Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1

Bài 3: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ  Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể: Nắm được một cách có hệ thống về giới hạn hàm số để ứng dụng về sau.. Các định nghĩa Trong ph

Phụ lục 5

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BỘ MÔN TOÁN

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY

MÔN TOÁN CAO CẤP A1

GV biên soạn: TRẦN THIỆN KHẢI

Trà Vinh, tháng 02-2013

Lưu hành nội bộ

MỤC LỤC

Bài 1: CÁC TRƯỜNG SỐ 3

Bài 2: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 8

Bài 3: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 15

Bài 4: VÔ CÙNG BÉ VÀ VÔ CÙNG LỚN 21

Bài 5: HÀM SỐ LIÊN TỤC 23

Chương 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 26 Bài 1: ĐẠO HÀM 26

Bài 2:VI PHÂN 31

Bài 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN 36

Chương 3: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ 46 Bài 1: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 46

Bài 2: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 61

Bài 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 67

Bài 4: TÍCH PHÂN SUY RỘNG 75

Chương 4: LÝ THUYẾT CHUỖI 82 Bài 1: LÝ THUYẾT CHUỖI 82

Bài 2: CHUỖI SỐ DƯƠNG 84

Bài 3: CHUỖI ĐAN DẤU 86

Bài 4: CHUỖI LŨY THỪA 87

Chương 5: MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ ỨNG DỤNG 91

Bài 1: KHÔNG GIAN VECTƠ Rn 91

Bài 2: LÝ THUYẾT SƠ CẤP VỀ MA TRẬN 93

Bài 3: ĐỊNH THỨC 101

Bài 4: HẠNG CỦA MA TRẬN 112

Bài 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT 116

Bài 6: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 131

Chương 1: GIỚI HẠN CỦA DẠY SỐ VÀ HÀM SỐ

Định nghĩa 1: Một số biểu diễn được dưới dạng một số thập phân vô hạn không tuần hoàn được gọi là số vô tỷ Tập các số vô tỷ kí hiệu là: I

 Số phức là số có dạng: z = a + ib, trong đó a, bR, i là đơn vị ảo với i2 = –1

 Ta ký hiệu: a = Rez gọi là phần thực; b = Imz gọi là phần ảo C là tập hợp tất cả

các số phức

 Số phức z = a + ib có thể biểu diễn hình học là một điểm M(a;b) trên mặt phẳng Oxy

 Số phức z  a  ib đựoc gọi là số phức liên hợp của số phức z = a + ib, hai số

phức liên hợp đối xứng nhau qua Ox

b M(a; b)

z = a + ib

r 

O a x

-b z a ib   Hình 1.2

Dạng lượng giác của số phức:

Ta biểu diễn số phức z = a + ib bởi vectơ OM 

, gọi r OM   a2  b2 là mođun của số phức z, ký hiệu: z

Từ ý nghĩa hình học, ta có a rcos ; b rsin       z r cos    isin  

Ví dụ 4: Biểu diễn số phức z = 1 + i dưới dạng lương giác

Biểu diễn u dưới dạng u    cos   isin  

Ta có: un    z n cosn   isin n     r cos   isin  

Định nghĩa 2: Khoảng là tập hợp các số thực (hay các điểm) nằm giữa hai số thực (hay

hai điểm) nào đó

Phân loại khoảng:

Khoảng hữu hạn:

Khoảng đóng:   a,b   x R  a x b   Khoảng mở:   a,b   x R  a x b   Khoảng nửa đóng, nửa mở:  a,b    x R  a x b   

 a,b    x R  a x b   Khoảng vô hạn:

i

i i

)1(

Bài 2: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN

 Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể nắm vững một cách

có hệ thống về hàm một biến số, giới hạn của dãy số

 x được gọi là biến độc lập, y được gọi là biến phụ thuộc

 X được gọi là miền xác định của hàm số, kí hiệu là Df

 Tập Y =  y R \ y f (x),x D    f được gọi là miền giá trị của hàm số, kí

hiệu Rf

Ví dụ 1: Khi nuôi một con bò, quan sát quá trình tăng trọng của bò ta có mối liên hệ

giữa thời gian nuôi t (ngày) và trọng lượng m (kg) của con bò là một hàm số m = m(t) Một hàm số thường được cho dưới dạng công thức như các ví dụ sau:

Hình 1.5

 Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đơn điệu (hay đơn điệu nghiêm ngặt) trên

EDfnếu nó tăng hoặc giảm (hay tăng nghiêm ngặt hoặc giảm nghiêm ngặt) trên E

Nếu ta sử dụng thuật ngữ trên mà không nhắc đến tập E thì coi như E = Df

Ví dụ 2: Hàm số y = f(x) = x2 giảm nghiêm ngặt trên (-, 0] và tăng nghiêm ngặt trên [0, +)

Thật vậy, giả sử x1, x2  [0, +) và x1 < x2 Khi đó ta có:

f(x1) – f(x2) = x12– x22 = ( x1 – x2 )( x1 + x2 ) < 0  f(x1) < f(x2)

Vậy hàm số y = x2 tăng nghiêm ngặt trên [0, +)

Chứng minh tương tự ta có hàm số y = x2giảm nghiêm ngặt trên (-, 0]

b Hàm s ố chẵn và hàm số lẻ

Định nghĩa 4: Tập X được gọi là tập đối xứng qua gốc tọa độ O nếu với bất kỳ xX

thì –xX Người ta thường gọi tắt là tập đối xứng

Định nghĩa 5: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập đối xứng X, khi đó ta có:

 Hàm số y = f(x) là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc X thì f(– x) = f(x)

 Hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc X thì f(– x) = – f(x)

Chú ý: Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ O

c Hàm số bị chặn

Định nghĩa 6:

 Hàm số y = f(x) được gọi là bị chặn dưới trên tập XDfnếu tồn tại số aR sao cho

a Các hàm số y = sinx và y = cosx tuần hoàn với chu kỳ T = 2

b Các hàm số y = tgx và y = cotgx tuần hoàn với chu kỳ T = 

c Các hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kỳ T = 2

Các hàm số còn lại chứng minh tương tự (coi như bài tập)

Ví dụ 7: Hàm số y = x3có hàm ngược là y 3 x

Chú ý:

Nếu g là hàm ngược của hàm f thì Dg = Rf và Rg = Df

Đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng qua đường thẳng y = x

Điều kiện để hàm số y = f(x) có hàm ngược là hàm f phải tồn tại trong miền xác định của nó

 Các hàm số lượng giác: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotgx

 Các hàm lượng giác ngược: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arccotgx

i y = arcsinx:

Hàm số y = sinx là hàm tăng nghiêm ngặt trên ]

2

; 2 [  

nên nó có hàm ngược: x=arcsiny

Hàm ngược của y = sinx )

22

(   

x qua đường thẳng y = x

ii y = arccosx:

Hàm số y = cosx là hàm giảm nghiêm ngặt trên [0; ] nên nó có hàm ngược x = arccosy

Hàm ngược của hàm y = cosx (0  x  ) là y = arccosx, đồ thị của nó đối xứng với đồ

thị của hàm số y = cosx (0  x  ) qua đường thẳng y = x

iii y = arctgx:

Hàm số y = tgx là hàm tăng nghiêm ngặt trên )

2

; 2 (  

nên nó có hàm ngược: x = arctgy

Hàm ngược của hàm y = tgx )

2 2

(   

x qua đường thẳng y = x

iv y = arccotgx:

Hàm số y = cotgx giảm nghiêm ngặt trên (0,) nên nó có hàm ngược x = arccotgy

Hàm ngược của hàm y = cotgx (0 < x < ) là y = arccotgx, đồ thị của nó đối xứng với

đồ thị của y = cotgx (0 < x < ) qua đường thẳng y = x

Định nghĩa 11: Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các

phép toán đại số thông thường (cộng, trừ, nhân, chia với mẫu khác không) và phép lấy hàm hợp từ những hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số

Ví dụ 8: Các hàm số sơ cấp:

13lg

22

3)4sin(

4cos

y

x y

x x

Nếu ta đặt xn = f(n), n = 1, 2, 3, thì dãy số nói trên được viết thành:

x1,x2,x3,…,xnhay viết gọn {xn} Mỗi x1, x2, x3, … được gọi là số hạng của dãy số {xn},

Ký hiệu: nlimx n  a hay xn  a khi n  

n lim n

1 1 1 n

n 1 n x

n N

n cho 1]sao -

1 [ N

1 lim

x

n n

Định nghĩa 4: Dãy số {xn} được gọi là dãy số dần tới khi n nếu M > 0, lớn tùy ý,  Nsao cho  n  N thì xn M

Ký hiệu: nlimxnhay xn khi n

lim

n

2.2.2 Các tính chất

1 Nếu dãy số {xn} có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

2 Nếu dãy số {xn} có nlimx n  a và a > p (hay a < q) thì tồn tại số dương N sao

cho nNxn p(hay xn < q)

3 Nếu dãy {xn} có giới hạn thì nó bị chặn, tức là tồn tại số M > 0 sao cho

xn  

4 Cho ba dãy số {xn}, {yn}, {zn} thõa xn  yn  zn n

Khi đó, nếu nlimxn nlimzn athìnlimyn a

5 Giả sử {xn}, {yn} là các dãy số hội tụ, khi đó ta có:

Dãy số {xn  yn} cũng hội tụ và nlim(xnyn)nlimxn nlimyn Dãy số {xn yn} cũng hội tụ và lim x n .y n nlim x n .nlim y n

xlimn

yn

xlim

n

n n

c) xn = (-1)n.0,999n

Bài 3: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

 Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể:

Nắm được một cách có hệ thống về giới hạn hàm số để ứng dụng về sau

Làm được các bài tập về giới hạn bằng cách tính trực tiếp hoặc sử dụng giới hạn

cơ bản

3.1 Các định nghĩa

Trong phần này ta luôn giả sử f(x) là hàm số được xác định trong lân cận điểm

x0, không nhất thiết phải xác định tại x0

Định nghĩa 1: Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là L nếu với mọi dãy số {xn} trong lân cận của x0 thõa: xn  x0 n và

x( δ

Vì x  0 ta có thể chỉ rút: sinx x 0,

2

x  π    ε   ε  bé tùy ý:

ε δ

3 x

Khi x  3  x – 3  0 ta có:       ε



 6 (x 3) 6 x 33

x

92x

92x3

x0:

x

1x

10

3.2 Các tính chất

Dựa vào giới hạn của dãy số, định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra các tính chất sau:

1 Nếu f(x) có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

2 Nếu hàm số f(x) có giới hạn là L khi x  x0 và L > a (hay L < a) thì trong một lân cận nào đó của x0 (không kể x0) ta có f(x) > a (hay f(x) < a)

3 Nếu f(x)  g(x) trong một lân cận nào đó của điểm x0 và

a f(x)0

6 Giả sử f(x), g(x) và h(x) là những hàm số đƣợc xác định trong một lân cận nào

đó của điểm x0, không nhất thiết xác định tại x0 Khi đó, nếu các hàm số f(x), g(x) và h(x) thỏa mãn điều kiện: g(x)  f(x)  h(x) và

lim [f(x)  g(x)] = lim f(x)  lim g(x)

lim [f(x).g(x)] = lim f(x).lim g(x)

0)(0

limg(x)limf(x)g(x)f(x)

( ) 2 ( 23 5)20





x x

x x

u

2 x 2

f

20 u 20

u

limlim



5)3x2(xx2

lim

2 x

3.3 Các giới hạn cơ bản

1x

xsinlim0

x Đặt biệt 1 1

xelim0

.1



e x





1)1(0

0 x

1)2xx11)(

2xx1(lim

2xx1

x1lim

1)2xx1x(

x2x

6 7x 2 x limx 1

Có: 5

2

x 6

xlim2)1)(x(x 1)(x 6)

(xlim23x2

x

67x2

x

lim

1 x 1

x 1

sin cos

x

x x

tgx

0 x 0

x 0

x 0

2

1 ) 2

2

sin ( 2

sin 2 cos

x 0

e) Tính:

1x

xxlim

xx

1lim

11

(0

xsin1

x sin x sin

1 x

2)(

1(lim

n

n n n

2

21lim

n f)

!)!

1(

)!

1(lim

n n

321lim

n

n n

n n

h)

n

n n

3

1

9

13

11

2

1

4

12

11

2 3

1lim

x x

a x

a x a x

1 1

1 x lim

a

x

)cos(

)cos(

x sin

3sin5sinlim

a x

ga gx

lim

0

xsin

1(lim

x x 3

2 x lim

Bài 4: VÔ CÙNG BÉ VÀ VÔ CÙNG LỚN

 Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể:

Áp dụng được khái niệm vô cùng bé, vô cùng lớn để tính giới hạn của hàm số

Ví dụ 1: a) Khi x  0 thì sinx là VCB vì lim sin x 0

1

là một VCB khi x  x0

 Một hằng số có giá trị tuyệt đối bé đến đâu thì cũng không được coi là hàm VCB, một hằng số dù có giá trị tuyệt đối lớn đến đâu thì nó cũng chỉ là một số lớn chứ không phải là VCL

Định nghĩa 2: Giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi x  x0 Ta nói chúng là các VCB (VCL) so sánh được nếu tồn tại giới hạn

 Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: Giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi x  x0, đồng

thời f(x), g(x) đều là tổng của nhiều VCB thì giới hạn của tỉ số f (x)

xlimx

5x4x3

xtgxsinxlimx 0 2 3 37  x 0 

Định nghĩa 3: Giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi x  x0 Ta bảo chúng là các VCB

tương đương khi x  x0nếu

x2lim1

e

)x21ln(

lim

0 x x

1) Tổng của hai VCB là một VCB (khi x  x0 )

2) Tích của một VCB với một đại lương bị chặn là một VCB (khi x x0)

lim

x x

x x



x x

x tg x

x sin

2cos1lim

2 0

x



x tg

x

121lim

sin 0

Bài 5: HÀM SỐ LIÊN TỤC

 Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể:

Khảo sát được tính liên tục và tính gián đoạn của hàm số

Với x = x – x0gọi là số gia của đối số x

f = f(x) – f(x0) = f(x0+x) – f(x0), gọi là số gia của hàm f(x) ứng với x tại x0

Định nghĩa 3: Hàm f(x) được gọi là liên tục trái (phải) tại điểm x0nếu:

 Hàm f(x) xác định tại điểm x0 và ở trong lân cận trái (phải) điểm x0

Định nghĩa 5: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó không liên tục tại x0 và

x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm f(x)

Người ta đã chia các điểm gián đoạn của f(x) làm hai loại:

+ Nếu x0 là điểm gián đoạn của hàm số và giới hạn trái, phải của hàm số f(x) khi

x dần tới x0 đều là hữu hạn thì x0 gọi là điểm gián đoạn loại một của hàm số f(x), còn 

   được gọi là điểm gián đoạn bỏ được

+ Các điểm gián đoạn không phải là điểm gián đoạn loại một thì gọi là điểm gián đoạn loại hai

Ví dụ 1: Xét sự liên tục trái, phải của hàm số

Chú ý: Điều kiện cần và đủ để cho hàm f(x) liên tục tại x0 là hàm f(x) phải liên tục trái

và liên tục phải tại x0

5.2 Tính liên tục của hàm số sơ cấp

- Mọi hàm số sơ cấp f(x) nếu xác định x0 và ở trong lân cận tại x0 thì f(x) liên tục tại

1 ) x (



 liên tục tại x 1

c) ( x )  x2 1 liên tục tại mọi x 1       x 1 x 1

5.3 Các phép tính về hàm liên tục tại cùng một điểm

1) Nếu f1(x), f2(x) là những hàm số liên tục tại điểm x0 thì tổng, hiệu

(f1(x)  f2(x)); tích f1(x).f2(x); thương 1

2

f (x)

f (x) (f2(x)0) cũng là những hàm số liên tục tại điểm x0

2) Nếu u = u(x) là hàm số liên tục tại x = x0, còn hàm f(u) liên tục tại u = u0 thì hàm f[u(x)] cũng là liên tục tại x0

Ý nghĩa hình học của khái niệm liên tục:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] thì đồ thị của nó là một đường cong liền không bị ngắt quãng nối hai điểm A(a, f(a)); B(b, f(b))

Những tính chất quan trọng của hàm f(x) liên tục trên [a; b]:

i Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] thì nó bị chặn trên [a; b]

ii Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] thì nó giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

iii Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc [a ; b]

x

x x x

0 ,

x x a

2x,x

3 x , a x

3) Ứng dụng sự liên tục để chứng minh phương trình f(x) = 0 Có một nghiệm trong khoảng (a, b)

a Phương trình x3 – 15x +1 = 0 có nghiệm thuộc [– 4;4]

b Phương trình xa k xak xa k 0

3

3 2

2 1

Chương 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Bài 1: ĐẠO HÀM

 Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể:

Hiểu được ý nghĩa thực tiễn của đạo hàm, áp dụng định nghĩa và các công thức đạo hàm cơ bản, tính được đạo hàm của các hàm số

 ) tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo

hàm phải (hay đạo hàm trái) của hàm f(x) tại điểm x0

1.2 Các định lý

Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x là hàm số f(x) có

đạo hàm trái và đạo hàm phải bằng nhau

Định lý 2: Giả sử hàm số f(x) xác định tại x0 và trong lân cận của nó Khi đó nếu hàm f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0

Chú ý:Nếu hàm số f(x) liên tục tại x thì chưa thể suy ra nó có đạo hàm tại x

Ví dụ 2: Hàm số f(x) = x liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó

1.3 Ý nghĩa của đạo hàm

1.3.1 Ý nghĩa hình học

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), trên (C) lấy hai điểm M0(x0, y0), M(x, y) Vị trí giới hạn nếu có của các tuyến M0M khi MM0 dọc theo đồ thị (C) được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm M0

M

(C)

M0

Hình 2.1 1.3.2 Ý nghĩa vật lý

Xét một chất điểm M chuyển động trên trục Ox sao cho tại thời điểm t thì S(t) là khoảng cách đại số OM Sau khoảng thời gian t tức là tại thời điểm t +t chất điểm

ở vị trí M’ với khoảng cách đại số OM'= S(t +t), khi đó quảng đường đi của chất điểm trong khoảng thời gian t là S(t +t) – S(t) Do đó vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian t là tỉ số S(t t) S(t)

t

  

 Bấy giờ giá trị

Định lý 1: Giả sử f(x), g(x) là các hàm số có đạo hàm tại x, khi đó các hàm tổng, hiệu,

tích, thương của chúng cũng có đạo hàm tại x và:

cosx; cosu – sinx; – u’.sinu tgx; tgu

2

1 cos x ; 2

u ' cos ucotgx; cotgu

2

1 sin x

Định nghĩa: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x) trong khoảng (a; b), ta gọi

f’(x) là đạo hàm cấp một của hàm f(x) Bản thân f’(x) cũng là hàm số nên nó có thể có đạo hàm, nếu hàm f’(x) có đạo hàm tại x thuộc khoảng (a; b) thì ta gọi đạo hàm của hàm f’(x) là đạo hàm cấp 2 của hàm f(x) và kí hiệu:

1

2arcsin

x

x

x x

x

cos

sin 1 ln cos

sin

2



3) Tính đạo hàm của các hàm sau đây:

1.)2(

5) Tính các đạo hàm riêng cấp cao :

Bài 2:VI PHÂN

 Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể:

Hiểu được định nghĩa vi phân, các tính chất và áp dụng vào các ứng dụng cơ bản

2.1 Định nghĩa vi phân

Định nghĩa 1: Cho hàm số f(x) xác định tại x0 và trong lân cận của nó Cho x một số gia x tùy ý, nếu tại x0số gia của hàm số y = f(x0 +x) – f(x0) viết được dưới dạng:       y A x ( x)

trong đó A là đại lượng không phụ thuộc vào x và ( x ) là vô cùng bé bậc cao hơn

x (nghĩa là    ( x) 0 khi x   0) thì ta nói hàm số f(x) khả vi tại điểm x0 và đại

lượng Ax được gọi là vi phân của hàm số tại điểm x0

2.2 Mối liên hệ giữa vi phân và đạo hàm

Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) khả vi tại điểm x0là f(x) có đạo hàm hữu hạn tại điểm x0

Chú ý: Vi phân của hàm f(x) thường được viết dưói dạng df f '(x ) x  0 

2 Giả sử y =f(u) và u = u(x) là những hàm số khả vi, khi đó ta có:

df[u(x)] = f’[u(x)] = f’(u).u’(x).dx = f’(u).du

* CÔNG THỨC TÍNH XẤP XỈ

Theo nhận xét: Nếu f(x) khả vi tại điểm x0 và f '(x ) 00  thì

1127

2.3 Các định lý cơ bản của phép tính vi phân

Định nghĩa 2: Hàm số f(x) đạt cực đại (hay cực tiểu) tại điểm x0 (a; b)Dfnếu tồn tại một lân cận của điểm x0sao cho với mọi x thuộc lân cận đó ta có:

f (x) f (x ) (hay f (x) f (x )) 0  0

Điểm x0 gọi là điểm cực đại (hay cực tiểu) của hàm số, điểm cực đại hay cực tiểu gọi chung là điểm cực trị Giá trị hàm số tại điểm cực đại (hay cực tiểu) gọi là giá trị cực đại (hay cực tiểu) và gọi chung là giá trị cực trị

Định lý 5: (Lagrange)

Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trong khoảng (a; b) thì tồn tại

ít nhất một điểm c(a; b) sao cho f (b) f (a)

Nếu các hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b], khả vi trên khoảng (a; b) và

g'(x) 0 x (a,b)    thì tồn tại ít nhất một điểm c(a; b) sao cho

k 0

k 0

   gọi là đa thức Taylor

Khi x0= 0 thì công thức Taylor có dạng

(k ) n

k n

* Một số công thức khai triển Maclaurin

a.) y = (2x – 3)3 Tìm dy, d2y, d3y

b.) y = 1 x  2 Tìm d2y

c.) y = u2 Tìm d10y, nếu u là hàm của x, khả vi đến 10 lần

d.) y = xcos2x Tìm d10y

Bài 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN

 Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể:

Nắm được các tính chất của đạo hàm và vi phân, tính gần đúng giá trị, tính giới hạn, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (a ; b)

x 0

1

1 cos x sin x

2lim

  

2 4

5 2

1) Khi xét f '

g ' trong quy tắc L’Hospital, nếu thấy f '

g ' vẫn có dạng vô định 0

0hoặc 

 thì ta lại có thể áp dụng tiếp quy tắc L’Hospital

2) Quy rắc L’Hospital chỉ là điều kiện đủ để có giới hạn của f (x)

g(x) không phải là điều kiện cần Do đó, nếu không tồn tại giới hạn của f '

g ' thì ta chƣa có kết luận gì về giới hạn của f (x)

Giới hạn này có dạng vô định 1

Ta biến đổi như sau: x

3.2 Khảo sát tính đơn điệu của hàm số

Định lý 3: Giả sử hàm số f(x) khả vi trên (a; b), điều kiện cần và đủ để f(x) tăng (hay

giảm) trên khoảng (a; b) là f '(x) 0 (hayf '(x) 0)   với mọi x(a; b)

* Cực trị của hàm số

Định lý 4: (Điều kiện cần)

Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại x0và khả vi tại x0 thì f '(x) 0 

Định nghĩa 1: Điểm x0D f được gọi là điểm tới hạn của hàm số f(x) nếu f(x) không khả vi tại x0 hoặc f '(x) 0  Điểm tới hạn loạif '(x) 0  còn gọi là điểm dừng của hàm số

Định lý 5: (Điều kiện đủ thứ nhất của cực trị)

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trong lân cận của điểm x0, có đạo hàm trong lân cận đó (có thể trừ điểm x0) Nếu x0 là điểm tới hạn của hàm số vàf '(x) đổi dấu từ dương sang âm (từ âm sang dương) khi đi qua x0 thì x0là điểm cực đại (cực tiểu)

Định lý 6: (Điều kiện đủ thứ hai của cực trị)

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp hai trong lân cận của điểm x0

vàf '(x) 0  Khi đó nếu f ''(x ) 0 (f ''(x ) 0)0  0  thì x0là điểm cực đại (cực tiểu)

Ví dụ 4: 1) Tìm cực trị của hàm số f (x) x 1 x   2