CHUYÊN đề số CHÍNH PHƯƠNG, NGUYÊN tố, CHIA hết

CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ NGUYÊN TỐ VÀ CHIA HẾT

Bài 1: Chứng minh rằng nếu: 2n1 và 3n1,n N� 

, Đều là các số chính phương thì n chia hết cho 40 HD:

Do 2n1 là số chỉnh phương lẻ nên 2n1 chia cho 8 dư 1, suy ra n là số chẵn

Do 3n1 là số chính phương lẻ nên 3n1 chia cho 8 dư 1, suy ra 3 8nMnM (1) 8

Do 3n1 và 2n1 đều là số chính phương lẻ nên có tận cùng là 1; 5; 9,

do đó khi chia cho 5 thì có dư là 1; 0; 4

Mà 2n 1 3n 1 5n5

, Do đó 3n1 và 2n1 khi chia cho 5 đều dư 1

=> 2 5nM và 3 5 nMnM (2)5

Từ (1) và (2) => n BCNNM  5;8 nM40

Bài 2: Tìm số tự nhiên có 9 chữ số: A aa a bb b aa a 1 2 3 1 2 3 1 2 3 trong đó a � và 1 0 bb b1 2 32.aa a1 2 3

và đồng thời A viết được dưới dạng A p p p p 12 .22 32 42 với p p p p là bốn số nguyên tố.1, , ,2 3 4 HD:

Ta có: A aa a bb b aa a 1 2 3 1 2 3 1 2 3aa a1 2 3.106bb b1 2 3.103aa a1 2 3

1 2 3.10 2.10 1 2 3 1 2 3

aa a aa a aa a

1 2 3 10 2.10 1 1 2 3.1002001

2 2 2

1 2 3.7 11.13

aa a



Như vậy aa a phải là bình phương của 1 số nguyên tố p khác 7, 11, 131 2 3

Do bb b1 2 31000,a1�0100aa a1 2 3500

=>

  1 2 3

1 2 3

289

361

aa a

aa a

�

   � �



Vậy A289578289 hoặc A361722361

Bài 3: Cho số A11 11122 2225 ( 2005 chữ số 1 và 2006 chữ số 2), Chứng minh rằng A là số chính phương

HD:

Ta có: 2004 2005 4012 2007

9A100 00100 0025 100 00 100 00 251 2 3 1 2 3  1 2 3  1 2 3 

2006 2006

9A100 00142 43 2.5.100 00 51 2 3   10 5

, là số chính phương Bài 4: Chứng minh rằng số C44 4488 89 có n số 4 và n-1 số 8, viết được dưới dạng bình phương của 1 số tự nhiên

HD:

Đặt

111 11 10n 9 1

n

   

142 43

Ta có: {

1

444 4488 89 444 44888 8 1

n

142 43 142 43 1 2 3

4 10 a n8a 1

4 9a a 1 8a 1 36a 12a 1 6a 1

2

1

666 67

n

�1 2 3 � Bài 5: Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3, thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3

HD :

Gọi hai số phải tìm là a và b, ta có : a b M 3

Ta có : a3b3a b a   2ab b 2 a b ��a22ab b 23ab�

�    2

3

a b �a b ab�

a b M a b  abM

, Do vậy    2

a b ��a b  ab��

Bài 6: Chứng minh rằng tổng các lũy thừa bậc 3 của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9

HD:

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a1, ,a a1,a N a� , 0

Ta có:  3 3  3 3    

Bài 7: Chứng minh rằng: A n 42n32n22n , không phải là số chính phương1

HD:

Ta có: 2 2   2   2   2

A n n  n  n  n  n  n

Vì n21 không phải là số chính phương nên A không thể là số chính phương

Bài 8: Chứng minh rằng: 1110 chia hết cho 1001

HD:

Ta có: 1110 1 11 1 11 11 11 1 10 11 11 11 1    9 8     9 8   

Vì 11 11 11 19 8   , có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 10

Vậy 1110 chia hết cho 1001

Bài 9: Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn : ab bc ca  1

Chứng minh rằng: A 1 a2 1b2 1c2

là số chính phương HD:

Ta có: ab bc ca  1

1 a ab bc ca a a a b c a b a b a c

Tương tự : 1 b 2a b b c    

và 1 c 2a c b c    

Khi đó :  2  2  2       2

1a 1b 1c ��a b b c c a   �� ,

Vì a, b, c là các số nguyên nên là số chính phương

Bài 10: Chứng minh rằng: 5n226.5 8n 2 1n M 59

HD:

Ta có: 5n 226.5 8n 2 1n 51.5 8.64n n59 8 5 8.64  n n59.5 8 64n  n5n

Vì 64n5nM64 5  59

(đpcm) Bài 11 : Chứng minh rằng: n42n3 n2 2n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n

HD:

n  n n  n n n  n  n n n n��   n ��n n n n

Vì n2 n1 n n1

là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên trong đó phải có 1 số chia hết cho

2, và 1 số chia hết cho 4, và 1 số chia hết cho 3

Bài 12: Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn: a b c  0, Chứng minh rằng 2 2 2

1 1 1

M

a b c

  

là bình phương của 1 số hữu tỉ

HD:

Ta có:

2 2 2

a b c ab bc ac a b c abc a b c

a b c

 

  �   � �   � �   � �   �

Bài 13: Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng ab a b   M 1 48 HD:

Ta có: ab a b   1 a1 b1

, Vì a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên :

2 1 , 2 3 ,

a n b n n Z�

ab a b    a b �� n  ���� n  ��

4n2 4n 4n2 12n 8

16n n 1 n 2

Vì   2 

16n n1 n M2 16 và       2 

n n n M n n n M

, mà  3;16 1 Nên   2 

16n n1 n2 48M ab a b  1 48M

Bài 14: Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ

số hàng đơn vị ta vẫn được 1 số chính phương

HD:

Gọi abcd là số phải tìm, a, b, c, d Σ��N,0 a b c d, , , 9,a 0

Với ,k m N� ,31  k m 100 , ta có :

�

Do đó : m k2 21353m k m k     123.11 41.33,(k m 200)  

Nên

123 11

m k

m k

�  

�  

� hoặc :

41 33

m k

m k

�  

�  

67 56

m k

� 

 �

� hoặc

37 4

m k

� 

� 

� Vậy abcd3136

Bài 15: Tìm các số tự nhiên n để  2 2

8 36

n  

là số nguyên tố HD:

n   n  n   n   n

Để  2 2

8 36

n  

là số nguyên tố thì 2  2

n   n  n   n

Thử lại với  2 2

n  n   

là số nguyên tố