Tổng hợp kiến thức và bài tập có đáp án chương 1 của lớp 12

Bên trong file là tổng hợp kiến thức và bài tập có đáp án chương 1 của lớp 12 mà trong các đề thi học sinh sẽ gặp phải trong quá trình làm bài. Ngoài ra bên trong tài liệu còn có phương pháp giải chi tiết vô cùng thích hợp cho tất cả những học sinh đang học lớp 12 và chuẩn bị thi lên đại học. Chúc các em học tập thật tốt và đạt được kết quả cao.

CHƯƠNG 1 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Bài toán 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số:

Cho hàm số yf x 

+) f ' x 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy

+) f ' x 0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy

Quy tắc:

+) Tính f ' x , giải phương trình   f ' x 0 tìm nghiệm

+) Lập bảng xét dấu f ' x 

+)Dựa vào bảng xét dấu và kết luận

Bài toán 2: Tìm m để hàm số yf x, m  đơn điệu trên khoảng (a,b)

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng  a, b thì f ' x   0 x  a, b

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng  a, b thì f ' x   0 x  a, b

xc

xc

yax bx cx d đơn điệu trên R

+) Tính y '3ax22bx c là tam thức bậc 2 có biệt thức 

+) nếu f ' x 0 0 hoặc f ' x không xác định tại   x và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua 0 x thì 0

0

x là điểm cực tiểu của hàm sô

*) Quy tắc 1:

+) tính y ' +) tìm các điểm tới hạn của hàm số (tại đó y '0 hoặc y ' không xác định)

+) lập bảng xét dấu y ' dựa vào bảng xét dấu và kết luận

+) giải phương trình f ' x 0 tìm nghiệm

+) thay nghiệm vừa tìm vào f " x và kiểm tra từ đó suy kết luận  

Bài toán 2: Cực trị của hàm bậc 3

Cho hàm số: yax3bx2cx d có đạo hàm y '3ax22bx c

1 Để hàm số có cực đại, cực tiểu y '0 có 2 nghiệm phân biệt   0

2 Để hàm số có không cực đại, cực tiểu y '0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép   0

3 Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu

+) Cách 1: Tìm tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu A, B Viết phương trình đường thẳng qua A, B

+) Cách 2: Lấy y chia y’ ta được: ymxn y ' AxB Phần dư trong phép chia này là yAxB chính

là phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu

a f

02

a f

02

 Hàm số f x  có 5 điểm cực trị khi f x  có 2 điểm cực trị dương

 Hàm số f x  có 3 điểm cực trị khi f x  có 1 điểm cực trị dương

 Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất khi a<0, nhỏ nhất khi a>0

Bài toán 3: Cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương

 hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu

2 hàm số có 3 cực trị khi ab0 (a và b trái dấu)

 Hàm số f x  có 7 điểm cực trị khi f CD CT.f 0

 Hàm số f x  có 5 điểm cực trị khi

 Hàm số f x  có 3 điểm cực trị khi

3 Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số và AOy, A 0;c , B x , y   B B , C x , yC C , H 0; yB

+) Tam giác ABC luôn cân tại A

+) B, C đối xứng nhau qua Oy và xB x , yC ByCyH

+) Để tam giác ABC vuông tại A: AB.AC 0

+) Tam giác ABC đều: AB BC

+) Tam giác ABC có diện tích S:

+) Tam giác ABC vuông tại A khi b 1

+) Tam giác ABC đều khi 3

b 3+) Tam giác ABC có A 120 0 khi

3

1b3



+) Tam giác ABC có diện tích S khi 0 S0 b2 b

+) Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R khi 0

3 0

b 1 1



 

CÔNG THỨC TÍNH NHANH

Ba điểm cực trị tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện

a

3

1 0 8

a

3

3 0 8

a

3

2 cot 1

4 Tam giác ABC có diện tích S ABC S0 32 ( )a S3 0 2 b5 0

0 32 3

b S

a

6 Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r ABC r0

2 0

3

1 1

b r

b a

a

7 Tam giác ABC có độ dài cạnh BC m0 a m. 02 2b 0

8 Tam giác ABC có độ dài AB AC n0 16a n2 20 b4 8ab 0

13 Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R ABC R0

3 8 8

R

ab

14 Tam giác ABC cùng điểm O tạo hình thoi b2 2ac 0

15 Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp b3 8a 4abc 0

16 Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp b3 8a 8abc 0

17 Tam giác ABC có cạnh BC k AB. k AC. b k3 2 8 (a k2 4) 0

18 Đồ thị hàm số  C :y ax4 bx2 c cắt trục Ox tại 4 điểm phân

Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

 C :y ax4 bx2 c và trục hoành có diện tích phần trên và phần

dưới bằng nhau

b2 36ac

5



20 Trục hoành chia ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau b2 4 2ac

21 Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành b2 8ac 0

22 Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là: 2 2 2 2

0

III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa: Cho hàm số yf x  xác định trên D

+) M là GTLN của hàm số trên D nếu:  

*) Quy tắc chung: (Thường dung cho D là một khoảng)

- Tính f ' x , giải phương trình   f ' x 0 tìm nghiệm trên D

- Lập BBT cho hàm số trên D

- Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN

*) Quy tắc riêng: (Dùng cho  a; b ) Cho hàm số yf x  xác định và liên tục trên  a; b

- Tính f ' x , giải phương trình   f ' x 0 tìm nghiệm trên  a, b

- Giả sử phương trình có 2 nghiệm x , x1 2 a, b

- Tính 4 giá trị f a , f b , f x , f x       1 2 So sánh chúng và kết luận

3 Chú ý:

1 GTLN,GTNN của hàm số là một số hữu hạn

2 Hàm số liên tục trên đoạn  a, b thì luôn đạt GTLN, NN trên đoạn này

3 Nếu hàm số f x đồng biến trên    a, b thì max f x   f b , min f x   f a

4 Nếu hàm số f x nghịch biến trên    a, b thì max f x   f a , min f x   f b

5 Cho phương trình f x m với yf x  là hàm số liên tục trên D thì phương trình có nghiệm khi

+) Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng

+) Hàm phân thức mà bậc của tử  bậc của mẫu có TCN

 

  

 +) Đạo hàm:

 2

ad bcy

cx d







- Nếu ad bc 0hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư 2 và 4

- Nếu ad bc 0hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư 1 và 3 +) Đồ thị hàm số có: TCĐ: x d

VI SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI TOÁN 1: TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

Phương pháp:

Cho 2 hàm số yf x , y  g x  có đồ thị lần lượt là (C) và (C’)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f x   g x

+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm

+) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’)

BÀI TOÁN 2: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F x, m 0(phương trình ẩn x tham số m)

+) Cô lập m đưa phương trình về dạng mf x 

+) Lập BBT cho hàm số yf x 

+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m

*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi m độc lập với x

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm F x, m 0

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số) Giả sử xx0 là 1 nghiệm của phương trình

+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2 g x 0

- Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên R  hàm

số không có cực trị y '0 hoặc vô nghiệm

yF x, m cắt trục hoành tại 3 điểm phân

biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu và

cd ct

y y 0

+) Để (1) có đúng 2 nghiệm thì đồ thị

 

yF x, m cắt trục hoành tại 2 điểm phân

biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu và

cd ct

y y 0

Bài toán: Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 1 cấp số cộng:

+) Điều kiện cần: là 1 nghiệm của phương trình Từ đó thay vào phương trình để tìm m

+) Điều kiện đủ: Thay m tìm được vào phương trình và kiểm tra

BÀI TOÁN 3: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC

*) Các câu hỏi thường gặp:

1 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt  1 có 2 nghiệm phân biệt khác d

+) Tam giác ABC vuông

+) Tam giác ABC có diện tích S 0

a

 

+6 Tiếp tuyến tại M thuộc đồ thị cắt 2 tiệm cận tại A, B thì M la trung điểm AB và diện tích IAB không đổi

2 ad bcS

c



Điểm M thỏa mãn: Tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận min, chu vi tam giác IAB min, bán kính đường tròn ngoại tiếp min, bán kính đường tròn nội tiếp max, khoảng cách từ I đến tiếp tuyến max, tam giác IAB cân đều chung lời giải

 M

2 x

y ' 1

BÀI TOÁN 4: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4

NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: 4 2

- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm t , t thỏa mãn: 1 2 0 t1 t2

- Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm t , t thỏa mãn: 1 2 0 t1 t2

- Để (1) cắt (Ox) tại 4 điểm phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm dương t , t1 2t1t2thỏa mãn t2 9t1

- Kết hợp t2 9t1 vơi định lý vi – ét tìm được m công thức nhanh: 9b2 100ac

4 Bài toán Tìm m để (C ) 4 2  

yax bx c 1 : cắt trục hoành tạo thành 3 miền diện tích có diện tích phần trên và diện tích phần dưới bằng nhau: 5b2 36ac

VII TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài toán 1: Tiếp tuyến tại điểm M x ; y 0 0 thuộc đồ thị hàm số:

Cho hàm số  C : yf x  và điểm M x ; y 0 0   C Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M

- Tính đạo hàm f ' x Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là   f ' x 0

- phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: yf ' x xx0y0

Bài toán 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

- Gọi   là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k

- Giả sử M x ; y 0 0 là tiếp điểm Khi đó x thỏa mãn: 0 f ' x 0 k(*)

- Giải (*) tìm x Suy ra y f x 

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: yk x x0y0

Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua điểm

Cho hàm số  C : yf x  và điểm A a; b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua A  

- Gọi   là đường thẳng qua A và có hệ số góc k Khi đó   : yk x a   b(*)

- Để   là tiếp tuyến của (C)      

+) Khi a0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất

 Bên trên Ox giữ nguyên  C

 Bỏ phần  C bên dưới Ox và lấy phần bỏ này đối xứng qua Ox

b) Vẽ đồ thị  C2 :y2  f  x (với TXĐ D là tập đối xứng)

Ta có f    x  f x : đây là hàm số chẵn nên đồ thị  C2 nhận Oy làm trục đói xứng

Đồ thị  C suy ra từ đồ thị 2  C bằng cách:

 Bên phải Oy giữ nguyên  C

 Bỏ phần  C bên trái Oy và lấy phần giữ nguyên đói xứng qua Oy

c) Vẽ đồ thị  C2 : y3  f x 

 Nếu y3 0 thì y3  f x :    C3  C ở trên trục Ox

 Nếu y3 0 thì y3  f x :  C đối xứng của 3  C ở trên trục Ox qua trục Ox

Đồ thị  C suy ra từ đồ thị  C bằng cách:

 Phần của  C ở phía trên Ox giữ nguyên

 Bỏ phần của  C ở phía dưới Ox và lấy phần  C ở trên trục Ox đối xứng qua Ox

2 Hàm số  

 

P x y

 Lấy phần của  C ứng với Q x 0

 Bỏ phần của  C ứng với Q x 0 và lấy phần đối xứng của phần này qua trục Ox

 Phần của  C ở miền P x 0 giữ nguyên

 Bỏ phần của  C ở miền P x 0 và lấy phần đối xứng của phần này qua trục Ox

 Chú ý: Dạng toán này thường đi kèm với biện luộn số nghiệm của phương trình có chứa dấu trị tuyệt

( )C

1 (C)

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương pháp: Cho họ đường  C m có phương trình: y f x m , 

 Với điểm M x y 0; 0 bất kỳ ta có:

M x y 0; 0   C m y0  f x m 0,   *

Khai triển và đặt thừa số chung các số hạng có chứa tham số m của phương trình  * rồi đưa

về dạng: Am B 0  1 hoặc Am2Bm C 0  2

 Việc tìm điểm cố định của họ  C m được dựa vào lập luận sau:

Giả sử M x y 0; 0 là điểm cố định của họ  C m

A

I B

 Giải hệ phương trình  I hoặc  II nếu ta tìm được nghiệm x y0; 0 thì cặp số x y0; 0

chính là tọa độ điểm cố định phải tìm

 Tùy theo hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm mà ta có bấy nhiêu điểm cố định Nếu hệ

vô nghiệm thì họ  C m không có điểm cố định

Ghi chú:

 Nếu bài toán yêu cầu tìm điểm mà họ  C m không bao giờ qua thì ta lập luận như sau:

Giả sử M x y 0; 0 là điểm mà họ  C m không bao giờ qua

A B

00

A

A B

I CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A CÁC TÍNH CHẤT LIÊN QUAN TỚI CỰC TRỊ CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI

Trước khi đi vào các bài toán ta cần nhớ những kiến thức sau

 Số điểm cực trị của hàm số f x  bẳng tổng số điểm cực trị của hàm số f x và số lần đổi dấu của hàm số  

 Cho hàm số có dạng y ax2bx c mx  , tìm điều kiện của tham số m để giá trị cực tiểu của hàm số đạt giá

Vậy số điểm cực trị của hàm số y ax3bx2 cx d bằng 2 1 3.  Chọn đáp án A

Câu 2: Có bao nhiêu số nguyên m  20;20để hàm số y x 2 2x m 2x1 có ba điểm cực

trị

Lời giải

Nếu x22x m  0, xthì y x 22x m 2x 1 x2 m 1 có đúng một điểm cực trị x0 (loại)

Nếu x22x m 0có hai nghiệm phân biệt x1x2        1 m 0 m 1

+) Với 0 m 1 rõ ràng không có số nguyên nào

+) Với m0 ta có bảng xét dấu của y như hình vẽ dưới đây

Lúc này hàm số có 3 điểm cực trị Vậy m  19, ,1  Chọn đáp án C

Câu 3: Biết phương trình ax4bx2 c 0 a0 bốn nghiệm thực Hàm số y ax4bx2 c có

bao nhiêu điểm cực trị

Ta có m   1 0 m 1 khi đó f x có ba điểm cực trị Vậy yêu cầu bài tóan lúc này tương đương với   f x 0

vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức

Câu 10: Có bao nhiêu số nguyên m  10;10để hàm số 3 2  2 

y x  mx  m  x  có đúng 5 điểm cực trị

Câu 11 Cho hàm số y f x  Đồ thị hàm số y f x như hình bên dưới

Hàm số g x  f 3x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Câu 6: Có bao nhiêu số nguyên m  20;20 để hàm số y x 4m1x2m có 7 điểm cực





    có 18 số nguyên thỏa mãn Chọn đáp án A

Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên m  20;20để hàm số yx22x2 mcó đúng 5 điểm cực

trị

Lời giải

Có yx22x2m  x2 2x2m  x4 m2x22 m

Nếu m 0 x4m2x22m 0, xnên hàm số đã cho có tối đa ba điểm cực trị (loại)

Nếu m 0 x4m2x22m 0 x2    m x m.Vậy điều kiện là hàm số

Câu 10: Có bao nhiêu số nguyên m  10;10để hàm số 3 2  2 

y x  mx  m  x  có đúng 5 điểm cực trị

Vậy để hàm số có 5 điểm cực trị 3x515x360x m    0 m 3x515x360xcó tổng số nghiệm đơn

và bội lẻ bằng 3, tức 144  m 144 144 m 144  m  143, ,143 Có 287 số nguyên thỏa mãn Chọn đáp án B

Câu 12: Có bao nhiêu số nguyên m  2019;2019 để hàm số y x 2 4x m 6x1 có ba

Hàm số có đúng 1 cực trị x 1(loại)

Với m 5ta có bằng xét dấu của ynhư sau

Hàm số có 3 điểm cực trị x x x 1; 5;x x 2

Vậy m  2018, , 6  Có 2013 số nguyên thỏa mãn Chọn đáp án C

Câu 13: Có bao nhiêu số nguyên m  20;20 để hàm số y x 22m x m  1 1 có ba điểm

cực trị

m và lúc này bảng xét dấu của y như sau

Điều này chứng tỏ với 1

Xét hàm số y x 4mx2mcó tối đa 3 điểm cực trị và phương trình f x 0có tối đa 4 nghiệm Vì vậy hàm

số y f x có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi f x 0có 4 nghiệm phân biệt và f x 0có 3 nghiệm phân biệt

phương trình f x 0có 4 nghiệm thực phân biệt 3x44x312x2 m có 4 nghiệm thực phân biệt Lập bảng biến thiên của hàm số y3x44x312x2ta có giá trị cần tìm

Vậy hàm số y f x  có 7 điểm cực trị  f x 0có bốn nghiệm phân biệt

Câu 11 Cho hàm số y f x  Đồ thị hàm số y f x như hình bên dưới

Hàm số g x  f 3x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Câu 12 Cho hàm số y f x  Đồ thị hàm số y f x

như hình bên Hỏi hàm số    2

g x  f x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C

Chú ý: Dấu của g x  được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 1;

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C

Câu 11 Cho hàm số yx3x2 x 1 có đồ thị  C Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

Áp dụng công thức giải nhanh, ta có phương trình đi qua hai điểm cực trị cần lập là

y x m x mx có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng

AB vuông góc với đường thẳng y x 2