Bài 6 BIẾN đổi các BIỂU THỨC hữu tỉ GIÁ TRỊ của PHÂN THỨC

GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững các khái niệm điều kiện xác định của phân thức, biểu thức hữu tỉ, giá trị của phân thức..  Kĩ năng + Biết cách tìm điều kiện để

BÀI 6 BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững các khái niệm điều kiện xác định của phân thức, biểu thức hữu tỉ, giá trị của phân

thức

+ Hiểu và vận dụng được các biến đổi biểu thức hữu tỉ

 Kĩ năng

+ Biết cách tìm điều kiện để giá trị của một phân thức xác định

+ Biết cách biến đổi biểu thức hữu tỉ thành một phân thức đại số

+ Biết cách tính giá trị biểu thức

+ Biết cách tìm giá trị của biến để biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức, tìm biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Biểu thức hữu tỉ

Biểu thức hữu tỉ là một phân thức hoặc một dãy

các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia) các phân

thức

Ví dụ:

0; x3 4x 3;4 2 5 2

x

2

4x ; 22 1

1

x

là các biểu thức hữu tỉ

Điều kiện xác định của phân thức đại số

Là điều kiện để giá trị của phân thức được xác

định

Giá trị của phân thức

Bước 1 Tìm điều kiện xác định của phân thức

Bước 2 Kiểm tra x x có thỏa mãn điều kiện 0

xác định

Bước 3 Nếu thỏa mãn điều kiện xác định, ta thay

0

x x vào phân thức và tìm giá trị

Phân thức xác định khi mẫu thức khác 0

:

A C

B D có điều kiện xác định B 0; D 0 và

0

C

Giá trị của

2

4

x

x tại x 1 là

2

2.1 3

1

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức

Ví dụ mẫu

Muốn biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức ta

thực hiện các bước sau:

Bước 1 Thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân,

chia để rút gọn biểu thức

Bước 2 Đưa biểu thức về dạng phân thức đại số

Ví dụ: Biến đổi biểu thức

1

1 1

x x

x

thành một

phân thức đại số

Biểu thức

hữu tỉ

Cộng, trừ, nhân, chia

P x

Q x

Giá trị của phân thức

0 0

P x

Q x

Điều kiện xác định

0

P x

Biến đổi biểu

điều kiện

0

x

Bước 3 Rút gọn phân thức đại số

Xét

1

x

1

1

x

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số:

a)

1

1

1 1

1

1

x

x

2

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

1

1

b) Ta có:

x x

2

2

x x

x x

2

2

2

x

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1 Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số:

a)

1

1

x

y

y

x

2

2 1

1

x x x

Câu 2 Rút gọn các biểu thức sau

a)

2

2

1

1 : 1

x x

A

B

Dạng 2: Tìm điều kiện xác định của biểu thức

Bài toán 1 Tìm điều kiện xác định của phân thức

Phương pháp giải

Muốn tìm điều kiện xác định của phân thức ta thực

hiện các bước sau:

Bước 1 Tìm các giá trị của biến x sao cho các giá

trị tương ứng của mẫu thức khác 0

Bước 2 Kết luận

Ví dụ: Với giá trị nào của x thì giá trị của phân

thức 52 7

1

x

x được xác định?

Giá trị của phân thức 52 7

1

x

x được xác định với

điều kiện 2

x , tức là x 1; x 1 Vậy x 1; x 1 thì phân thức được xác định

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?

a) 2 1

3

x

1 2 1

x

x x

Hướng dẫn giải

a) Giá trị của phân thức 2 1

3

x

x được xác định với điều kiện x 3 0,

tức là x 3

Vậy x 3 thì phân thức được xác định

b) Giá trị của phân thức 1

2 1

x

x x được xác định với điều kiện

2

x

Vậy x 0; 1

2

x thì phân thức được xác định

Ví dụ 2 Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?

a) 22 7

x

2

x

Hướng dẫn giải

a) Giá trị của phân thức 22 7

x

x x được xác định với điều kiện

2

x x hay x 12 0, suy ra x 1

Vậy x 1 thì phân thức được xác định

b) Giá trị của phân thức 22 3

2

x

x được xác định với điều kiện

2

Mà x2 0 suy ra x2 2 2 hay x2 2 0 với mọi giá trị của biến x

Chú ý: Một tích khác

0 khi tất cả các thừa

số của nó khác 0

Vậy mọi giá trị của biến x thì phân thức luôn xác định

Bài toán 2 Tìm điều kiện xác định của biểu thức

Phương pháp giải

Bước 1 Tìm điều kiện xác định của từng

phân thức

Bước 2 Kết hợp tất cả các điều kiện

Chú ý: Để thực hiện phép tính A C:

B D thì

0

C

Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của biểu thức sau:

2

:

x

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: x x 1 0 khi x 0 và x 1;

2 0

0 2

x

x khi x 0

Vậy điều kiện xác định của biểu thức là x 1; x 0; 2

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:

B

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức A là:

x khi x 1;

2

2

2

3

x khi x 1

Vậy điều kiện xác định của biểu thức A là x 1

b) Điều kiện xác định của biểu thức B là:

2x 4y 0 khi x 2y ;

2x 4y 0 khi x 2y ;

x y khi x 2y

4y 0 khi y 0

Vậy điều kiện xác định của biểu thức B là x 2y ; x 2y ; y 0

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1 Với giá trị nào của x thì giá trị của mỗi phân thức sau được xác định?

a) 22 1

2 1

x

4

x

x

4 9

x

Câu 2 Tìm điều kiện xác định của các biểu thức:

x

A

B

xy y x y y

Dạng 3 Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỉ và các bài toán liên quan

Bài toán 1 Thực hiện phép tính và tính giá trị biểu thức

Phương pháp giải

Muốn thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỉ ta

thực hiện các bước sau:

Bước 1 Tìm điều kiện xác định của phân thức

Bước 2 Thực hiện các phép cộng, trừ, nhân, chia

các phân thức để rút gọn biểu thức

Ví dụ: Rút gọn biểu thức:

:

P

Điều kiện x 1; x 0; x 1

Ta có:

:

P

:

:

1 1

x x

x x

1

x

x

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho biểu thức:

2

A

a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức được xác định

b) Tính giá trị của A khi x 2

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: x 0; x 5

b) Ta có

2

A

x x

x x

2

x x

x x

1 2

x

Thay x 2 vào A ta được 2 1 1

Ví dụ 2 Cho biểu thức:

2

B

a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức được xác định

b) Rút gọn biểu thức B

c) Tính giá trị của B khi x 1

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: x 2; x 1; x 0

b) Ta có

2

B

2

2

x x

2

2

2

x x

2

2

x x

2

2

x x

2

2

2 1

x

c) Thay x 1 vào B ta được 2 1

1 1

Bài toán 2 Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải

Ta sử dụng các kiến thức sau:

+) A 0

B khi và chỉ khi A và B cùng dấu

+) A 0

B khi và chỉ khi A và B trái dấu

+) Hằng đẳng thức đáng nhớ và chú ý A2 0

với mọi A

+) Với ,x y và y 0 thì x

y khi y Ư x

Ví dụ: Cho phân thức 1

2

x P

x với x 2 a) Tìm x để P 1

0

0 2

x

3 0 2

x

Có 3 0 suy ra x 2 0 hay x 2 (thỏa mãn)

Vậy: x 2 thì P 1 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q P x 2 4

2

x

x

1

2

x

x

2

2

Có

2

3 0 2

2

x

4

Q Dấu " " xảy ra khi

2

3 0 2

x

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 1

4 khi

3 2

c) Tìm x để P

P

Để P thì 3

2

2

Vậy x 5; 3; 1;1 thì P

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho phân thức

2

3

A

x với x 3; a) Tìm x để A 0

b) Tìm x để A

Hướng dẫn giải

a) Ta có

2

x

A

Vì x 2 2 0 nên x 2 2 1 0 x

Để A 0 thì x 3 0 hay x 3

Vậy x 3 thì A 0

b) Ta có

1

Để A thì x 3 Ư 2

3

Vậy x 1; 2; 4;5 thì A

Ví dụ 2 Tìm x để phân thức 2 8

B

x x đạt giá trị lớn nhất

Hướng dẫn giải

B

x x

, x

Hay B 8 x

Dấu " " xảy ra khi x 2 2 0 hay x 2

Vậy giá trị lớn nhất của B là 8 khi x 2

Ví dụ 3 Cho biểu thức

2

2

1

P

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P 0

c) Tính giá trị của biểu thức P khi x thoả mãn x2 x 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có

2

2

1

P

2

3

x x

1

x

Vậy x 3 thì P 0

1 0

x

x x 0 (không thỏa mãn) hoặc x 1 (thỏa mãn)

Thay x 1 vào P ta có 3 1 3 2

x P

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1 Cho biểu thức

2

2

A

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A biết x 2 2 4x2

c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

Câu 2 Cho biểu thức

2

:

B

a) Rút gọn biểu thức B

b) Chứng minh biểu thức B 0 x 1

c*) Tìm giá trị nhỏ nhất của B

Câu 3 Cho biểu thức

3

E

1 2

a) Rút gọn biểu thức E

b) Tính giá trị của biểu thức E biết 2

c*) Chứng minh 2

3

ĐÁP ÁN

Bài tập luyện tập dạng 1

Câu 1

a)

1

xy x

y

b) Ta có:

2

1

1

1

x

Câu 2

a) Ta có

x

A

2

:

2

2

:

:

x

2 1

x x x

2

x

B

:

Câu 1 a) Điều kiện xác định: x2 2x 1 0 x 0; 1

2

b) Điều kiện xác định: 2

c) Điều kiện xác định: 5x 5 0 x 1

d) Điều kiện xác định: 2

x với mọi giá trị của x

Câu 2

a) Điều kiện xác định của biểu thức A là

x x khi x 0 và x 3;

x x khi x 0 và x 2;

0

x

Vậy điều kiện xác định của biểu thức A là x 0; x 3 và x 2

b) Điều kiện xác định là

xy y khi y x 2 0 hay y 0 và x 2;

x y khi x 0 và y 1;

0

y ;

0

x

Vậy điều kiện xác định của biểu thức B là x 2; x 0; y 1 và y 0

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1

a)

2

2

A

2

2

x

x x

2 2

x

b) Ta có x 2 2 4x2

Trường hợp 1: x 2 2x hay x 2 (loại)

Trường hợp 2: x 2 2x hay 2

3

x (thỏa mãn)

Thay 2

3

2

A

Để A thì x 2 Ư 4 4; 2; 1;1; 2; 4 suy ra x 2; 0;1;3; 4; 6

Đối chiếu với điều kiện ban đầu thì giá trị x 3 không thỏa mãn

Vậy x 2; 0;1; 4; 6 thì A

Câu 2

a) Ta có

2

2 2

:

B

2 2

1

:

x x

2

:

2

2

:

2

2

1 1

:

x x

2

:

2

x

2

1 2

b) Ta có

2 2

Ta có

2

1 0 2

x

Suy ra điều phải chứng minh

c*) Ta có

2

1 0 2

x

Dấu " " xảy ra khi

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 3

8 khi

1 2

Câu 3

a) Ta có

3

E

2

2

x

2

x

1

2

x

x (thỏa mãn điều kiện)

+) Với x 3 thì 10

7

+) Với x 2 thì 5

7

c*) Xét hiệu

2

0

E

1

2

Suy ra 2

3

E (điều phải chứng minh)