Mục đích nghiên cứu của đề tài là đưa ra nhưng kiến thức cơ bản và cơ sở phù hợp với công cụ toán học hiện có của học sinh phổ thông nhằm giúp các em đọc có thể hiểu và có hiểu biết đầu tiên về vật lí lượng tử. Thông qua đó bổ trợ kiến thức và công cụ toán cho giảng dạy phần vật lí hiện đại và vật lí hạt nhân. Áp dụng làm một số bài toán khó trong các kì thi chọn học sinh giỏi THPT Quốc gia.
Trang 1A. M C ĐÍCH, S C N THI TỤ Ự Ầ Ế
Trong th i đ i ngày nay khoa h c và công ngh ngày càng phát tri n,ờ ạ ọ ệ ể con người đã b t đ u ti n đ n đ nh cao c a tri th c, khám phá đắ ầ ế ế ỉ ủ ứ ược th gi iế ớ
v t ch t vi mô cũng nh vũ tr r ng l n. Trong đó có r t nhi u hi n tậ ấ ư ụ ộ ớ ấ ề ệ ượ ng
t nhiên t c p đ vi mô đ n vĩ mô mà c h c c đi n không th gi i thíchự ừ ấ ộ ế ơ ọ ổ ể ể ả
được, và do v y s ra đ i c a v t lí hi n đ i nh m gi i thích m t s hi nậ ự ờ ủ ậ ệ ạ ằ ả ộ ố ệ
tượng mà v t lí c đi n ch a làm đậ ổ ể ư ược đ ng th i v t lí hi n đ i đã mang l iồ ờ ậ ệ ạ ạ
m t cái nhìn sâu s c c a con ngộ ắ ủ ườ ề ựi v t nhiên
V t lí hi n đ i d a trên n n t ng c a hai lý thuy tậ ệ ạ ự ề ả ủ ế c h c lơ ọ ượ ng
tử và thuy t tế ương đ i. Các hi u ng lố ệ ứ ượng t x y ra c p đử ả ở ấ ộ nguyên tử (g nầ 109 m), trong khi các hi u ng tệ ứ ương đ i tính x y ra khi v n t c c aố ả ậ ố ủ
v t đ t x p xậ ạ ấ ỉ t c đ ánh sángố ộ (g nầ 108 m/s). C h c c đi n cũng nh v t líơ ọ ổ ể ư ậ
c đi n nghiên c u các hi n tổ ể ứ ệ ượng v i v n t c nh và kho ng cách tớ ậ ố ỏ ả ươ ng
đ i l n.ố ớ
Trong nh ng năm g n đây đ i tuy n h c sinh gi i qu c gia môn V t líữ ầ ộ ể ọ ỏ ố ậ
c a t nh Đi n Biên đã có nh ng bủ ỉ ệ ữ ước ti n vế ượ ật b c và d n kh ng đ nh v tríầ ẳ ị ị
c a mình trong kh i Hùng Vủ ố ương và Duyên H i B c B T năm 2011 trả ắ ộ ừ ở
v trề ước đ có h c sinh đ t gi i qu c gia là đi u hi m th y. T năm 2012ể ọ ạ ả ố ề ế ấ ừ
đ n nay năm nào đ i tuy n h c sinh gi i qu c gia môn V t lí c a t nh Đi nế ộ ể ọ ỏ ố ậ ủ ỉ ệ Biên đ u đ t gi i và là nh ng gi i có “s ” tuy nhiên đ có gi i nhì và có h cề ạ ả ữ ả ố ể ả ọ sinh tham gia đ i d tuy n thi olympic qu c t thì r t ít. Qua đi u tra tôi nh nộ ự ể ố ế ấ ề ậ
th y có m t s chuyên đ chúng ta ch a d y sâu đ h c sinh có th ti p c nấ ộ ố ề ư ạ ể ọ ể ế ậ
được trình đ khu v c và qu c t ộ ự ố ế
Ph n “ầ C s v t lí lơ ở ậ ượng t ”ử và ng d ng c a nó thứ ụ ủ ường xuyên xu tấ
hi n các đ thi ch n h c sinh gi i qu c gia và chi m m t n i dung khá l nệ ở ề ọ ọ ỏ ố ế ộ ộ ớ trong các kì thi Olympic v t lý qu c t Đây là m t n i dung khó và r t tr uậ ố ế ộ ộ ấ ừ
tượng mà các h c sinh, th m chí ngay k c các giáo viên gi ng d y và b iọ ậ ể ả ả ạ ồ
dưỡng các đ i tuy n cũng ch a hi u rõ. H n n a sách giáo khoa v t lý, kộ ể ư ể ơ ữ ậ ể
c SGK dành cho các HS chuyên cũng vi t r t s sài, g n nh ch mang tínhả ế ấ ơ ầ ư ỉ
ch t gi i thi u. Còn các tài li u chuyên sâu thì l i vi t r t dài và khó hi u.ấ ớ ệ ệ ạ ế ấ ể Trong khi v i nh ng yêu c u c a các kì thi h c sinh gi i Qu c gia, Qu c tớ ữ ầ ủ ọ ỏ ố ố ế
b môn v t lý h c sinh ph i hi u độ ậ ọ ả ể ược sâu s c các v n đ lý thuy t, trên cắ ấ ề ế ơ
s đó v n d ng gi i các bài toán và nghiên c u các ng d ng là b t bu c.ở ậ ụ ả ứ ứ ụ ắ ộ
Vì nh ng lí do đó tôi ch n đ tài: ữ ọ ề L a ch n n i dung và ph ự ọ ộ ươ ng pháp
ôn t p cho h c sinh gi i qu c gia khi gi ng d y chuyên đ “C s v t lí ậ ọ ỏ ố ả ạ ề ơ ở ậ
l ượ ng t ” ử
B. PH M VI TRI N KHAI TH C HI NẠ Ể Ự Ệ
Làm t li u tham kh o, gi ng d y cho các th y cô và các em h c sinhư ệ ả ả ạ ầ ọ trong trường THPT chuyên Lê Quý Đôn. T đó nhân r ng cho giáo viên vàừ ộ
Trang 2h c sinh trong toàn t nh.ọ ỉ
Tham gia thi vi t các chuyên đ trong kh i Hùng Vế ề ố ương và Duyên h iả
B c b ắ ộ
Đ a ra nh ng ki n th c c b n và c s phù h p v i công c toán h cư ư ế ứ ơ ả ơ ở ợ ớ ụ ọ
hi n có c a h c sinh ph thông nh m giúp các em đ c có th hi u và có hi uệ ủ ọ ổ ằ ọ ể ể ể
bi t đ u tiên v v t lí lế ầ ề ậ ượng t Thông qua đó b tr ki n th c và công cử ổ ợ ế ứ ụ toán cho gi ng d y ph n v t lí hi n đ i và v t lí h t nhân. Áp d ng làm m tả ạ ầ ậ ệ ạ ậ ạ ụ ộ
s bài toán khó trong các kì thi ch n h c sinh gi i THPT Qu c gia. ố ọ ọ ỏ ố
C. N I DUNG GI I PHÁPỘ Ả
I. TÌNH TR NG GI I PHÁP ĐÃ BI TẠ Ả Ế
Trong nh ng năm g n đây đ i tuy n h c sinh gi i qu c gia môn V t líữ ầ ộ ể ọ ỏ ố ậ
c a t nh Đi n Biên đã có nh ng bủ ỉ ệ ữ ước ti n vế ượ ật b c và d n kh ng đ nh v tríầ ẳ ị ị
c a mình trong kh i Hùng Vủ ố ương và Duyên H i B c B T năm 2011 trả ắ ộ ừ ở
v trề ước đ có h c sinh đ t gi i qu c gia là đi u hi m th y. T năm 2012ể ọ ạ ả ố ề ế ấ ừ
đ n nay năm nào đ i tuy n h c sinh gi i qu c gia môn V t lí c a t nh Đi nế ộ ể ọ ỏ ố ậ ủ ỉ ệ Biên đ u đ t gi i và là nh ng gi i có “s ” tuy nhiên đ có gi i nhì và có h cề ạ ả ữ ả ố ể ả ọ sinh tham gia đ i d tuy n thi olympic qu c t thì r t ít. Qua đi u tra tôi nh nộ ự ể ố ế ấ ề ậ
th y có m t s chuyên đ chúng ta ch a d y sâu đ h c sinh có th ti p c nấ ộ ố ề ư ạ ể ọ ể ế ậ
được trình đ khu v c và qu c t ộ ự ố ế
Trong nh ng năm g n đây ph n ữ ầ ầ C s v t lí lơ ở ậ ượng t ”ử và ng d ngứ ụ
c a nó thủ ường xuyên xu t hi n các đ thi ch n h c sinh gi i qu c gia vàấ ệ ở ề ọ ọ ỏ ố chi m m t n i dung khá l n trong các kì thi Olympic v t lý qu c t Đây làế ộ ộ ớ ậ ố ế
m t n i dung khó và r t tr u tộ ộ ấ ừ ượng mà các h c sinh, th m chí ngay k c cácọ ậ ể ả giáo viên gi ng d y và b i dả ạ ồ ưỡng các đ i tuy n cũng ch a hi u rõ. H n n aộ ể ư ể ơ ữ sách giáo khoa v t lý, k c SGK dành cho các HS chuyên cũng vi t r t sậ ể ả ế ấ ơ sài, g n nh ch mang tính ch t gi i thi u. Còn các tài li u chuyên sâu thì l iầ ư ỉ ấ ớ ệ ệ ạ
vi t r t dài và khó hi u. Trong khi v i nh ng yêu c u c a các kì thi h c sinhế ấ ể ớ ữ ầ ủ ọ
gi i Qu c gia, Qu c t b môn v t lý h c sinh ph i hi u đỏ ố ố ế ộ ậ ọ ả ể ược sâu s c cácắ
v n đ lý thuy t, trên c s đó v n d ng gi i các bài toán và nghiên c u cácấ ề ế ơ ở ậ ụ ả ứ
ng d ng là b t bu c
Vì nh ng lí do đó tôi ch n đ tài: ữ ọ ề L a ch n n i dung và ph ự ọ ộ ươ ng pháp
ôn t p cho h c sinh gi i qu c gia khi gi ng d y chuyên đ “C s v t lí ậ ọ ỏ ố ả ạ ề ơ ở ậ
l ượ ng t ” ử
II. N I DUNG GI I PHÁPỘ Ả
1. Nh ng h n ch c a v t lí c đi n.ữ ạ ế ủ ậ ổ ể
[2],[3],[4]
M c dù gi i quy t đặ ả ế ược m t s lộ ố ượng r t l n các hi n tấ ớ ệ ượng c a thủ ế
gi i v t ch t, song cho t i cu i th k ớ ậ ấ ớ ố ế ỷ XIX v t lí h c c đi n đã v p ph iậ ọ ổ ể ấ ả
m t s hi n tộ ố ệ ượng mà trong khuôn kh các đ nh lu t đã có v t lí h c c đi nổ ị ậ ậ ọ ổ ể
Trang 3không th gi i quy t để ả ế ược. Đó là các hi n tệ ượng sau:
1. B c x c a v t đen tuy t đ i.ứ ạ ủ ậ ệ ố
2. Hi n tệ ượng quang đi n.ệ
3. Hi u ng Compton.ệ ứ
4. C u t o nguyên t và lý thuy t n a lấ ạ ử ế ữ ượng t c a Bohr.ử ủ
Đ gi i quy t nh ng v n đ trên v t lí h c ph i đ a ra nh ng quanể ả ế ữ ấ ề ậ ọ ả ư ữ
ni m m i vệ ớ ượt xa khuôn kh c a nh ng quan ni m trổ ủ ữ ệ ước đây. Tương ngứ
v i nh ng hi n tớ ữ ệ ượng trên, đó là nh ng quan ni m sau đây:ữ ệ
Th nh t: ứ ấ Các nguyên t c a v t ch t không h p th và b c x năngử ủ ậ ấ ấ ụ ứ ạ
lượng m t cách liên t c mà ngộ ụ ượ ạ ấc l i h p th và b c x m t cách gián đo nụ ứ ạ ộ ạ các lượng t năng lử ượng
h
ε = γ = h ω
Trong đó h = 6,63.1034 J.s, là h ng s Planck.ằ ố
Th hai: ứ Ánh sáng là m t chùm h tlộ ạ ượng t ánh sánghay photon. Cácử photon có năng lượng xác đ nh và xung lị ượng xác đ nh.ị
ε = h ω = h
H th c này đệ ứ ược g i là h th c Planck – Einstein. Nh v y h th cọ ệ ứ ư ậ ệ ứ này đã liên h các thông s c a h t v i các thông s c a sóngệ ố ủ ạ ớ ố ủ
Th ba: ứ T k t qu thu đừ ế ả ượ ủc c a hi u ng Compton:ệ ứ
2
2 sin
2
c
θ
∆ =
c
λ là bước sóng Compton c a electron.ủ
Công th c trên có nghĩa là: ứ S thay đ i c a bự ổ ủ ước sóng ch ph thu cỉ ụ ộ vào góc tán x mà không ph thu c vào t n s ban đ u (c a tia t i). K t quạ ụ ộ ầ ố ầ ủ ớ ế ả này được gi i thích d dàng t s va ch m c a m t photon v i m t electronả ễ ừ ự ạ ủ ộ ớ ặ
mà không th gi i thích theo quan đi m sóng.ể ả ể
Th t : ứ ư Các đi n t trong nguyên t không chuy n đ ng trên nh ng quĩệ ử ử ể ộ ữ
đ o b t kạ ấ ỳ mà ch có th nh ng quĩ đ o xác đ nh g i là quĩ đ o l ng t Cácỉ ể ở ữ ạ ị ọ ạ ượ ử quĩ đ o này đạ ược nh n sao cho moment xung lậ ượng M c a đi n t th a mãn hủ ệ ử ỏ ệ
th c:ứ
M n= h (n =1,2 . . .)
Trên các quĩ đ o lạ ượng t các electron có năng lử ượng xác đ nh. Khiị electron chuy n t quĩ đ o này sang quĩ đ o khác g n h t nhân h n nguyênể ừ ạ ạ ầ ạ ơ
t s phát raử ẽ m t photon và electron th c hi n m t bộ ự ệ ộ ước nh y lả ượng t T nử ầ
s c a photon phát ra đố ủ ược tính theo công th c:ứ
Trang 4n m nm
ε − ε = h ω
Th năm: ứ Năm 1927, C.Davison và L.Germer phát hi n hi n tệ ệ ượ ng nhi u x c a electron. Hi n tễ ạ ủ ệ ượng này đã được DeBroglie tiên đoán t 1924.ừ
Hi n tệ ượng này ch có th gi i thích đỉ ể ả ượ ằc b ng nh ng gi thi t hoàn toàn m iữ ả ế ớ
so v i nh ng quan ni m cũ c a v t lí c đi n đó là vi c th a nh n gi thi tớ ữ ệ ủ ậ ổ ể ệ ừ ậ ả ế
c a DeBroglie: h t electron và vi h t nói chung là có tính ch t lủ ạ ạ ấ ưỡng tính sóng – h t.ạ
C th là: ụ ể M i h t t do có năng lỗ ạ ự ượng E và xung lượng p xác đ nh ị
đ ượ c bi u di n b i ể ễ ở m t sóng ph ng đ n s c có t n s ộ ẳ ơ ắ ầ ố w và vector sóng k liên h v i E và ệ ớ p b i ở h th c gi ng nh h th c Planck Eistein đ i v iệ ứ ố ư ệ ứ ố ớ photon:
ε = h ω = h
r t A p r E t A i k r w t
ψ� �� �= ���� − ����= ���� − ����
� � ��h � � � � đ c g i là sóng De Broglie.ượ ọ
2. Lưỡng tính sóngh t c a v t ch t. [2],[4]ạ ủ ậ ấ
Ánh sáng ban đ u đầ ược coi là sóng, nh ng v i các phát hi n c a Planck,ư ớ ệ ủ Einstein và Compton, nó l i đạ ược coi là g m các h t photon. Khi c n gi i thíchồ ạ ầ ả các hi n tệ ượng nh giao thoa hay nhi u x , chúng ta coi ánh sáng là sóng, cònư ễ ạ khi c n gi i thích các hi n tầ ả ệ ượng quang đi n hay tán x Compton, chúng ta l iệ ạ ạ coi ánh sáng nh các h t photon. Nói cách khác, ánh sáng có ư ạ l ưỡ ng tính sóng
h t ạ
Th còn các h t v t ch t thì sao? Có khi nào các v t ch t thôngế ạ ậ ấ ậ ấ
thường, mà chúng ta v n coi là h t, l i cũng đ ng th i là sóng không? Đó làẫ ạ ạ ồ ờ câu h i mà De Broglie đ t ra năm 1924.ỏ ặ
2.1. Gi thuy t De Broglie – Sóng v t ch tả ế ậ ấ
De Broglie đã đ a ra gi thuy t sau: ư ả ế “v t ch t thông th ậ ấ ườ ng cũng
ph i có l ả ưỡ ng tính sóng h t nh ánh sáng, sóng t ạ ư ươ ng ng v i v t ch t ứ ớ ậ ấ
đ ượ c g i là ọ sóng v t ch t ậ ấ hay sóng De Broglie” m t h t t do chuy n đ ngộ ạ ự ể ộ
v i đ ng lớ ộ ượng p có bước sóng v t ch t xác đ nh b i:ậ ấ ị ở
h p
λ =
trong đó h = 6,63.1034 J.s, là h ng s Planck.ằ ố
Bài 1: Tìm b c sóng De Broglie cho các tr ng h p sau.ướ ườ ợ
a) M t electron trong m ch đi n hay trong nguyên t có đ ng năngộ ạ ệ ử ộ trung bình vào kho ng 1 eV?ả
Trang 5b) B c sóng De Broglie c a m t qu c u kh i l ng 1g chuy n đ ngướ ủ ộ ả ầ ố ượ ể ộ
v i v n t c 1m/s?ớ ậ ố
Gi iả
a) Bước sóng De Broglie
19
1,6 1
b) Bước sóng De Broglie
31
6,626.10
h
Nh n xét: ậ So sánh v i sóng De Broglie c a ớ ủ electron ta th y bấ ước sóng
c a h t b i là vô cùng bé đ n m c không c n xét đ n khi nghiên c u chuy nủ ạ ụ ế ứ ầ ế ứ ể
đ ng c a nó. Th c t ch đ i v i h t vi mô m i th hi n lộ ủ ự ế ỉ ố ớ ạ ớ ể ệ ưỡng tính sóng h tạ
mà thôi
Bài 2: Tìm b c sóng De Broglie cho các tr ng h p sau. [1]ướ ườ ợ
a) Electron bay qua các hi u đi n th 1V,100V,1000V.ệ ệ ế
b) Electron bay v i v n t c v = 2.10ớ ậ ố
8
m/s
c) Electron chuy n đ ng v i năng l ng 1MeV.ể ộ ớ ượ
Đ/s:
a) 0,387.10
10
m
b) 7,27.10
10
m.
c) 8,7.10
13
m.
2.2. Sóng v t ch t là sóng xác su tậ ấ ấ
Trong chương trình ph thông khi nói t i sóng, chúng ta liên tổ ớ ưởng ngay
đ n nh ng lo i sóng quen thu c nh sóng nế ữ ạ ộ ư ước, sóng âm Các lo i sóng nàyạ
g n li n v i s dao đ ng c a m t s l n các h t (phân t nắ ề ớ ự ộ ủ ộ ố ớ ạ ử ước hay không khí), các h t này liên k t v i nhau nên khi m t s h t dao đ ng thì các h tạ ế ớ ộ ố ạ ộ ạ khác cũng dao đ ng theo, t o nên s lan truy n dao đ ng, t c là sóng.ộ ạ ự ề ộ ứ
Trang 6Sóng v t ch t ậ ấ thì hoàn toàn khác h n, ch m t h t vi mô riêng l cũngẳ ỉ ộ ạ ẻ
th hi n tính sóng. Th t v y, ngể ệ ậ ậ ười ta có th g i t ng electron hay photonể ử ừ riêng l đ n m t khe mà v n quan sát đẻ ế ộ ẫ ược hi n tệ ượng nhi u x ễ ạ
Nh v y, b n ch t c a sóng v t ch t là gì? Theo Max Born thì sóng Deư ậ ả ấ ủ ậ ấ Broglie th t ra là ậ sóng xác su t ấ , đây cũng là cách gi i thích đả ược ch p nh nấ ậ
r ng rãi nh t hi n nay.ộ ấ ệ
Ý nghĩa c a sóng xác su t là nh sau ủ ấ ư
G i (ọ Ψ x,y,z) là hàm sóng v t ch t t i v trí (ậ ấ ạ ị x,y,z) c a m t h t vi mô, vàủ ộ ạ
dV là m t th tích nh bao quanh v trí này, ta có:ộ ể ỏ ị
Xác su t tìm th y h t trong th tích dV là ấ ấ ạ ể 2
( , , )
dA= ψ x y z dV
Đ i lạ ượng ψ ( , , )x y z 2 được g i là ọ m t đ xác su t ậ ộ ấ c a h t t i (ủ ạ ạ x,y,z).
N u l y t ng c a ế ấ ổ ủ dA trong toàn b không gian chúng ta s độ ẽ ược xác su t đấ ể tìm th y h t m i n i và b ng đ n v ấ ạ ở ọ ơ ằ ơ ị
( ) 2
( , , ) 1 2.2
V
x y z dV
H th c trên đây còn đ c g i là ệ ứ ượ ọ đi u ki n chu n hóa ề ệ ẩ c a hàm sóng v tủ ậ
ch t.ấ
Bài 3: Hàm sóng c a h t trong gi ng th m t chi u có d ng:ủ ạ ế ế ộ ề ạ
a) n( )x Asin n x
d
π
� � trong đó 0 x d v i ớ n = 1,2,3….
b) ( ) 222
x ikx a
x Ae
ψ = − + trong đó A, a, k là nh ng h ng s ữ ằ ố
Xác đ nh A t đi u ki n chu n hóa c a hàm sóng.ị ừ ề ệ ẩ ủ [1]
Gi iả
a) T đi u ki n chu n hóa c a hàm sóngừ ề ệ ẩ ủ
n V
Ta tìm được A 2
d
= v y hàm sóngậ n( )x 2 sin n x
π
b) A 1
a π
= Hàm sóng
2 2 2 1 ( )
x ikx a
a
ψ
π
− +
Bài 4: Hàm sóng c a h t trong gi ng th m t chi u có d ng:ủ ạ ế ế ộ ề ạ
a) ψn( )x =Asin( )kx trong đó 0 x d v i ớ n = 1,2,3….
Trang 7b) ψ ( )x = Ae ikx trong đó k =π
h là nh ng h ng s ữ ằ ố Xác đ nh A t đi u ki n chu n hóa c a hàm sóng.ị ừ ề ệ ẩ ủ [1]
Đ/s:
a) ψ ( )x 2 sin( )kx
π
=
b) ( ) 1
2
ikx
ψ
π
=
h
Bài 5: Hàm sóng c a electron trong nguyên t hidro tr ng thái c b nủ ử ở ạ ơ ả
có d ng: ạ ( )r A.exp r
a
ϕ = � �� �−
� trong đó a = 0,529.1010 m là bán kính Bo th nh t,ứ ấ a) Dùng đi u kiên chu n hóa xác đ nh A.ề ẩ ị
b) Xác đ nh r đ m t đ xác xu t theo bán kính có giá tr l n nh t.ị ể ậ ộ ấ ị ớ ấ [1] Đ/s:
1
A
a
π
b) M t đ xác xu t theo bán kính ậ ộ ấ 2
3
( )r .expr r
Có giá tr l n nh t khi r = a.ị ớ ấ
3. Phương trình Schrödinger [2],[4]
3.1. Phương trình Schrödinger t ngổ quát
Ph ươ ng trình Schrodinger là ph ươ ng trình c b n c a c h c l ơ ả ủ ơ ọ ượ ng t ử vai trò c a nó trong c h c l ủ ơ ọ ượ ng gi ng nh vai trò c a ph ố ư ủ ươ ng trình Newton trong c h c c đi n ơ ọ ổ ể
Hàm sóng v t ch t (ậ ấ Ψ x,y,z,t) c a m t h t kh i lủ ộ ạ ố ượng m, chuy n đ ngể ộ trong trường có th năng ế U(x,y,z,t) th a phỏ ương trình Schrödinger t ng quát sauổ đây:
( , , , ) ( , , , ) 2
x y z t
U x y z t x y z t i
ψ ψ
2
h
π
=
h ;∆ là Laplacian ∆ = x22 + y22 + z22
3.2. Phương trình Schrödinger d ngừ
Trong trường h p th năng ợ ế U không ph thu c vào th i gian, ụ ộ ờ U = U(x,y,z), đó là trường h p ợ d ng ừ , thì nghi m t ng quát c a phệ ổ ủ ương trình
Trang 8Schrödinger trên đây có th vi t dể ế ướ ại d ng
( , , , ) expx y z t i t E ( , , )x y z
ψ = ��− ��Φ
� h �
V i (ớ Φ x,y,z) là hàm sóng d ng, th a ph ng trình Schrödinger d ng sauừ ỏ ươ ừ đây:
2
Hay
2
Trong đó E là năng lượng toàn ph n c a h t.ầ ủ ạ
Bài 6: Tr ng thái c a h t th i đi m ban đ u t = 0 đ c mô t b ngạ ủ ạ ở ờ ể ầ ượ ả ằ hàm sóng ψ ϕ ( ,0) =Asin 2 ϕ
a) Dùng đi u kiên chu n hóa xác đ nh A.ề ẩ ị
b) Gi i phả ương trình Schrödinger tìm năng lượng. nghi m d ng vàệ ừ nghi m t ng quát.ệ ổ [1]
3.3. Hàm sóng c a h t t doủ ạ ự
Đ i v i m t h t t do chuy n đ ng theo d c tr c ố ớ ộ ạ ự ể ộ ọ ụ x, phương trình Schrödinger d ng (2.2b) tr thành:ừ ở
2
xΦ + Φ =
h
v i ớ E bây gi là đ ng năng c a h t. ờ ộ ủ ạ
Phương trình này có nghi m t ng quát là:ệ ổ
2
2
A ikx B ikx k
Hàm sóng ng v i riêng s h ng th nh t trong nghi m trên là:ứ ớ ố ạ ứ ấ ệ
exp i t A E exp i x p Aexp i E t p x
ψ = ��− �� ��− ��= ��− �� − ����
Hay ψ = exp{−i t kx(ω − ) }, ω = E,k= p
Đây chính là bi u th c c a m t sóng ph ng lan truy n theo chi uể ứ ủ ộ ẳ ề ề
dương c a tr c ủ ụ x, có t n s góc là ầ ố ω và bước sóng là
k p
π
λ = =
Trang 9K t qu này phù h p v i gi thuy t De Broglie v bế ả ợ ớ ả ế ề ước sóng v t ch tậ ấ
c a m t h t t do. ủ ộ ạ ự
Bài 7: T i th i đi m t = 0 h t t do có hàm sóng:ạ ờ ể ạ ự
a) ψ ( ,0)x 2 sin( )kx
π
=
2
ikx
ψ
π
h h
c)
2 2 2 1 ( ,0)
x ikx a
a
ψ
π
− +
=
Tìm hàm sóng c a h t các th i đi m t trong hai trủ ạ ở ờ ể ường h p trên.ợ
Gi iả
Hàm sóng c a h t t do m t chi u có d ng ủ ạ ự ộ ề ạ ( , ) ( ) i Et
x t x e
Đ i v i h t t do ố ớ ạ ự 2 2
2
k E m
= h nên ta có ( , ) ( ) 22
k
i t m
x t x e
a) Hàm sóng c a h t các th i đi m t là ủ ạ ở ờ ể
2 2 2
k
i t m
x t kx e
ψ
π
−
b) Hàm sóng c a h t các th i đi m t là ủ ạ ở ờ ể
2 2 1
( , )
2
k
i t ikx m
x t e e
ψ
π
−
c) Hàm sóng c a h t các th i đi m t là ủ ạ ở ờ ể
2
1 ( , )
x ikx k
i t
a
ψ
π
− + −
3.4. Hàm sóng c a h t trong gi ng thủ ạ ế ế
H t trong gi ng th vuông góc m t chi u th a mãn phạ ở ế ế ộ ề ỏ ương trình
2
d
U x E
m dx ψ ψ
� h
Trong đó ( ) 0 0
khi x d
U x
khi x d x
=
> <
Gi i phả ương trình Schrodinger d ng c a h t trong gi ng th đ tìmừ ủ ạ ế ế ể hàm sóng và năng lượng c a h t t i th i đi m t.ủ ạ ạ ờ ể
Phương trình Schrodinger d ng c a h t trong gi ng th :ừ ủ ạ ế ế
Trang 102
0
m E
xΦ + Φ =
h
Nghi m t ng quát c a phệ ổ ủ ương trình này có d ng:ạ
2
2
A kx B kx k
Vì gi ng th là vô h n nên h t không th ra ngoài gi ng đế ế ạ ạ ể ế ược, hàm sóng ngoài gi ng là b ng không.ở ế ằ
Ngoài ra, đ hàm sóng bi n thiên liên t c thì hai vách gi ng nó cũngể ế ụ ở ế
ph i b ng không:ả ằ
sin( ) 0 ; 1,2
B d
d
π
=
Do đó hàm sóng d ng cũng ph thu c vào s lừ ụ ộ ố ượng t năng lử ượng n:
n
n
d
π
T đi u ki n lừ ề ệ ượng t hóa trên đây đ i v i ử ố ớ k, chúng ta cũng có th tìmể
l i năng lạ ượng c a h t:ủ ạ
n
π
Cu i cùng, chúng ta dùng đi u ki n chu n hóa c a hàm sóng đ xácố ề ệ ẩ ủ ể
d nh h ng s ị ằ ố A, k t qu thu đế ả ược A 2
d
V y hàm sóng d ng c a h t trong gi ng th có d ng:ậ ừ ủ ạ ế ế ạ
2
n
n
d d
π
Hàm sóng (ph thu c th i gian) s là:ụ ộ ờ ẽ