SKKN Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1.. Về nội dung của sáng kiến:... CƠ SỞ LÝ THUYẾT... Vì không xác định nên không xác định... thuộc khoảng có 4 nghiệm phân b

Trang 1

SỞ GD &ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Bài toán cực trị của hàm số chứa

dấu giá trị tuyệt đối Tác giả: Hoàng Thị Hiền

Mã môn: 52

Trang 2

BÁO CÁO KẾT QUẢ

NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Trong chương trình toán phổ thông, dạng bài toán: Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối là một trong các dạng bài toán đòi hỏi tư duy đối với học sinh THPT và thường gặp trong các đề thi đại học

Nhằm giúp các em học sinh nắm vững phương pháp xác định và tính cực trịcủa hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối vận dụng kiến thức đó vào giải bài toán.Giúp học sinh phát triển năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tư duy thuật giải.Đồng thời góp phần nâng cao hiệu quả giáo dục và góp phần nâng cao chấtlượng giảng dạy môn toán ở trường trung học phổ thông tôi chọn đề tài:

“Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối”

2 Tên sáng kiến:

“Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối”.

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên tác giả: Hoàng Thị Hiền

- Địa chỉ tác giả: Trường THPT Nguyễn Thái Học

- Số điện thoại:01668804899 E_mail:Hien7376@gmail.com

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:Sáng kiến có thể áp dụng vào giảng dạy chohọc sinh lớp 12 THPT

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Về nội dung của sáng kiến:

Trang 3

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phần I CƠ SỞ LÝ THUYẾT.

1.Các phép biến đổi đồ thị

a.Các phép tịnh tiến đồ thị

Cho hàm số có đồ thị (C) Khi đó, với số thực a > 0 ta có:

 Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Oylên trên a đơn vị

 Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục

Oy xuống dưới a đơn vị

 Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Oxqua trái a đơn vị

 Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Oxqua phải a đơn vị

b Các phép biến đổi đồ thị khác

Cho hàm số có đồ thị (C) Khi đó, với số a > 0 ta có:

 Hàm số có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Ox

 Hàm số có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Oy

- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy (cả những điểm nằm trên trục Oy)

- Bỏ phần đồ thị của nằm bên trái trục Oy

- Lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên phải trục Oy qua trục Oy

- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (cả những điểm nằm trên Ox)

- Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox qua trục Ox

- Bỏ phần đồ thị của (C) nằm dưới trục Ox

2 Khái niệm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số f (x) xác định trên tập hợp D và x0 D

+ x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x0

sao cho (a;b)  D và

Trang 4

+ x0 là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x0

sao cho (a;b)  D và

PHẦN II : NỘI DUNG DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Để giải quyết các bài toán cực trị của hàm số ta có dùng một trong

ba cách sau:

Cách 1: Lập bảng biến thiên của hàm số

Cách 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị

Ta có

Từ đồ thị suy ra đồ thị bằng cách:

+ Giữ nguyên phần đồ thị của (C) ở phía trên trục hoành (kể cả những điểm nằm phía trên trục hoành)

+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành

+ Bỏ phần đồ thị của (C) phía dưới trục hoành

Cách 3: Sử dụng kết quả của nhận xét sau:

Nhận xét 1:

Gọi k là số điểm cực trị của hàm số y = f(x); h là số nghiệm đơn của phương trình f(x) = 0; e là số nghiệm bội lẻ của phương trình f(x) = 0,

thì số điểm cực trị của hàm số bằng k + h + e

Để chứng minh nhận xét trên, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề: Nếu là điểm tới hạn của hàm số y = f(x) thì cũng là điểm tới hạn

xác định Vậy xác định (*)

Trang 5

+ Ta có

Vì không xác định nên

không xác định Vậy không xác định.(**)Từ (*), (**) suy ra cũng là điểm tới hạn của hàm số g(x)=| f(x)|

Chứng minh nhận xét 1

Theo (*), (**) ta có số điểm cực trị của hàm số bằng k + h + e

Nhận xét 2: Số điểm cực trị của hàm số bằng số điểm cực trị của hàm số y = f(x).

Hay số điểm cực trị của hàm số bằng số điểm cực trị của hàm số

y = f(x)

1.1.Bài toán cơ bản: “Cho hàm số Hỏi số điểm cực trị của hàm số

”

Trang 6

Bài 1:

Cho hàm số có đồ thị (C) như hình vẽ Tìm số điểm

cực trị của hàm số

Lời giải

Cách 1: Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C’) của hàm số

(theo phép suy ra đồ thị )

Nhìn đồ thị (C’), ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị

Cách 2:

+ Hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị

+ Phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm đơn

+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ

Vậy số điểm cực trị của hàm số bằng 2 + 3 + 0 = 5

Bài 2: Cho hàm số có đồ thị (C) như hình vẽ Tìm

số điểm cực trị của hàm số

Lời giải

Cách 1:

Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C’) của hàm số

Nhìn đồ thị (C’) , ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị

Cách 2:

+ Hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị

Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm đơn

Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ

Bài 3:

Cho hàm số có bảng biến thiên

như hình vẽ Đồ thị hàm số có

bao nhiêu điểm cực trị?

1

Lời giải + Đồ thị hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị.

+ Phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm đơn

+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ

Vậy số điểm cực trị của hàm số 2 + 1 + 0 = 3

Trang 7

Bài 4: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ Đồ thị hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải

+ Đồ thị hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị

+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm đơn (Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm bội chẵn)+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ

Vậy số điểm cực trị của hàm số là 3 + 0 + 0 = 3

Bài 5: Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

+ Phương trình có 4 nghiệm đơn

+ Phương trình có 0 nghiệm bội lẻ Suy ra số điểm cực trị của hàm

Trang 8

-6

-2

-6+ Hàm số có 3 điểm cực trị

+ Phương trình có 0 nghiệm bội lẻ

Suy ra, số điểm cực trị của hàm số là 5

Các điểm cực đại của đồ thị hàm số là A( ;6), B( ;6)

Tổng các giá trị cực đại của hàm số là 12

Bài 7: Biết đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng 2 điểm.Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

+ Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng 2 điểm nên căn cứvào hình dáng đồ thị ta thấy hàm số có hai điểm cực trị

có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép

Vậy số điểm cực trị của hàm số bằng 2 + 1 = 3

Bài 8: Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía

so với trục hoành Số điểm cực trị của hàm số

Lời giải

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục

Vậy số điểm cực trị của hàm số là 3 + 2 =5

Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

Trang 9

Điều đó chứng tỏ rằng, phương trình có 4 nghiệm phân biệt Do đó, hàm số

phải có 3 điểm cực trị Vì vậy, hàm số có 4 + 3 = 7 điểm cực trị

Bài 10: Tính tổng các giá trị của tham số m để hàm số

Vẽ đồ thị hàm số f x   x3 3x2  9x 5

Ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị nên cũng có 2 điểm cực trị

Yêu cầu bài toán Û số giao điểm của đồ thị với trục hoành là 3

Để số giao điểm của đồ thị với trục hoành là 3 ta cần tịnh tiến đồthị theo phương Oy lên trên một đoạn có độ dài nhỏ hơn 32 đơn vị

Vì nên Vậy tổng các giá trị củatham số m là 2016

Bài 11: (HSG Vĩnh Phúc 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số có đúng năm điểm cực trị

Lời giải Xét hàm số

Bảng biến thiên hàm số

m-6Hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị phương trình f(x) = 0 có đúng 3

Vậy với thì hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị

Bài 12: (Câu 43 đề minh họa 2018 của Bộ GD&ĐT).

Trang 10

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số

có 7 điểm cực trị?

Lời giải

Lập BBT của đồ thị hàm số ta có

Để đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị phương trình f(x) =

0 có đúng 4 nghiệm phân biệt:

Vì

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 13: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

có đúng 3 điểm cực trị

Lời giải

Xét

Trang 11

Tính được

Bảng biến thiên của hàm số g(x)

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số g x( ) có 3 điểm cực trị

khi và chỉ khi

Trang 12

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số g x( ) có 3 điểm cực trị

khi và chỉ khi đồ thị hàm số g(x) nằm hoàn toàn phía trên trục Ox (kể cả tiếp

xúc)

1.2.Bài toán mở rộng 1: “Cho hàm số Hỏi số điểm cực trị của hàm

Bài 1: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ Hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

Cách 1: Từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số

Từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số

Nhìn đồ thị hàm số ta thấy,hàm số có 7 điểm cực trị?

Cách 2: Nhìn đồ thị hàm số ta thấy

+ Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị

Suy ra, hàm số có 3 + 4 = 7 điểm cực trị

+ Vì số điểm cực trị của hàm số bằng số điểm cực trị của hàm số

nên hàm số có 7 điểm cực trị

Bài 2: Cho hàm số có đạo hàm Hàm số

có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

Trang 13

Suy ra hàm số có 3 điểm cực trị

+ Số giao điểm của đồ thị và trục hoành nhiều nhất là 4 hay phươngtrình có nhiều nhất 4 nghiệm

Vậy hàm số có nhiều nhất 3 + 4 = 7 điểm cực trị

Bài 3 : Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số

có điểm cực trị ?

Lời giải

Từ đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số có điểm cực trị dương

Hàm số có 2.2 + 1 = điểm cực trị

Hàm số có điểm cực trị với mọi m

Vậy có vô số giá trị m để hàm số có điểm cực trị

1.3 Bài toán mở rộng 2: “Cho hàm số Hỏi số điểm cực trị của hàm

Bài 1: Cho đồ thị của hàm số như hình vẽ

Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số :

Lời giải

Cách 1: Từ đồ thị của hàm số suy ra đồ thị

hàm số

Từ đồ thị của hàm số suy ra đồ thị hàm số

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra có 5 điểm

cực trị

Cách 2:

+ Hàm số y = f(x) + 2 có 3 điểm cực trị

+ Phương trình f(x) + 2 = 0 có 2 nghiệm đơn

+ Phương trình f(x) + 2 = 0 có 0 nghiệm bội lẻ

Trang 14

Vậy số điểm cực trị của hàm số bằng 3 + 2 + 0 = 5.

Bài 2: Cho hàm số có đồ thị như hình bên

dưới Tính tổng các tung độ của các điểm cực trị của đồ

thị hàm số

Lời giải

Đồ thị hàm số có được bằng cách

- Tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương Oy lên 4 đơn vị ta được

- Lấy đối xứng phần phía dưới trục Ox của đồ thị hàm số qua trục Ox tađược

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra tọa độ các điểm cực trị là (-1 ;0),(0 ;4), (2 ;0) Vậy tổng tung độ các điểm cực trị bằng 0 + 4 + 0 = 4

Bài 3: Cho hàm số xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên nhưhình vẽ Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?

Trang 15

+ Hàm số y = u(x) có 2 điểm cực trị.

Bài 4: Cho hàm số xác định trên và liên tục trên từng khoảng

xác định, có bảng biến thiên như hình vẽ Tính tổng tung độ các điểm cực trị củađồ thị hàm số

Lời giải

Bảng biến thiên của hàm số như hình vẽ

+ Đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị A(3;-4) nên đồ thị hàm số

có 1 điểm cực trị là A’(3;4) Phương trình có 3 nghiệm đơn nên đồ thị hàm số có 3điểm cực trị đều có tung độ là 0

Vậy số điểm cực trị của hàm số bằng 1+ 3 + 0 = 4

Suy ra tung độ các điểm cực trị là 4 + 0 + 0 + 0 = 4

Bài 5: Cho hàm số thỏa mãn và có đạo hàm

Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Trang 16

+ ;

+ Bảng biến thiên

+ Hàm số có 3 điểm cực trị

Vậy hàm số có 3 + 0 + 0 = 3 điểm cực trị

số điểm cực trị của đồ thị hàm số

Lời giải

Cách 1: Đặt

+ Từ giả thiết đồ thị hàm số h(x) có 3 điểm cực trị

thuộc khoảng có 4 nghiệm phân biệt (dáng điệu của hàm trùng

phương) Vậy hàm số có 7 điểm cực trị

Cách 2: Với bài tập trắc nghiệm ta có thể tìm đáp số theo cách sau:

Chọn

Vẽ phác họa đồ thị hàm số , ta thấy đồ thị hàm số

có 7 điểm cực trị

thực Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số

Trang 17

Cách 1: Ta có:

hàm số có 3 điểm cực trị)

+

vô nghiệm Vậy hàm số có 3 cực trị

Cách 2: (Trong bài trắc nghiệm để tìm nhanh kết quả ta nên đặc biệt hóa bài toán)

trị của hàm số

Đặt f x   1 x4  4x2  16 g x   4x3  8x; g x   0  4x3  8x 0

0 2 2

x x x

Bảng biến thiên

Do đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên trên trục hoành nên đồ thị hàmsố cũng chính là đồ thị của hàm số Khi đó số điểm cựctrị của hàm số là 3

Bài 8: Cho hàm sốy f x  có đồ thị như hình vẽ Tìm tất

cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

có 5 điểm cực trị

Trang 18

Để hàm số có 5 điểm cực trị số giao điểm của đồ thị

với trục hoành là 3

Để số giao điểm của đồ thị với trục hoành là 3, có 2 trường hợp xảy raTịnh tiến đồ thị theo phương Oy xuống phía dưới một đoạn có độ dài nhỏhơn 1 đơn vị

Tịnh tiến đồ thị theo phương Oy lên trên một đoạn có độ dài nhỏ hơn 3đơn vị

Vậy

Tìm số điểm cực trị của hàm số

Lời giải

Do đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và suy ra hàmsố có hai điểm cực trị

Vậy số điểm cực trị của đồ thị hàm số là 2 + 3 = 5

BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1

Câu 1: Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Trang 19

Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 5: Cho đồ thị của hàm số như hình vẽ

Số cực trị của đồ thị hàm số là:

A 5 B 6 C 7 D 4

Câu6: Cho hàm số bậc ba với , biết ,

và Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số

A 1 B 5 C 3 D 7

cực trị của hàm số là:

m là tham số Tìm số cực trị của hàm số

đúng 5 điểm cực trị

DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Định dạng
Số trang	30
Dung lượng	1,09 MB

SKKN Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

fx có 3 điểm cực trị?