Tính độ dài EI, từ đó hãy tính CFS phân giác trong của A và B cắt nhau tại F; đường phân giác trong của C và D cắt nhau tại E.. Qua A vẽ một cát tuyến bất kì cắt các cạnh BC và CD hoặc đ
Trang 1MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
đường cao AH, BK, CE cắt nhau tại D
Trên các đường cao AH, BK, CE lần lượt
lấy các điểm P, Q, R sao cho
oBPC=AQC=ARB=90
Trang 2g) Tính các cạnh của VABK, BKCV theo BC=a và theo tỉ số lượng giác của 2 ,α
của α
h) Từ đó, chứng minh rằng:
2
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin
2 tantan 2
1 tan
α α
a) CMR: AMB=2ACB và VABM đều Tính SBEFC theo x
Trang 3Cho ΔABC nhọn có o o
B=60 , C=75 Kẻ ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Biết: EF=4 2 cm; AB=4 3 cm
a) Tính SABC ?
b) Tính EHF và chứng minh: A=EHC; B=AHF; C=DHB
c) Tính BE; CF và khoảng cách từ H đến các cạnh AB; AC; BC
d) Gọi S là giao điểm của BC và FE, kẻ CI^FS tại I Tính độ dài EI, từ đó hãy tính CFS
phân giác trong của A và B cắt nhau tại F;
đường phân giác trong của C và D cắt
nhau tại E AF cắt DE tại G: CE cắt BF tại
H Gọi O là giao điểm của GH; EF Gọi M
là giao điểm của DA, CE và N là giao
điểm của AF, BC
a) CMR:
- EHFG là hình chữ nhật
Trang 4- ADFE; NCEF là hình thoi
AB=BC 3 cm và O là giao điểm của hai
đường chéo AC, BD Từ mỗi đỉnh của hình
chữ nhật hạ các đường cao
AE^BD; BH^AC; CF^BD và DI^AC
Gọi M là giao điểm của AE và DI; và N là
giao điểm của CF và BH
Trang 5Cho ΔABC đều có 3 đường cao AD; BE; CF cắt
nhau tại H Hai đường phân giác ngoài của B và
C cắt nhau tại I (biết A; D; I thẳng hàng) Từ I
kẻ IM^AB; IN^AC và gọi P; K lần lượt là
giao điểm của EF; MN với đường thẳng AI Giả
sử: AB=BC=CA=a mm( )
a) CMR:
- ABIC; MDNI là hình thoi
- EFBC; MFEN là hình thang cân
a) CMR: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
b) CMR: EFGH là hình bình hành Từ đó suy ra:
c) CMR: DEIN, KGCM là hình thoi và ΔDBC cân
d) CMR: VDQT vuông Kẻ BP^DQ, BS^QT; chứng minh PQSB là hình vuông
Trang 6e) CMR: B là giao điểm 3 đường phân giác ΔDQT
Bài 9:
Cho ΔABC cân tại A có A=45 ;o kẻ 3 đường
cao AD, BE, CF và chúng cắt nhau tại H Gọi
O, I, K lần lượt là trung điểm của HB, HC,
HA và M, N là trung điểm của AB, AC Gọi
P, L, Q lần lượt là giao điểm của AH với
Trang 7Bài 11:
Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK; H
là trực tâm của tam giác Gọi M là một
điểm trên CK sao cho o
AMB=90 S, S , S1 2
theo thứ tự là diện tích các tam giác AMB,
ABC và ABH Chứng minh rằng:
1 2
S= S S
Bài 12:
Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B, C và
các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là:
Trang 8Bài 15:
Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ một cát tuyến bất kì cắt
các cạnh BC và CD (hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại
các điểm E và F CMR: 12 12 12
Bài 16:
Cho ΔABC cân, o
A=20 , AB=AC, AC=b, BC=a Hãy chứng minh rằng: a3+b3=3ab2
Chú ý: Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b và AB=c. Gọi
a c b m
a b c m
2AB
Trang 9Chủ đề 2 ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1:
Cho đường tròn (O) đường kính AB và
C là một điểm trên đường tròn sao cho
AB=AC 2 Tiếp tuyến tại B của (O)
cắt AC tại D; DO cắt (O) tại I (I ( )O và
ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C)
Kẻ BH^OD; AE^OI. Tiếp tuyến tại I
cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại M
và N Gọi P là giao điểm của IA với OM
và Q là giao điểm của ON với IB
a) CMR: VABD vuông cân Từ đó hãy
Trang 10d) Gọi K là trung điểm ON CMR: ON2 =BI2+4QK2 (Sử dụng tính chất ở gợi ý bên dưới) và OPIQ là hình chữ nhật
Bài 2:
Cho hình thang vuông ABCD ( o)
A= =B 90 có O là trung điểm của AB và góc o
COD=90 Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB
Bài 3:
Cho ΔABC vuông tại A (AB<AC ,) đường cao AH Gọi E
là điểm đối xứng với B qua H Đường tròn tâm O đường
kính EC cắt AC tại K CMR: HK là tiếp tuyến của (O)
Bài 4:
Cho ΔABC vuông tại A đường cao AH Vẽ đường
tròn tâm A bán kính AH, kẻ các tiếp tuyến BD, CE
với (A) (D, E là các tiếp điểm khác H) CMR: DE tiếp
xúc với đường tròn đường kính BC
Bài 5:
Cho ΔABC ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính
r Giả sử (I, r) tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CE
lần lượt tại D, E, F Đặt: BC=a, AC=b,
AB=c, AD=x, BE=y, CF=z
a) Hãy tính x y z, , theo a b c, ,
b) CMR: S=pr (trong đó S là diện tích tam giác,
p là nửa chu vi tam giác, r là bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác)
Trang 11Cho đường tròn (O; R ,) đường kính AB, dây
cung CD sao cho COD=90 ,o CD cắt AB tại M
(D nằm giữa C và M) và OM=2R. Tính độ dài
các đoạn thẳng MD, MC theo R
Bài 8:
Đường tròn tâm I nội tiếp ΔABC tiếp
xúc với BC, AB, AC lần lượt ở D, E, F
Đường thẳng qua E song song với BC
cắt AD, DF lần lượt ở M, N CMR: M là
trung điểm của đoạn thẳng EN
Bài 9:
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau
tại A và B Qua A vẽ hai cát tuyến CAD
và EAF (C và E nằm trên (O), D và F
nằm trên (O’)) sao cho CAB=BAF
CMR: CD=EF.
Trang 12AB dựng nửa đường tròn tâm O đường
kính AB và nửa đường tròn (O’) đường
kính AO Trên (O’) lấy điểm M (khác
A và O), tia OM cắt (O) tại C, gọi D là
giao điểm thứ hai của CA với (O’)
a) CMR: ΔADM cân
b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tia OD tại E, xác định vị trí tương đối của đường
thẳng EA đối với (O) và (O’)
Bài 12:
Cho đường tròn (O) có đường kính
AB=2R. Gọi M là điểm di động
trên đường tròn (O) Điểm M khác
A, B; dựng đường tròn tâm M tiếp
xúc với AB tại H Từ A và B kẻ hai
tiếp tuyến AC và BD với đường tròn
Trang 13c) CMR: AC+BD=const, từ đó tính tích AC.BD theo CD
d) Giả sử ngoài A, B trên nửa đường tròn đường kính AB không chứa M có một
điểm N cố định Gọi I là trung điểm của MN, kẻ IP^MB. Khi M chuyển động
thì P chuyển động trên đường cố định nào?
Bài 13:
Cho nửa đường tròn (O) đường
kính AB, điểm C thuộc nửa đường
tròn Gọi I là điểm chính giữa
AC, E là giao điểm của AI và BC
Gọi K là giao điểm của AC và BI
a) CMR: EK^AB.
b) Gọi F là điểm đối xứng với K
qua I CMR: AF là tiếp tuyến
Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R, điểm C
thuộc đường tròn Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa
điểm C, kẻ đường thẳng qua A tiếp xúc với (O) Gọi
M là điểm chính giữa cung nhỏ AC BC cắt đường
thẳng qua A tại Q, tia AM cắt BC tại N
a) CMR: ΔBAN và ΔMCN cân
b) Khi MB = MQ, tính BC theo R
Trang 14Bài 15:
Cho đường tròn (O; R) đường kính AC
Trên đoạn thằng OC lấy điểm B và vẽ
đường tròn (O’) đường kính BC Gọi M
là trung điểm của AB, qua M vẽ dây
cung vuông góc với AB cắt đường tròn
(O) tại D và E CD cắt đường tròn (O’)
tại I
a) Tứ giác DAEB là hình gì? Vì sao?
b) CMR: MD = MI và MI là tiếp tuyến
của đường tròn (O’)
c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên BC Hãy chứng minh rằng:
CH.MB=BH.MC.
Bài 16:
Cho ΔABC đều, dựng nửa
đường tròn (D) đường kính BC
tiếp xúc với AB, AC lần lượt
tại K, L Lấy điểm P thuộc
cung nhỏ KL, dựng tiếp tuyến
với nửa đường tròn tại P cắt
cạnh AB, AC lần lượt tại M và
Trang 15Bài 17:
Cho ΔABC có AC = 2AB nội tiếp đường tròn
(O; R) Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A,
C cắt nhau tại M BM cắt đường tròn (O) tại D
Trên nửa đường tròn tâm (O; R), đường kính
AB lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B
Hai đường thẳng AM và BE cắt nhau tại C,
AE và BM cắt nhau tại D
a) CMR: Tứ giác MCED nội tiếp và CD^AB.
b) Gọi H là giao điểm của CD và AB CMR:
b) CMR: DO là tia phân giác của BDE
c) Dựng đường tròn tâm O tiếp xúc với AB CMR: Đường tròn này luôn tiếp xúc
với DE và AC
Trang 16d) Gọi P, Q lần lượt là tiếp điểm của (O) với AB, AC I và N lần lượt là giao điểm
của PQ với OD và OE CMR: DE=2IN.
Bài 20:
Cho đường tròn (O; R) và điểm
A ở bên ngoài đường tròn Vẽ hai
tiếp tuyến AB, AC với đường
tròn (O) (B, C là tiếp điểm) Gọi
M là trung điểm AB
a) CMR: Tứ giác ABOC nội tiếp
và xác định tâm I của đường
Trang 17Cho đường tròn (O; R) nội tiếp
ΔABC, tiếp xúc với cạnh AB,
AC lần lượt ở D và E
a) Gọi O’ là tâm đường tròn
ngoại tiếp ΔADE, tính OO’
Cho ΔABC đều nội tiếp đường tròn (O) Trên
cung BC không chứa A ta lấy điểm P bất kì (P
Trang 18Bài 24:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và
AB < AC Lấy điểm M thuộc cung BC không chứa
điểm A Vẽ MH, MK, MI lần lượt vuông góc với 3
cạnh của tam giác ABC CMR: BC AC AB
MH= MK+ MI
Bài 25:
Giả sử A và B là hai điểm phân biệt trên đường tròn (O) Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M Từ A kẻ đường thẳng song song với MB cắt (O) tại C MC cắt (O) tại E Các tia AE và MB cắt nhau tại K CMR: MK2 =AK.EK và
MK=KB.
Trang 19Bài 26:
Cho ΔABC vuông tại A Kẻ đường cao AH và phân giác trong AD của HAC Phân giác trong góc ABC cắt AH, AD lần lượt tại M, N CMR: BND=90 o
Bài 27:
Cho ΔABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H Gọi M là điểm
trên dây cung BC không chứa điểm A (M khác B, C) Gọi N, P theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, AC
a) CMR: AHCP là tứ giác nội tiếp
b) CMR: N, H, P thẳng hàng
c) Tìm vị trí điểm M để đoạn NP có độ dài lớn nhất
Trang 20Bài 28:
Cho tam giác cân ABC (AB=AC, A<90o) có đường cao BD Gọi M, N, I theo thứ tự là trung điểm các đoạn BC, BM, BD Tia NI cắt cạnh AC tại K CMR: Các tứ giác ABMD, ABNK nội tiếp và BC2 =4CA.CK
Bài 29:
Từ điểm K ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD đến (O) Gọi M là giao điểm OK và AB Vẽ dây DI qua M CMR:
a) Tứ giác KIOD nội tiếp
b) KO là phân giác của IKD
Trang 21c) CMOD là tứ giác nội tiếp
d) Đường thẳng AB chứa phân giác của CMD
Bài 31:
Từ điểm K nằm ngoài đường tròn (O) ta kẻ các
tiếp tuyến KA, KB, cát tuyến KCD đến (O)
Gọi H là trung điểm CD Vẽ dây AF đi qua H
Trang 22Chủ đề 3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC
Bài 1: (Đường thẳng Euler)
Cho tam giác ABC Chứng minh rằng trọng
tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại
tiếp O cùng nằm trên một đường thẳng và:
GH
2
GO =
(Đường thẳng H, G, O gọi là đường thẳng
Euler của ΔABC)
Bài 2: (Đường tròn Euler)
Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và S, R, Q lần lượt là trung điểm của HA, HB,
HC Chứng minh rằng 9 điểm D, E, F, M, N, P, S, R, Q cùng nằm trên một đường tròn
(Đường tròn đi qua 9 điểm trên gọi là đường tròn Euler của ΔABC)
Trang 23Bài 3: (Đường thẳng Simson)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M là
một điểm bất kì trên đường tròn Kẻ MH, MI, MK
lần lượt vuông góc với AB, BC, AC Chứng minh
rằng ba điểm H, I, K thẳng hàng
(Đường thẳng đi qua H, I, K gọi là đường thẳng
Simson của điểm M)
Bài 4: (Đường thẳng Steiner)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M là điểm bất kì thuộc đường tròn Gọi
N, P, Q theo thứ tự là các điểm đối xứng với M qua AB, BC, CA Chứng minh rằng
ba điểm N, P, Q thẳng hàng
(Đường thẳng đi qua N, P, Q gọi là đường thẳng Steiner của điểm M)
Trang 24Bài 7: (Định lý Ceva)
Cho tam giác ABC và các điểm D, E, F lần lượt nằm trên cạnh BC, CA, AB
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để AD, BE, CF đồng quy là ta có hệ thức:
Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P theo thứ tự nằm trên các đường thẳng BC,
CA, AB Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để M, N, P thẳng hàng là ta có hệ
thức: MB MB MB =1.
(Tự vẽ hình)
Trang 25Chủ đề 4 MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÍCH TRONG CÁC ĐỀ THI
Bài 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao
AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ
nửa đường tròn (O) đường kính HC Trên
nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ nửa
đường tròn (O’) đường kính BC Qua điểm E
thuộc nửa đường tròn (O) kẻ EI^BC cắt
nửa đường tròn (O’) ở F Gọi K là giao điểm
của EH và BF CMR: CA = CK
Bài 2:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Đường
vuông góc với AB tại B cắt CD ở I Gọi K là giao
điểm của IO và AD CMR:
a) IBK=IDK
b) CBK=90 o
Bài 3:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC Đường phân giác trong
BAC cắt đường tròn (O) tại D khác A Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng của D qua tâm O Đường tròn ngoại tiếp ΔABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A CMR: ΔBMD:ΔBFC và: EF^AC.
(Trích đề thi Tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên ĐHQG Hà Nội năm 2013)
Trang 26Bài 4:
Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC cố định (BC<2R ) Điểm A di động trên đường tròn (O; R) sao cho ΔABC là tam giác nhọn AD là đường cao và H là trực
tâm của ΔABC
a) Đường thẳng chứa phân giác ngoài của BHC cắt AB, AC lần lượt tại các điểm
M, N Chứng minh: ΔAMN cân
b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên các đường thẳng BH, CH Chứng
Trang 27Bài 5:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB Biết rằng các cặp đường thẳng AB, CD cắt nhau tại E và AD, BC cắt nhau tại F Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại M Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng AB Hai đường thẳng CH và BD cắt nhau tại N
Trang 28a) CMR: Tứ giác AFCN nội tiếp và ba điểm N, C, E thẳng hàng
b) Cho: AD = BC, chứng minh rằng DN đi qua trung điểm của AC
(Đề thi vào lớp 10 Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An năm 2013)