TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNHĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 MÔN TOÁN – KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 7,0 điểm Câu I.. Khảo sát sự biến th
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
MÔN TOÁN – KHỐI D (Thời gian làm bài: 180 phút) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số yx42x22
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị (C), biết rằng các tiếp tuyến này đi qua điểm A(0; 2)
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải bất phương trình: 2log 2 log 2 6
2x 3.2x x x 1
2 Giải phương trình: 2 2
2
s inx+cosx 2 sin 2
x
x
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân:
2 1
1 5
x x
x
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, tam giác SAC cân tại S, góc SBC bằng
0
60 , mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC
Câu V (1,0 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3 2 2 2
x x x m x
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1 Theo chương trình Chuẩn:
Câu VI.a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm
1; 1; 0 , 1; 1; 2 , 2; 2;1 , 1;1;1
1 Tính góc và khoảng cách giữa các đường thẳng AB và CD
2 Giả sử là mặt phẳng đi qua D và cắt ba trục toạ độ Ox, Oy, Oz tương ứng tại các điểm M, N, P khác gốc O sao cho D là trực tâm của tam giác MNP Hãy viết phương trình của mặt phẳng
Câu VII.a (1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn ab + bc + ca = 3
Chứng minh rằng:
1 a b c 1 b a c 1 c b a abc
2 Theo chương trình Nâng cao:
Câu VI.b (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm
1; 1; 0 , 1; 1; 2 , 2; 2;1 , 1;1;1 , 4; 2;1
1 Tính góc và khoảng cách giữa các đường thẳng AB và CD
2 Giả sử là mặt phẳng đi qua E và cắt tia Ox tại M, tia Oy tại N, tia Oz tại P Viết phương trình mặt phẳng khi tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất
Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm hệ số của x trong khai triển10 1 3 10
x
-Hết
Trang 2-TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH
TỔ TOÁN
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
MÔN TOÁN – KHỐI D
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1,00 điểm)
yx x
Tập xác định D
y x x x x
0
1
x
x
0,25
Bảng biến thiên
x – – 1 0 1 +
y’ – 0 + 0 – 0 +
y + 2 +
1 1
0,25
1 1 1, CD 0 2
CT
y y y y y
0,25 1
Đồ thị:
0,25
y
2 1
Trang 32 Viết phương trình tiếp tuyến (1,00 điểm)
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A 0; 2 có hệ số góc k là:
2
ykx
(d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi HPT:
3
Từ (1) và (2) suy ra:
2 2
0 0
x x
0,25
0,25
* Với x = 0, thay vào (2) ta được k = 0, ta có PTTT d1 :y2
* Với 6
3
x , thay vào (2) ta được 4 6
9
ta có PTTT 2
4 6
9
* Với 6
3
x , thay vào (2) ta được 4 6
9
ta có PTTT 3
4 6
9
0,50
1 Giải bất phương trình (1,00 điểm)
2 2
2log log 6
2x 3.2x x x 1 1
Điều kiện: x > 0 (*) Khi đó: 2x 3.2x 2x 1
0,25
1 2 log2 x log2 x 6 log2 2x 3.2x 0 2
Vì 2x 3.2x 2x 1, nên log2 2x 3.2x 0 0,25
Do đó
2 2 log x log x 6 0 log x log x 6
0,25
Đối chiếu với điều kiện (*), ta được x > 3
2 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)
Trang 4 2 2
2
s inx+cosx 2 sin 2
x
x
Điều kiện: s inx0 *
1 1 2 s inxcosx 2 sin sin 2 os 2 s inx 1
0,25
sin 2 os2x sin 2 os 2 s inx
4
s inx 0,sin2x+cos2x= 2 os 2
4
0,25
3
4
s inx=1
0,25
Đối chiếu điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là:
3
2 1
1 5
x x
x
Đặt t x 1 x t2 1;dx2tdt 0,25
Đổi cận: x 1 t 0;x 2 t 1
2 2 1 2 0
4
t t
t
1 2 0
1 3
0
t
t
A
S
C
B H
Trang 5Gọi H là trung điểm của AC, suy ra SH ABC
0,25
Áp dụng định lí hàm số côsin trong tam giác SBC:
1
SC SB a a SB
2
4
a
SC SH và
2
4
a
SB SH (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra:
2
S ABC
x x x m x
3 2 2 2
1
m x
1
1
m
x
Đặt 2
1
x t x
,
2 t 2
Ta có phương trình : 2
2
t t m
0,25
Xét hàm số 2
f t t t, với 1 1;
2 2
t
Ta có f ' t 2t 1 0 với mọi 1 1;
2 2
t
, nên f(t) đồng biến trên 1 1;
2 2
.
0,25
Do đó tập giá trị của f(t) là 1 1 1 3
f f t f f t
Vậy phương trình (1) có nghiệm thực khi và chỉ khi phương trình (2)
có nghiệm thuộc đoạn 1 1;
2 2
, do đó
0,25
1 Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng (1,00 điểm)
Ta có AB2; 0; 2 , CD 3;3; 0
os AB,CD os AB,
AB CD
AB CD
Vậy góc giữa AB và CD bằng 60 0
0,50
Trang 6
2; 0; 2 , 3;3; 0 , 3; 1;1
0,25
,
3 108 ,
AB CD AC
d AB CD
AB CD
2 Viết phương trình mặt phẳng (1,00 điểm)
Xét các điểm M m ; 0; 0 , N 0; ; 0 ,n P 0; 0;p với mnp0
0,25
Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm M, N, P là: x y z 1
m n p
Vì D nên 1 1 1 1
D là trực tâm của tam giác MNP khi và chỉ khi:
Do đó m 3,n p 3 Vậy Phương trình mặt phẳng là: 1
x y z
0,25
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2 3
3ab bc ca 3 abc abc1 0,25
1 a b c abc a b c a bc ab ac 3a
0,25
2
1 a b c 3a
Chứng minh tương tự ta được :
2
1 b a c 3b
1 c b a 3c
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
1 a b c 1 b a c 1 c b a 3a3b3c
bc ca ab
0,25
Trang 7VI.b 2,00
1 Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng (1,00 điểm)
Ta có AB2; 0; 2 , CD 3;3; 0
os AB,CD os AB,
AB CD
AB CD
Vậy góc giữa AB và CD bằng 60 0
0,50
2; 0; 2 , 3;3; 0 , 3; 1;1
,
3 108 ,
AB CD AC
d AB CD
AB CD
2 Viết phương trình mặt phẳng (1,00 điểm)
Xét các điểm M m ; 0; 0 , N 0; ; 0 ,n P 0; 0;p với
m n p Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm M, N, P là:
1
m n p
0,25
Vì E4; 2;1 nên 4 2 1
1 4np 2mp mn mnp 1
2 2 2 2 2 2
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 4np = 2mp = mn (2)
Kết hợp (1) và (2) ta tìm được : m = 12 ; n = 6 ; p = 3
Vậy Phương trình mặt phẳng là: 1
12 6 3
x y z
0,25
VII.b Tìm hệ số của 10
10 0
1
k
x
10
10
k
10
k
k i k i
k
Ta xét số hạng chứa x , khi đó10 k 4i 10, với 0 k 10 và 0 i k
Có hai trường hợp: i = 4; k = 6 và i = 5; k = 10 0,25 Vậy trong khai triển ta được hệ số của x là:10 C C106 64C C1010 105 3402 0,25
