Kỷ yếu Kỳ thi Olympic Toán học sinh viên lần thứ XXI

Hãy tìm hàm s fx.

à N ng, 04/2013

M c l c

1.1 Không gian véc t - Ánh x tuy n tính 3

1.2 Ma tr n - nh th c 4

1.3 Véc t riêng - Giá tr riêng 11

1.4 H ph ng trình tuy n tính 12

1.5 a th c 14

2 Gi i tích 17 2.1 Dãy s 17

2.2 Hàm s 19

2.3 Phép tính vi phân hàm m t bi n 22

2.4 Phép tính tích phân hàm m t bi n 24

2.5 Lí thuy t chu i và tích phân suy r ng 25

II thi chính th c n m 2013 27 3 thi 29 3.1 i s 29

3.2 Gi i tích 30

4 áp án 33 4.1 i s 33

4.2 Gi i tích 34

Ph n I thi d tuy n n m 2013

1 Ch ng 1

i s

1.1 Không gian véc t - Ánh x tuy n tính

Bài 1 (C Tuyên Quang) Cho V là m t không gian véc t trên tr ng

v n = a n1 u1+ a n2 u2+ a nn u n

là c l p tuy n tính khi và ch khi a11a22 a nn ”= 0

Bài 2 ( H Khoa h c Hu ) Cho f : V ≠æ W là m t ánh x tuy n tính

c a các không gian vecto h u h n chi u trên tr ng K Ch ng minh r ng:

1 N u A là m t không gian con k-chi u c a V sao cho A fl Kerf là m t không gian con r-chi u thì dim f(A) = k ≠ r.

2 N u B là m t không gian con c a W sao cho B fl Imf là m t không gian con s-chi u thì dim f≠1(B) = dim V + s ≠ rank(f).

Bài 3 ( H Khoa h c Hu ) Cho V = F[x] và f là m t t ng c u c a V

xác nh b i f(P ) = xP Xác nh các giá tr riêng và vecto riêng c a t

ng c u F : End(V) ≠æ End(V) cho b i F (g) = f ¶ g ≠ g ¶ f.

Bài 4 ( H Khoa h c Hu ) Cho A là m t ma tr n th c vuông c p n và

ϕ A , ψ A là các t ng c u tuy n tính c a không gian vecto th c M(n, R) các ma tr n th c vuông c p n xác nh b i:

-= (a + b + c + d)

- - - -

-.

Bài 10 (C Ngô Gia T - B c Giang) Cho A là ma tr n vuông c p 2013.

Ch ng minh r ng n u det (A≠1) = 2013 thì t t c các ph n t c a A không

th cùng là s nguyên

Bài 11 (C Ngô Gia T - B c Giang) Cho A và B là hai ma tr n vuông

cùng c p 2013 tho mãn AB2A + BA2B = I v i I là ma tr n n v c p

2013 Tìm t ng các ph n t trên ng chéo chính c a ma tr n AB2A

Bài 12 (C Ngô Gia T - B c Giang) Cho A và B là hai ma tr n vuông

cùng c p 2013 tho mãn rank (AB) = rank (A) rank (B) Hãy xác nh

và

B =

S W W U

Tính det (A).

Bài 14 (C Ngô Gia T - B c Giang) Cho A là ma tr n vuông c p 3 có

các ph n t là 0 ho c 1 Tìm giá tr l n nh t c a det (A).

Bài 15(C Ngô Gia T - B c Giang) Cho A =

Q c

Bài 16 (C S ph m Hà N i) Cho A là ma tr n c p 3 ◊ 2, B là ma tr n

c p 2 ◊ 3 sao cho

AB =

Q c

≠2 4 5

R d

Tìm BA.

Bài 17 (C S ph m Hà N i) Có t n t i hay không ma tr n vuông A c p

3 sao cho T r(A) = 0 và A T + A2 = I trong ó T r(A) là t ng các ph n t

trên ng chéo chính c a ma tr n A.

Bài 18 (C S ph m Hà N i) Cho A, B là hai ma tr n vuông c p n sao

cho

A2013= 0, AB = BA, B ”= 0

Ch ng minh r ng rank(AB) Æ rank(B) ≠ 1.

Bài 19 (C S ph m Hà N i) Cho A là ma tr n vuông c p n sao cho

Bài 22 ( H An Giang) Cho A œ M2(C), t Z(A) = {B œ M2(C)|AB =

BA} Ch ng minh r ng | det(A + B)| Ø | det(B)| v i m i B œ Z(A) khi và

ch khi A2= 0

Bài 23 ( H An Giang) Cho dãy các s th c (u n ), (v n ), (w n) c xác nh

b i u0= v0= 1, w0= 2 và

Y _ _

1 2k k(2k + 1)

R d

v i k œ N Ch ng minh r ng t n t i ma tr n C œ M3(Z) sao cho BA = C k

Bài 26 ( H Bà R a – V ng Tàu) Tính t ng t t c các nh th c c a các

ma tr n vuông c p n, (n Ø 2), mà trên m i hàng, m i c t c a m i ma tr n

ó có úng m t ph n t khác không và các ph n t khác không ôi m t

khác nhau, nh n giá tr trong t p h p {1; 2; ; n}.

Bài 27 ( H Bà R a – V ng Tàu) Gi s A là ma tr n vuông c p 2013

th a mãn: v t c a A2 b ng 8052 và v i m i ma tr n B vuông c p 2013 u

vi t c d i d ng B = B1+ B2, trong ó AB1 = B1A và AB2 = ≠B2A

Ch ng minh r ng t n t i s t nhiên m Æ 2013 sao cho:

det(A ≠ I) = (≠3) m

Bài 28 ( H Bà R a – V ng Tàu) Có t n t i hay không hai ma tr n vuông

c p 2 A, B sao cho ma tr n C = AB ≠ BA giao hoán v i A, B và C khác

ma tr n không?

Bài 29 ( H Bà R a – V ng Tàu) Cho A, B là hai ma tr n vuông c p n

th a mãn Im(A) fl Im(B) = {0}, và{u1, u2, , u k }, {v1, v2, , v k}là các t p

con tùy ˝ c a R n Ch ng minh r ng n u k > r(A) + r(B) (r(A) là h ng c a

ma tr n A) thì luôn t n t i các s th c λ1, λ2, , λ k không ng th i b ngkhông sao cho:

λ1Au1+ λ2Au2+ + λ k Au k = λ1Bv1+ λ2Bv2+ + λ k Bv k

Bài 30 ( H Bà R a – V ng Tàu) G i V là t p h p mà m i ph n t c a

nó là m t ma tr n vuông c p n có các ph n t ôi m t khác nhau và là các

s trong t p h p {1; 2; ; n2} Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a r(A) v i

A œ V (r(A) là h ng c a ma tr n A).

Bài 31 ( H Hàng H i).

1 Cho ma tr n A =

S W

Bài 32 ( H Hàng H i) Tính nh th c

det A = det

S W W W W U

.

Bài 33 ( H Hùng V ng – Phú Th ) Cho s th c a0, dãy {a0, a1, a2, , a2013}

l p thành c p s c ng công sai d = 4 Tìm i u ki n c a a0 ma tr n Asau là kh ngh ch

A =

Q c c c c c

Bài 34 ( H Khoa h c Hu ) Tìm t t c các ma tr n A vuông c p n

sao cho v i m i ma tr n B vuông c p n ta u có det(A + 2013.B) = det A + 2013 det B.

Bài 35 ( H Hùng V ng – Phú Th ).

1 Cho A, B œ Mat(n, R) sao cho t n t i (α, β) œ (R ≠ {0})2 th a mãn:

AB + αA + βB = 0.

Ch ng minh AB = BA.

2 Ch ng minh r ng v i m i A, B, C œ Mat(2, R) ta luôn có:

(AB ≠ BA)2C ≠ C(AB ≠ BA)2= O.

Bài 36 ( H Ngo i Th ng – Hà N i) Cho A là ma tr n th c c 3 ◊ 2, B

là ma tr n c 3 ◊ 2 th a mãn

AB =

Q c

R d

.

Bài 38 ( H Bách Khoa – Hà N i) Cho A và B là hai ma tr n vuông c p

n th a mãn rank(AB) = rank(B) Ch ng minh r ng ABX = ABY …

BX = BY v i m i X,Y.

Bài 39 ( H Bách Khoa – Hà N i) Cho A và B là hai ma tr n tr c giao vuông

c p n th a mãn det(AB) < 0 Ch ng minh r ng det A + det B = det(A + B).

Bài 40 ( H Bách Khoa – Hà N i) Cho ma tr n A vuông c p n Ch ng

minh r ng n u trace(A T A) + n = 2.trace(A) thì A kh ngh ch.

Bài 41 ( H Bách Khoa – Hà N i) Cho A và B là hai ma tr n vuông c p 2013

th a mãn AB +2012A+2013B = 0 Ch ng minh r ng rank(A)+rank(B) ”= 2013.

Bài 42 ( H Khoa h c Hu ) Ch ng minh r ng n u ma tr n vuông A c p

Ch ng minh r ng B2013= 0 và det(A ≠ 2011I) ”= 0.

Bài 44 ( H Khoa h c Hu ) Cho ma tr n th c A =

Q c

Xác nh ma tr n A.

Bài 49 ( H S ph m Hà N i 2) Cho A, B œ Mat (n, R) , n Ø 2 th a mãn

rank (AB ≠ BA) = 1.

Ch ng minh r ng (AB ≠ BA)2

= 0

1.3 Véc t riêng - Giá tr riêng

Bài 50 ( H Bách Khoa - Tp HCM) Cho 2 ma tr n A =

Bài 51 ( H Bách Khoa - Tp HCM) Cho A, B œ M n (R) giao hoán c

v i nhau Ch ng minh r ng n u A có n tr riêng phân bi t thì B chéo hóa

c

Bài 52 (C SP Hà N i) Cho A là ma tr n vuông c p 3 có d ng

A =

Q c

R d

Xác nh các s th c a sao cho lim

1 1 2

1 3

1 4 2

1 1 23 24

3 1

3

2 1 34

4 1

4 2

4

3 1

R d

d Hãy tìm các

giá tr riêng và véc t riêng c a B.

Bài 55 ( H Hùng V ng – Phú Th ) Cho A là ma tr n th c vuông c p 3,

v t (v t là t ng các ph n t trên ng chéo chính) là 9 T ng các ph n t

trên m i c t c a A b ng 4 và det A = 24 Xác nh các giá tr riêng c a A.

Bài 56 ( H Ngo i Th ng – Hà N i) Cho A = (a ij)nxn v i aij œ Z.

1 Ch ng minh r ng n u m i s nguyên k là m t giá tr riêng c a A thì det(A) chia h t cho k.

2 Gi s m là m t s nguyên và m i dòng c a A có t ng b ng m

(qn

j=1 aij= m(i = 1, n) Ch ng minh r ng det(A) chia h t cho m.

Bài 57 ( H Bách Khoa – Hà N i) Cho ma tr n A = [a ij ] vuông c p n ,

có v t khác 0 th a mãn a ik a kj = a kk a ij , ’i, j, k Ch ng minh r ng A chéo

hóa c

Bài 58 ( H Khoa h c Hu ) Cho n, p œ Nú, A œ M(n ◊ p, F) và B œ

M (p ◊ n, F) Ch ng minh ng th c v a th c c tr ng: (≠x) n P BA (x) = (≠x) p P AB (x).

Bài 59 ( H Khoa h c Hu ) Cho A œ M(3, R) sao cho A3+ A = 0 và

A ”= 0 Ch ng minh r ng A ng d ng v i ma tr n B =

Q c

_ _ _

úx + úy + úz = 0

úx + úy + úz = 0

úx + úy + úz = 0

Hai ng i l n l t i n m i s th c vào m i ch ánh d u * Ch ng minh

r ng ng i i u bao gi c ng có th làm cho h ph ng trình ch có nghi m

t m th ng Ng i th hai có luôn t c i u ó không? i v i m t h

ph ng trình tuy n tính thu n nh t 2013 n, 2013 ph ng trình thì sao?

_ _ _

Bài 65 ( H Ngo i Th ng – Hà N i) Cho 2n s th c d ng a1, a2, , a n

và b1, b2, , b n Xét h ph ng trình tuy n tính sau:

Y _ _ _ _

fÕ(x i) = 0

Bài 70 ( H C n Th ) Cho ma tr n A œ M2013(R) sao cho A2013 +

2012A2012 = 2013A2011 Ch ng minh r ng T rA Æ 2013 (v i T rA là v t

c a A).

Bài 71 ( H C n Th ) Cho C = (c ij ) œ M2013(R) sao cho c ij= 1, v i m i

i, j H i có t n t i ma tr n A = (a ij ) và B = (b ij ) thu c M2013(R) (v i a ij ,b ij

là các s nguyên) th a i u ki n 2013AB ≠ 2011BA = C? T i sao?

Bài 72 ( H C n Th ) Gi i h ph ng trình tuy n tính sau:

v i m, n là các s t nhiên Ch ng minh r ng A suy bi n khi và ch khi

Bài 76 ( H Khoa h c Hu ) Cho P (x) là a th c b c n v i h s th c có

nnghi m th c phân bi t khác 0 Ch ng minh r ng các nghi m c a a th c

Bài 78 ( H S Ph m Hà N i 2) Cho P (x) , Q (x) œ R [x] là các a th c

b c d ng b t k th a mãn

P1x52+ xQ1x32=11 + x + x222013.

Ch ng minh r ng: P(1)= Q(1) = 0.

2.2 Hàm s

Bài 90. V i |q| < 1, tìm t t c các hàm s f : R æ R liên t c t i 0 và th a mãn f(x) + f(qx) = 0 v i m i x œ R.

Bài 91 ( H Hàng H i) Cho hàm f liên t c trên o n [0, 2], kh vi trên

kho ng (0, 2) Ch ng minh r ng t n t i s c œ (0, 2) sao cho:

fÕ(c) + 1 ≠ c

c(2 ≠ c) sh(f (c)) = 0,

trong ó sh(x) là hàm s c nh ngh a b i: sh(x) = e x +e ≠x

2

Bài 92 ( H Th y L i Hà N i) Ch n m t trong hai câu sau:

1 Ch ng minh r ng : không th t n t i m t hàm s kh vi liên t c

Bài 95 (HV Công Nghê B u Chính Vi n Thông) Cho hàm s f : R æ R

th a mãn

f (0) = 2013, f (1) = 2014, f (x + y) + f (x ≠ y) = 2f(x)cos πy

2 ’x, y œ R Hãy tìm hàm s f(x).

Bài 96 ( H B c Liêu) Cho

Bài 100 Có t n t i hay không hàm s f : (0, 1) æ (0, 1) th a mãn ði u

Ch ng minh r ng: [g(x)]2

Æ (x + 1)3 v i m i x Ø 0.

Bài 108 (C S ph m Nam nh) Cho f : R æ R th a mãn:

Bài 114 ( H B c Liêu) Ch ng minh r ng không t n t i hàm f : [≠1, 1] æ

Bài 117 (C Tuyên Quang) Cho f là hàm kh vi n c p 2 trên o n

[a, b] và fÕ(a) = fÕ(b) = 0 Ch ng minh t n t i c œ (a, b) sao cho |fÕÕ(c)| Ø

Bài 119 (C Ngô Gia T B c Giang) Cho hàm s f(x) có o hàm v i

m i x œ (a, b), b > a > 0 Ch ng minh r ng t n t i c œ (a, b) sao cho

af(b) ≠ bf(a)

a ≠ b = f (c) ≠ c.f

/ (c).

Bài 120 (C Ngô Gia T B c Giang) Cho hàm s f(x) cùng o hàm c a

nó liên t c trên o n trên o n [0, 1] Gi s f(0) = 0, f(1) = 1.

Ch ng minh r ng t n t i hai s α, β sao cho 0 < α < β < 1 th a mãn:

f / (α).f / (β) = 1.

f (x2013)dx

B 2013

.

Bài 122 (HV Công Ngh B u Chính Vi n Thông) Cho hàm f (x) liên t c

trên [0, 1] Ch ng minh r ng: T n t i c œ [0, 1] sao cho

Bài 124 (HV Công Ngh B u Chính Vi n Thông).

1 Cho hàm u(x) kh vi liên t c trên (0, +Œ) và

u(x) > 0 ’x œ (0, +Œ), uÕ(x) > 0 ’x œ (0, +Œ),

và

ˆ +Œ 1

dx u(x) + uÕ(x) < +Œ.

Ch ng minh r ng: ´+Œ

1

dx u(x) < +Œ.

t Ch ng minh ´+Œ

1

dx u(x) c ng h i t

Bài 126 (C Tuyên Quang) Cho f là hàm kh vi liên t c trên o n [a,b],

Bài 127 (C Tuyên Quang) Cho f là m t hàm s ch n liên t c trên

[≠a, a], a > 0; g là m t hàm liên t c nh n giá tr d ng trên [≠a, a] và

Bài 128 (C Ngô Gia T B c Giang) Tính tích phân I = ´01 dx

2.5 Lí thuy t chu i và tích phân suy r ng

Bài 130 ( H Hàng H i) Ch ng minh r ng chu i sau h i t và tính t ng

Bài 133 ( H Bách khoa Hà N i) Ch ng minh ph ng trình sin (cos x) = x

và cos (sin x) = x có nghi m duy nh t trên [0, π

2] G i x1, x2 là nghi m c a

hai ph ng trình nói trên, ch ng minh x1< x2

Ph n II thi chính th c n m 2013

, n Ø 1 Ch ng minh r ng các hàm s này c l p tuy n tính

trong không gian C[0, 1] các hàm liên t c trên o n [0, 1].

-.

Câu 4 Cho a là m t s nguyên l và b1, , b n là các s nguyên sao cho

8 .Hãy ch ra r ng d u ng th c không th x y ra

Câu 6 Thí sinh ch n m t trong hai câu:

6a. Cho (a n) là dãy s d ng sao cho chu i s q Œ

2 Æ

A

x y

Bβ

+

3y x

= π2

5.3 8.6.4.2 .

8 .Các ng th c trên x y ra khi và ch khi

f (cos4x) = k cos3x sin x; f (sin4x) = h sin3x cos x,

i u này kéo theo

k cos3x sin x + h sin3x cos x © 1 ’x œ [0, π2].

Câu 6 (5 i m)