8 Chương 1 BIẾN ĐỔI WAVELET Wavelet là công cụ toán học để phân chia dữ liệu thành những thành phần tần số khác nhau, sau đó nghiên cứu mỗi thành phần đó với độ phân giải tương ứng với
BIẾN ĐỔI WAVELET
Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet
Biến đổi Fourier của tín hiệu f(t) là một phép biến đổi tuyến tính, ánh xạ tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số được định nghĩa: (Tham khảo trong [1, 2])
Biến đổi Fourier rất phổ biến và là một trong những công cụ chính trong xử lý tín hiệu đặc biệt là đối với các tín hiệu Nó cho ta biết được đặc trưng quan trọng của tín hiệu đó là tần số Trong hình (1.2) thì biểu diễn của tín hiệu được phân tích phân tích sẽ bao gồm 02 thành phần tần số đó 20 rad/s và 40 rad/s
Hình 1.2 Biến đổi Fourier một hàm tuần hoàn
Thông tin được chia đều trên toàn bộ trục thời gian nhờ tích phân từ -∞ đến +∞, nghĩa là mỗi thành phần tần số đóng góp cho toàn bộ miền thời gian Vì thế biến đổi Fourier không phù hợp với các tín hiệu có tần số thay đổi theo thời gian, như tín hiệu không dừng (non-stationary) Điều này có nghĩa là biến đổi Fourier chỉ có thể cho biết sự tồn tại hay không của các thành phần tần số nhất định, còn thông tin về thời điểm xuất hiện của các thành phần phổ lại nằm ngoài phạm vi phân tích Fourier.
Biến đổi Fourier ngắn (STFT - Short Time Fourier Transform) là một biểu diễn tần số-thời gian tuyến tính cho tín hiệu Trong STFT, tín hiệu được chia thành các đoạn ngắn có kích thước phù hợp sao cho mỗi đoạn có thể coi là dừng (stationary) Nhờ phân đoạn này, phân tích Fourier được thực hiện trên từng cửa sổ tín hiệu và kết quả cho phép quan sát sự biến đổi phổ theo thời gian STFT được định nghĩa bằng cách áp dụng một hàm cửa sổ lên tín hiệu rồi thực hiện biến đổi Fourier trên mỗi cửa sổ, tạo ra một trường tần số-thời gian liên tục cho tín hiệu Vì vậy, STFT cung cấp một cách tiếp cận tuyến tính để theo dõi sự thay đổi của phổ tín hiệu theo thời gian. -**Support Pollinations.AI:** -🌸 **Ad** 🌸Powered by Pollinations.AI free text APIs [Support our mission](https://pollinations.ai/redirect/kofi) to keep AI accessible for everyone.
Trong đó: w(x) là hàm cửa sổ
Hình 1.3 Biến đổi Fourier trong mặt phẳng thời gian-tần số
Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của cửa sổ được sử dụng Cửa sổ càng hẹp thì độ phân giải thời gian càng tốt và sự thừa nhận tính dừng của tín hiệu càng hợp lý, nhưng độ phân giải tần số kém đi; ngược lại, cửa sổ càng rộng sẽ cải thiện độ phân giải tần số nhưng làm giảm độ phân giải thời gian.
Hình 1.4 Cửa sổ Fourier rộng, hẹp và độ phân giải trên mặt phẳng thời gian – tần số
Vấn đề căn bản của phân tích biến đổi STFT là độ phân giải thời gian và tần số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg Các phương trình cơ bản của STFT không thể cho biết một cách chính xác thời điểm tồn tại của các thành phần phổ, cũng như khó xác định thời điểm mà một dải tần số nhất định chắc chắn xuất hiện trong tín hiệu.
Vấn đề cốt lõi là chọn hàm cửa sổ và áp dụng nó cho toàn bộ phân tích tín hiệu, vì quyết định này phụ thuộc vào ứng dụng cụ thể Nếu các thành phần tần số tách biệt với nhau trong tín hiệu gốc, ta có thể hi sinh độ phân giải tần số để cải thiện độ phân giải thời gian Ngược lại, khi các thành phần phổ không tách biệt với nhau, việc lựa chọn cửa s_window phù hợp trở nên khó khăn và ảnh hưởng đến chất lượng phân tích.
1.1.2 Biến đổi Wavelet Độ phân giải thời gian và tần số là kết quả của hiện tượng vật lý (nguyên lý bất định Heisenberg) và luôn tồn tại dù sử dụng bất kỳ biến đổi nào Tuy nhiên người ta có thể khắc phục vấn đề này khi phân tích tín hiệu bất kỳ nhờ sử dụng phép tính gần đúng luân phiên được gọi là biến đổi Wavelet (WT_Wavelet Transform) Biến đổi Wavelet phân tích tín hiệu thành các tần số khác nhau với những độ phân
11 giải khác nhau Trong biến đổi Wavelet mỗi thành phần phổ không được phân tích ngang bằng như trong trường hợp biến đổi STFT (Tham khảo trong [3, 4])
Hình 1.5 Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số của các phép biến đổi
Biến đổi Fourier và STFT phân tích tín hiệu bằng các sóng sin tương ứng với từng tần số để biểu diễn các thành phần phổ của tín hiệu Biến đổi Wavelet thì dùng một hàm Wavelet mẹ và các bản dịch, co giãn (dịch và scale) để phân tích tín hiệu ở nhiều khung thời gian và tần số khác nhau Các sóng sin dùng trong biến đổi Fourier là các hàm tuần hoàn có miền xác định vô hạn và trơn vô hạn cấp, giúp mô tả tín hiệu trên toàn bộ thời gian với độ mịn về tần số Trong khi đó, hình dạng của Wavelet không đồng nhất; miền xác định có thể hữu hạn và không đối xứng, cho phép phân tích thời gian - tần số với độ phân giải tùy ý theo loại Wavelet được chọn.
Biến đổi WT được thiết kế để đạt được độ phân giải thời gian tốt ở tần số cao và độ phân giải tần số kém ở cùng tần số, trong khi ở tần số thấp WT cho độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém Điều này có ý nghĩa trong việc loại bỏ nhiễu thông tin có ích thường tồn tại ở các thành phần tần số thấp, còn nhiễu tập trung chủ yếu ở các thành phần tần số cao.
Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa như sau:
ψ12 là hàm cửa sổ hay còn gọi là Wavelet mẹ (mother Wavelet) a là tỉ lệ (scale) dùng để thay đổi tỉ lệ và b là khoảng dịch (shift) dùng để dịch vị trí thời gian; đây là hệ số chuẩn hóa năng lượng.
Đặc tính nổi bật của hàm ψ_{a,b}(t) là khả năng thay đổi độ rộng trong miền thời gian khi điều chỉnh tham số tỉ lệ (a) và vị trí (b) Nhờ cơ chế co dãn theo thang đo này, wavelet có thể nén mở rộng tín hiệu ở các khung thời gian khác nhau mà vẫn giữ được chi tiết quan trọng, từ đó cho phép phân tích tín hiệu theo cả thời gian và tần số Vì vậy hàm Wavelet được gọi là hàm có khả năng co dãn thời gian-tần số, thích nghi với đặc trưng tín hiệu ở nhiều tần số khác nhau Do đặc tính này, Wavelet trở thành công cụ mạnh mẽ trong xử lý tín hiệu, phân tích phổ thời gian-tần số và được ứng dụng rộng rãi trong xử lý âm thanh, ảnh, cảm biến và nhiều lĩnh vực khác.
Trong phân tích wavelet, hai khái niệm “zoom in” và “zoom out” diễn tả sự thay đổi quy mô thời gian–tần số của tín hiệu Với hệ số a1 thì ψ_{a,b}(t) mở rộng và mang tần số thấp Việc lấy tỉ lệ của wavelet mẹ cho phép so sánh và rút ra những đặc điểm chính xác của tín hiệu Các wavelet ở tỉ lệ nhỏ có khả năng trích xuất phần biến thiên nhanh và tần số cao (phần tinh), trong khi tỉ lệ lớn trích được phần biến thiên chậm và tần số thấp (phần thô) của tín hiệu.
Thuật toán CWT có thể được mô tả như sau:
1 Chọn Wavelet và so sánh với phần đầu của tín hiệu nguyên bản
2 Tính hệ số C(a,b), thể hiện mức độ tương quan giữa wavelet và phần của tín hiệu Hệ số C càng cao thì sự tương tự là lớn Chú ý kết quả sẽ phụ thuộc vào hình dạng của Wavelet đã chọn
3 Dịch Wavelet về phía phải và lặp lại bước 1 và 2 cho đến khi bao phủ toàn bộ tín hiệu
4 Lấy tỷ lệ Wavelet và lặp lại từ bước 1 đến bước 3.
1.1.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet
FFT (Biến đổi Fourier nhanh) và DWT (Biến đổi Wavelet rời rạc) là các phép toán tuyến tính tạo ra cấu trúc dữ liệu gồm các đoạn có độ dài log2 n thay đổi, sau đó được điền đầy và biến đổi thành các vectơ dữ liệu có độ dài 2^n Các ma trận liên quan đến hai biến đổi này có đặc điểm toán học tương tự nhau, và ma trận biến đổi ngược của cả FFT và DWT được coi là ma trận chuyển vị của ma trận gốc Vì vậy, cả hai biến đổi có thể xem như một phép quay không gian hàm sang một miền khác Với FFT, miền mới này chứa các hàm cơ sở là sin và cosin, trong khi với biến đổi Wavelet miền mới chứa các hàm cơ sở phức tạp hơn được gọi là Wavelet, Wavelet gốc (mother wavelet) hay Wavelet phân tích (analyzing wavelet).
Phép biến đổi Wavelet liên tục
Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa:
W(a,b) f(t)* a , b (t)dt (1.5) Trong đó a là hệ số tỷ lệ (scaling) và b là hệ số dịch (translation), với ψ* a,b (t) là liên hợp phức của hàm wavelet ψ a,b (t)
Hệ số dịch b cho biết hàm được làm trễ đi hoặc nhanh lên, tức sự trượt hàm trên trục thời gian
Hình 1.10 Phép dịch trong biến đổi CWT
Hệ số tỉ lệ a cho biết mức độ giãn nở hoặc co lại của các hàm; khi hệ số này càng nhỏ, hàm bị co lại nhiều hơn Việc chọn hệ số tỉ lệ nhỏ cho phép ta lấy ra các thành phần biến thiên nhanh, có tần số cao (phần tinh) của tín hiệu Ngược lại, hệ số tỉ lệ lớn hơn giúp trích ra các phần biến thiên chậm, có tần số thấp (phần thô) của tín hiệu.
Hình 1.11 Phép thay đổi tỉ lệ trong biến đổi CWT
Các phiên bản khác nhau của hàm Wavelet a , b (t)có thể thu được từ Wavelet cơ bản:
, ( ) 2 1 (1.6) với a, b là các số thực (a 0), a , b (t)là hàm Wavelet gốc, có giá trị trung bình bằng không:
Hàm Wavelet a , b (t)có dạng bất biến trong không gian L 2 (R) của các hàm tích phân bình phương vì có hệ số chuẩn hoá a 1 2
Tín hiệu có thể được khôi phục nhờ biến đổi Wavelet ngược:
(1.7) trong đó C phải thoả mãn điều kiện:
17 với ˆ()là biến đổi Fourier của hàm Wavelet a , b (t) C là hằng số phụ thuộc vào hàm Wavelet a , b (t) C là hữu hạn chỉ khi hàm ˆ(0)0hay điều kiện tương đương:
Để đảm bảo các hàm Wavelet phân rã nhanh chóng tới 0 và do đó được cục bộ hóa trong miền thời gian, chúng phải thỏa mãn một điều kiện nhất định Điều kiện đó giúp hàm Wavelet tiêu tán nhanh ở biên và giới hạn ảnh hưởng theo thời gian, từ đó nâng cao hiệu quả phân tích tín hiệu bằng Wavelet.
Một chuỗi Wavelet có được nhờ gián đoạn hoá CWT Sự gián đoạn hoá
CWT được thực hiện thông qua lấy mẫu trên mặt phẳng thời gian-tỷ lệ, cho phép phân tích tín hiệu ở các mức tỷ lệ khác nhau Tốc độ lấy mẫu có thể thay đổi tương ứng với sự thay đổi của tỷ lệ, miễn sao vẫn không vi phạm tiêu chuẩn Nyquist để tránh hiện tượng aliasing và đảm bảo thông tin quan trọng của tín hiệu được bảo toàn.
Khi tỷ lệ cao lên (tần số thấp đi) tốc độ lấy mẫu có thể giảm như vậy số lượng phép tính giảm
1.2.2 Các tính chất của phép biến đổi CWT
Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) có một số tính chất quan trọng tương tự biến đổi Fourier, như tính bảo toàn năng lượng, đồng thời còn có các đặc trưng riêng của CWT được thể hiện qua công thức khôi phục kernel để tái dựng tín hiệu từ các hệ số phân tích Những tính đặc tính này làm cho CWT trở thành công cụ mạnh mẽ cho phân tích tín hiệu thời gian–tần số và xử lý tín hiệu phi stationary, với ứng dụng rộng rãi trong hình ảnh, âm thanh và đo lường.
Tính chất tuyến tính của biến đổi Wavelet có tính chất tuyến tính của tích vô hướng
Nếu f(t) có biến đổi Wavelet liên tục là CWT f (a,b) thì f’(t)=f(t-b) có biến đổi:
Việc dịch tín hiệu ban đầu trong miền thời gian sẽ tương ứng với dịch trong biến đổi Wavelet liên tục
Hình 1.12 Tính chất dịch của biến đổi CWT
Nếu f(t) có biến đổi Wavelet liên tục là CWT f (a,b) thì f’(t)=(1/ f(t/s) có biến đổi :
Tính chất tỷ lệ của biến đổi Wavelet làm cho phương pháp này thực sự phù hợp để phân tích các cấu trúc dạng bậc Wavelet hoạt động như một kính hiển vi toán học, có các đặc tính không phụ thuộc vào sự phóng đại, cho phép nắm bắt thông tin ở nhiều thước đo khác nhau Nhờ đặc tính này, biến đổi Wavelet có thể phân tích hiệu quả các đặc trưng ở nhiều cấp độ, từ chi tiết nhỏ đến cấu trúc tổng quát, giúp nhận diện các mẫu và biến động trong dữ liệu một cách rõ ràng và ổn định.
1.2.2.4 Tính bảo toàn năng lượng
CWT có tính chất bảo toàn năng lượng giống với công thức Parseval của biến đổi Fourier Với f(t) ∈ L2(R) và biến đổi Wavelet của nó là CWT f(a,b), ta có một định lý Parseval-type cho CWT: năng lượng của tín hiệu được thể hiện qua các hệ số wavelet bởi một hằng phù hợp của wavelet ψ, cụ thể ∫∫ |CWT f(a,b)|^2 dμ(a,b) = Cψ ∥f∥_2^2, với μ là thước đo phù hợp trên các tham số a và b và Cψ là hằng phụ thuộc vào ψ Điều này cho thấy CWT lưu giữ năng lượng của tín hiệu tương tự như Parseval cho biến đổi Fourier và cho phép tái dựng tín hiệu từ các hệ số wavelet.
Chứng minh: Ta có công thức Parsaval của biến đổi Fourier tín hiệu được phát biểu như sau:
(1.16) Theo tính chất dịch và tính chất tỉ lệ của phép biến đổi Fourier ta có được: aw) (1.17)
Theo công thức (1.16) và công thức (1.17) ta có:
Từ (1.18) ta có thể viết:
= (1.19) Đặt P(w) = và áp dụng công thức Parsaval thì công thức trên trở thành:
= (1.20) Thay ngược P(w) trở lại (1.20) ta có:
Tích phân thứ hai trong biểu thức (1.21) chính là Áp dụng công thức Parsaval một lần nữa kết hợp (1.20) và (1.21) ta có:
Như vậy 1.15 đã được chứng minh
Biến đổi Wavelet có tính chất cục bộ, cho phép phân tích tín hiệu theo cả hai miền thời gian và tần số Đặc biệt ở tần số cao, khả năng cục bộ hóa theo thời gian được cải thiện đáng kể, giúp Wavelet phân biệt rõ ràng với các biến đổi truyền thống như biến đổi Fourier và phù hợp với các ứng dụng phân tích tín hiệu động, có sự biến đổi theo thời gian.
Tính cục bộ về thời gian: Xét một xung dirac tại tại thời điểm to, (t-to) và Wavelet
(t) Biến đổi Wavelet liên tục của xung dirac là:
Trong phân tích Wavelet, với một hệ số tỉ lệ a cho trước, phép biến đổi tương ứng với một đường nằm ngang trong miền Wavelet là đồng nhất với hàm Wavelet được biến đổi bằng cách tỉ lệ và nghịch đảo thời gian, đồng thời tập trung quanh vị trí các hàm Dirac Hình 1.13 minh họa tính chất định vị này: khi a có giá trị nhỏ, phép biến đổi Wavelet phóng to hàm Dirac và cho thấy khả năng định vị cục bộ rất tốt đối với các giá trị tỉ lệ rất nhỏ Hình 1.13b trình bày trường hợp liên quan đến các biến thể tỉ lệ và thời gian.
21 một hàm nhảy bậc, cũng có tính chất cục bộ tương tự nhưng khác nhau về mặt biên độ
Trong Hình 1.13, tính cục bộ theo mặt thời gian được minh họa bằng hai trường hợp: (a) đồ thị f(t) = δ(t − t0) cho thấy một đỉnh delta tại thời điểm t0 và dạng nón của vùng ảnh hưởng quanh thời điểm đó; (b) đồ thị của hàm nhảy bậc f(t) = u(t − t0) thể hiện sự xuất hiện của một bước nhảy tại t0 và cũng có dạng nón của vùng ảnh hưởng.
Xét wavelet sinc, tương ứng với bộ lọc thông dải lý tưởng, có biên độ phổ bằng 1 trên miền tần số ω thuộc khoảng (π, 2π) Với một hình sin phức có biên độ bằng 1 tại ω0, wavelet có tần số cao nhất đi qua hình sin đó sẽ có hệ số tỉ lệ a_min = π/ω0, trong khi các wavelet có tần số thấp nhất đi qua hình sin đó sẽ có a_max = 2π/ω0 và hệ số khuyếch đại tương ứng Hình 1.14a vẽ các bộ lọc băng octave còn hình 1.14b minh họa biến đổi wavelet liên tục của một hàm sin sử dụng wavelet sinc.
Biến đổi Wavelet thể hiện tính chất co giãn và tính cục bộ về thời gian, cho phép phóng to thu nhỏ các thang đo để biểu diễn tín hiệu ở nhiều mức chi tiết khác nhau Tính cục bộ về thời gian cho phép nắm bắt các đặc trưng ngắn hạn và các biến đổi tại từng thời điểm, từ đó phân tích tín hiệu một cách địa phương hóa và linh hoạt hơn so với biến đổi Fourier Nhờ khả năng phóng đại và thu nhỏ cùng với việc mô tả ở nhiều tần số và thời gian, biến đổi Wavelet được ưa chuộng trong Phân tích tín hiệu và Xử lý dữ liệu, với ứng dụng rộng rãi từ tiếng nói, hình ảnh đến tín hiệu sinh học và các tín hiệu thay đổi theo thời gian.
Trong phân tích Fourier, một sự không liên tục nằm trong một hàm mượt sẽ khiến phổ Fourier suy giảm theo tỉ lệ 1/ω, cho thấy ảnh hưởng của bất ổn tại điểm không liên tục trên toàn bộ miền tín hiệu Biến đổi Fourier cục bộ có thể cho thấy tính đều cục bộ của tín hiệu trong phạm vi của một cửa sổ, nhưng không thể đạt được mức cục bộ cao hơn giới hạn của cửa sổ đó Ngược lại, biến đổi Wavelet nhờ đặc tính phóng to-thu nhỏ có thể cách ly phần không liên tục khỏi phần còn lại của hàm và thực hiện phân tích Wavelet trên phần còn lại một cách hiệu quả.
Xét hai hình 1.13(a) và 1.13(b): trong trường hợp thứ nhất, giá trị tuyệt đối của biến đổi Wavelet tiến tới -1/2 khi tiếp cận hàm Dirac; trong trường hợp thứ hai, biến đổi Wavelet trở thành một hàm mũ có chiều cao -1/2 và có bề rộng từ t0 − a0/2 đến t0 + a0/2.
Hình 1.14 trình bày tính cục bộ của biến đổi Wavelet liên tục khi dùng Wavelet sinc Phần (a) cho đồ thị phổ của Wavelet và các dạng tỉ lệ khác nhau của nó, cho thấy cách phân bổ năng lượng theo tần số và sự mở rộng theo các thang đo khác nhau Phần (b) trình bày các giá trị không bằng 0 của biến đổi Wavelet liên tục, làm rõ các thành phần tín hiệu được phân tích và đặc điểm cục bộ theo thời gian.
1 được chọn để cho 1(chuẩn hoá năng lượng)
rất nhỏ nên vẫn được xem là một hàm của Wavelet
Hình 1.15 Biểu diễn Wavelet Morlet
Biến đổi Wavelet rời rạc
Vì các hàm Wavelet ψa,b(ω) được định nghĩa trên mọi điểm của miền (a, b) nên việc áp dụng đồng thời toàn bộ cơ sở Wavelet này là dư thừa Để khắc phục dư thừa và tối ưu hóa quá trình xử lý, biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) được giới thiệu DWT dựa trên cơ sở mã hóa băng con, có thể thực hiện dễ dàng và giúp giảm thời gian tính toán cũng như tài nguyên cần thiết cho xử lý tín hiệu.
Cơ sở của DWT hình thành từ năm 1976, khi các kỹ thuật phân tích tín hiệu rời rạc được phát triển Nghiên cứu DWT sau đó được áp dụng trong lĩnh vực mã hóa tín hiệu tiếng nói, còn được gọi là mã hóa băng con (sub-band coding) Đến năm 1983, các kỹ thuật tương tự mã hóa băng con được phát triển và được gọi là mã hóa hình chóp (pyramidal coding), mở ra sơ đồ phân tích đa phân giải (MRA).
Trong biến đổi Wavelet liên tục, tín hiệu được phân tích bằng một tập hợp các hàm cơ sở liên kết với nhau qua hai tham số là hệ số tỷ lệ (a) và hệ số tịnh tiến (b), cho phép mô hình tín hiệu ở nhiều tần số và thời gian một cách mạch lạc Trong biến đổi Wavelet rời rạc (DWT), biểu diễn thời gian-tỷ lệ của tín hiệu số được thu được nhờ áp dụng các kỹ thuật lọc số, cho phép phân tích và xử lý tín hiệu ở nhiều mức độ phân giải bằng cách sắp xếp các hệ số tịnh tiến và tỷ lệ qua các cấp lọc khác nhau.
Tín hiệu được phân tích qua các bộ lọc với tần số cắt khác nhau ở các tỷ lệ khác nhau
Chúng ta có hàm rời rạc f(n) và định nghĩa biến đổi Wavelet rời rạc DWT được định nghĩa như sau
C , , , (1.25) với j, k là hàm Wavelet rời rạc: n k n k n j j j j k j j
Các tham số a, b được xác định: a = 2 j , b = 2 j k
Biến đổi DWT có thể biến đổi ngược nếu như tập hợp tương ứng của các mẫu xác định một khung Wavelet:
(1.27) với A và B là hai hằng số dương gọi là giới hạn của khung (framebounds)
Biến đổi ngược được xác định như sau:
Khi khung giới hạn (frame bounds) A = B = 1, phép biến đổi trở thành trực giao Đây là một tổng vô hạn theo cả hai chỉ số thời gian k và tỷ lệ j Tuy nhiên, tổng này có thể được tính hữu hạn với sai số rất nhỏ trong trường hợp các hàm Wavelet có toàn bộ năng lượng tập trung trong một khoảng nhất định; do đó, tổng hữu hạn (1.28) theo k là đúng với một số xấp xỉ.
Phép tổng (1.28) theo j là hữu hạn và chỉ có một số xấp xỉ sẽ được làm rõ ở phần tiếp theo của chương thông qua khái niệm đa phân giải (MRA) Khái niệm MRA được phát triển bởi Mallat và Meyer và đóng vai trò là nền tảng lý thuyết để xây dựng các Wavelet sau này.
1.3.2 Tính chất biến đổi DWT
Wavelet được xác định bởi một số momen triệt tiêu (vanishing moments) bằng M Theo định nghĩa, nếu ψ(x) khả vi M lần và phân rã đủ nhanh, thì các momen triệt tiêu của wavelet ψ với cấp k từ 0 đến M−1 sẽ bằng không, tức là ∫_{-∞}^{∞} x^k ψ(x) dx = 0 cho mọi k = 0, 1, , M−1.
x dt d k k tức là x k x dx 0 với 1 k M (1.29)
Wavelet phải thoả mãn hai phương trình tỷ lệ:
Ngoài ra, hàm tỷ lệ là trực giao với phép tịnh tiến của nó:
Và các Wavelet cần phải trực giao với hàm tỷ lệ của chính nó, ví dụ:
x 2 x k dx 0 (1.33) Các hệ số tỷ lệ phải thoả mãn điều kiện admissbility cũng như điều kiện trực giao:
2 k m m m k h k h 2 0 (1.34) có nghĩa rằng tổng trên là không với mọi m khác không Một biểu thức quan trọng khác, là hệ quả của điều kiện trên là:
Như vậy, mọi đặc tính của Wavelet được xác định hoàn toàn bởi dãy h(k) Để thực hiện phân tích và khôi phục Wavelet, chỉ cần nắm rõ các hệ số của bộ lọc h(k), vì chúng chứa toàn bộ thông tin cần thiết cho quá trình phân tích tín hiệu và tái dựng Wavelet.
Biến đổi Wavelet rời rạc và băng lọc
1.4.1 Phân tích đa phân giải (Multiresolution Analysis) Định nghĩa: Không gian L 2 = L 2 (R) là không gian của các tín hiệu tương tự Phân tích đa phân giải MRA của L 2 là một họ các không gian con V j L 2 R :
Các tính chất của họ không gian V j :
tk k Z xác định một cơ sở trực chuẩn cho V 0
Như vậy họ t k , k Z tạo thành một cơ sở trực giao cho không gian tham chiếu V 0 Các không gian V j lồng vào nhau Không gian L 2 (R) đóng kín tập hợp mọi V j
Trong Hình 1.17 về không gian và các không gian con trong đa phân giải, không gian L2 biểu diễn toàn bộ tín hiệu, còn V_j là một không gian con đại diện cho phần ước lượng ở mức giải thuật j và W_j là không gian chi tiết chứa các thành phần tần số cao bổ sung để tái dựng đầy đủ từ phần ước lượng Mối quan hệ giữa các không gian cho phép phân tách tín hiệu theo cấp độ, nơi V_j và W_j kết hợp để mô tả đa phân giải và phục vụ cho phân tích, nén và tái dựng tín hiệu theo ý đồ của phương pháp đa phân giải.
Trong định nghĩa đa phân giải MRA, hàm φ(t) được gọi là hàm tỷ lệ (scaling function) hay hàm cha (father function); đôi khi nó còn được xem như hàm xấp xỉ của tín hiệu, đóng vai trò nền tảng trong việc xây dựng và phân tích dải phân giải.
Hàm t được gọi là hàm Wavelet hay hàm mẹ (mother function)
Họ j , k : k Z tạo thành một cơ sở trực chuẩn cho W n
Theo định nghĩa đa phân giải, ta có phương trình tỷ lệ:
(1.41) Đặt không gian W j là phần bù của V j với V j 1 , V j 1 V j W j Các hàm j, k là một cơ sở trực chuẩn của W j
Với các tín hiệu thực tế có dải thông giới hạn, tồn tại một mức j = J đủ nhỏ sao cho các hệ số wavelet w_{j,k} trở nên rất nhỏ Do đó hàm f_J ∈ V_J có thể được viết dưới dạng f_J(t) = Σ_k s_{J,k} φ_{J,k}(t) Tương tự, hàm W_j có thể biểu diễn ở dạng d_J(t) = Σ_k w_{J,k} ψ_{J,k}(t) Tổng hợp lại, ta có một cách biểu diễn tuyến tính của hai thành phần thông qua các hệ số s_{J,k} và w_{J,k} với các hàm cơ sở φ_{J,k} và ψ_{J,k}(t).
J J k j k j k j k j s f V w (1.43) với j0 là độ phân giải nhỏ nhất được chọn trong phân tích
Vì W 0 V 1 , và 2tk là một cơ sở trực chuẩn của V 1 , có thể được viết thành:
(1.44) được gọi là phương trình Wavelet
Trong phân tích Wavelet, các hệ số h_k và g_k được xác định từ các phương trình tỉ lệ và phương trình Wavelet, tương ứng với các bộ lọc thông thấp (xấp xỉ) và thông cao (chi tiết) Những bộ lọc này đóng vai trò chủ đạo trong thuật toán Mallat, cho phép phân tích tín hiệu ở nhiều mức bằng cách tách rời thành phần xấp xỉ và chi tiết và hỗ trợ quá trình tái tạo tín hiệu một cách hiệu quả.
1.4.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc
Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu, các bộ lọc được sử dụng phổ biến để phân tích và xử lý dữ liệu Wavelet có thể được thực hiện bằng các bộ lọc lặp đi lặp lại với tỷ lệ biến đổi, cho phép phân tích tín hiệu ở nhiều mức độ và tần số khác nhau Độ phân giải của tín hiệu là thước đo đánh giá mức độ chi tiết và lượng thông tin được trình bày trong tín hiệu, từ đó hỗ trợ tối ưu hóa chất lượng và hiệu suất xử lý.
Biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) được tính toán thông qua quá trình lọc thông thấp và lọc thông cao liên tiếp trên tín hiệu rời rạc theo thời gian Quá trình này được biết đến với tên thuật toán Mallat hoặc phân tích cây Mallat (Mallat-tree decomposition) Ý nghĩa của thuật toán Mallat là nó kết nối phân tích đa phân giải liên tục theo thời gian với các bộ lọc rời rạc, cho phép thể hiện tín hiệu ở nhiều tần số và mức độ chi tiết khác nhau một cách hiệu quả.
Khởi đầu bằng việc chiếu tín hiệu lên không gian V_J, trong đó J được xác định bởi tần số lấy mẫu Trong thực tế, các hệ số tỷ lệ được thay thế bằng các giá trị mẫu tương ứng để đơn giản hóa và tăng tính thực thi của quá trình xử lý tín hiệu.
1 Chia các hệ số xấp xỉ thành hai phần xấp xỉ và chi tiết nhờ sử dụng h k và g k
2 Thay đổi tỷ lệ các hệ số xấp xỉ
3 Tiếp tục chia phần xấp xỉ thành hai phần xấp xỉ và chi tiết như bước (1)
4 Lặp lại bước (2) và (3) cho đến khi đạt được kết quả thoả mãn
Hình 1.18 Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hoá băng con (a) Quá trình phân tích (b)
Trong hình 1.18, tín hiệu được biểu diễn bằng dãy x[n] với n là số nguyên Bộ lọc thông cao G và bộ lọc thông thấp H lần lượt đóng vai trò tách chi tiết và xấp xỉ của tín hiệu ở mỗi mức phân tích: bộ lọc thông cao G cho ra d[n] là thông tin chi tiết, trong khi bộ lọc thông thấp H kết hợp với hàm tỷ lệ cho ra các xấp xỉ thô a[n] Ở mỗi cấp phân tích, các bộ lọc nửa dải (half-band filters) chỉ giữ lại phần tín hiệu kéo dài đúng một nửa băng tần, do đó tăng gấp đôi độ phân giải tần số do giảm bớt độ bất định tần số Theo quy tắc Nyquist, nếu tín hiệu gốc có tần số góc cao nhất ω rad/s yêu cầu tần số lấy mẫu là 2ω rad/s, thì khi tần số cao nhất chỉ là ω/2 rad/s, tần số lấy mẫu cần là ω rad/s, nghĩa là có thể bỏ đi một nửa số mẫu mà không mất thông tin.
31 lấy mẫu con với hệ số chia 2 làm giảm một nửa độ phân giải thời gian vì toàn bộ tín hiệu bây giờ được biểu diễn trên chỉ một nửa số lượng mẫu
Như vậy, độ phân giải thời gian đạt được tốt ở các tần số cao, trong khi độ phân giải tần số lại trở nên tốt hơn ở các tần số thấp Quá trình lọc và phân chia là liên tiếp nhau cho đến khi đạt được mức yêu cầu Số lượng tối đa các mức phụ thuộc vào độ dài của tín hiệu Biến đổi Wavelet rời rạc của tín hiệu thu được nhờ sự xâu chuỗi (concatenating) các hệ số a[n] và d[n], bắt đầu từ mức cuối cùng của quá trình phân tích
Hình 1.18b mô tả quy trình khôi phục tín hiệu gốc từ các hệ số Wavelet Quá trình này là ngược lại với quá trình phân tích Wavelet: các hệ số xấp xỉ và hệ số chi tiết ở mọi mức được nội suy lên gấp đôi bằng các bộ lọc tổng hợp thông thấp và thông cao, rồi ghép lại với nhau Quá trình tái tạo tiếp tục cho đến khi đạt đúng số mức của quá trình phân tích, nhằm khôi phục tín hiệu nguyên bản một cách đầy đủ.
Phương pháp tối ưu để mô tả quy trình trên và đồng thời xây dựng một quy trình hiệu quả nhằm xác định các hệ số wavelet chính là biểu diễn các phép toán của các bộ lọc trong hệ thống phân tích và tái tạo tín hiệu Bằng cách xem mỗi cấp phân tích như một chuỗi thực hiện các phép lọc low-pass và high-pass, ta có thể xác định các hệ số wavelet một cách trực tiếp và tối ưu từ tín hiệu đầu vào qua từng cấp Cách tiếp cận này không chỉ làm rõ nguyên lý hoạt động của biến đổi-wavelet mà còn cung cấp một khuôn khổ thực thi dễ dàng triển khai và tối ưu hóa về mặt thời gian tính toán và độ chính xác Do đó, mô tả quy trình bằng biểu diễn phép toán của các bộ lọc vừa giúp tăng tính nhất quán của nội dung vừa tối ưu hóa khả năng áp dụng cho các loại tín hiệu khác nhau, đồng thời cải thiện hiệu suất mã hóa và phân tích thời gian–tần số của wavelet.
Trở lại hai biểu thức (1.41) và (1.44) trong phần trước, dãy l 2 h k , k Z và
g k , k Z là các bộ lọc gương vuông góc (quadrature mirror filters) trong xử lý tín hiệu Mỗi liên hệ giữa g và h:
Phương trình (1.45) mô tả quan hệ giữa hai dãy h(k) và g(k) Dãy h(k) được biết đến như là bộ lọc thông thấp, trong khi dãy g(k) là bộ lọc thông cao Cả hai bộ lọc này thuộc họ các bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn (FIR), có đặc tính đáp ứng chỉ với một số mẫu hữu hạn và phù hợp cho thiết kế hệ thống xử lý tín hiệu với độ ổn định cao.
Các tính chất sau có thể được chứng minh sử dụng biến đổi Fourier và tính trực giao:
k k k g k h (1.46) Với dãy f f n đại diện cho tín hiệu rời rạc cần được phân tích và các toán tử H và G được xác định bởi các biểu thức:
Các biểu thức (1.47) và (1.48) mô tả quá trình lọc tín hiệu qua các bộ lọc số h(k) và g(k), tương ứng với các phép tích chập với đáp ứng xung của từng bộ lọc Hệ số 2k đại diện cho phép phân chia (downsampling) Các toán tử H và G tương ứng với các bước trong phân tích wavelet, cho thấy cách tách các thành phần tín hiệu theo mức phân giải.
Như vậy biến đổi wavelet rời rạc có thể tóm tắt như sau (hình 2.19):
Gf , GHf , GH 2 f , , GH 1 f , H f d 1 , d 2 , , d 1 , d 0 , c 0 f j j j j (1.49) chúng ta có thể gọi các hệ số d j 1 ,d j 2 ,,d 1 ,d 0 là các hệ số chi tiết và c 0 là hệ số xấp xỉ
Các hệ số chi tiết và hệ số xấp xỉ: c j 1 Hc j ,d j 1 Gd j (1.50)
Phân tích gói Wavelet
Phân tích gói (packet) cho phép phân tích tín hiệu ở mức độ sâu và phong phú hơn Trong phân tích Wavelet, một tín hiệu được phân thành hai thành phần cơ bản là xấp xỉ và chi tiết; phần xấp xỉ sau đó được phân tích ở các mức tiếp theo thành một phần xấp xỉ và một phần chi tiết ở mức 2, và quá trình này được lặp lại cho mỗi cấp độ để tạo ra hệ thống phân giải đa cấp Với một phân giải mức n, tín hiệu có n+1 mức phân giải khác nhau để phân tích, cho phép nhận diện các đặc tính ở nhiều thước đo khác nhau và cải thiện khả năng nhận biết thông tin trong tín hiệu.
Trong phân tích Wavelet, chi tiết và xấp xỉ được phân chia thành các thành phần riêng biệt, tạo ra nhiều cách để mã hóa tín hiệu Cấu trúc cây phân giải gói Wavelet cho thấy cách các mức phân giải và các nhánh chi tiết, xấp xỉ được tổ chức thành một cây, giúp mô tả và tối ưu hóa quá trình mã hóa tín hiệu Hình 1.21 thể hiện phân giải Wavelet thường.
Hình 1.22 Phân giải gói Wavelet
1.5.2 Xây dựng các gói Wavelet
Sử dụng các bộ lọc h(n) và g(n) các hàm Wn(x), n=0,1,2 được định nghĩa như sau:
W 2n+1 (x) = (1.71) Trong đó Wo(x) = φ(x) là hàm tỉ lệ và Wo(x) = ψ (x) là hàm Wavelet
Ví dụ đối với Wavelet Haar ta có:
Từ các hàm W n (x), n=0,1,2 ta xây dựng cá gói dịch tỉ lệ Wavelet:
1.5.3 Tổ chức các gói Wavelet
Tập hợp các hàm W j,n, = W j,n,k (x) k ϵ Z là các gói Wavelet (j,k) Các gói Wavelet được tổ chức theo hình cây, với mỗi giá trị j>0, n lấy các giá trị từ 0 đến 2j-1
Hình 1.24 Các cây gói Wavelet
Tất cả các node đều tuân theo quy luật:
Như vậy là các cơ sở gói Wavelet bao hàm các hàm cơ sở Wavelet
1.5.4 Lựa chọn phân giải tối ưu
Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu, có rất nhiều mức phân giải khác nhau và phân giải Wavelet là một trong những lựa chọn phổ biến Việc xác định phân giải tối ưu phụ thuộc vào một tiêu chí cụ thể, ví dụ như tốc độ tính toán nhanh và hiệu quả tổng thể của thuật toán Ở bài viết này, chúng ta xem xét một tiêu chuẩn dựa trên khái niệm Entropy và quá trình tối ưu Entropy tối thiểu để xác định phân giải phù hợp.
Xét tín hiệu s và s i là các hệ số s của một cơ sở trực giao Entropy E là một hàm chi phí cộng thỏa mãn: E(0)= 0, E(s) = (s i )
Có 4 chuẩn entropy khác nhau:
- Entropy tập trung với modul , l (s i ) = p
- Entropy log năng lượng: E3 ( ) = log ( )
Entropy ngưỡng được thiết lập là E4 Đối với mỗi nút chưa kết thúc, thực hiện thủ tục sau để tìm ra cây con tối ưu theo một chuẩn Entropy đã chọn; ký hiệu E opt đại diện cho giá trị Entropy tối ưu (xem Bảng 1.1).
Bảng 1.1 Thủ tục tìm cây con tối ưu cho node chưa kết thúc Điều kiện của Entropy Thao tác trên cây và nhãn của Entropy
E(node) (node , trộn và lập Eopt(node) = E(node)
E(node) Chia và lập Eopt (node)
Các họ Wavelet
Có nhiều họ Wavelet và khả năng ứng dụng của chúng thay đổi tùy theo từng họ Chuẩn để đánh giá một Wavelet là tốt hay xấu cũng thay đổi theo mục đích sử dụng, vì mỗi họ có đặc tính xử lý tín hiệu và chi tiết khác nhau Ví dụ, Wavelet Haar có ưu điểm đơn giản và xử lý nhanh, phù hợp cho phân tích tín hiệu thời gian và các ứng dụng nén ở mức độ sơ khai; trong khi các họ Daubechies, Symlets và Coiflets cho phép mô tả chi tiết hơn và khử nhiễu tốt hơn ở các dạng tín hiệu phức tạp Các Wavelet được thiết kế đối xứng hoặc biorthogonal có thể hữu ích cho nén và phục hồi dữ liệu với sai số nhỏ Khi chọn Wavelet cho ứng dụng cụ thể như phân tích tín hiệu, xử lý ảnh hay nén dữ liệu, cần cân nhắc giữa độ phân giải thời gian và tần số, khả năng thích nghi với nhiễu và mục tiêu phục hồi thông tin.
1 Miền xác định của t , w , φ(t), φ(w): tốc độ hội tụ về 0 của các hàm
, w khi thời gian hoặc tần số w lớn vô hạn, nó đánh giá khả năng định vị trong cả miền thời gian và tần số của hệ thống Wavelet
2 Tính đối xứng, nó rất có ích để tránh việc phải giải pha trong xử lý ảnh
3 Số các moment bằng 0 của φ, nếu tồn tại, sử dụng khi nén, giải nhiễu tín hiệu
4 Tính đều, nó có ích để nhận được các đặc trưng tốt như là tính trơn của tín hiệu và ảnh khôi phục, hàm ước lượng trong phân tích hồi quy không tuyến tính
Cơ sở Haar được xây dựng bởi hàm tỉ lệ φ=1[0,1] Các hệ số lọc h(0) = h(1) 1/
Wavelet Haar có miền xác định bé nhưng chỉ có một moment bằng 0 nên nó thích hợp với việc định vị nhưng xấp xỉ lại kém
Wavelet Shannon được xây dựng từ các hàm sinc dựa trên định lý lấy mẫu Shannon (tham khảo [4, 6]) Các hàm được dịch bởi sinc hình thành từ một tập cơ sở trực giao và khi tần số lấy mẫu vượt quá tần số Nyquist chúng tạo thành một khung chặt Hệ thống Wavelet dựa trên sinc thỏa mãn tính đa phân giải, cho phép phân tích tín hiệu ở nhiều cấp độ khác nhau Để sinc có thể đóng vai trò là hàm tỉ lệ thì nó phải thỏa mãn các điều kiện tương ứng.
Sinc(Kt)= với các hệ số h(n) và K thích hợp
Nếu xây dựng sinc(Kt) theo định lý lấy mẫu thì:
Để hai đẳng thức sinc(Kt) và h(n) = sinc(n) đúng với nhau, chu kỳ lấy mẫu phải là T = 1/2 và tham số K = π/R; điều này dẫn tới hệ số tỉ lệ là h(n) = sinc(n) Hàm φ(t) = sinc(Kt) là một hàm tỉ lệ với miền xác định hữu hạn và các hệ số tỉ lệ tương ứng của nó chính là các mẫu hàm sinc Nếu R = 1, thì K = π và các hàm tỉ lệ sinh ra từ sinc.
Trong một hệ thống Wavelet trực giao, khi R > 1, hệ thống trở thành một khung chặt và R đóng vai trò là hệ số dư thừa của khung Điều này có nghĩa là tín hiệu có thể được diễn giải một cách ổn định bằng tập hợp các Wavelet ở nhiều tần suất và mức phân rã khác nhau Đối với trường hợp hàm tỉ lệ sin trực giao, các Wavelet được xác định thông qua các biểu thức liên quan đến hàm tỉ lệ sin trực giao, cung cấp cơ sở để xây dựng các wavelet cơ bản và các cấp phân rã của tín hiệu một cách nhất quán.
=0 trong lân cận của =0 nên có vô hạn các moment bằng 0 suy giảm chậm cùng bậc với
Wavelet Meyer là một hàm có băng tần giới hạn, khác biệt với biến đổi Fourier của Wavelet Shannon ở chỗ nó có độ trơn cao hơn Độ trơn này khiến Wavelet Meyer suy giảm tiệm cận theo thời gian nhanh hơn, từ đó tối ưu hóa phân tích tín hiệu theo miền thời gian–tần số Wavelet Meyer được xây dựng dựa trên bộ lọc gương cầu phương H, có biểu thức đặc trưng cho hệ thống lọc này.
Như vậy bậc tự do của dịch trong băng đồng thời phải thỏa mãn điều kiện:
+ =2 vì nên n đạo hàm đầu tiên phải bằng 0 tại các điểm Người ta có thể xây dựng các hàm như thế thuộc Ví dụ:
Kết quả là H có n=3 đạo hàm bằng 0 tại
Hàm tỉ lệ Φ có miền xác định liên tục và hữu hạn, xác định qua biểu thức:
Các hàm Φ và các đặc tính của biến đổi Fourier của chúng có miền xác định liên tục và hữu hạn Vì Φ(ω) = 0 trong lân cận ω = 0 nên tất cả các đạo hàm của nó tại ω = 0 bằng 0, điều này có nghĩa là có vô số các moment bằng 0.
Giả sử H được xác định trên miền thích hợp và thỏa mãn các điều kiện cho trước, thì Φ và các thành phần liên quan thuộc cùng không gian hoặc phạm vi đã cho Sự không liên tục của đạo hàm bậc (n+1) của H tại các điểm đặc biệt dẫn đến một số ràng buộc về giá trị của H tại những điểm này và ảnh hưởng đến hành vi tổng thể của hàm Mặc dù lý thuyết cho thấy sự suy giảm của các hàm liên quan nhanh khi n tăng, thực tế không diễn ra như vậy vì tham số A quá lớn.
Meyer Wavelet có miền xác định không liên tục hữu hạn và đi kèm với một xấp xỉ dẫn tới bộ lọc FIR, cho phép tính toán DWT hiệu quả trên tín hiệu thời gian Wavelet này được gọi là 'dmey' Nhờ xấp xỉ FIR này, dmey cho phép triển khai phân tích DWT bằng các bộ lọc số gần đúng, tối ưu hóa hiệu suất xử lý và đồng thời duy trì độ chính xác cần thiết trong phân tích thời gian-tần số của tín hiệu.
Xuất phát từ khái niệm box splines, một box spline bậc m được tính bằng tích chập của cửa sổ 1_[0,1] với chính nó m+1 lần, tạo nên một hàm mượt mà dùng để biểu diễn đường cong trên các miền thời gian và không gian Cửa sổ cơ bản 1_[0,1] kết hợp với việc tích chập lặp lại m+1 lần cho phép kiểm soát độ mịn và bậc của spline trong các ứng dụng đồ họa và xử lý tín hiệu Chuyển đổi Fourier của box spline bậc m là: F{B_m}(ω) = [F{1_[0,1]}(ω)]^{m+1} = [ e^{-i ω/2} sinc(ω/2) ]^{m+1} = e^{-i (m+1) ω/2} [sinc(ω/2)]^{m+1}, cho thấy cách mà m+1 lần tích chập làm mờ và làm mềm phổ tần số Nhờ đặc tính này, box spline được ứng dụng rộng rãi trong mô phỏng hình dạng liên tục, xử lý tín hiệu và đồ họa máy tính.
Nếu m chẳn thì =1, có miền xác định đối xứng quanh t=1/2, m lẻ thì =0, có miền xác định đối xứng quanh t=0 Xấp xỉ đa phân spline cho phép tính được: Φ
Với () Suy ra H Đối với spline bậc m, H và m đạo hàm đầu tiên của nó bằng 0 tại = Như vậy có (m+1) moment bằng 0 Biểu thức của nó:
Wavelet này có tính chất là suy giảm theo thời gian rất nhanh Với m lẻ đối xứng quanh 1/2 Với m chẳn thì tính chất này không còn đúng nữa
Xét h(n) nhân quả thực: H 46 có điểm 0 bậc p tại = : H R(
Vấn đề là thiết kế đa thức R( bậc tối thiểu sao cho H thỏa mãn:
Vì h(n) là thực nên là một hàm chẳn vì vậy nó được biểu diễn bằng một đa thức của cos do đó cũng là một đa thức của cos
Ta có: = 2 P( ( ))) Điều kiện (2.72) trở thành:
Lý thuyết Bezout đã chứng minh rằng:
P(y) = là đa thức nghiệm của (2.73) có bậc nhỏ nhất
Vì R( có hệ số thực nên:
Vì Q(z) có các hệ số thực và cũng là hàm của z^-1 nên nếu z0 là nghiệm thì z0* và 1/z0* cũng là nghiệm Vậy để thiết kế R(z), chúng ta chọn các cặp nghiệm z1 và z2 của R(z) sao cho z2 = z1* và z1 z2 = 1 Bộ lọc h(n) thu được là nhân quả có năng lượng hữu hạn.
47 lượng tập trung ở nhưng giá trị n 0 nhỏ Đây là trường hợp bộ lọc Daubechies
Trong trường hợp bộ lọc h(n) Daubechies bậc p ở trên cho phép xây dựng họ Wavelet tương ứng Wavelet được xây dựng có đúng p moment bằng 0 Miền xác định tương ứng của h(n) và Wavelet lần lượt là [-p+1, p] và [0, 2p−1] Khi p = 0, ta nhận được hệ thống Wavelet.
Haar Bảng 1.2 chỉ ra các liên tục, rời rạc của các hàm Wavelet và tỉ lệ với chiều dài N=6
Bảng 1.2 Các moment liên tục, rời rạc của các hàm Wavelet và tỉ lệ với chiều dài N=6 Daubechies N=6 n
Từ các kết quả xấp xỉ ta thấy việc kết hợp moment hàm tỉ lệ và Wavelet bằng
Khi dùng các mẫu tín hiệu, ta nhận thấy các moment bằng 0 của các hàm tỉ lệ không chỉ mang lại xấp xỉ tốt mà còn làm cho các hàm tỉ lệ trở nên đối xứng hơn Đặc trưng này có thể quan trọng hơn xấp xỉ trong một số ứng dụng, giúp nâng cao độ chính xác và ổn định của hệ thống tín hiệu.
Daubechies Wavelets là các wavelets không đối xứng, vì chúng được xây dựng bằng cách chọn nghiệm pha tối thiểu cho các bộ lọc của hệ thống Với một số ứng dụng, đặc tính này không thuận lợi Người ta đã chứng minh rằng các bộ lọc theo cách chọn này có năng lượng tập trung gần với điểm bắt đầu của miền xác định Tính chất không đối xứng rất lớn khiến các wavelets cũng không đối xứng Để tiến tới đối xứng, các bộ lọc phải tiến tới đối xứng qua điểm giữa của miền xác định, đồng nghĩa với có pha phức tuyến tính.
Daubechies đã chứng minh rằng bộ lọc Harr là bộ lọc gương cầu phương, thực, có miền xác định liên tục hữu hạn duy nhất có pha tuyến tính
Các bộ lọc Symmlet của Daubechies được xây dựng bằng cách tối ưu hóa việc lựa chọn nghiệm bậc hai ) của ) để đạt được pha gần tối thiểu
Các Wavelet kết quả có miền xác định tối thiểu [-p+1,p] với p moment bằng 0 nhưng đối xứng hơn so với Daubecchies Wavelet
Coifman đã yêu cầu Daubechies xây dựng một họ Wavelet có p moment bằng 0, miền xác định tối thiểu nhưng đồng thời các hàm tỉ lệ cũng thỏa mãn:
Các hàm tỉ lệ như vậy rất có ích khi đánh giá xấp xỉ Nếu trơn và đủ lớn, ta có xấp xỉ:
Ở các tỉ lệ phân giải tinh, các hệ số tỉ lệ có thể được xấp xỉ bởi các mẫu tín hiệu, và bậc của xấp xỉ tăng theo p Wavelet và hàm tỉ lệ CoifN đối xứng hơn so với dbN Xét về chiều dài bộ lọc của CoifN so với db3N hoặc sym3N, và khi xem xét hệ số moment bằng 0 của CoifN so với db2N hoặc sym3N.
Ứng dụng của phép biển đổi Wavelet
Biến đổi Wavelet có phạm vi ứng dụng rộng rãi ngày nay, từ xử lý tín hiệu đến sinh trắc học, và ngày càng được mở rộng nhờ khả năng phân giải và nén dữ liệu hiệu quả Trong lĩnh vực nhận diện và lưu trữ dữ liệu sinh trắc học, Wavelet nổi bật với ứng dụng chuẩn nén dấu vân tay cho ngân hàng dữ liệu của FBI Ban đầu FBI thử nghiệm biến đổi Cosine rời rạc (DCT), nhưng ở tỉ lệ nén cao DCT không đạt được hiệu suất mong muốn và làm phát sinh hiện tượng artefacts gây suy giảm chất lượng ảnh dấu vân tay Nhờ ưu thế nén và khả năng bảo toàn chi tiết ở nhiều cấp độ, Wavelet được xem là lựa chọn tối ưu cho việc nén dấu vân tay, giúp lưu trữ và tra cứu dữ liệu trong ngân hàng dữ liệu của FBI hiệu quả hơn.
Khối 51 ngăn không cho theo dõi các đường vân tay sau quá trình khôi phục Điều này hoàn toàn không xảy ra khi sử dụng biến đổi Wavelet, vì các tính chất của Wavelet cho phép lưu giữ lại chi tiết có trong dữ liệu và bảo toàn các đặc trưng nhận diện sau khôi phục.
Biến đổi Wavelet rời rạc cho thấy hầu hết thông tin quan trọng xuất hiện ở các biên độ lớn, trong khi các thông tin kém quan trọng hơn lại nằm ở biên độ rất nhỏ Việc nén dữ liệu có thể đạt được bằng cách loại bỏ các biên độ thấp, và biến đổi Wavelet cho phép đạt tỷ lệ nén cao với chất lượng khôi phục tốt Ứng dụng của Wavelet trong nén ảnh đang là một trong những lĩnh vực được quan tâm hàng đầu hiện nay Gần đây, biến đổi Wavelet đã được chọn làm nền tảng cho chuẩn nén JPEG 2000.
Hình 1.26 Ứng dụng xử lý tín hiệu sử dụng biến đổi Wavelet
Hình 1.30 trình bày các bước chung trong ứng dụng xử lý tín hiệu, từ nén, mã hoá và khử nhiễu cho tới lưu giữ hoặc truyền phát tín hiệu đã xử lý đi Trong hầu hết các ứng dụng nén, quá trình xử lý gồm lượng tử hoá và mã hoá entropy để đạt nén ảnh Trong suốt quá trình này, toàn bộ các hệ số wavelet dưới ngưỡng được loại bỏ và các hệ số bị bỏ qua được thay thế bằng 0 trong suốt quá trình khôi phục ở đầu kia Để khôi phục tín hiệu, mã hoá entropy được giải mã, sau đó thực hiện dequantization và cuối cùng là biến đổi Wavelet ngược.
Wavelet được ứng dụng trong nén tiếng nói, giúp giảm thời gian truyền dẫn và tối ưu hóa băng thông cho các ứng dụng di động Bên cạnh đó, Wavelet được dùng để khử nhiễu, phát hiện cạnh, trích xuất các đặc trưng và nhận dạng tiếng nói, đồng thời loại bỏ tiếng vọng để cải thiện chất lượng âm thanh Với khả năng xử lý theo thời gian thực, Wavelet cho thấy nhiều triển vọng trong nén tín hiệu audio và video Ngoài ra, Wavelet còn được áp dụng trong thông tin số tiêu biểu như ghép kênh và phân chia theo tần số trực giao OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing).
Sau đây là một số minh họa về các ứng dụng của phép biến đổi Wavelet
- Ứng dụng trong nén ảnh:
Hình 1.27 Ứng dụng Wavelet trong nén ảnh
Bức ảnh nén cho phép loại bỏ đi các hệ số biến độ thấp tới 55.81% trong khi năng lượng vẫn được giữ lại là 99.97%
- Ứng dụng trong việc phát hiện các điểm đột biến, các sườn
Hình 1.28 Ứng dụng Wavelet trong phát hiện các điểm đột biến, các sườn
- Ứng dụng trong loại trừ nhiễu:
Hình 1.29 Ứng dụng Wavelet trong loại trừ nhiễu tín hiệu
Wavelet đã và đang trở thành một công cụ hiệu quả trong lĩnh vực xử lý tín hiệu nhờ khả năng phân tích và tái tạo tín hiệu ở nhiều tần số và thời gian đồng thời, từ đó tối ưu hóa quá trình lọc và xử lý dữ liệu Trong các ứng dụng nổi bật của Wavelet, khử nhiễu tín hiệu là một lĩnh vực được ứng dụng rộng rãi, giúp loại bỏ nhiễu mà vẫn bảo toàn đặc trưng và thông tin quan trọng của dữ liệu.
Trong chương ba, kỹ thuật khử nhiễu tín hiệu được trình bày một cách chi tiết dựa trên hai yếu tố cốt lõi: phương pháp lấy ngưỡng và các hàm cơ sở của phép biến đổi Wavelet Phương pháp lấy ngưỡng giúp loại bỏ nhiễu mà vẫn bảo toàn đặc trưng tín hiệu, trong khi các hàm cơ sở của Wavelet cho phép phân tích tín hiệu ở nhiều tần số và thời gian, từ đó tối ưu hóa quá trình khử nhiễu Bài viết cũng trình bày các so sánh và lựa chọn tham số nhằm đạt được hiệu quả khử nhiễu cao nhất và có thể áp dụng trực tiếp vào các ứng dụng thực tế của tín hiệu.
Chương 1 trình bày toàn diện sự hình thành của biến đổi Wavelet, đồng thời so sánh biến đổi Wavelet với biến đổi Fourier để làm rõ những điểm khác biệt giữa hai phương pháp phân tích tín hiệu Bài viết nêu rõ các tính chất và khía cạnh kỹ thuật của biến đổi Wavelet, từ nguyên lý đến ứng dụng, và tổng kết một số ứng dụng tiêu biểu của Wavelet trong xử lý tín hiệu và phân tích dữ liệu Kết luận nhấn mạnh vai trò của Wavelet như một công cụ phân tích linh hoạt, có thể điều chỉnh độ phân giải theo thời gian và tần số, phù hợp với nhiều bài toán thực tiễn.
ỨNG DỤNG WAVELET TRONG LOẠI TRỪ NHIỄU TÍN HIỆU
Giới thiệu
Vấn đề khử nhiễu tín hiệu luôn được quan tâm sâu rộng trên cả thực tiễn và lý thuyết Mục tiêu của khử nhiễu là phục hồi tín hiệu gốc từ dữ liệu bị nhiễu sao cho tín hiệu được tái tạo càng giống tín hiệu ban đầu và vẫn bảo lưu những đặc điểm quan trọng của nó Đã có nhiều thuật toán được công bố, mỗi phương pháp đều đi kèm với ưu nhược điểm riêng Các phương pháp khử nhiễu cổ điển thường dựa trên lọc tuyến tính, ví dụ như lọc Wiener, trong khi gần đây các phương pháp khử nhiễu phi tuyến trên cơ sở Wavelet được giới thiệu và phát triển mạnh mẽ, mang tính đa dạng.
Trong lĩnh vực khử nhiễu dựa trên biến đổi Wavelet, Weaver và các cộng sự được coi là những người tiên phong Theo các tham khảo [5, 6, 7, 8], họ đã giới thiệu một phương pháp mới nhằm khử nhiễu từ ảnh cộng hưởng từ (MRI – Magnetic Resonance Imaging).
Phương pháp Wavelet dựa trên lấy ngưỡng cứng khử nhiễu hiệu quả mà không làm mờ hình ảnh khi được áp dụng với ngưỡng phù hợp Weaver chứng minh rằng việc dùng ngưỡng Wavelet có thể làm giảm nhiễu đáng kể mà vẫn bảo toàn chất lượng hình ảnh Trong khi Weaver và các nhà khoa học khác cho thấy ưu điểm của mô hình khử nhiễu dựa trên Wavelet thông qua các kết quả thực nghiệm, Donoho và Johnstone lại trình bày các kết quả lý thuyết quan trọng về lấy ngưỡng Wavelet Donoho và Johnstone cho thấy Wavelet Shrinkage mang lại khử nhiễu hiệu quả, đồng thời đảm bảo tốc độ hội tụ tốt và tính đơn giản của phương pháp Nhiều công trình nghiên cứu về Wavelet Shrinkage đã được công bố, cho thấy sự phát triển mạnh mẽ của lĩnh vực này.
55 trung vào mô hình thống kê của các hệ số Wavelet và sự lựa chọn tối ưu của các ngưỡng
Ngoài ngưỡng Wavelet, các phương pháp khử nhiễu dựa trên Wavelet khác cũng được nghiên cứu, điển hình là khử nhiễu dựa trên cây Hidden Markov (HMT) do Crouse khởi xướng và đạt được thành công đáng kể Các mô hình khử nhiễu dựa trên HMT cố gắng mô hình hóa phần phụ thuộc giữa các hệ số Wavelet kế tiếp và sử dụng sai số bình phương trung bình nhỏ nhất MMSE làm thước đo khử nhiễu Các cấu trúc cây cho các hệ số Wavelet dựa trên độ lớn của chúng, tỷ lệ và vị trí rải rác (spatial location) của chúng cũng đang được nghiên cứu để cải thiện hiệu quả khử nhiễu Biến đổi thích nghi dữ liệu như phân tích thành phần độc lập ICA (Independent Component Analysis) cũng được xem xét như một hướng tiếp cận khác để khử nhiễu và phân tích dữ liệu.
Trong phân tích thành phần, xu hướng phát triển tiếp theo của lĩnh vực khử nhiễu tập trung vào việc sử dụng các mô hình thống kê để mô hình hóa đặc điểm thống kê của các hệ số Wavelet và các giá trị lân cận của chúng Các nghiên cứu tương lai sẽ tìm kiếm các mô hình thống kê chính xác hơn cho phân bố của các hệ số Wavelet không trực giao, nhằm nâng cao hiệu quả khử nhiễu và độ tin cậy của các phép biến đổi Wavelet.
Biến đổi Wavelet là công cụ thiết yếu cho các ứng dụng phân loại, nén và ước lượng tín hiệu Đặc điểm nổi bật của Wavelet là tạo ra các cơ sở không điều kiện cho các lớp tín hiệu khác nhau, khiến phần lớn thông tin tín hiệu được chuyển sang một số hệ số có giá trị tương đối nhỏ Chính đặc điểm này làm cho biến đổi Wavelet trở nên đặc biệt hiệu quả trong khử nhiễu tín hiệu và cải thiện chất lượng phân tích tín hiệu trong các hệ thống xử lý.
Phương pháp biến đổi Wavelet đã được chứng minh khử nhiễu hiệu quả hơn các phương pháp trước đây, giúp làm sạch tín hiệu và nâng cao độ chính xác trong nhiều ứng dụng Nhiễu có thể phát sinh từ nhiều nguyên nhân như quá trình phát, thu thập dữ liệu, chất lượng đầu thu và sai số thực nghiệm Vì vậy, ứng dụng của biến đổi Wavelet trong khử nhiễu tín hiệu đóng vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật đo lường.
Biến đổi Wavelet được dùng để khử nhiễu dữ liệu bằng cách áp dụng phép biến đổi Wavelet lên dữ liệu bị nhiễu, bỏ ngưỡng các hệ số nằm dưới một ngưỡng nhất định và sau đó thực hiện biến đổi ngược để thu được phiên bản tín hiệu trơn hơn so với tín hiệu gốc Quy trình này được mô tả bởi Donoho và Johnstone (1994; 1995) cùng Donoho, Johnstone, Kerkyacharian và Picard (1995), và được gọi là “Wavelet shrinkage” hay “Sự co ngắn Wavelet”.
“Wavelet Shrinkage” hay WaveShrink Ngày nay, Wavelet Shrinkage là kỹ thuật phổ biến cho khử nhiễu tín hiệu Wavelet Shrinkage dựa trên cơ sở sự co ngắn các hệ số về giá trị không để khử nhiễu
Hình 2.1 Phương pháp khử nhiễu Wavelet Shrinkage
Khử nhiễu Wavelet cố gắng loại bỏ nhiễu xuất hiện trong tín hiệu trong khi vẫn giữ lại các đặc điểm của tín hiệu Thủ tục khử nhiễu bao gồm ba bước: biến đổi Wavelet tuyến tính, khử nhiễu shrinkage phi tuyến và biến đổi Wavelet ngược tuyến tính Wavelet Shirnkage là phương pháp khử nhiễu phi tuyến, phụ thuộc vào việc chọn tham số ngưỡng và chọn nguyên tắc xác định ngưỡng, tới phạm vi khử nhiễu hiệu quả.
Nhiễu và khử nhiễu
Trong nhiều hệ thống truyền thông, nhiễu trắng Gaussian (AWGN) được coi là mô hình nhiễu chuẩn để phân tích tín hiệu và thiết kế hệ thống Nhiễu AWGN có hàm mật độ xác suất Gaussian và hàm mật độ phổ công suất, cho thấy nhiễu được phân bố trên toàn phổ tần và được cộng tuyến tính vào tín hiệu đang phân tích Đặc tính trắng của nhiễu khiến phổ công suất đồng nhất trên mọi tần số, giúp mô phỏng và đánh giá hiệu suất hệ thống một cách nhất quán Hiểu rõ phân bố xác suất Gaussian và đặc trưng phổ công suất là cơ sở để ước lượng lỗi và tối ưu hóa kỹ thuật mã hóa và điều chế trong truyền thông.
57 Đối với mô hình một chiều tín hiệu nhiễu có dạng cơ bản sau: s (n) = f (n) + σ e (n) (2.1) với khoảng thời gian n là cách đều nhau
Trong mô hình hai chiều, tín hiệu nhiễu có dạng như sau: σ
Trong mô hình một chiều giả thiết rằng e (n) là nhiễu trắng Gaussian (0,1) và mức nhiễu σ được giả thiết bằng 1 và ) là nhiễu trắng Gaussian trong mô hình
Trong bài viết này, mục tiêu khử nhiễu hai chiều là loại bỏ nhiễu khỏi phần tín hiệu s và khôi phục hàm f Phương pháp hiệu quả tập trung vào các hàm f có biểu diễn wavelet rải rác (sparse wavelet), nghĩa là chỉ một số ít hệ số wavelet quan trọng còn lại gần bằng không Với đặc trưng này, các hàm f có biểu diễn sparse trong cơ sở wavelet cho thấy hiệu quả cao trong khử nhiễu và tái hiện tín hiệu Xét về mặt thống kê, đây là một mô hình hồi quy theo thời gian và phương pháp khử nhiễu có thể được xem như sự ước lượng phi tham số của hàm f bằng cách sử dụng một cơ sở trực giao Do đó, việc khai thác biểu diễn wavelet rải rác giúp tối ưu hóa quá trình ước lượng và khôi phục f một cách chính xác hơn.
Quy trình khử nhiễu
Quy trình khử nhiễu trung bao gồm ba bước (tham khảo trong [8]) Các thủ tục cơ bản của quy trình này được mô tả theo các bước dưới đây:
1 Phân tích - Lựa chọn Wavelet, chọn mức N Tính toán phân tích Wavelet của tín hiệu s ở mức N
2 Lấy ngưỡng các hệ số chi tiết - Với mọi mức từ 1 tới N, chọn ngưỡng và áp dụng lấy ngưỡng mềm hay cứng vào các hệ số chi tiết
3 Khôi phục - Tính toán khôi phục Wavelet sử dụng các hệ số xấp xỉ nguyên gốc ở mức N và các hệ số chi tiết đã được hiệu chỉnh ở các mức từ 1 tới N
Để khử nhiễu cho tín hiệu, cần lựa chọn Wavelet phù hợp và mức phân tích tối ưu Dựa trên các dạng Wavelet khác nhau và sự tương quan của chúng với từng loại tín hiệu, cùng với đặc điểm của các họ Wavelet được trình bày ở chương trước, ta có thể chọn Wavelet thích hợp nhất cho quá trình xử lý và khử nhiễu tín hiệu.
Phân tích Wavelet khác với các kỹ thuật phân tích trước đây ở chỗ nó cung cấp một họ các phân tích được tổ chức phân cấp thành nhiều mức Việc lựa chọn mức phân tích phù hợp phụ thuộc vào tín hiệu được phân tích và kinh nghiệm của người phân tích Thông thường mức (level) được chọn dựa trên cơ sở tần số cắt thấp mong muốn, nhằm xác định phạm vi phổ và độ chi tiết cần giữ lại Ở mỗi mức j, ta xây dựng xấp xỉ mức j là cA_j và độ lệch của tín hiệu (gọi là chi tiết mức j) là cD_j Ta có thể xem tín hiệu gốc là xấp xỉ ở mức 1, ký hiệu cA_1.
Một cách để hiểu phân tích này là thông qua so sánh thị giác giữa các hình ảnh liên tiếp của một đối tượng Các hình ảnh liên tiếp cA1, cA2, cA3 được xây dựng và xấp xỉ liền kề nhau, với mỗi cặp hình ảnh liên tiếp khác nhau ở một chi tiết nhất định Trong ví dụ này, hình ảnh cA2 được xem là tổng của hình ảnh cA4 và các chi tiết trung gian cD4, cD3, cho thấy cách các thành phần và chi tiết trung gian đóng góp vào sự biến đổi giữa các khung hình.
Hình 2.2 Cấu trúc phân tích
Số mức phân tích lại được lựa chọn dựa trên đặc điểm của tín hiệu và các chuẩn Entropy như trình bày ở các chương trước
2.3.2.1 Lấy ngưỡng Wavelet Đặc trưng của tín hiệu trong phép phân tích Wavelet đo là các hệ số nhỏ bị át bởi nhiễu, trong khi các hệ số với giá trị tuyệt đối lớn chứa đựng nhiều thông tin tín hiệu hơn nhiễu Thay thế các hệ số nhiễu (các hệ số nhỏ dưới một giá trị ngưỡng nào đó) bởi giá trị không và biến đổi ngược có thể đưa đến sự khôi phục tín hiệu thu được với ít nhiễu hơn Phát biểu một cách chính xác hơn, ý tưởng lấy ngưỡng Wavelet dựa trên cơ sở các thừa nhận sau:
Biến đổi Wavelet thể hiện tính thưa của tín hiệu: sau biến đổi, nhiều hệ số bằng không hoặc có giá trị rất gần bằng không, nên được coi là các hệ số bị bỏ qua Tính chất này làm cho thông tin quan trọng tập trung ở một số hệ số nổi bật, trong khi phần còn lại mang ít ý nghĩa Nhờ việc bỏ qua các hệ số bằng không hoặc gần bằng không, quá trình nén dữ liệu, khử nhiễu và phân tích tín hiệu trở nên hiệu quả hơn, giúp tối ưu lưu trữ và tính toán trong các ứng dụng xử lý tín hiệu.
+ Nhiễu trải ra như nhau ở mọi hệ số
+ Mức nhiễu là không quá lớn tới mức không thể phân biệt các hệ số Wavelet so với các hệ số nhiễu
Phương pháp này thực sự hiệu quả để giảm nhiễu và việc lấy ngưỡng được thực hiện một cách đơn giản Hơn thế nữa, việc chèn nhiễu không làm tăng tính rải rác trong miền Wavelet, từ đó ta thấy mối liên hệ giữa khử nhiễu tín hiệu bằng Wavelet và kỹ thuật nén tín hiệu Việc loại trừ nhiễu được thực hiện dựa trên một số quy tắc ngưỡng hóa.
Donoho và Johnstone đưa ra các hàm lấy ngưỡng cứng và mềm được xác định như sau:
Lấy ngưỡng cứng (Hard Threshold):
Lấy ngưỡng mềm (Soft Threshold):
Lấy ngưỡng cứng và lấy ngưỡng mềm đều có ưu nhược điểm riêng Lấy ngưỡng cứng là phương pháp đơn giản nhất: gán 0 cho các thành phần có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn ngưỡng Lấy ngưỡng mềm là sự mở rộng của lấy ngưỡng cứng: trước tiên đặt các thành phần có giá trị nhỏ hơn ngưỡng bằng 0, sau đó rút ngắn các hệ số còn lại về gần 0 Hàm lấy ngưỡng cứng có gián đoạn ở x = ±λ, trong khi hàm lấy ngưỡng mềm không có gián đoạn Lấy ngưỡng mềm có các đặc điểm toán học tốt và phù hợp với các kết quả lý thuyết; nó có độ lệch (bias) lớn do sự co ngắn của các hệ số lớn Trong khi đó lấy ngưỡng cứng hướng tới những dao động lớn và có thể không ổn định vì sự không liên tục của hàm lấy ngưỡng, do đó ngưỡng mềm nhạy cảm với những thay đổi nhỏ trong dữ liệu.
Garrote threshold là một phương pháp nhằm khắc phục những hạn chế của các phương pháp lấy ngưỡng cứng và ngưỡng mềm bằng cách dùng một hàm ngưỡng không âm do Breiman giới thiệu lần đầu vào năm 1995 Phương pháp này được xác định như sau: nó điều chỉnh các hệ số ước lượng bằng các trọng số không âm sao cho tổng trọng số không vượt quá một ngưỡng cho trước, từ đó tăng khả năng chọn biến và ổn định mô hình, đồng thời giảm nhiễu và cải thiện hiệu suất dự báo.
Hàm lấy ngưỡng Garrote δλG là một hàm liên tục (giống ngưỡng mềm), nên ổn định hơn so với ngưỡng cứng Đặc tính không âm của hàm Garrote cho phép nó dung hòa giữa những đặc tính tốt của hai phương pháp ngưỡng cứng và ngưỡng mềm, mang lại hiệu quả ước lượng linh hoạt và ổn định.
Gao và Bruce (1997) đưa ra hàm lấy ngưỡng Firm x
(2.6) với sgn là hàm signum:
(2.7) với x là số phức khác không, sgn(x)= x/abs(x)
Bằng cách chọn các ngưỡng xấp xỉ λ1 và λ2, Firm Shrinkage tập trung các ưu điểm nổi bật của hai phương pháp lấy ngưỡng cứng và ngưỡng mềm, đồng thời khắc phục những hạn chế của hai dạng ngưỡng này Một nhược điểm duy nhất của Firm Shrinkage là yêu cầu hai mức ngưỡng, khiến quá trình chọn ngưỡng trở nên khó khăn và phức tạp hơn nhiều so với các phương pháp đơn ngưỡng khác.
Trong hình 2.3, các hàm lấy ngưỡng (shrinkage function) được biểu diễn một cách rõ ràng Đường nét đứt thẳng đứng chỉ ra các ngưỡng, giúp xác định vị trí ngưỡng một cách trực quan Tất cả các hàm lấy ngưỡng, trừ hàm lấy ngưỡng cứng, đều liên tục, nghĩa là khi đầu vào biến thiên, giá trị của shrinkage function thay đổi một cách mượt mà; riêng hàm lấy ngưỡng cứng không có tính liên tục.
Các phương pháp lấy ngưỡng đều có ưu nhược điểm riêng, tùy thuộc vào từng trường hợp ứng dụng cụ thể Tuy nhiên, trong đa số tình huống, ngưỡng mềm mang lại kết quả khử nhiễu tốt hơn.
Xác định ngưỡng là bước quan trọng trong khử nhiễu Ngưỡng nhỏ có thể giữ tín hiệu gần với đầu vào nhưng vẫn bị nhiễu Ngược lại, ngưỡng lớn làm cho nhiều hệ số bằng 0, giúp làm trơn tín hiệu nhưng đồng thời loại bỏ chi tiết và có thể gây mờ cũng như artifact trong xử lý ảnh.
Nguyên tắc lựa chọn ngưỡng
Có 4 nguyên tắc chọn ngưỡng chính:
Rigrsure - ngưỡng được chọn sử dụng nguyên tắc Stein’s Unbiased Risk
Estimate (SURE) là hàm tổn thất bình phương (hàm loss bình phương) được sử dụng để ước lượng rủi ro liên quan đến một ngưỡng có giá trị t Ta có một ước lượng rủi ro cho ngưỡng t, và quá trình tối thiểu hóa rủi ro theo biến t cho phép xác định một ngưỡng lựa chọn tối ưu Việc tối ưu hóa rủi ro theo t giúp tìm ra ngưỡng phù hợp nhất để áp dụng trong phân tích và quyết định, đồng thời nâng cao hiệu quả của mô hình.