BÀI 1 GIỚI hạn của dãy số

- Biết được một số định đi giới hạn của dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn.. Kỹ năng: - Áp dụng khái niệm giới hạn dãy số, định lí về giới hạn của dãy số vào giải các bài tập.. Một số dãy s

Trang 1

BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

MỤC TIÊU:

Kiến thức:

- Hiểu được khái niệm giới hạn của dãy số

- Biết được một số định đi giới hạn của dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn

Kỹ năng:

- Áp dụng khái niệm giới hạn dãy số, định lí về giới hạn của dãy số vào

giải các bài tập

- Biết cách tính giới hạn của dãy số

- Biết cách tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Định nghĩa dãy số có giới hạn 0

1.1 Định nghĩa: Ta có nói rằng dãy số  u n có giới hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó

Khi đó ta viết: limu n 0 hoặc u n0

(Kí hiệu “ lim 0n

n ”đọc là dãy số  u n có giới hạn là 0 khi n dần đến vô cực)

Nhận xét:

a) Dãy số  u n có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số  u n có giới hạn 0

b) Dãy số không đổi  u n với u n 0 có giới hạn 0

1.2 Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp

Dựa vào định nghĩa, người ta chứng minh được rằng:

Định lí sau đây thường được sử dụng để chứng minh một số dãy số có giới hạn 0

Cho hai dãy số  u n và  v n

Nếu u n v n với mọi n và limv n0 thì limu n0

2 Dãy số có giới hạn hữu hạn

2.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số  u n có giới hạn là số thực L nếu limu nL0

Khi đó ta viết limu nL hoặc u nL

Tức là limu n  L limu nL0

Nhận xét:

- Dãy số  u n có giới hạn là số thực L, khi và chỉ khi khoảng cách từ điểm u đến điểm L là n

2.2.Các định lý cơ bản về giới hạn của dãy số

Định lí 1: Giả sử limu nL Khi đó:

Định lí 3 (Nguyên lí kẹp giữa): Cho ba dãy số      u n , v n , w và số thực L Nếu n u n v n w n với mọi n

và limu nlimw nL thì limv nL

Định lí 4:

• Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn

• Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

2.3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Khái niệm: Cấp số nhân gọi là lùi vô hạn nếu có công bội q thỏa mãn điều kiện q 1

3 Dãy số có giới hạn vô cực

3.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực

Định nghĩa:

• Ta nói rằng dãy số  u n có giới hạn là +∞ nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy

số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó

Khi đó ta viết limu n  hoặc u0 

• Ta nói rằng dãy số  u n có giới hạn là –∞ nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số,

kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó

Khi đó ta viết limu n  hoặc u n

Nhận xét: Nếu limu n  thì lim u n  

• Nếu limu n ;limv n  thì lim u v n, n 

• Nếu limu n ;limv n  thì limu v n n 

• Nếu limu n ;limv n  thì limu v n, n 

• Nếu limu n ;limv n  thì limu v n n 

Nếu limu n  L 0,limv n 0 thì

• Khi lim 0 lim khi 0,

khi 0,

n n

n

n n

n

n n

b) Cho hai dãy số  u n và v n

• Nếu u nv n với mọi n và limu n  thì limv n  

• Nếu limu n L và limv n   thì lim n 0

n

q  với q1 và k làmột số nguyên dương

Trang 4

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Dãy số có giới hạn bằng định nghĩa

Bài toán 1 Chứng minh dãy số có giới hạn 0 bằng định nghĩa

- Phương pháp giải

Cách 1: Áp dụng định nghĩa

Cách 2: Sử dụng các định lí sau:

u n

Từ đó suy ra điều cần chứng minh

Ví dụ 2 Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn 0

a) cos

4

n

n u

n



cos54

n u

n u

n u

  Từ đó suy ra điều cần chứng minh

b) Ta có ( 1) cos2 cos2 21 12 và lim 12 0

Từ đó suy ra điều cần chứng minh

Ví dụ 3 Chứng minh rằng các dãy số sau có giới hạn bằng 0



Từ đó suy ra điều cần chứng minh

b) Gọi m là số tự nhiên thỏa 1m   a Khi đó với mọi n m 1

Ta có 0

n m m

Ví dụ 4 Cho dãy số  u n với

u u

  với mọi n

b) Chứng minh rằng 0 2

3

n n

Ta được điều phải chứng minh

b) Sử dụng phương pháp quy nạp toán học chứng minh 2  

3

n n

     Ta phải chứng minh (*) đúng với

Ta được điều phải chứng minh

CHÚ Ý: MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI NHANH

Quy ước: Trong máy tính không có biến n nên ta ghi x thay cho n

Ghi nhớ cách nhập giá trị của x

• x  thì ta nhập x9999999999 (10 số 9)

• x thì ta nhập x 9999999999 (10 số 9)

• Đề bài yêu cầu tính lim u n thì ta hiểu rằng, biến n

Ghi nhớ cách hiển thị kết quả

• Gặp hằng số c.10 (trong đó ∝ là số nguyên âm, thông thường  10;   , ) 12

Ví dụ 1 Tính giới hạn sau: lim 1

1

n

Hướng dẫn giải

Cách bấm máy:

* Nhập vào máy tính biểu thức sau:

• Sau đó bấm CALC, màn hình sẽ xuất hiện như hình bên Ta hiểu rằng “Bạn muốn gán x bằng bao nhiêu?”

• Nhập:x9999999999 , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

 , sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR

Hướng dẫn giải

Vận dụng định lý 1 nếu u n v n với mọi n và limv n0 thì limu n0

Ta có đánh giá sau: ( 1) , cos2 cos2 21

n  vào máy tính là sẽ tính được

 , sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR do hàm số mũ tăng rất nhanh

nên sẽ không tính được trên máy tính Trong trường hợp này ta sẽ xử lý như sau:

NHẬN XÉT: Qua 4 ví dụ trên, phần nào bạn đọc đã hiểu về cách sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) để

giải các bài toán về dãy số có giới hạn là 0 Có những bài toán sử dụng máy tính và nhập lệnh CALC 9999999999

x sẽ ra luôn kết quả, có những bài toán không ra được ngay, chúng ta cần vận dụng linh hoạt các cách đánh giá cũng như đổi cách bấm máy để ra được kết quả bài toán Qua đây, đòi hỏi chúng ta cần có kiến thức khá chắc chắn về định nghĩa giới hạn dãy số để có thể vận dụng làm các bài tập cho tốt hơn

u   

n n

2 5

n n

4

n n

3 1

n n

Trang 11

Câu 4 Giới hạn

1

( 1)lim

3 5

n n

3lim

n  với k là số nguyên tùy ý

Trang 12

60

n n

22

1

21

n n n

11

n n

2

n n

Dạng 2 Dãy số có giới hạn hữu hạn

Bài toán 1 Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng limu nL

1

n n n

Do đó limu n1 Ta được điều phải chứng minh

Bài toán 2 Chứng minh một dãy số có giới hạn

► Phương pháp giải

Sử dụng nguyên lí kẹp:

Trang 14

Cho ba dãy số      u n , v n , w và số thực L n

Nếu u n v n w n với mọi n vàlimu nlimw nL thì limv n L

Ví dụ: Chứng minh các giới hạn sau:

1

n n

n

  Ta được điều phải chứng minh

Bài toán 3 Tính giới hạn của dãy số bằng các định lí về giới hạn

Trang 15

► Phương pháp giải

Ta lựa chọn một trong hai cách:

Cách 1: Đưa dãy số cần tìm giới hạn về tổng, hiệu, tích, thương của những dãy số mà ta đã biết giới hạn

Chú ý: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực hiện phép chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất

của n và sử dụng kết quả lim a x 0

n n

Trang 18

• Dạng 2: Nếu dãy số  u n có u là biểu thức chứa n dưới dấu căn, thì đưa n n k ra ngoài dấu căn (với k là

số cao nhất của n trong dấu căn) rồi áp dụng các định lí Nếu gặp dạng (vô định) k n

n u , vớilimu n0 , thì phải nhận và chia với biểu thức liên hợp của biểu thức chứa căn tiến về 0 Cần chú ý các hằng đẳng thức:

3 2 3 2

( a b)( a b) a b;( a b)( a ab b ) a b

• Dạng 3: Nếu dãy số u n có u là một phân thức mà tử và mẫu là các biểu thức của các lũy thừa Có n

dạng a b n, n, (n ) trong đó a, b, là các hằng số, thì chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số có trị tuyệt đối lớn nhất trong các lũy thừa ở tử và mẫu, rồi áp dụng các định lí

• Dạng 4: Nếu dãy số  u n trong đó u là một tổng hoặc một tích của n số hạng (hoặc n thừa số), thì phải n

rút gọn u , rồi tìm n limu theo định lí n

Dạng 5: Nếu dãy số  u n trong đó u được cho bởi một hệ thức truy hồi, thì ta tìm công thức tổng quát n

của u n rồi tìm limu theo định lí n

Bài toán 4 Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

11

13



Chú ý: Để biểu diễn một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số, ta biểu diễn Số đó thành tổng của

một cấp số nhân sùi vô hạn và suy ra kết quả

• Nhậpx9999999999 , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả: Vậy giới hạn của dãy số bằng 1

• Nhập:x9999999999 , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

4

Trang 20

NHẬN XÉT: Qua 2 ví dụ trên, phần nào bạn đọc đã hiểu cách sử dụng MTCT để tính toán các bài toán

liên quan đến giới hạn của dãy số (giới hạn là số thực) Tuy nhiên, MTCT không hẳn là một công cụ vạn năng để chúng ta giải quyết các bài toán phức tạp hay những bài toán hay và khó Vì vậy, chúng ta cần phải hiểu sâu bản chất của vấn đề và rèn luyện nhiều dạng bài tập để thao tác nhanh và tập được cách xử

lý khi gặp một bài toán lạ hay không sử dụng được MTCT Chúng ta cùng nhau sang các bài tập rèn luyện dưới đây

► Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1 Giới hạn lim2 1

2

n n

2 3

n n

1lim

Trang 21

52

n n

1 1 21

lim

6 94

n n n n

lim

121

Chú ý: Khi tính các giới hạn phân thúc, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

• Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0

• Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của lũy thừa cao nhất của tử và mẫu số

Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là  nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu

n n n

Trang 25

Do 2

1 1 1 lim n và lim 1 1 0

MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI NHANH

Quy ước: Trong máy tính không có biến n nên ta ghi x thay cho n

Ghi nhớ cách nhập giá trị của x

• x  thì ta nhập x9999999999 (10 số 9)

• xthì ta nhập x9999999999 (10 số 9)

• Đề bài yêu cầu tính lim u n thì ta hiểu rằng, biến n

• Gặp hằng số c.10a (trong đó α là số nguyên âm, thông thường   10;  12,)

• Nhập:x9999999999 , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả: Vậy giới hạn của dãy số bằng –2

Ghi nhớ cách hiển thị kết quả

• Nhập:x9999999999 , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả: Vậy giới hạn của dãy số bằng 0, 75 3

• Nhập:x9999999999 , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả: Vậy giới hạn của dãy số bằng 

1

n n

1

n n n

1 11

12