Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 - ThS. Lê Nhật Nguyên

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 cung cấp cho người học những kiến thức như: Trị riêng, véctơ riêng của ma trận; Chéo hóa ma trận; Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao; Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính; Chéo hóa ánh xạ tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!

Số được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ x khác không, sao cho Ax   x



Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ma trận vuông A

tương ứng với trị riêng 

-

Hệ thuần nhất có nghiệm khác không

Vậy là trị riêng khi và chỉ khi là nghiệm của phương

Đa thức gọi là PA ( )   det( A   I ) đa thức đặc trưng của A

được gọi là phương trình đặc trưng của

ma trận vuông A

det( A   I )  0

Bội hình học của trị riêng là số chiều của không gian con riêng tương ứng với trị riêng đó

  Vậy A và B cùng đa thức đặc trưng

Hai ma trận đồng dạng có cùng trị riêng nhưng các véctơ riêng thì khác nhau

Chú ý

Tìm trị riêng; cơ sở, chiều của

các kgian con riêng ứng

Lập phương trình đặc trưng của A:

Hoàn toàn tương tự ta tìm được cơ sở và chiều của không gian con

riêng ứng với trị riêng 2  6.

Ma trận vuông A gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với

-

Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại n

véctơ riêng độc lập tuyến tính

Định lý

Nếu ma trận vuông A cấp n có đúng n trị riêng phân biệt thì

A chéo hóa được

Hệ quả 1

Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi bội hình

học của mọi trị riêng bằng bội đại số của chúng

Hệ quả 2 (thường sử dụng trong bài tập)

Bước 1 Lập phương trình đặc trưng Giải tìm trị riêng Xác

định bội đại số của từng trị riêng

Các bước chéo hóa ma trận vuông A cấp n

riêng Tìm cơ sở của các không gian con riêng Xác định

bội hình học của trị riêng

của TR này thì A không chéo hóa được

Giả sử hệ quả 2 thỏa, suy ra A chéo hóa được Ma trận P có

trên đường chéo chính của D là các trị riêng

Bước 2. Tìm 3 véctơ riêng độc lập tuyến tính của A

sao TR và VTR tương ứng nằm trên cùng một cột

Ví dụ 6 Chéo hóa ma trận A (nếu được)

BĐS của là 2 2   2 lớn hơn BHH của 2

Suy ra A không chéo hóa được

-

Ví dụ Tìm ma trận vuông thực cấp 3 có ba trị riêng là 2, -3, 1

A chéo hóa được bởi ma trận P và ma trận D như sau:

có 3 véctơ riêng tương ứng là 1 2 3

Ma trận vuông thực A thỏa aij = aji với mọi i = 1,….n và j =1,…,n được gọi là ma trận đối xứng (tức là, nếu A = AT)

-

Ma trận vuông A là ma trận trực giao nếu các cột của A tạo nên

họ trực chuẩn

Hệ quả

Để thiết lập ma trận trực giao ta dùng hệ quả sau

Ma trận vuông A được gọi là chéo hóa trực giao nếu tồn tại

ma trận trực giao P và ma trận chéo D sao cho

P -1 AP = P T AP=D

Định nghĩa

Bước 1 Lập phương trình đặc trưng Giải tìm trị riêng

Các bước chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực

riêng Tìm cơ sở TRỰC CHUẨN của các kgian con riêng

Các phần tử trên đường chéo chính của D là các trị riêng

xác định bội đại số và bội hình học

Để tìm cơ sở trực chuẩn của một không gian con riêng nào đó ta chọn một cơ sở tùy ý rồi dùng quá trình Gram – Schmidt (nếu cần)

1 1

1

0 ; 1

4 ( , )

Dùng quá trình Gram – Schmidt, tìm cơ sở trực giao

của không gian con riêng E  1  7 

{ 1, 2}

F  f f

 1 7 

E  

-

3

2

1 ; 2

18

2 18

2 3 1/ 3

2 3

tính là ma trận, cho nên tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính là tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Chéo hóa ánh xạ tuyến tính là chéo hóa ma trận

Số được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ

khác không, sao cho f x ( )   x

  K

Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ánh xạ tuyến

tính f tương ứng với trị riêng 

Định nghĩa

Cho V là K-kgvt, ánh xạ tuyến tính f V :  V

x  V

với véctơ ban đầu

Nếu xét trong không gian thực: VTR là véctơ có ảnh cùng

-

là trị riêng của ma trận A  0

Giả sử là TR của axtt f 0   x0  0; x0  V : ( f x0)  0 0x

Cho V là K-kgvt, E là một cơ sở của V

f V  VCho ánh xạ tuyến tính

A là ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở E

Kết luận 1) TR của ma trận là TR của axtt và ngược lại

2) Nếu véctơ là VTR của ma trận A ứng với TR , x0 0

thì véctơ sao cho là VTR của f ứng với TR x [ ] x E  x0 0.

Bước 1 Chọn một cơ sở E tùy ý của kgvt V

Tìm ma trận A của f trong cơ sở E

1) TR của ma trận là TR của axtt và ngược lại

2) Nếu véctơ là VTR của ma trận A ứng với TR , x0 0

thì véctơ sao cho là VTR của f ứng với TR x [ ] x E  x0 0.

Chú ý VTR của ma trận không hẳn là VTR của axtt mà là tọa độ

của VTR của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở E Cần đổi sang cơ sở chính tắc

vì ma trận của f trong E đã cho sẵn là A

Cho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f trong

Đây cũng là trị riêng của ánh xạ tuyến tính

1) Hiển nhiên chọn cơ sở của R3 là: E  { (1,1,1),(1,2,1),(1,1,2) }

-

Trong chương trước ta biết ánh xạ tuyến tính là một ma trận A

của ánh xạ trong một cơ sở E nào đó

Cho ánh xạ tuyến tính f V :  V

Khi làm việc với axtt f ta làm việc với ma trận A này

Trong không gian véctơ V có vô số cơ sở E, F, G,…

Tương ứng với các cơ sở đó có vô số ma trận của f trong các cơ

Ánh xạ tuyến tính có thể coi là một ma trận nên chéo hóa ánh

xạ tuyến tính cũng là chéo hóa ma trận

Ánh xạ tt chéo hóa được khi và chỉ khi ma trận chéo hóa được

Ma trận của ánh xạ tt trong các cơ sở khác nhau thì đồng dạng nên chúng có cùng đa thức đặc trưng, cùng tập trị riêng

Một ma trận của f trong cơ sở A chéo hóa được thì ma trận của

f trong các cơ sở khác cũng chéo hóa được và ngược lại

Định nghĩa

Ánh xạ tuyến tính gọi là chéo hóa được nếu tồn tại

cơ sở B của V, sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo D

:

f V  V

-

Tìm ma trận A của f trong cơ sở E

Nếu A chéo hóa được, thì f chéo hóa được

Giả sử A chéo hóa được bởi ma trận P và ma trận chéo D

Nếu A không chéo hóa được, thì f không chéo hóa được

Khi đó cơ sở B cần tìm có: tọa độ mỗi véctơ của B trong cơ sở

Ma trận của f trong cơ sở B là ma trận chéo D

Tìm một cơ sở B (nếu có) của R3 sao cho ma trận của f trong B

là ma trận chéo D, tìm D (Tương đương: chéo hóa f nếu được)

2) Chéo hóa (nếu được) ma trận A (   3)(   6)2  0

Kiểm tra thấy BHH của nhỏ hơn BĐS của nó 2  6

Vậy A không chéo hóa được, suy ra f không chéo hóa được

-

Cho ánh xạ tuyến tính , biết f : R3  R3

Ví dụ

Tìm một cơ sở B (nếu có) của R3 sao cho ma trận của f trong B

là ma trận chéo D, tìm D (Tương đương: chéo hóa f nếu được)