Các chuyên đề ôn thi HSG Toán 9 - Phần Hình học

CHUYÊN ĐỀ 1 - DẠNG CHỨNG MINH : TỨ GIÁC NỘI TIẾP, TIẾP TUYẾN, ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, GÓC BẰNG NHAU, ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY I - LÝ THUYẾT - BÀI

CHUYÊN ĐỀ 1 - DẠNG CHỨNG MINH :

TỨ GIÁC NỘI TIẾP, TIẾP TUYẾN, ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, GÓC BẰNG NHAU, ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

( BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY )

I - LÝ THUYẾT - BÀI TẬP MINH HỌA.

1 Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn.

Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn :

Cách 1 Sử dụng định nghĩa đường tròn

Ví dụ : ( Đường tròn Euler ) Cho tam giác ABC Kẻ các đường cao AM, BN, CP ; H là

trực tâm tam giác Gọi D, E, F thứ tự là trung điểm các cạnh BC, AC, AB ; G, I, K thứ tự

là trung điểm AH, BH, CH

Chứng minh : 9 điểm M, N, P, D, E, F, G, I, K nằm trên một đường tròn

O

K I

A

Cách 2 Sử dụng định lí đảo về Tứ giác nội tiếp đường tròn.

Hệ quả 1: Nếu một tứ giác có một góc bằng góc kề bù với góc đối của nó thì tứ giác nội

tiếp một đường tròn

Hệ quả 2 : Nếu MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn.

D C

B

A

M

Ví dụ : Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên tia đối của tia BA lấy điểm C (C không

trùng với B) Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm), tiếp tuyến tại A củađường tròn (O) cắt đường thẳng CD tại E Gọi H là giao điểm của AD và OE, K là giaođiểm của BE với đường tròn (O) (K không trùng với B) Chứng minh 4 điểm B, O, H, Kcùng thuộc một đường tròn

H

D E

C B

O A

Cách 3 : Sử dụng Quỹ tích cung chứa góc.

Nếu nhiều điểm cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa AB, cùngnhìn AB dưới một góc bằng nhau thì các điểm đó cùng thuộc một đường tròn nhận ABlàm dây

G

F E

D

C

B A

Hệ quả : Nếu hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại I thỏa mãn IA.IB = IC.ID thì bốnđiểm A,B,C,D thuộc một đường tròn

I

D

C

B A

Ví dụ : Cho (O) MA, MB là các tiếp tuyến, MCD là cát tuyến ( MC < MD ) Gọi I là

trung điểm CD, K là giao điểm của AB và MD Chứng minh 4 điểm M, A, I, B thuộc mộtđường tròn Từ đó suy ra : KC.KD = KM.KI

H K

2 Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn.

Các cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn.

Cách 1 : Sử dụng định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn ( đường thẳng và đường tròn có

duy nhất một điểm chung )

Cách 2 : Theo VTTĐ của đường thẳng và đường tròn ( chỉ ra khoảng cách từ tâm đường

tròn đến đường thẳng bằng bán kính đường tròn )

Cách 3 : Nếu một đường thẳng đi qua 1 điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính

đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn

Cách 4 : Sử dụng định lí đảo về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây

Nếu  1 

2

ABx AmB thì Bx là tiếp tuyến của (O)

x B

A O

Ví dụ Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn (O; R) cố định Từ điểm A kẻ đường

thẳng d bất kỳ không đi qua O, cắt đường tròn (O) tại B, C (B nằm giữa A và C) Các tiếptuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau tại D Kẻ DH vuông góc với AO tại H; DH cắt cung nhỏ BC tại M Gọi I là giao điểm của DO và BC

Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O)

B

I M D

C

O H A

+ OI.OD = OC2 = OM2 (1)

+ PO/(AHID) = OH.OA = OI.OD (2)

+ Từ (1) và (2) => OM2 = OH.OA => AM là tiếp tuyến (O)

3 Chứng minh đường thẳng song song, góc bằng nhau

a Chứng minh đường thẳng song song.

- Quan hệ từ vuông góc đến song song

- Góc ở vị trí SLT, SLN, ĐV, trong cùng phía bù nhau

- Cạnh đối các tứ giác : hình thang, HBH, HCN, HT, HV

- Định lí thứ nhất về đường trung bình của tam giác, của hình thang.

- Định lí Ta let đảo

b Chứng minh góc bằng nhau.

- Cộng góc

- Góc SLT, SLN, ĐV

- Góc có cạnh tương ứng song song

- Sử dụng tam giác bằng nhau, đồng dạng

- Quan hệ các góc trong đường tròn : Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến

và dây

Ví dụ : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE và CF Tiếp

tuyến tại B và C cắt nhau tại S, BC và OS cắt nhau tại M AM cắt EF tại N, AS cắt BC tại P CMR : NP // MS

C B

- Cạnh , đường chéo trong tứ giác đặc biệt

- Tam giác bằng nhau, đồng dạng

- Định lí thứ nhất , thứ hai về đường trung bình của tam giác, của hình thang

- Tính chất trọng tâm tam giác

- Trong một đường tròn, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau; hai dây song songchắn hai cung bằng nhau

- Quan hệ giữa các góc trong đường tròn

- Phương tớch của một điểm đối với đường trũn.

Vớ dụ 1 Từ một điểm D nằm ngoài đờng tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến DA và DB đến

đ-ờng tròn (A và B là các tiếp điểm) Tia Dx nằm giữa hai tia DA và DO; Dx cắt đờng tròntại hai điểm C và E (E nằm giữa C và D), đoạn thẳng OD cắt đoạn thẳng AB tại M

a) Chứng minh AN.AF = AP.AM

b) Gọi I, H thứ tự là hỡnh chiếu vuụng gúc của F trờn cỏc đường thẳng BD, BC Cỏc đường thẳng IH và CD cắt nhau ở K Chứng minh : DC BD BC

FK  FI FH

P

N E

O B

D

C A

F

I

H

K

a) APEADE (2 góc nội tiếp chắn cung AE)

ABM ADE (Cùng bù với góc EDC)

Suy ra: ABM APE nên tam giác APE đồng dạng với tam giác ABM

Từ (1) và (2) suy ra: AN.AF = AP.AM

b) Xét I nằm giữa B, D ( Nếu I nằm ngoài B,D thì vai trò K với DC sẽ như I với BD)

Tứ giác BIHF, BDCF nội tiếp nên FHK FCK ( cùng bằng FBD ), suy ra tứ giác

CKFH nội tiếp nên FKC 900.

Lý luận tam giác DFK đồng dạng tam giác BFH nên:DK BH

F E

D

M

C B

A

+ FCM MBD  FMC BMD   BED FEC  => D, E, F thẳng hàng

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC không có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R) (B,

C cố định, A di động trên cung lớn BC) Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M Từ M

kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cungnhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I

Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB) Đường thẳng QF cắt (O) tại T(T khác Q) Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng

D M

C B

II - BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Bài 1 Cho tam giác MNP vuông tại M Từ N dựng đoạn thẳng NQ về phía ngoài tam

giác MNP sao cho NQ = NP và MNPPNQ và gọi I là trung điểm của PQ, MI cắt NP tạiE

1) Chứng minh PMI QNI

2) Chứng minh tam giác MNE cân

3) Chứng minh: MN PQ = NP ME

Bài 2 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC, BD cắt

nhau tại E Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F Đường thẳng CF cắt đường tròn tạiđiểm thứ hai là M Giao điểm của BD và CF là N Chứng minh:

a) CEFD là tứ giác nội tiếp

b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM

c) BE.DN = EN.BD

Bài 3 Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường kính AD Gọi M

là trung điểm của AC, I là trung điểm của OD

1) Chứng minh OM // DC

2) Chứng minh tam giác ICM cân

3) BM cắt AD tại N Chứng minh IC2 = IA.IN

Bài 4 Cho đường tròn tâm O Lấy điểm A ở ngoài đường tròn (O), đường thẳng AO cắt

đường tròn (O) tại 2 điểm B, C ( AB < AC ) Qua A vẽ đường thẳng không đi qua O cắtđường tròn (O) tại hai điểm phân biệt D,E ( AD < AE) Đường vuông góc với AB tại Acắt đường thẳng CE tại F

1) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp

2) Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng FB với đường tròn (O)

Chứng minh DM AC.

3) Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2

Bài 5 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường tròn (O) lấy điểm C ( CA >

CB) Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, tại C cắt nhau ở điểm D Kẻ CH vuônggóc với AB ( H thuộc AB), DO cắt AC tại E

1) Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp

2) Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại F Chứng minh : 2  0

90

BCF CFB 3) BD cắt CH tại M Chứng minh EM // AB

Bài 6 Cho tam giác ABC có A 900 Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính AC Đường thẳng AB cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai tại D, đường thẳng AC cắt đường tròn ( O) tại điểm thứ hai là E

1) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn

2) Gọi F là giao điểm của hai đường tròn (O) và (O’) ( F khác A) Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng và FA là phân giác của góc EFD

3) Gọi H là giao điểm của AB và EF Chứng minh rằng BH.AD = AH BD

Bài 7 Cho đường tròn ( O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Trên

đoạn thẳng AO lấy điểm M ( khác O và A) Tia CM cắt đường tròn ( O; R) tại điểm thứ hai là N Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại N Tiếp tuyến này cắt đường thẳng vuông góc với AB tại M ở P

1) Chứng minh OMNP là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh CN// OP

3) Khi AM = 1

3AO Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN theo R

Bài 8 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Vẽ các đường cao BE,

CF của tam giác ấy Gọi H là giao điểm của BE và CF Kẻ đường kính BK của (O) a) Chứng minh tứ giác BCFE là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành

c) Đường tròn đường kính AC cắt BE ở M, đường tròn đường kính AB cắt CF ở N Chứng minh AM = AN.

Bài 9 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, trên nửa đường tròn lấy điểm C (C

khác A và B).Trên cung BC lấy điểm D (D khác B và C) Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại B Các đường thẳng AC và AD cắt d lần lượt tại E và F

1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp một đường tròn

2) Gọi I là trung điểm của BF.Chứng minh ID là tiếp tuyến của nửa đường tròn đãcho

3) Đường thẳng CD cắt d tại K, tia phân giác của CKE cắt AE và AF lần lượt tại

M và N Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân

Bài 10 Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H Trên cạnh BC

lấy điểm M (M khác B, C và H) Kẻ ME vuông góc với AB tại E; MF vuông góc với ACtại F

1) Chứng minh các điểm A, E, F, H cùng nằm trên một đường tròn.

2) Chứng minh BE.CF = ME.MF

3) Giả sử MAC 45  0 Chứng minh BE HB=

CF HC

Bài 11 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có BC = 2R và AB < AC Đường

thẳng xy là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại A Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn(O;R) lần lượt cắt đường thẳng xy ở D và E Gọi F là trung điểm của đoạn thẳng DE

a) Chứng minh rằng tứ giác ADBO là tứ giác nội tiếp

b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FC với đường tròn (O;R) Chứng minh rằng

 2

CED AMB

c) Tính tích MC.BF theo R

Bài 12 Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE,

CF cắt nhau tại H Tia AO cắt đường tròn (O) tại D

a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn

1) Chứng minh rằng tứ giác ADBO là tứ giác nội tiếp

2) Gọi M là giao điểm thứ hai của FC với đường tròn (O;R) Chứng minh rằng

a/ Tam giác ABF là tam giác cân

b/ BE BH BM BI.

c/ Tứ giác AKFH là hình thoi.

Bài 16.

Cho đường tròn tâm O đường kính AB, trên cùng một nửa đường tròn (O) lấy 2

điểm G và E (theo thứ tự A, G, E, B) sao cho tia EG cắt tia BA tại D Đường thẳng vuônggóc với BD tại D cắt BE tại C, đường thẳng CA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F

a) Chứng minh tứ giác DFBC nội tiếp

1) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp Suy ra AHC 180  0 ABC

2) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) và

N là điểm đối xứng của M qua AC Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp

3) Gọi I là giao điểm của AM và HC; J là giao điểm của AC và HN

Chứng minh AJI ANC 4) Chứng minh rằng : OA vuông góc với IJ

Bài 18.

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc BC) Vẽ đường tròn

(C) có tâm C, bán kính CA Đường thẳng AH cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai

là D

1)Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn (C)

2)Trên cung nhỏ AD của đường tròn (C) lấy điểm E sao cho HE song song với

AB Đường thẳng BE cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là F Gọi K là trung điểm của EF Chứng minh rằng:

a) BA2 = BE.BF và BHE BFC 

b) Ba đường thẳng AF, ED và HK song song với nhau từng đôi một

Bài 19.

Cho điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với

đường tròn đó (B, C là các tiếp điểm) Gọi M là trung điểm của AB Đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại N (N khác C)

a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh MB2 MN MC.

c) Tia AN cắt đường tròn (O) tại D ( D khác N) Chứng minh: MAN ADC

Bài 20.

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE và CF Tiếp tuyến tại

B và C cắt nhau tại S, gọi BC và OS cắt nhau tại M

a) Chứng minh AB MB = AE.BS

b) Hai tam giác AEM và ABS đồng dạng

c) Gọi AM cắt EF tại N, AS cắt BC tại P CMR NP vuông góc với BC

Bài 21 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Lấy điểm C thuộc (O) (C không trùng

với A, B), M là điểm chính giữa cung nhỏ AC Các đường thẳng AM và BC cắt nhau tại

I, các đường thẳng AC và BM cắt nhau tại K

a) Chứng minh rằng:ABM IBM    và ABI cân

b) Chứng minh tứ giác MICK nội tiếp

c) Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở N Chứng minh đường thẳng NI

là tiếp tuyến của đường tròn (B;BA) và NIMO

d) Đường tròn ngoại tiếp BIK cắt đường tròn (B;BA) tại D (D không trùngvới I) Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng

Bài 22 Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O) Đường

thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME<MF) Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C

là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳngMO)

a) Chứng minh rằng MA.MB = ME.MF

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO Chứng

minh tứ giác AHOB nội tiếp

c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường

kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K Gọi S là giaođiểm của hai đường thẳng CO và KF Chứng minh rằng đường thẳng MSvuông góc với đường thẳng KC

d) Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS

và T là trung điểm của KS Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng

Bài 23.

Cho đường tròn (O) đường kính AB, M là điểm thuộc cung AB, I thuộc đoạn thẳng OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M kẻ các tia tiếp tuyến Ax, By với (O) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với IM cắt Ax tại C Qua I dựng một đường thẳngvuông góc với IC cắt tia By tại D Gọi E là giao điểm AM, CI và F là giao điểm ID và MB

1/ Chứng minh tứ giác ACMI và tứ giác MEIF nội tiếp

1 Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp trong một đường tròn

2 Gọi I là điểm đối xứng với A qua O và J là trung điểm của BC Chứng minh

rằng ba điểm H, J, I thẳng hàng

3 Gọi K, M lần lượt là giao điểm của AI với ED và BD

a) Chứng minh AE.AB = AF.AC

b) Chứng minh OA vuông góc với EF

c) Từ A dựng các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (K) với M, N là các tiếp

điểm Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng

E D

O 2

O 1

M B

A

C

CHUYÊN ĐỀ 2 DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC, CỰC TRỊ

I - LÝ THUYẾT - BÀI TẬP MINH HỌA.

1 Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu:

a Kiến thức liên quan.

- Trong các tam giác vuông ( có thể suy biến thành đoạn thẳng ) có cạnh góc vuông

AH và cạnh huyền AB thì AH  AB Dấu đẳng thức xảy ra khi H trùng B.

- Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng có độ dài nhỏ nhất.

- Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, đường xiên lớn hơn khi và chỉ khi hình chiếu của nó lớn hơn.

b Các bài tập minh họa.

Bài 1 ( Thi THPT Hải Dương 1998-1999 )

Cho tam giác ABC vuông cân ở A, trên cạnh BC lấy điểm M Gọi (O1) là đường tròn tâm O1 qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi (O2) là đường tròn tâm O2 qua M

và tiếp xúc với AC tại C Đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại D (D không trùng với M).

1) Chứng minh rằng tam giác BCD là tam giác vuông.

2) Chứng minh O1D là tiếp tuyến của (O2).

3) BO1 cắt CO2 tại E Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên một đường tròn.

O H

K

I

Q P

Bài 2 ( Thi THPT Hải Dương 2005-2006 )

Cho nửa đường tròn đường kính MN Lấy điểm P tuỳ ý trên nửa đường tròn (P 

M, P  N) Dựng hình bình hành MNQP Từ P kẻ PI vuông góc với đường thẳng

MQ tại I và từ N kẻ NK vuông góc với đường thẳng MQ tại K.

1) Chứng minh 4 điểm P, Q, N, I nằm trên một đường tròn.

PH PO ( quan hệ đường vuông góc và đường xiên )

Dấu đẳng thức xảy ra khi H trùng O , khi đó P là điểm chính giữa nửa đường tròn

2

MN đạt được khi P là điểm chính giữa nửa đường tròn.

Bài 3 ( Thi vào THPT Tp Hà Nội 2008-2009 )

Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và E là điểm bất kì trên đường tròn

đó (E khác A và B) Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K.

1) Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA

2) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE, chứng minh đường tròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) tại E và tiếp xúc với đường thẳng

AB tại F.

3) Chứng minh MN // AB, trong đó M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE,

BE với đường tròn (I).

4) Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn (O), với P là giao điểm của NF và AK; Q là giao điểm của MF và BK.

a) Chứng minh KAF đồng dạng với KEA

Xét (O) có  AEK   KEB (EK là phân giác Ê)

  AK  KB  (hai cung chắn hai góc nội tiếp bằng nhau)

  E1   A1 (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

KAF đồng dạng với KEA (g-g)

b) Chứng minh KAF đồng dạng với KEA

- Chứng minh đường tròn (I;IE) tiếp xúc với (O tại E

Ta có O, I, E thẳng hàng và OI = OE – EI nên (I;IE) tiếp xúc với (O).

- Chứng minh đường tròn (I;IE) tiếp xúc AB tại F:

Dễ dàng chứng minh được EIF cân tại I và EOK cân tại O

 IFE OKE ( OEK)     

Mà hai góc này bằng nhau ở vị trí đồng vị

 IF // OK (dấu hiệu nhận biết)

Vì  AK  KB  (chứng minh trên)   AOK  90o OK  AB

MEN  (vì  AEB  90o)  MN là đường kính của (I;IE)

 EIN cân tại I

Mà EOB cân tại O  ENI OBE ( IEN)     

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị  MN//AB

d)Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên (O)

Dễ dàng chứng minh được tứ giác PFQK là hình chữ nhật; tam giác BFQ là tam giác vuông cân tại Q

FK  FO ( quan hệ đường vuông góc và đường xiên)

 Chu vi KPQ nhỏ nhất = BK + FO khi E là điểm chính giữa cung AB.

Ta có FO = R

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông cân FOB tính được BK = R 2

 Chu vi KPQ nhỏ nhất = R + R 2  R  2 1  

Bài 4 ( Thi HSG Toán 9 Quảng Ngãi 2013-2014 ).

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB cố định EF là dây cung di động trên nửa đường tròn đó, sao cho E thuộc cung AF và EF=AB R

2  Gọi H là giao điểm của AF và BE; C là giao điểm của AE và BF; I là giao điểm của CH và AB.

a) Tính số đo ·CIF

b) Chứng minh rằng biểu thức AE.AC+BF.BC có giá trị không đổi khi EF di

động trên nửa đường tròn.

c) Xác định vị trí của EF trên nửa đường tròn để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó theo R.

= = = (tam giác OEF đều)

b) Chứng minh rằng biểu thức AE.AC+BF.BC có giá trị không đổi khi EF di động

trên nửa đường tròn.

Ta có : AE.AC = AC(AC –CE) = AC2 – AC.AE

c) Xác định vị trí của EF trên nửa đường tròn để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó theo R.

Ta có SABEF = SAOF + SFOE + SEOB

B A

C

P N

M Q

4 khi Q trùng với O hay EF // AB.

Bài 5 ( Thi HSG Bình Thuận 2013-2014 )

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), điểm M thuộc (O) Gọi N, P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên BC, CA, AB.

Vậy MaxPQ = BC khi M đối xứng A qua O.

2 Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường

gấp khúc.

a Kiến thức liên quan.

- Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A và B ngắn hơn độ dài đường gấp khúc có hai đầu là A và B.

- Với ba điểm bất kỳ A, B, C trong mặt phẳng ta có bất đẳng thức ba điểm :

AC CB AB  Dấu đẳng thức xảy ra khi C thuộc đoạn thẳng AB.

b Các bài tập minh họa.

Bài 1 ( Thi vào THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị 2013-2014 )

Cho tam giác ABC nhọn có A 30  0 gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC và M, N lần lượt là các điểm trên hai cạnh AB, AC Tìm vị trí điểm M, N

để tam giác HMN có chu vi nhỏ nhất.

Giải :

Gọi P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của

H qua AB, AC

y m

C

D

A

B O

M

K

I E

Dấu đẳng thức xảy ra khi M, N lần lượt là giao điểm của PQ với AB, AC.

Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác HMN là AH với M, N lần lượt là giao điểm của PQ với AB và AC.

Bài 2

Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó Xác định điểm B thuộc tia Ox,

điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB +AC là nhỏ nhất

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi C AD

Vậy min(AC+AB) =AD Khi đó C là

giao điểm của AD và Oy , B thuộc tia

Ox sao cho OB = OC.

cạnh AD Xác định vị trí các điểm F thuộc cạnh AB , G thuộc cạnh BC , H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.

Giải :

Gọi I ,K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG , HG

AEF vuông tại A có AI

N K

H

E B A

M

Ta lại có : AI + IK + KM + MC ≥ AC

Suy ra chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi )

Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC  A,I,K,M,C thẳng hàng.

Khi đó ta có EH//AC, FG//AC,  AEI EAI ADB     nên EF//DB , tương tự GH//DB Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành có các cạnh song song với các

đường chéo của hình chữ nhật ABCD

3 Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn.

a Kiến thức liên quan.

- Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn.

- Trong hai dây của một đường tròn, dây lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn.

- Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm lớn hơn.

- Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây căng dây lớn hơn.

b Các bài tập minh họa.

Bài 1 ( Thi vào THPT Hải Dương 2009 - 2010 )

Cho đường tròn (O), dây AB không đi qua tâm Trên cung nhỏ AB lấy điểm

M (M không trùng với A, B) Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H Kẻ MK vuông góc với AN  K  AN 

1) Chứng minh: Bốn điểm A, M, H, K thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh: MN là phân giác của góc BMK.

3) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB Gọi E là giao điểm của HK và BN Xác định vị trí của điểm M để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất.

Giải :

1) Từ giả thiết:  0

AHM  90 Bốn điểm A, K, H, M cùng thuộc một đường tròn

 MN lớn nhất (Vì AB= const )  M là chính giữa AB

Bài 2 ( Thi vào THPT Tp Hà Nội 2006-2007 )

Cho (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với

OA tại C Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN a) CMR: BCHK là tứ giác nội tiếp

c) Dễ thấy tam giác MNB đều.

Trên KN lấy E sao cho KE = KM

Suy ra MEK đều.

điểm đối xứng của N qua O.

Bài 3 ( Thi vào THPT Hùng Vương - Phú Thọ 2013-2014 )

Cho điểm A cố định trên (O;R) Gọi AB và AC là hai dây cung thay đổi của (O) thỏa mãn AB AC R 3 Xác định vị trí của B và C trên (O) để diện tích tam giác ABC lớn nhất.