi thành dòng điện là một đại l−ợng vật lý khác để truyền hữu tuyến đi xa Dòng điện đ−ợc mô tả bằng một hàm thời gian ( ) Nh− vậy hàm thời gian ( ) ở đây là một tín hiệu, nó mang thông i t i t

tin của tiếng nói và đ−ợc truyền tải nhờ dòng điện

− Phân loại: Cơ sở để phân loại tín hiệu là hàm thời gian ( ) mô tả nó Chúng đ−ợc x t

phân loại thành từng cặp (phạm trù) riêng biệt:

đ−ợc gọi là liên tục, nếu hàm ( ) mô tả nó liên tục từng đoạn, ng−ợc lại nó đ−ợc x t

gọi là tín hiệu không liên tục Tín hiệu không liên tục đ−ợc mô tả bằng dãy các giá

trị {x k}, =k ……, 1,0,1,− ……, trong đó x k là giá trị (trích mẫu) của ( ) tại điểm thời x t

gian =t kT a , tức là x k= (x kT a)

ng−ợc lại nó sẽ đ−ợc gọi là tín hiệu rời rạc Chẳng hạn tín hiệu có giá trị chỉ là những số hữu tỷ là tín hiệu rời rạc

3) tiền định và ngẫu nhiên (phân loại theo sự mô tả bởi một hay nhiều hàm),

4) tuần hoàn và không tuần hoàn,

5) nhân quả và phi nhân quả (causal và uncausal) Tín hiệu nhân quả là hàm ( ) x t

thỏa mãn ( )=0 khi <0, ng−ợc lại nó sẽ đ−ợc gọi là phi nhân quả x t t

Việc phân chia chúng thành từng cặp nh− vậy để nói rằng một tín hiệu không thể có

rời rạc, song lại có tín hiệu vừa không liên tục và vừa rời rạc Tín hiệu không liên tục

và rời rạc đ−ợc gọi là tín hiệu số

Ngoài ra, tín hiệu còn đ−ợc đánh giá qua P ∞ x t dt( )

−∞

−∞

suất và năng l−ợng, tức là chuẩn bậc 1 và bậc 2 của hàm

− Một số tín hiệu điển hình: Tín hiệu điển hình đ−ợc hiểu là những tín hiệu cơ bản nhất

mà các tín hiệu khác biểu diễn đ−ợc thông qua chúng

t t

4) Tín hiệu điều hòa: x t1 ( ) sin( = ω ϕt+ và ) x t2 ( ) cos( = ω ϕt+ )

5) Xung dirac: ( )t d t1( )

dt

tại đạo hàm, nên định nghĩa trên không chặt chẽ Nó được thay bằng:

tức là xung dirac được xem như một ánh xạ δ: ( ) (0)x t ֏x ∈R từ không gian hàm

số vào trường số thực Dấu tích phân trong (1.1) không có ý nghĩa về mặt toán học, nó chỉ có nghĩa rằng phép tính đó có tính chất giống như một tích phân và

người ta gọi nó là hàm mở rộng δ( ) Công thức (1.1) được suy ra từ việc xấp xỉ t

hàm liên tục ( ) bất kỳ thành tổng tuyến tính của các hàm xung vuông: x t

s t ∞ δ t kT

=ư∞

Vì xung dirac là hàm mở rộng nên ( ) cũng là một hàm mở rộng Từ hàm trích s t

mẫu này thì tín hiệu không liên tục {x k}, =k ……, 1,0,1,ư ……, thu được từ việc trích

mẫu x k= (x kT a) của tín hiệu liên tục ( ), với x t T a là chu kỳ trích mẫu sẽ có dạng: {x k}= ( ) ( )x t s t đ.n.= x t⌢( )

Như vậy tín hiệu không liên tục x t⌢( )={x k} cũng là một hàm mở rộng

1.2 Định nghĩa hệ thống và phân loại hệ thống

ư Định nghĩa: Hệ thống là tập hợp các phần tử (linh kiện, thiết bị, phương pháp, thuật

toán ) được kết nối với nhau để thực hiện một nhiệm vụ cụ thể và có giao tiếp với …môi trường bên ngoài bằng các tín hiệu vào và ra (hình 1.2)

Ví dụ: Hệ thống bình trộn dung dịch (hình 1.3) Các phần tử của chúng gồm hai bình chứa dung dịch khác nhau, các đường ống dẫn dung dịch và hai van chỉnh lưu lượng

được kết nối với nhau cả về mặt cơ khí và cả về các định luật cân bằng Hệ thống bình trộn giao tiếp với môi trường bên ngoài bằng các độ mở van (tín hiệu vào) và nồng độ dung dịch chảy ra (tín hiệu ra)

liên kết các phần tử bên trong, nhiệm vụ của hệ thống và dạng tín hiệu giao tiếp với môi trường xung quanh:

Tương tự là các hệ MIMO, MISO, SIMO

2) Cấu trúc liên kết các phần tử Hệ kín: là hệ có ít nhất một đường mô tả mối liên kết giữa các phần tử tạo thành vòng kín, ngược lại được gọi là hệ hở

a) Hệ tham số hằng , nếu mô hình toán T u: ֏ y của nó không thay đổi (theo

hình của nó thay đổi theo thời gian (thường còn được gọi là hệ nonautonom),

b) Hệ tuyến tính, nếu ánh xạ là tuyến tính, ngược lại thì được gọi là T phi tuyến

( )

ngược lại thì được gọi là phi nhân quả (phụ thuộc cả thời tương lai của ) u

d) Hệ tĩnh, nếu có y t( ) =T u( )( )τ khi =t τ, ngược lại thì gọi là động

4) Tín hiệu giao tiếp bên ngoài Hệ liên tục: , nếu tín hiệu vào ra là liên tục ư u t y t , ( ), ( ) ngược lại nếu tín hiệu vào ra là không liên tục ư { k},{ }

k

u y , thì được gọi là hệ không liên tục Hệ có tín hiệu vào ra vừa không liên tục, vừa rời rạc được gọi là ư hệ số

xạ được gọi là T mô hình hóa Các hình thức mô tả cơ bản bao gồm:

( , (1), , ( ) n, , (1), , ( )m) 0

2) Mô hình vào ra (phương trình sai phân) cho hệ không liên tục: ư

trong đó x= x1… x n)T là vector các đại lượng trạng thái (bên trong) hệ

4) Mô hình trạng thái (hệ phương trình sai phân) cho hệ không liên tục:

1) Hai khối mắc nối tiếp

2) Hai khối mắc song song

3) Hai khối mắc hồi tiếp

ư Bài tập:

SISO ở hình 1.5, trong đó ( ) là tín hiệu u t

vào và ( ) là tín hiệu ra của hệ y t

b) là hệ phi nhân quả nếu có > m n

4) Viết công thức lặp xác định tín hiệu ra y theo tín hiệu vào k u cho hệ không liên k

tục với mô hình trạng thái

2 Biểu diễn trên miền thời gian

2.1 Đáp ứng thời gian và mô hình đáp ứng xung

số hằng, có dạng:

k k n k n k k m k m

Bài toán xác định đáp ứng của hệ (2.1) được hiểu là xác định dãy giá trị tín hiệu ra

{y k}, = 0,1,k …… từ tín hiệu vào {u k}, = 0,1,k …… và các trạng thái đầu y0, y1, …… , y nư 1cho trước Vì tín hiệu vào ra là causal nên phải có ư u k =0, y k=0 khi <0 k

1) Phương pháp trực tiếp: Từ (2.1) ta có ngay công thức lặp để tính y k, = , +1,k n n …… như sau:

k k k m k m k n k n

y =b u +b u ư + ⋯ +b uư ư a yư + ⋯ +a yư

2) Phương pháp gián tiếp: Do phương trình sai phân (2.1) là tuyến tính nên nghiệm

còn gọi là đáp ứng tự do, và nghiệm riêng, gọi là đáp ứng cưỡng bức

a) Đáp ứng tự do: Là nghiệm của

n

c z⋅ ư z +a z ư + ⋯ +a = ⇒ n 1 n1 0

n

Phương trình (2.3) có tên gọi là đa thức đặc tính của (2.2)

Giả sử (2.3) có nghiệm n z1, z2, …… , z n khác nhau đôi một (chú ý rằng chúng

có thể là nghiệm phức, nhưng sẽ tạo thành các cặp liên hợp) Khi đó nghiệm thuần nhất của (2.2) sẽ là:

1 1k 1 2k k

bội , thì thành phần q c z tương ứng trong (2.4) sẽ được thay bởi: i i k

ở cả hai trường hợp luôn có hằng số cần phải xác định n

b) Đáp ứng cưỡng bức: Là một nghiệm riêng của (2.1), được tìm bằng cách giả

định trước cấu trúc của y k theo u k đã biết nhưng với tham số bất định Sau đó

ta sẽ xác định các tham số đó bằng cách thay vào (2.1) rồi cân bằng hệ số của

hai vế Bảng sau giới thiệu một số cấu trúc của y k với và A A i là tham số chưa

biết, được chọn theo u k:

c) Nghiệm chung: Nghiệm của (2.1) sẽ là tổng của nghiệm thuần nhất (2.4), tức là

quá trình tự do và một nghiệm riêng (quá trình cưỡng bức) được tìm từ b) Các

hằng số c1, c2 , …… , c n và c i,1, c i,2 , …… , c i q, trong nghiệm tổng quát này sẽ

được xác định từ trạng thái đầu n y0 , y1 , …… , y nư 1 cho trước

SISO, nhân quả, liên tục, tuyến tính tham số hằng, là:

vi phân tuyến tính tham số hằng (2.6) khi biết trước ( ), tức là khi biết trước vế u t

phải, và giá trị đầu n y(0),y(1)(0), , ⋯ y(nư1)(0) Do (2.6) là tuyến tính nên nghiệm ( ) y t

các giá trị đầu cho trước), còn gọi là đáp ứng tự do, và một nghiệm riêng của (2.6) có

u t⌢ =b u t +b u t + … +b u t đã biết, được xác định từ ( ) đã cho và u t

các giá trị đầu bằng 0, gọi là đáp ứng cưỡng bức

1) Đáp ứng tự do: Là nghiệm của

nghiệm λ1, λ2, …… , λn khác nhau đôi một, thì nghiệm thuần nhất của (2.6) sẽ là:

y t =c eλ +c eλ + ⋯ +c eλ với c1, c2 , …… , c n các là hằng số (2.8) Trường hợp phương trình đặc tính (2.3) có nghiệm bội, chẳng hạn có nghiệm λi

đó thay vào (2.6) rồi cân bằng hệ số của hai vế để có các tham số này

Bảng sau là một số dạng đặc biệt của ( ) được chọn theo y t u t⌢( ) cho hệ bậc 2 ( =2), trong đó và n A A i là tham số chưa biết cần được xác định:

m i i

i i

ư Mô hình đáp ứng xung:

1) Xét hệ không liên tục (2.1) Ký hiệu {g k}, =0,1,k …… là tín hiệu ra khi tín hiệu vào

có dạng dãy xung {δk}={1,0,0, …… } và hệ đang ở trạng thái đầu bằng 0 Do dãy

giá trị tín hiệu vào {u k}, =0, 1,k …… biểu diễn được dưới dạng tổng tuyến tính:

Nói cách khác, dãy giá trị đáp ứng xung g { k}, =0,1,k …… là một mô hình mô tả hệ

(2.1), nó cho phép ta xác định được tín hiệu ra {y k}, = 0,1,k …… từ tín hiệu vào

{u k}, = 0,1,k …… khi hệ có trạng thái đầu bằng 0, theo công thức tích chập (2.10)

mạnh tính chất “mô hình” của nó

2) Tương tự ta xét hệ liên tục (2.6) và gọi ( ) là đáp ứng của nó với hàm xung dirac g t

δ( ) khi hệ có trạng thái đầu bằng 0 Vì mọi tín hiệu vào ( ) bất kỳ nào khác t u t

luôn có dạng tổng tuyến tính (1.1) các hàm xung diract, tức là:

tín hiệu ra ( ) từ tín hiệu vào ( ) khi hệ có trạng thái đầu bằng 0, theo công y t u t

thức tích chập (2.11) Cũng vì lý do đó, hàm đáp ứng xung này còn được gọi là

hàm trọng lượng của hệ

Chú ý: Vì xung dirac δ( ) không mang bản chất của một hàm thường, tức là không t

phải là một tín hiệu, nên nói chung ta không thể xác định được hàm trọng lượng

g t( ) theo những phương pháp trực tiếp trên miền thời gian

2.2 M« h×nh tr¹ng th¸i hÖ liªn tôc

k

d p dt

n n

SISO nh©n qu¶, liªn tôc, tuyÕn tÝnh, tham sè h»ng cã m« h×nh vµo− ra (2.6) Ph−¬ng

tr×nh tr¹ng th¸i nµy cã A lµ ma trËn n n × , B lµ vector cét, C lµ vector hµng vµ D lµ h»ng

ở hệ không dừng, các ma trận A ,B,C,D trong (2.14) sẽ phụ thuộc thời gian, còn ở

hệ tham số rải các ma trận này sẽ phụ thuộc tham số không gian Nghiệm tổng quát của

(2.14) với giá trị đầu x (0)=x0 là:

) 0

0

0

k

At e

tín hiệu vào là u t( ) =tsin(2 )t và trạng thái đầu là (0)= y y(1)(0)=1

2.3 Mô hình trạng thái hệ không liên tục

Tương tự như đã làm với hệ liên tục mà ở đó mô hình trạng thái (2.12), (2.13) được dẫn ra từ mô hình vào ra (2.6), thì ở đây, từ mô hình vào ra (2.1) của hệ không liên tục, ư ưsau khi bổ sung các hệ số b m+1= =⋯ b n=0, cũng như ký hiệu z y ⋅ k =y k+1 chỉ phép tính dịch trục và giá trị trạng thái: n

k n

x x

3 Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier

3.1 Chuỗi Fourier

ư Bài toán: Cho hàm ( ) Với điều kiện nào thì phân tích nó được thành chuỗi: x t

0

1

1) Hàm ( ) phải tuần hoàn với chu kỳ , vì vế phải là hàm tuần hoàn với chu kỳ x t T T

2) Hàm ( ) phải liên tục từng đoạn và tại điểm không liên tục x t t0 phải có:

Đây là điều kiện để dấu bằng cũng đúng tại t0

3) Dirichlet: Điều kiện đủ để chuỗi Fourier (3.1) ở vế phải hội tụ là:

liên tục, đơn điệu trong các khoảng con đó

Một cách nói khác: Nếu hàm ( ) chỉ có hữu hạn các điểm không liên tục và cũng x t

∞

∑

tức là khi đó giới hạn ( ) của chuỗi (3.1) cũng là hàm liên tục, khả vi, khả tích x t

giống như các phần tử của chuỗi

ư Khai triển chuỗi: Các hệ số thực a k , b k, =,0,1,k …… và hệ số phức c k, =k ……, 1,0,1,ư …… trong chuỗi (3.1) được xác định từ ( ) theo: x t

x t+ = ư x t ∀ thì a t 0=a2=a4= … b = 2=b4= … =0

4) Bình phương sai lệch

gọi là đa hài của ( ) Phân tích đơn hài và đa hài được sử dụng nhiều trong các x t

ngành thuộc lĩnh vực điều khiển truyền tải điện và điện tử công suất, cũng như phân tích các dao động điều hòa thành phần của tín hiệu tuần hoàn trong các quá trình vật lý âm học, nhiệt học, điện, cơ ……

2) Tìm nghiệm tuần hoàn của một số phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả quá trình truyền sóng, truyền nhiệt

3) Lọc nhiễu với tần số xác định có trong tín hiệu tuần hoàn ( ) x t

4) Phân tích sự giao thoa các đáp ứng xung trong hệ tuyến tính

5) Xấp xỉ một tín hiệu ( ) tuần hoàn, liên tục từng đoạn bằng tổng hữu hạn các x t

hàm điều hòa:

0

1

Chú ý rằng khi đó, xung quanh điểm không liên tục t0 của ( ), tổng hữu hạn ở vế x t

phải vẫn là một hàm liên tục với các thành phần dao động có biên độ lớn Tổng

hiện tượng Gibb (hình 3.1)

6) Thiết kế tín hiệu tuần hoàn ( ) với dải tần số làm x t

việc cho trước

7) Với tín hiệu không liên tục {x k}, =k ……, 1,0,1,ư ……,

trong đó x k= (x kT a ) và T a là chu kỳ trích mẫu được

suy ra từ tín hiệu liên tục ( ), thì từ giá trị trích x t N

mẫu x0, x1, , … x Nư 1 có được trong một chu kỳ , T

(NT a= ) các hệ số Fourier trong (3.1) sẽ được tính T

1 1 1 0

rời rạc (DFS Discret Fourier Series) Nói cách khác, bản chất của DFS chính là ưchuỗi Fourier (3.1) được áp dụng cho tín hiệu không liên tục Chú ý: Tên gọi rời

nghĩa cho tín hiệu Để chặt chẽ, ta nên gọi nó là chuỗi Fourier cho tín hiệu không

liên tục thay vì chuỗi Fourier rời rạc

T k

3.2 Phép biến đổi Fourier (toán tử Fourier)

Cho hàm ( ) x t ảnh Fourier của nó, ký hiệu bởi (X jω ) được định nghĩa là:

được gọi là phép biến đổi Fourier và thường được viết thành:

{ }x t( ) =X j( ω)

F cũng như Fư 1 X j { ( ω)}=x t( )

ư Câu hỏi: Hàm ( ) phải thỏa mãn điều kiện gì thì mới có ảnh Fourier (x t X jω)?

− Trả lời:

phân vô hạn thứ nhất trong (3.5) phải hội tụ, hay tín hiệu ( ) có công suất hữu x t

2) Nếu ( ) không liên tục tại x t t0 thì để ảnh ng−ợc ở công thức thứ hai trong (3.5)

cũng đúng tại t0, hàm ( ) phải có giá trị tại x t t0 là:

{n i i ( )} n i { ( )}i

i

a x t a x t

4) Phép biến đổi Fourier là nội xạ (injective x t): ( )≠y t( ) ⇒ F { ( )}x t ≠F { ( )} y t

5) Nếu có x t( ) =x t( ) thì cũng có X(−jω)=X j( ω), trong đó a là ký hiệu chỉ số phức

{ } 1 { } { } 1

Z jω =F x t y t⋅ = πF x t F y t = π X jω Y jω (3.7)

Chú ý: Do phép nhân ( ) ( ) không đóng trong x t ⋅y t L1, nên mặc dù hai hàm ( ), x t

y t( ) đã có ảnh (X jω), (Y jω) song có thể tích của chúng lại không có ảnh Fourier

8) Parseval: Giữa năng l−ợng tín hiệu ( ) và ảnh Fourier (x t X jω) của nó có quan hệ:

9) RiemannưLebesgue: ả nh Fourier ( X jω) là hàm liên tục theo ω và lim X j( 0

10) Chuỗi Fourier (3.1) là trường hợp riêng của phép biến đổi Fourier (3.5):

Nếu hàm ( ) là tuần hoàn với chu kỳ , tức là ( + )= ( ), x t T x t T x t ∀t, thì ảnh Fourier

X j(ω ) của nó sẽ là dãy các giá trị 2π{ ……… , cư1, c0, c1, ……} xác định tại n2

trong đó T a là chu kỳ trích mẫu trong miền thời gian

3) Khảo sát đặc tính tần số của một tín hiệu (không tuần hoàn) để biết được dải tần

5) Thiết kế tín hiệu ( ) có dải tần số làm việc mong muốn x t

6) Tìm nghiệm của một số phương trình vi phân đạo hàm riêng như phương trình Laplace, phương trình truyền sóng, truyền nhiệt

7) ả nh X a (j ω) của tín hiệu không liên tục {x k}, =k ……, 1,0,1,ư …… là:

k

X jω T ∞ x eưω

=ư∞