Tài liệu Phương pháp số dự báo thời tiết docx

Phương trình xoáy chính áp 117 4.2 Mô hình chính áp tựa địa chuyển 125 4.3 Sơ đồ dự báo tựa địa chuyển ba chiều 1314.4 Giải phương trình cho xu thế địa vị thế bằng phương pháp mặt Chươn

NXB Đại học Quốc gia Hà Nội - 2007

Từ khóa: Sơ đồ sai phân, toán tử, bất ổn định, thủy động lực

học, cjính áp, tà áp, solenoiit, phân tích quy mô, phương trình nước nông, hội tụ

Tài liệu trong Thư viện điện tử Trường Đại học Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục

vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả

PHƯƠNG PHAP SỐ DỰ BÁO

THỜI TIẾT

Trần Tân Tiến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRẦN TÂN TIẾN

PHƯƠNG PHÁP SỐ DỰ BÁO THỜI TIẾT

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

1.3 Các phương trình thuỷ nhiệt động lực học cho khí quyển rối 20

1.4 Hệ các phương trình thuỷ nhiệt động lực với toạ độ thẳng đứng

1.7 Phương trình xoáy và phương trình Divecgiăng 36

1.8 Hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực học trong hệ toạ độ cầu 41

1.9 Tính ảnh hưởng của hình chiếu bản đồ 50

2.1 Phương pháp phân tích quy mô 56

2.4 Phân tích quy mô các phương trình 66

3.6 Sơ đồ tích phân theo thời gian 91

3.8 Tính ổn định của sơ đồ sai phân hữu hạn 96 3.9 Phân tích ổn định tính toán của sơ đồ sai phân hữu hạn 100 3.10 Bất ổn định tính toán phi tuyến 111 3.11 Ảnh hưởng của sai số đến ổn định của các nghiệm số 114

Chương 4 Các mô hình dự báo tựa địa chuyển và tựa solenoit 117 4.1 Phương trình xoáy chính áp 117 4.2 Mô hình chính áp tựa địa chuyển 125 4.3 Sơ đồ dự báo tựa địa chuyển ba chiều 1314.4 Giải phương trình cho xu thế địa vị thế bằng phương pháp mặt

Chương 5 Các mô hình dự báo dựa trên các phương trình thủy

nhiệt động lực học nguyên thủy

165

5.1 Bài toán dự báo dựa trên hệ các phơng trình nguyên thủy 165 5.2 Hệ phương trình nguyên thủy cho khí quyển chính áp 172 5.3 Tính chất tích phân của các mô hình dựa trên hệ các phương

trình nguyên thủy

176

5.4 Ngăn chặn và làm suy yếu bất ổn định phi tuyến 185

5.5 Các sơ đồ sai phân hữu hạn sử dụng trong các mô hình dự báo 188

5.7 Phương trình vận chuyển thực thể theo quỹ đạo 204

5.8 Sơ đồ dự báo của Martruc G.I đựa trên hệ phương trình đầy

đủ giải bằng phương pháp tách

207

5.9.

MỞ ĐẦU

Dự báo số trị là phương pháp dự báo thời tiết dựa trên cơ sở tích

phân số trị hệ phương trình thuỷ động lực học của khí quyển Ngày nay ở

nhiều nước, phương pháp này đã được sử dụng để dự báo thời tiết trong

điều kiện nghiệp vụ Lý thuyết của dự báo số trị là một phần của khí

tượng động lực, được tách ra thành một giáo trình độc lập vì có ý nghĩa

thực tiễn lớn và cần được nghiên cứu kỹ hơn so với các phần khác

Nhiệm vụ của môn dự báo số trị là khảo sát một cách định lượng các quy

luật của các quá trình trong khí quyển và nghiên cứu các phương pháp

tích phân hệ các phương trình thuỷ nhiệt động lực học

Môn dự báo số trị được hình thành từ đầu thế kỷ XX Giai đoạn

đầu chủ yếu sử dụng các quy luật riêng biệt để dự báo Đầu thế kỷ thứ

XX, Biercnes là người đầu tiên đưa ra vấn đề dự báo thời tiết bằng cách

tích phân các phương trình động lực học khí quyển Richarson là người

đầu tiên tiến hành dự báo thời tiết bằng phương pháp số trị, năm 1922

ông đã viết cuốn “Dự báo thời tiết như một quá trình tính toán” Kết quả

tính toán không thành công vì bấy giờ các quy luật vật lý chưa được

nghiên cứu kỹ, hệ các phương trình chưa được khảo sát, số liệu ít, nhất là

ở trên cao, phương pháp tích phân chưa ổn định, chưa có máy tính điện

tử

Năm 1914, Fridman đã lập được bảng các đại lượng và đạo hàm

các cấp của chúng Nhờ có bảng đại lượng này ông đã phân tích phương

trình xoáy và tìm được phương trình làm cơ sở cho việc dự báo thời tiết

bằng phương pháp trị số, mở ra một hướng phát triển mới

Trong những năm 40 của thế kỷ XX, đã lập được các sơ đồ dự báo

đầu tiên bằng phương pháp số trị Năm 1940, Kibel sử dụng điều kiện tựa

tĩnh và gần đúng địa chuyển đã tìm được nghiệm của bài toán dự báo

dưới dạng chuỗi Năm 1938-1940 Rozby đã công bố nhiều công trình về

lý thuyết sóng dài và dòng vĩ hướng, các công trình này đã ảnh hưởng lớn đến việc phát triển dự báo Năm 1943, Blinôva đã lập được phương trình

dự báo động lực đầu tiên cho một vài ngày Năm 1951, Bulev và Martruc

đã tìm được nghiệm giải tích của hệ phương trình dự báo khí quyển tà áp.Kết quả này đã đánh dấu một bước nhảy vọt của dự báo số trị và đã sử dụng rộng rãi trong các sơ đồ dự báo nghiệp vụ của nhiều nước

Sau năm 1950, sự xuất hiện và phát triển máy tính điện tử mạnh

mẽ nên nhiều mô hình dự báo thời tiết phức tạp đã được xây dựng và sử dụng Trước hết phải kể đến mô hình Charny, Philips (1950 ở Mỹ), Belousov (1954 ở Liên Xô) Từ những năm 1960, người ta đã chú ý xâydựng các sơ đồ dự báo bỏ bớt các hạn chế của chúng Ngày nay, cácphương pháp toán học và kỹ thuật tính toán đã cho phép xây dựng mô hình không cần đến điều kiện gì đối với trường gió và trường độ cao địa thế vị hay các mô hình tích phân với số bước thời gian rất lớn, các mô hình phi đoạn nhiệt và dự báo mây, mưa, các mô hình dự báo toàn cầu Đến nay, hầu hết các nước đều sử dụng phương pháp số trị để dự báo thời tiết Các trung tâm khí tượng lớn trên thế giới đều đang sử dụng các mô hình dự báo toàn cầu với bước lưới khoảng 100 km và đưa kết quả trên internet Các trung tâm khí tượng, các cơ quan nghiên cứu dự báo khí tượng và các cá nhân quan tâm đều có thể thu nhận các kết quả

dự báo này Các kết quả dự báo toàn cầu được sử dụng làm điều kiện biên

và điều kiện ban đầu cho các mô hình dự báo quy mô vừa của các nước Trong quá trình dự báo theo các mô hình quy mô vừa, có thể cập nhật điều kiện địa phương để tăng độ chính xác của dự báo

Giáo trình gồm 5 chương:

Chương 1 trình bày các hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực học ở các loại hệ toạ độ được sử dụng trong khí tượng

Chương 2 trình bày lý thuyết phân tích quy mô giúp đánh giá được

vai trò của các thành phần trong từng phương trình thuỷ nhiệt động lực

Từ đó có thể chọn được hệ phương trình cho từng bài toán khí tượng

được quan tâm

Chương 3 trình bày lý thuyết về xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn

các phương trình thuỷ nhiệt động lực học và phân tích độ ổn định tính

toán của từng loại sơ đồ sai phân sử dụng trong dự báo số trị

Chương 4 trình bày các sơ đồ dự báo dựa trên gần đúng địa chuyển

và Solenoit

Chương 5 trình bày sơ đồ dự báo dựa trên hệ các phương trình

nguyên thuỷ và tính bảo toàn của các đại lượng vật lý trong từng mô

hình

Giáo trình này được dùng làm tài liệu học tập cho sinh viên ngành

khí tượng và làm tài liệu tham khảo cho học viên cao học, các cán bộ

nghiên cứu ngành khí tượng thuỷ văn

R - Hằng số khí riêng của hơi nước

T- Nhiệt độ tuyệt đối

Chương 1 CÁC PHƯƠNG TRÌNH THUỶ NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CHO KHÍ

QUYỂN

1.1 CÁC QUÁ TRÌNH CHÍNH TRONG KHÍ QUYỂN VÀ VẤN ĐỀ

XÂY DỰNG CÁC MÔ HÌNH DỰ BÁO

Các quá trình xảy ra trong khí quyển có thể chia thành ba dạng

chính: Các quá trình quy mô lớn (macro), quy mô vừa (meso) và quy mô

nhỏ (micro) Các quá trình quy mô lớn có kích thước ngang hàng ngàn

km (1-10 ngàn km) Chu kỳ của quá trình này khoảng vài ngày (từ 1-10

ngày) Xoáy thuận ngoại nhiệt đới là một trong những đối tượng thuộc

quy mô lớn Các quá trình có quy mô vừa có kích thước ngang khoảng

vài chục đến vài trăm km, chu kỳ khoảng vài giờ Thí dụ, về các quá trình

quy mô vừa là front khí quyển, phát triển mây tích v.v Các quá trình

quy mô nhỏ có kích thước ngang từ vài centimet đến vài mét và chu kỳ từ

vài giây đến vài phút Các quá trình trong lớp sát đất thuộc loại các quá

trình quy mô nhỏ

Tất cả các quá trình trong khí quyển đều mang tính chất sóng Việc

tính toán các sóng trong mô hình số là vấn đề rất quan trọng cần được chú

ý khi xây dựng mô hình dự báo số Có ba dạng sóng chính trong khí

quyển là sóng quán tính, sóng trọng trường và sóng âm

Sóng quán tính (sóng Rozby hay sóng quy mô lớn) có bước sóng

dài hàng ngàn km, chu kỳ khoảng vài ngày Biên độ dao động trong

trường áp suất đạt hàng chục mb (hpa), trong trường hợp gió đạt hàngchục m/s Đây là các quá trình quy mô lớn Các quá trình này cần được tính đến trong các mô hình dự báo

Sóng trọng trường chủ yếu tạo ra các quá trình quy mô vừa Biên

độ của sóng này trong trường gió khoảng vài m/s Sóng này cần tính đến trong các mô hình dự báo số

Sóng âm thuộc loại các qua trình quy mô nhỏ Sóng này không ảnh hưởng đến các quá trình khí tượng nên trong các mô hình cần lọc sóng

âm để đảm bảo độ ổn định tính toán trong quá trình tích phân

Các mô hình dự báo thời tiết hạn ngắn (1-3 ngày) hạn vừa (3-10ngày) tính ảnh hưởng của các quá trình quy mô lớn, quy mô vừa và quy

mô nhỏ khác nhau Biến đổi thời tiết trên diện rộng chủ yếu do các quá trình và các sóng quy mô lớn Các quá trình quy mô nhỏ ít ảnh hưởngđến thời tiết

Thời tiết ở khu vực nhỏ và ở thời gian xác định trong ngày là docác quá trình quy mô vừa, phát triển trên nền thời tiết quy mô lớn, tạo ra.Các mô hình mô phỏng khí quyển trên cơ sở động lực và vật lý đãtrở thành những công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu và dự báo nghiệp

vụ trong 30 năm qua Tuy nhiên, do hạn chế về tốc độ của máy tính vàviệc giải quyết những tính chất vật lý đưa vào mô hình nên không sử dụng một kiểu mô hình để tính tất cả các quy mô của hiện tượng Do vậy, nhiều mô hình đã được phát triển để mô phỏng các quy mô chuyển động khác nhau trong khí quyển

Hình 1.1 mô tả phổ các mô hình: từ mô hình hoàn lưu chung thuỷ tĩnh toàn cầu với độ phân giải rất thô (cỡ 200 km), mục đích dự báo hạn dài và các quá trình qui mô lớn đến các mô hình quần thể mây phi thuỷ tĩnh có độ phân giải cao (cỡ 1 km hoặc nhỏ hơn) để tính được hầu hết tất

cả các quá trình động lực và vật lý trong khí quyển

Hình 1.1 Phổ của mô hình dự báo sốNhận thấy các mô hình khu vực và mô hình qui mô vừa nằm giữa

mô hình qui mô lớn và mô hình mây Không có phân biệt rõ ràng giữa

mô hình khu vực và mô hình qui mô vừa Người ta xem mô hình khu vực

có độ phân giải từ 50 - 150 km, còn mô hình qui mô vừa là từ 1 - 50 km

Một số mô hình qui mô vừa hiện nay như: mô hình ETA dự báo nghiệp

vụ cho khu vực Tây Bắc Thái Bình Dương, Hông Kông, Đài Loan, và

hệ thống mô phỏng khí quyển qui mô vừa (MASS) dự báo cho khu vực

Nam Corolia - Mỹ, mô hình RAMS ở Mỹ, Hy Lạp Mô hình HRM ở

Đức, các nước châu Âu, Việt Nam, MM5 ở Mỹ, Hồng Kông, Việt Nam

Để xây dựng các mô hình dự báo số cần tiến hành các bước sau:

1/ Xác định và mô tả các quá trình vật lý dẫn đến làm thay đổi thời

tiết

2/ Chọn hệ phương trình vi phân mô tả các quá trình vật lý đã

chọn

3/ Thay môi trường khí quyển liên tục, phức tạp thành môi trường

đơn giản trong không gian gồm các điểm hữu hạn

4/ Tích phân số trị các phương trình để tìm các yếu tố khí tượng ở

các điểm cố định trong không gian và ở các thời điểm

Thực hiện 4 bước trên ta có thể xây dựng được mô hình dự báo số Trong các phần sau sẽ trình bày nội dung của các bước trên

1.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CHO CÁC CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG

Hệ các phương trình thuỷ nhiệt động lực học mô tả các quá trìnhxảy ra trong khí quyển gồm các phương trình chuyển động, phương trìnhliên tục, phương trình nhập nhiệt, phương trình trạng thái và phương trìnhvận chuyển ẩm Các phương trình này rút ra rừ các định luật bảo toànđộng lượng, bảo toàn khối lượng và bảo toàn năng lượng Các yếu tố khí tượng chính ta xét là áp suất p, nhiệt độ T, mật độ  và các thành phần của vận tốc nằm ngang u , v, thẳng đứng w Hệ toạ độ sử dụng là hệ toạ

độ Đề- các (x,y,z) Trục z hướng lên trên, trục x theo tiếp tuyến với vĩ tuyên, trục y theo tiếp tuyến với kinh tuyến Do độ cong của mặt đất nênhướng của các trục thay đổi khi di chuyển từ điểm này đến điểm khác song sự ảnh hưởng này chỉ lớn khi xét các quy mô cỡ bán kính trái đất còn đối với các quá trình quy mô nhỏ hơn, sự ảnh hưởng này không lớn nên có thể bỏ qua và xem hệ toạ độ là hệ toạ độ vuông góc Nếu xét khí quyển không có nhớt phân tử, nhớt rối, không có dẫn nhiệt và trao đổi nhiệt bức xạ thì có thể coi khí quyển như một chất lỏng lý tưởng Xét hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực cho khí quyển này

1.2.1 Phương trình chuyển động

Phương trình chuyển động theo các toạ độ có dạng

x

p F

Macro - Meso  Meso  Meso  Micro

YEARS WEEKS - DAYS - - DAY HOURS

p F

dt dw

y

p F

dt dv

y y

(1.2.1)

ở đây ký hiệu:

z

w y

v x

u t dt

F , và F z là hình chiếu của vectơ lực khối trên các trục tương ứng

Trong khí quyển, lực khối lượng bao gồm trọng lực và lực Coriolic Ở

đây trọng lực là tổng vectơ của lực hấp dẫn và lực ly tâm Coi trọng lực

hướng vào tâm trái đất nên g xg y 0 còn g z g Giá trị của g phụ

thuộc vào vĩ độ và độ cao của điểm được xét so với mặt biển

)10.14.31)(

2cos.0026.01(

80

Đối với các bài toán khí tượng sự phụ thuộc này không đáng kể

(khoảng vài phần nghìn) nên thường lấy g  9 8 m / s2

Lực Coriolic ở dạng vectơ có thể biểu diễn:

V

K2.   (1.2.2)

Vì vậy:

)(

2

)(

2

)(

2

u K

w u K

w K

y x z

x z y

z y x

Vì chọn hệ toạ độ có trục y và trục x trùng với tiếp tuyến của kinh,

vĩ tuyến nên x  0 Kký hiệu:

sin22

p dt

dw

u y

p dt

dv

w v x

p dt

v x

u z

w y

v x u

V div z

w y

v x u

z

w y

v x

u V

V div

v x

u t

v x

u dt

Khi đó phương trình liên tục có dạng:

v x

u

(1.2.8)

1.2.3 Phương trình trạng thái

Phương trình trạng thái biểu diễn mối quan hệ giữa ba đại lượng là

áp suất p, mật độ  và nhiệt độ không khí T:

RT

ở đây: R287m2 /s2.độ là hằng số khí riêng đối với không khí

Phương trình (1.2.9) thoả mãn với áp suất rất nhỏ tức là đến tận các

lớp rất cao của khí quyển Đối với khí quyển thực chứa hơi nước phương

trình (1.2.9) phải thay T bằng nhiệt độ ảo T a mới chính xác song sự khác

biệt giữa T a và T* đối với các lớp trong khí quyển tự do không lớn Vì

vậy sử dụng phương trình trạng thái (1.2.9) trong dự báo số trị vẫn đảm

bảo độ chính xác cho phép

1.2.4 Phương trình nhập nhiệt

Phương trình nhập nhiệt hay còn gọi là phương trình của nguyên lý

thứ nhất Đây là phương trình biểu diễn định luật bảo toàn năng lượng áp

dụng cho nhiệt năng Phương trình có thể viết dưới dạng:







v p

v p

C C

C C R

vào (1.2.10) ta viết nó về dạng:

dp p

T dt



m dt

Các phương trình (1.2.3), (1.2.7), (1.2.9), (1.2.11), và (1.2.15) tạo

thành hệ phương trình kín với ẩn số là u, v, w, p,  , T và q Nếu coi quá

trình là đoạn nhiệt thì  0 hay dòng nhập nhiệt chỉ do chuyển pha của

hơi nước thì Ph L.m Trường hợp quá trình xảy ra có các dòng

nhập nhiệt khác nữa thì phải xét thêm các phương trình mô tả các đại

lượng chưa biết

1.3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH THUỶ NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CHO KHÍ

QUYỂN RỐI

Chuyển động rối trong khí quyển đóng vai trò rất lớn trong việc

hình thành và phát triển các quá trình của khí quyển Hiệu ứng nhớt rối ở

đây lớn hơn nhiều so với nhớt phân tử , vì vậy trong các bài toán khí

tượng động lực hay dự báo số trị hiệu ứng này thường được quan tâm và

tính đến Chuyển động rối là không thể mô tả được Trong khí tượng chỉ

quan tâm đến giá trị trung bình của các biến và biến động của chúng theo

thời gian nên ảnh hưởng của các nhiễu động đến đại lượng quan tâm

được tính đến như tổng trung bình của các nhiễu động

Giả sử f(x,y,z,t) là một đại lượng nào đó, f là giá trị trung

bình của nó, f f  f là nhiễu động khi đó giá trị trung bình có thể xác

định:





2 /

2 /

),,,(1),,,(





 f x y z t dt

t z y x

ở đây  là chu kỳ lấy trung bình

Hệ các phương trình dự báo có thể viết dưới dạng tổng quát sau:

N dt

d



Ở đây  là các yếu tố quan tâm, N là một hàm nào đó đã cho

Thay   , NNN, , trong (1.3.2) và tiến hành lấy

trung bình Sử dụng các quy tắc lấy trung bình ta dễ dàng nhận được:

)(

11

z

w y

v x

u N

mô tả biến đổi đại lượng ta xét do chuyển động rối gây ra

Áp dụng công thức (1.3.3) tiến hành lấy trung bình các phươngtrình (1.2.3), (1.2.7), (1.2.9), (1.2.11), và (1.2.15)

)(

1

)(

11

0

)(

11

)(

11

)(

11

2 2

2

z

q w y

q v x

q u m

dt q

z

w y

v x

u C

T dt d

z

w y

v x

u t

z

w y

w v x

w u z

F dt

w d

z

w v y

v x

v u y

F dt

v d

z

w u y

v u x

v x

F dt u

p

z y X

w K w z

v K w v

y

v K v z

u K w u

y

u K v u x

u K u u

x K C u

y

q K q v C

x

q K q u C

z K C w

C

q p

q p

q p

p p

K

K   ,     là hệ số trao đổi nhiệt rối theo

phương thẳng đứng và nằm ngang; Kq  qK , Kq  qK là hệ số

trao đổi ẩm rối theo các phương trên; , q là các hằng số tỷ lệ Các

hằng số này được xác định bằng thực nghiệm, chúng gần bằng một nên

trong dự báo số trị lấy   q  1

Thay (1.3.5) vào (1.3.4) được hệ phương trình mô tả các đại lượng

trung bình (các dấu gạch ngang ta bỏ đi cho gọn)

z

w K z w K u v g z

p dt

dw

z

v K z v K w u

y

p dt

dv

z

u K z u K v w x

p dt

du

y x

x z

z y

221

221

v x

u t

K C

T dt

d

Ph Bx p

P C R

p

P T

dt

dp gp dt

Để xây dựng mô hình dự báo thời tiết quy mô lớn người ta sử dụng

hệ phương trình ở dạng đơn giản hơn so với hệ phương trình trong hệ toạ

độ Đê - các Hệ phương trình này được viết trong hệ toạ độ có trục thẳng đứng liên hệ với trục Oz qua phương trình tĩnh học Xét phương phápchuyển đổi hệ phương trình trong hệ toạ độ Đề - các sang hệ toạ độ mới

Giả sử hàm f là đại lượng khí tượng bất kỳ phụ thuộc toạ độ

không gian và thời gian trong hệ toạ Đề - các f(x,y,t,z) Trong hệ toạ

độ mới, trục thẳng đứng được thay bằng  còn các trục x, y và thời gian

t vẫn giữ nguyên như trong hệ Đề - các Để phân biệt các hàm và biến

trong hai hệ, ký hiệu các hàm và biến trong hệ toạ độ mới có chỉ số 1

Hàm số nào đó tại một điểm trong không gian và thời điểm nhất định

trong hai hệ toạ độ phải bằng nhau:

1 , , ( , , , ),)

,,,(x y z t f x y x y z t t

Để tìm được công thức chuyển đổi đạo hàm từ hệ toạ độ cũ sang hệ

toạ độ mới, lấy vi phân hai vế (1.4.1) theo các biến x,y,z,t Ký hiệu S

là một trong các biến trên, ta có:

S

t t

f S

f S

y y

f S

x x

f S

1 1

1 1 1

1 1 1

x z

t z

y z

x y

t y

x x

t x y

t

t y

y x x

(1.4.3)

Theo (1.4.3) thì (1.4.2) có dạng:

S

f S

f S

ở đây S1 là một trong các biến (x1,y1,,t1) Trong công thức

(1.4.4) cần xác định  / S Để tìm được đại lượng này ta coi f là địa

thế vị  gz của mặt   const.Khi đó ta thay  vào (1.4.4) ta được

S

f S

1

S g z

f v x

f u t

f dt

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

gw y

v x

u t

f

y

f v x

f u

f y

f v x

f u t

f dt

1 1 1

1 1 1

1

y

v x

u t

1 1 1

1 1 1

1

y

v x

u t

gw dt

Như vậy có công thức (1.4.12) để chuyển đổi đạo hàm toàn phần từ

hệ toạ độ cũ sang hệ toạ độ mối Sử dụng các công thức (1.4.7), (1.4.8) và

(1.4.12) để chuyển đổi hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực học trong hệ

toạ độ Đê – các (x,y,z,t) sang hệ toạ độ mới (x1,y1,,t1 )

1 Phương trình trạng thái

1 1

2 Phương trình nhập nhiệtTrong hệ toạ độ cũ phương trình có dạng

p

C dt

dp P

T x

x dt

dp P

T x

x dt

1

(1.4.14)

3 Phương trình tĩnh họcThay

g p

g z

P

1 1

1 1

1

x

p x

p x

p x p

1 1 1

1

x

p x

p x

p dt

p dt

1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1

dt

d w

g z

w

y

v y

u y

u

x

u x

u x

1 1 1

1 1

1 1

1 1 1

1 1

2 1 2

1 1 2 1 1 1 2 1 1 2

1

11

y

v x

u dt

d

y

v x u

y

v x

u t

1 1

dt

d y

v x

u z

w y

v x

Thay biểu thức trên vào phương trình liên tục, được:

01

1 1 1

1 1 1 1 1 1

v x

u dt

11

dt

d p dt

d dt

1 1

v x

(1.4.20)

Bỏ các chỉ số 1 ở hàm số và ở các biến nhận được hệ phương trìnhthuỷ nhiệt động lực trong hệ toạ độ mới ở dạng:

1

11

d p y

v x u

C dt

dp P

T x

x dt dT p

F u y y

p dt

dv

F v x x

p dt

du

p

y x







(1.4.21)

Hệ phương trình (1.4.21) là hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực

học trong hệ toạ độ có trục thẳng đứng tuỳ ý Có thể tìm được hệ phương

trình thuỷ nhiệt động lực học cho khí quyển trong hệ toạ độ áp suất khi

thay  p, trong hệ toạ độ  khi thay

1.5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUỶ NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC TRONG HỆ

TOẠ ĐỘ ÁP SUẤT

Hệ toạ độ áp suất là hệ toạ độ có trục thẳng đứng là áp suất khí

quyển P Các biến độc lập khác vẫn giữ nguyên không đổi Các biến

phụ thuộc trong hệ này là u ,,v T và  và tương tự, tốc độ thẳng đứng

v x

u t dt

Do   pnên

p p

p dt

Hệ phương trình khi đó có dạng:

x

F v x p

u y

u v x

u u t

v y

v v x

v u t

p T

v x

p

C P

T x

x p

T y

T v x

T u t

T x

x p

RT y

T v x

T u t

P dt

dp

P p p

P

P dp

u y

u v x

u u t

v y

v v x

v u t

p

a

C g

RT y

T v x

T u t

Sử dụng các phương trình trong hệ toạ độ áp suất có nhiều ưu điểm

so với hệ phương trình trong hệ toạ độ Đề - các Nhưng ưu điểm đó là:

a) Gió địa chuyển trong hệ toạ độ Đề - các xác định bằng biểu

thức:

x

p u

(1.5.4)

Còn trong hệ toạ độ áp suất:

x

H g v y

H g

bố áp suất thì trong công thức (1.5.4) còn chứa mật độ không khí Nhưvậy giữa tốc độ gió địa chuyển và gradien khí áp có hằng số tỷ lệ phụ thuọc vào độ cao (  thay đổi theo z), trong khi đó hằng số tỷ lệ trong công thức (1.5.5) không phụ thuộc vào độ cao Đây là ưu điểm của bản

đồ hình thế khí áp so với bản đồ phân bố áp suất

Ở mặt biển hình dạng các đường đẳng áp không khác nhiều hìnhdạng các đường đẳng cao mặt  và tồn tại mối liên hệ:

n

p n

0

H đo bằng Đề-ca-met độ cao địa vị thế vị (dam)

Từ (1.5.6) thấy độ dày các đường đẳng cao vẽ qua 4 dam tươngđương với độ dày của các đường đẳng áp vẽ qua 5 mb

b) Nhiều phương trình động lực khí quyển trong hệ toạ độ áp suất đơn giản hơn trong hệ toạ độ Đề - các Thí dụ như phương trình trạng thái chỉ liên hệ giữa hai đại lượng  và T chứ không phải ba đại lượng nhưtrước Phương trình liên tục trong trường hợp tổng quát tương tự nhưtrong trường hợp không khí không bị nén ở hệ toạ độ Đề - các, trongphương trình chuyển động không chứa mật độ

c) Trong hệ tọa độ Đề- các các ẩn số rất phức tạp, để khử chúng sẽ dẫn đến một phương trình khó giải Trong hệ toạ độ áp suất việc khử một

ẩn rất dễ dàng Mật độ chỉ nằm trong phương trình trạng thái, bỏ phươngtrình này ra được một hệ mới năm ẩn trong năm phương trình Thay nhiệt

độ từ phương trình tĩnh học vào phương trình nhập nhiệt được một hệ

mới bốn phương trình chứa bốn ẩn số Rút  từ phương trình nhập nhiệt

thay vào phương trình liên tục và phương trình chuyển động được ba

phương trình ba ẩn

Hệ phương trình trong hệ toạ độ áp suất cũng chỉ đúng ở những

điều kiện như trong hệ toạ độ Đề- các Mặt khác trong quá trình chuyển

đổi đã sử dụng phương trình tĩnh học nên đối với các quá trình không

thoả mãn điều kiện tựa tĩnh thì không dùng hệ phương trình mới này để

mô tả Nếu không sử dụng điều kiện tựa tĩnh thì hệ phương trình mới sẽ

phức tạp hơn nhiều và các ưu điểm kể trên sẽ không còn nữa

d dt

S

p p y

p y

p x

p x

S

F v x

p p

x dt

S

F u y

p p

y dt

y

vp x

up t p

p

C T dt

sử dụng điều kiện biên:(1)0 chính xác hơn điều kiện biên: (1)0

(vì mặt 1000 mb không trùng với mặt đất nên điều kiện cuối cùngnày chỉ là gần đúng)

Các hệ toạ độ xét ở đây có trục thẳng đứng liên hệ đến các phần tử khí chuyển động Các hệ toạ như thế này được gọi là hệ toạ độ tựa Lagrangian Có nhiều hệ toạ độ khác tựa Lagrangian được đưa ra song donhững hạn chế của chúng nên ít được dùng trong thực tế Một trong số những hệ đó là hệ toạ độ đẳng Entropi Hệ toạ độ này dùng để phân tích bản đồ hình thế các mặt đẳng Entropi  const Hệ toạ độ này có một số

ưu điểm so với các hệ toạ độ áp suất, song cũng có một số nhược điểm

là đặt điều kiện biên trong hệ này khó hơn so với hệ toạ độ áp suất, giá trị

 ta không đo trực tiếp được như áp suất

1.7 PHƯƠNG TRÌNH XOÁY VÀ PHƯƠNG TRÌNH DIVECGIĂNG

1.7.1 Phương trình xoáy

Một phương trình có thể dùng để dự báo được là phương trình mà

trong đó đạo hàm theo thời gian của hàm cần tìm phải là thành phần

chính trong phương trình để xác định thành phần này không gặp phải sai

số lớn do tính toán

Xét khả năng dự báo của phương trình chuyển động:

v x

H g u y

u v x

u u t

H g v y

v v x

v u t

Đối với các chuyển động quy mô lớn trong khí quyển tự do gần

đúng địa chuyển thoả mãn với độ chính xác lớn vì vậy vế trái của các

phương trình là hiệu của hai đại lượng lớn gần bằng nhau Như vậy các

là các đại lượng nhỏ xác định được với sai số lớn Các

đại lượng ở vế phải xác định với sai số 1% có thể gây sai số của

t

v t

đến vài trăm phần trăm Vì lý do trên, các phương trình trên không thể

dùng để dự báo

Phương trình mô tả biến đổi xoáy :

y

u x

thoả mãn điều kiện của phương trình dự báo nêu trên Để tìm được

phương trình xoáy ta lấy vi phân phương trình (1.7.2) theo x và (1.7.1)

theo y rồi trừ hai kết quả cho nhau:

v dy

d y

v x

u u

y

v x

u y

v y

v x

v y

u x

u x

v x

u y

v x

u t

u D dy

u y

v x

u y

u y

u y

v y

u x u

D x

v y

v x

u x

v y

v x

v x

v x u

v x

u y

u y

v y

u x

u y

v x

v x

v x

u v D t

y

H x

cuối cùng nàyD nhỏ hơn so với từng thành phần

y

H x

Coriolish theo vĩ độ.

Xét một vài trường hợp riêng của phương trình xoáy (1.7.4):

a) Giả sử trong vế phải của (1.7.4) chỉ   0 các thành phần còn

lại có thể bỏ qua vì nhỏ so với  v, khi đó phương trình xoáy(1.7.4) viết

Vì chọn trục Ox theo vĩ tuyến và Oy theo kinh tuyến nên



sin2)

u t

dt

d

Cho nên ta có thể viết:

v y

0)( 

Ở đây a  là xoáy tuyệt đối

Theo kết quả này có nghĩa là phương trình (1.7.5) mô tả sự bảo

toàn xoáy tuyệt đối trong các phần tử khí chuyển động, tức là:

u x

s d t

Trong trường hợp này, phương trình mô tả tính chất bảo toàn tích

của xoáy tuyệt đối và hình chiếu của phần tử khí trên mặt đẳng áp

u x

v v

v y

u y

u x

v x

u D y

D v x

u x y

v y

u x

v x

2

(1.7.14)

1.8 HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUỶ NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC TRONG HỆ

TOẠ ĐỘ CẦU

Hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực học đã xét ở trên chỉ sử dụng

để mô tả các quá trình Synốp và dùng để dự báo thời tiết hạn ngắn ở vùng

giới hạn Để nghiên cứu các quá trình quy mô lớn - quy mô toàn cầu hay

bán cầu và dự báo dài hạn thì phải sử dụng hệ phương trình thuỷ nhiệt

động lực học trong hệ toạ độ cầu Các toạ độ cầu  ,  , r được biểu diễn

trên hình 1.3

Véc tơ vận tốc trong hệ toạ độ cầu U được biểu diễn qua các thành

phần v, v, vr theo hướng  ,  , r .

r i r v i v i v

U    , (1.8.1)

r r v r v r

r

v r

v r

v t

u t dt

i r

i r

sin

cos 0

sin cos

r i i i

i i

i i

i i

i i

i

i i

i

r r

r r

r r r

Đạo hàm toàn phần theo thời gian của các véc tơ này được tính

di

i i t

di

i i

dt di

r

r r

sin

cos

.sin.cos

divU dt

d

D F U r

p dt

dU

0

2

(1.8.8)

Hình 1.3 Hệ toạ độ cầu

Ở đây F là ngoại lực Trong khí tượng hiểu F là lực hấp dẫn D là

lực nhớt rối Sử dụng (1.8.1) - (1.8.7) đưa các phương trình (1.8.8) về

P r

r

g v v v r

v rv r

v r

rv r

v t v

D v p

r

g v v r

v rv r

v r

rv r

v t v

r

r r

r r

1

cotsin

.cos.21

cotsin

2

r

r r r r

r r r

D v g

P r

v v v r

v v r

v r

v v t v

sin

2 2

a r

r r

C r

p r

v p r

v r

p v t

p g

T r

v T r

v r

T v t T

v r

r

g v v r

v r r

r

v r

v r

v t

0sin

1cot

2

11

sin

2 2

Trong các công thức trên D, D r, D r là các thành phần lực ma sát rối theo các trục ,,r tương ứng

Các bài toán khí tượng chỉ đặt ra đến độ cao vài chục kilômét tức

là đến độ cao nhỏ hơn nhiều so với bán kính trái đất (a=6371 km) Vì vậy trong các công thức trên lấy gần đúng:

a z a r

11

Một cách gần đúng, có thể thay:

z r v r r v r r

r

v r

rv r

r

v r

v r r

.1

P a

a

g v v v a

v v a

v z

a a

g v v a

v v a

v z

r z

1

cotsin

.cos.21

cotsin

2



z

z z

z z

z

z

D v g

z p a

v v v a

v v a

v z

sin

2 2

(1.8.12)

0sin

1cot

a

g v v a z v a

v T a

a

r

C

p a

v p a

v z

p v t

p g

T a

v T a

Để đánh giá các thành phần của các phương trình trong hệ (1.8.12) phải sử dụng các đặc trưng của các yếu tố khí tượng quy mô hành tinh.Đối với quy mô không gian theo phương nằm ngang chọn bằng bán kính trái đất L0  a  6 4 106m Quy mô của vận tốc gió U0  10m/s.Như vậy đối với quy mô thời gian cho các quá trình này sẽ là:

5.7

;10.4.6

Quy mô không gian theo phương thẳng đứng chọn đến độ cao chứa 95% khối lượng của khí quyển Để thoả mãn điều kiện này lấy:

km

H0 10 Quy mô tốc độ thẳng đứng W0 được chọn sao cho thoả mãn điều kiện:

0 0 0

0

L

U H

W 

Từ điều kiện này tìm được:

0

0 0 0

L

U H

Số gia của các yếu tố này theo phương nằm ngang được chọn bằng

5% giá trị của hàm số tương ứng Vì vậy :

Biến động của áp suất theo phương nằm ngang P0 30mb , của

mật độ không khí 0 0,4.102g/m3, của nhiệt độ T0 140

Đối với hệ số trao đổi theo phương nằm ngang dựa trên quy luật

4/3 của Ô-bu-khôv:

3 / 4 3 / 1

2) (K OC D O L O

ở đây D0 là giá trị đặc trưng của năng lượng tiêu tán:

2 2 3

0 0,4.10 m /s

C là hằng số tỷ lệ, nó biến thiên từ 0,1 đến 10 Thay các giá trị tương ứng

của các quy mô vào biểu thức trên, tìm được :

2 2 6

2) 8,75.10 /(K O  m s (pt)

Đây là giá trị quy mô đặc trưng của hệ số trao đổi rối theo phương

nằm ngang đối với các quá trình quy mô hành tinh

Để tìm quy mô của hệ số rối theo phương thẳng đứng, sử dụng giả

thiết: quy mô áp suất ma sát rối theo trục z tỷ lệ với các quy mô mật độ,

tốc độ gió theo phương ngang và thẳng đứng:

0 0 0

)(Z  U W (1.8.13)

Khi biết:

Z

z z

v K

Vận tốc gió v biến đổi từ 0 ở mặt đất đế v tại biên trên của lớp

biên khí quyển Trên lớp biên này tốc độ gió v hầu như không thay đổi

theo độ cao Độ cao của lớp biên khí quyển thay đổi phụ thuộc vào vĩ độ,

nhiệt độ và các yếu tố khí tượng khác Quy mô đặc trưng của độ cao nàyđược lấy là 1000 mét (H0 1000m) Thay các giá trị quy mô tương ứng vào (1.8.14) nhận được:

0 0 0 0 0 0 0 0

0

0 )1(

H u w h

H

u K

W h K

o

o o o

/10/10.10)(

)(

2 2

3 1

T R p

C dt

dp g dt dT

a

g v v a

v a z

v z

gp z p

v p

a v v a

g t

v

v p

a

v a

g t v

p a

z

0cot

sin

11

.cos.2sin

1cot

.cos.21

v z

v t dt d

z

Qua đánh giá các thành phần của phương trình chuyển động,

phương trình nhập nhiệt, phương trình liên tục cho phép rút ra các kết

luận sau đối với các quá trình quy mô hành tinh:

1) Tất cả các quá trình quy mô hành tinh là các quá trình không

dừng:  0

t

2) Biến đổi các thành phần tốc độ gió và hầu hết các đặc trưng

khác của trạng thái khí quyển theo phương nằm ngang và theo phương

thẳng đứng gần như nhau

3) Đối với các quá trình quy mô hành tinh lực ma sát rối theo

phương thẳng đứng có bậc tương đương với bậc của thành phần bình lưu

4) Trong các quá trình hoàn lưu quy mô hành tinh, điều kiện tựa

tĩnh thoả mãn với độ chính xác rất lớn

5) Với độ chính xác đến các đại lượng nhỏ bậc thứ hai các quá

trình quy mô hành tinh thoả mãn điều kiện tựa địa chuyển

6) Các thành phần trong phương trình nhập nhiệt và trong phương

trình liên tục có cùng bậc đại lượng nên không thể bỏ được thành phần

nào trong các phương trình này

1.9 TÍNH ẢNH HƯỞNG CỦA HÌNH CHIẾU BẢN ĐỒ

Mặt trái đất chiếu lên mặt phẳng sẽ bị biến dạng Sự biến dạng phụ

thuộc vào loại hình chiếu và nó cần tính đến trong các mô hình dự báo số

trị

1.9.1 Các dạng hình chiếu của bản đồ dùng trong khí tượng

Bản đồ của sử dụng hiện nay là ánh xạ mặt đất lên mặt phẳng Phụ

thuộc vào cách ánh xạ mà ta có các dạng hình chiếu bản đồ khác nhau

Các bản đồ đều làm biến dạng khoảng cách Trong tính toán có thể hiệu

chỉnh được sự biến dạng này bằng cách đưa thừa số tỷ lệ Thừa số tỷ lệ

m được xác định bằng tỷ số giữa độ dài trên bản đồ địa lý và độ dài thực

Phép chiếu lập thể cực: Mặt đất được chiếu từ cực lên mặt phẳng

chứa đường vi tuyến 1 Để có bản đồ Bắc bán cầu thì chiếu từ Nam cực,

sin)





Phép chiếu hình nón có giá trị bằng nhau (phép chiếu Lambert)

Đây là phép chiếu từ tâm trái đất các điểm mặt đất lên hình nón đi qua hai

vĩ độ  và2  sau đó mở hình nón ra Tại hai vĩ độ 3 2và  hệ số tỷ lệ 3

( k tg a

ở đây k1.793a là bán kính trái đất  0.7156

Phép chiếu hình trụ thẳng có góc bằng nhau Đây là phép chiếu từ

tâm trái đất các điểm mặt đất lên mặt hình trụ tiếp xúc hoặc cắt trái đất tại

hai vĩ độ  ở Bắc và Nam bán cầu, sau đó trải mặt phẳng trụ ra Với K

Mọi biến đổi liên quan đến các loại hình chiếu trục thẳng đứng

luôn theo phương thẳng đứng của điểm đang xét

V k P

V V

V t V

S S

S S

S S

S S S

D m V m V D

V m V m

V m V

S S S

S S S

S

2 2

2

,,

m V m V V m m

m V V m V V m

m V V m V m V m m V m V

V S S S

2

)(

)(

)(

2 2

2 2

2 3

V k P

V V V m t V

RT y

T v x

T u m

t

T

P y

u v x

m v u v y

v v x

v u

m

t

v

v x x

m v u u y

u v x

u u m

2 2

2

2

2 2 2 2

2 2 2 2





(1.9.12)

Chương 2 PHÂN TÍCH QUY MÔ

2.1 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH QUY MÔ

Phân tích quy mô dựa trên lý thuyết đồng dạng Phương pháp này

đưa ra các giá trị đặc trưng cho các biến độc lập và biến phụ thuộc của

các quá trình khác nhau Các giá trị đặc trưng này là các quy mô của quá

trình ta nghiên cứu Ký hiệu chúng là L f và L Các quy mô này cần

chọn sao cho đạo hàm của hàm cần tìm f bất kỳ theo đối số  bất kỳ

phải bằng tỷ số của các quy mô tương ứng



L f



L f

L , quy mô tốc độ L v cho từng quá trình Quy mô không gian L sđược

chọn gần bằng một phần tư độ dài sóng nhiễu động Quy mô thời gian L t

cùng khoảng một phần tư chu kỳ dao động của quá trình

Hình 2.1 Quy mô không gian – thời gian của một số hiện tượng khí quyểnQuy mô tốc độ ngang liên hệ với quy mô không gian và thời gian bằng hệ thức:

s v

L

L

Các quy mô ngang và quy mô thời gian được chọn cho các quá

trình xảy ra trong khí quyển được dẫn ra trong hình (2.1)

2.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NÔNG

Xét chuyển động của lớp nước đồng nhất có mật độ const

trong hệ toạ độ Đề-các Trong trường hợp này gradient ngang của áp suất

phụ thuộc vào độ cao còn trường vận tốc không phụ thuộc vào độ cao Hệ

phương trình nước nông gồm phương trình chuyển động và phương trình

liên tục:

v x

h g y

u v x

u u t

h g y

v v x

v u t

v x

v x

h u t

h dt

u h y

h v x

h u t

t

V k V

V t V

V

V S

V t

V

L L

R L R

L L

L L L

V k V

V t V

Với  là hằng số Thay (2.2.10) vào (2.2.9) nhận được V

Từ đây tìm được quy mô của .

S

V L L

Thay (2.2.10) vào phương trình liên tục (2.2.7) được

S v S

v

S

v v

v v

L

L L

L F R

L

L L

L L

V V V

L

L L F



2 2



là số Froude Số Froude bằng tỷ số của

quy mô ngang LS và bán kính biến dạng Rossby L R  /l

Từ (2.2.12), nếu F 1 thì phương trình liên tục có thể sử dụng ở

dạng:

0



Từ phân tích quy mô ở trên cho thấy nếu sử dụng (2.2.8) và

(2.2.12) để dự báo thì sai số nhỏ trong trường gió và trường độ cao ban

đầu sẽ dẫn đến sai số lớn của xu thế khí áp Khi bỏ qua thành phần chứa

0

R trong các phương trình này nhận được chuyển động địa chuyển

Chuyển động của khí quyển được tách thành hai thành phần là

k V

V V V

V S

V S

V

L

L R L

L F R R L

L F R R L

L F R

V V

V V

1 0

1 0

0

1 2 2 1 2

2

0

S

V V S

V S

V

L

L R L

L R

R L

L R L

L

D D

V V

Từ (2.2.18) để thành phần phân kỳ có thể bỏ đi thìR1R0

2 2

0 2 2

0 2

2 2 1

2

2 2 1 2

2 1 2

2 2

2 1

11

0)

(

)(

)(

)(

S V S

V S

V

S

V V

S V S

V

L

L R L

L R L

L R

V V

L

L R L

L R L

L L

L R

V V V

V V

V t

S

V

L

L R L L

Đánh giá các thành phần trong phương trình (2.2.17) (2.2.18) và

(2.2.19) trong trường hợp F1, R0 1 Trong trường hợp này R1R0,

0

2  

Phương trình (2.2.23) là biểu thức xoáy địa chuyển Các phương

trình (2.2.21)- (2.2.23) được gọi là các phương trình tựa địa chuyển Ở

đây sử dụng thuật ngữ “tựa” vì xoáy và bình lưu là địa chuyển còn

Divegiăng thì không thay bằng Divegiăng địa chuyển

Đối với chuyển động quy mô xoáy thuận (L106m, 104S1,

2.3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÀ ÁP

Để thuận tiện ở đây sẽ sử dụng hệ phương trình trong hệ toạ độ có trục thẳng đứng Z

)/ln(p p0

với p0là áp suất chuẩn ở mặt biển

Từ phương trình trạng thái và phương trình tĩnh học có:

Z p

z pg

p RT

V Z V V t

KQ K

Z Z

Z Z

V Z

L

V

(2.3.7)

Riêng đối với tham số Coriolis thì 2cos/a(với a là

bán kính trái đất) Theo phương trình liên tục tìm được quy mô tốc độ

L  1 Các quy mô khác được chọn như trong mục (2.2)

Từ phương trình (2.3.4) tìm được phương trình xoáy và phương

trình đivegiăng Sử dụng các quy mô đã chọn, đánh giá được các thành

phần trong hai phương trình trên

2 2 2 1 2

2 1 2

2 1 2 2 0 1

2

2 1 2

2 1 0

/ 2

2 0

/ 2

2 1 2 2 2 2

0

) / ( ) / (

S V S

V S V S V

S V V a L V a L S

V S

V S V

L L R L

L R L L R L

L R R

t

V Z k t

V Z k D D

L L R L L R R

a L

L R

a L L R L

L L L

Z Z V

V V

V t

0 2 2

0 2 2

0 2

2 2 1

2

2

2 2 1 2

2 1 2

2 2 1

2

2 1 2

2 2

2 1

)/()/(11

)(

)(

)(

S V S

V S

V S V S

V

S V S

V S

V

S V S

V S V

L

L R R

a L

L R

a L

L R L

L R L

L R

V k

k Z

V Z

L

L R L

L R L

L R

Z

D Z Z

V Z V V

L

L R L

L L

L R

V V V V V

V t D

V S

V

L

L R L

L R L

L R

Z Z

Z D

1 1 1

0

2 1 2 1 2

2

)(

V

V V

V V

L R

KQ K

Z Z Z

R

L R L R L

L

z G Z Z

V Z

V Z t

g T

g H K Z Z

Với H RT/glà độ cao khí quyển đồng nhất

Trong công thức (2.3.11) tham số được xác định:

I

S

R R G

L

2 0

Ở đây Richardson là tỷ số của độ ổn định tình học và bình phương

độ lệch của gió theo phương thẳng đứng

Đối với các quá trình sinốp ở vĩ độ trung bình thì quy mô không

gian L S 106m Khi đó các tham số sẽ xác định được với 106S1

1,0

1,0

1,0/

1,0

V Z t

2.4.2 Vĩ độ nhiệt đới

Đối với các nhiễu động quy mô synốp ở nhiệt đới, các tham số có giá trị khác với giá trị ở vĩ độ trung bình Với R i 100 tìm được

1,0

1,0

2 0

 ở nhiệt đới  biến thiên từ 0 tại xích đạo đến giá trị

đặc trưng của  tại khoảng cách L S

Phương trình xoáy (2.3.8) đòi hỏi R1 R0 1 trong khi đó phương

trình nhập nhiệt (2.3.11) lại buộc R1R0,  , vì thế giá trị của R1

Phương trình (2.4.7) thường được sử dụng để xây dựng các mô

hình tựa solenôit và tạo trường ban đầu trong các mô hình dựa trên hệ các

phương trình đầy đủ Trong hệ phương trình này không chứa độ phân kỳ

nên không cần sử dụng đến phương trình nhập nhiệt Trong trường hợp

dòng nhập nhiệt ở nhiệt đới quá lớn làm cho thành phần đốt nóng trong

(2.3.10) trở lên vượt giá trị L2V Khi đó (2.4.5) không đúng và trong

phương trình xoáy sẽ xuất hiện thành phần phân kỳ Trong trường hợp này thì sự nóng lên và thành phần chuyển động thẳng đứng trong phươngtrình nhập nhiệt được cân bằng

2.5 QUY MÔ HÀNH TINHCác phương trình chuyển động có quy mô lớn nhất - quy mô hànhtinh có các tham số đặc trưng sau:

1100

01,0

thấy chuyển động quy mô hành tinh chủ yếu gây ra bởi hiệu ứng đốt

nóng, địa hình đồi núi và có thể là tương tác phi tuyến giữa các quá trình

quy mô nhỏ hơn

2.6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG

Qua đánh giá các thành phần của phương trình đối với các quá

trình quy mô synốp Charney (1962) đã đưa ra hệ cân bằng, trong đó các

thành phần có bậc R0trở lên được giữ lại trong các phương trình, hệ này

viết lại trong hệ toạ độ áp suất:

p V

V t

p p p V

V p t

V k

V V

Mối quan hệ của hàm dòng và hàm thế với tốc độ, xoáy và

Divegiăng được biểu diễn:

2 2





(2.6.2)

Trong hệ trên, các thành phần đốt nóng và ma sát có thể bổ sung

vào nếu như chúng có bậc bằng hoặc lớn hơn các thành phần đã giữ lại

Chú ý rằng, hệ cân bằng này có thể ứng dụng vào nhiều mục đích nghiêncứu, song chủ yếu là bài toán ban đầu hoá các phương trình nguyên thuỷ

và giúp tìm hiểu các quá trình động lực chính trong khí quyển chứ không phải tất cả các bài toán thực tế đều dựa trên hệ này

Chương 3 CÁC PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH THỦY NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC

3.1 PHƯƠNG PHÁP LƯỚI

Các trường khí tượng thủy văn là một hàm liên tục trong không

gian và thời gian Việc xác định và tính toán các trường này chỉ có thể

tiến hành trên số điểm hữu hạn, rời rạc trong miền xác định của bài toán

đặt ra Người ta thường đánh số các điểm trong miền xác định của nó

bằng các chỉ số i theo trục Ox, j theo trục Oy, k theo trục Oz (hoặc theo

áp suất) và s theo thời gian Các chỉ số trên xác định bằng công thức:

t

t s z

z k y

y j x

x i

Ở đây x,y,z và t là bước tính theo không gian và thời gian

tương ứng Tập hợp tất cả các điểm trên trong miền không gian, thời gian

gọi là lưới không thời gian và thời gian, các điểm lưới gọi là các nút lưới

Trường khí tượng f(x,y,z,t) được cho tại các điểm lưới của miền

tính Giá trị của hàm số tại các điểm nút được ký hiệu là f ijk S Như vậy

một trường sẽ là tập hợp một số giá trị hữu hạn f ijk S Việc tính toán với

một trường khí tượng sẽ phải tính với các giá trị của chúng ở tại các điểm

rời rạc trong không gian và thời gian

Sử dụng phương pháp lưới để xác định các toán tử thì giá trị của nó

tìm được phụ thuộc vào phương pháp gần đúng toán tử trên, tập hợp giá

trị hàm tại các nút lưới

3.2 GẦN ĐÚNG CÁC ĐẠO HÀM BẰNG SAI PHÂN HỮU HẠNCác đạo hàm bậc nhất trong các phương trình thủy nhiệt động lực được gần đúng bằng các sai phân hữu hạn tiến hoặc lùi và trung tâm Ta

xét hàm f(r) với r là một trong các biến độc lập (t,x,y,z hoặc p) gọi q là một trong chỉ số (i,j,k,s) như đã định nghĩa ở trên.

Khi đó đạo hàm bậc nhất tại điểm q được gần đúng bằng các sơđồ:~

Sai phân tiến  q q

q

f f r r

f f r r

f f r r

f  vào chuỗi Taylor:

)(

!2

)()

()(

3 3

3 2 2

2

r r

f r

r

f r r

f r f r r f

r r

1

2 2

f f f



!2

f f

f r

q q

q q



 

!3

)(2

3 3 1

f f

f



Như vậy khi giảm ( r ) sai số  sẽ giảm Thành phần vế phải của

biểu thức trên là thành phần chính của chuỗi Bậc của  xác định bởi bậc

của r trong thành phần chính và được gọi là bậc chính xác gần đúng sai

phân hữu hạn của đạo hàm Như vậy, sai phân tiến và lùi đạo hàm bậc

nhất có độ chính xác bậc một còn sai phân trung tâm có độ chính xác bậc

hai Ta thấy sai phân trung tâm có độ chính xác cao hơn sai phân tiến và

lùi Khi r0 thì  0 tức là gần đúng sai phân hữu hạn tiến đến giá

trị đạo hàm Gần đúng đạo hàm bằng sai phân hữu hạn có tính chất này

gọi là gần đúng hòa hợp Như vậy các gần đúng hòa hợp phải có độ chính

f r

f r r

f r

 .1

1

1 2

/ 1

1 2

/ 1

q q q

f q r r

f

f q r r

f

Từ đây tìm được:

2 2

f f f r r

f

(3.2.3)

Phân tích hàm f(r) tại điểm (rr) và (rr) vào chuỗi Taylor

rồi lấy (3.2.3) trừ đi nó tìm được độ chính xác của công thức (3.2.3) làbậc hai

Sử dụng công thức (3.2.3) tìm được biểu thức sai phân hữu hạn của toán tử Laplas hai chiều:

 i j i j j j ij

ij ij

f f

f f f r

y

f x

f f

4)

(

1

1 , 1 , , 1 , 1 2

2 2 2

2 2

180

46

2

4

8 2

2

4 2 6

6

2 2

4 4

4 2 2 2

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

h y

x

f f

h

y x

f f

h y

f x

f h

f f

f f

12

4

8 6

6 6

6 6

4 4 4

4 4 2 2 2

2 2

1 1 1 1

h y

f x

f h

y

f x

f h y

f x

f h

f f

f f

1 1 1 1 1 1

1

1 1 1

1 2

2

h f

f f

f

f

f f f f

h

f

ij j

i j i j i

j

i

j j j i j i

( r mà còn phụ thuộc vào hàm f (r) Các quá trình trong khí quyển là

các quá trình sóng nên sai số ở đây phụ thuộc vào bước lưới và độ dài

sóng L của hàm f (r) Lấy một thí dụ đơn giản với hàm f (r) có dạng:

mr A r

f( ) sin

Ở đây A là biên độ, m2/L là số sóng Xấp xỉ đạo hàm bậc

nhất bằng sai phân trung tâm:

r consm r m r A

r q m r q m r A r

f f r

)

1(sin)

1(sin2

)(cosmr Am mq r Am

r

f

q q

r m r m

q f q f

q f q

f q f

a q

a q q

a q q

) sin(

1 1

Như vậy  phụ thuộc vào độ dài sóng L và r Cho L các giá trị khác nhau sẽ tìm được  :

0,12

36,04

1,6

r L

r L

Từ kết quả đánh giá cho thấy, sóng càng ngắn sai số tương đối gần đúng càng lớn Với những sóng có độ dài hai bước lưới thì không thể gần đúng đạo hàm bằng sơ đồ sai phân hữu hạn Như vậy để gần đúng các đạo hàm và các phương trình bằng các sai phân hữu hạn bước lưới cần chọn sao cho có thể mô tả được tốt nhất các sóng có biên độ lớn Để có thể mô tả được các sóng ngắn phải giảm bước lưới, như vậy sẽ làm tăng

số điểm lưới và tăng khối lượng tính toán Mặt khác hiện nay số lượng đài trạm của Việt Nam chưa đủ dày để có thể tạo được trường ban đầu với đầy đủ các sóng ngắn Vì vậy vấn đề giảm bước lưới xuống dưới giới hạn cho phép cũng không phải là mục tiêu hiện nay

Độ chính xác của các gần đúng sai phân hữu hạn còn phụ thuộc vào số điểm tham gia vào công thức Điều này thấy rõ qua thí dụ dưới đây

Giả sử cần xây dựng công thức gần đúng sai phân hữu hạn của đạo hàm bậc nhất hàm số f (r) Phân tích hàm f(rr) và f(rr) vào

chuỗi Taylor tại điểm r Khi đó tìm được:

24

)(6

)(2

4 5

5 2 3

3 1

f r

f r

f f

q q

q

q q

1 2 2 3

3

21

q q

f r

f r r

f

Các đạo hàm bậc hai ở đây được tính theo công thức (3.2.3)

 

2 1

2 2

1 2 2 1

2 2

2)

(1

2)

(1

q q q q

f f f r r

f

f f f r r

1

1 1

2 2 1

1

6

12

2

1

22

12

11

q q q

q

q q

q q q

q a

q

f f f

f r

f f

f f r f

f r

r

f

(3.2.8)

Công thức (3.2.8) có độ chính xác bậc bốn Vì bỏ đi thành phần thứ

3 trong vế phải của (3.2.7) là thành phần chứa ( r )4 Trong công thức

(3.2.8) số điểm tham gia tính toán là 4 điểm: q+1, q-1, q+2, q-2.

Nếu trong (3.2.8)thay f(r)Asin(mqr) thì tìm được:

r

r m A r

13

11sin

Như vậy sai số tương đối sẽ là:

cos13

11sin1

Thay m2/L và cho L các giá trị như ở trên tìm được 

Với:

15.04

03.06

r L

Như vậy công thức (3.2.8) sử dụng 4 điểm cho độ chính xác cao

hơn công thức (3.2.5) sử dụng 2 điểm

Sai số tính toán các đạo hàm bằng sai phân hữu hạn còn phụ thuộc

vào sai số của số liệu khí tượng tham gia vào tính toán Nếu hàm f xácđịnh được tại các điểm q+1 và q-1 chứa sai số tuyệt đối là f q1 và f q1

thì sai số tuyệt đối của gần đúng đạo hàm bậc nhất bằng sai phân trung tâm sẽ là:

 1 1

1 1

q q

f f r r

f f r

3.3 KHÁI NIỆM VỀ HÒA HỢP, ỔN ĐỊNH CỦA SƠ ĐỒ SAI PHÂN HỮU HẠN

Giả sử cần giải bài toán