Bài tập lớn Xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan từ bài toán tự luận Chủ đề Thể tích khối đa diện

Nhiều người cho rằng đơn giản chỉ cần từ bài toán tự luận thêm vào các đáp án lựa chọn thì sẽ thành một câu hỏi trắc nghiệm nhưng làm như vậy vô tình ta bỏ qua nhiều đơn vị kiến thức có

Trường Đại học sư phạm Huế

Khoa Toán

Sinh viên: Nguyễn Thị Duyên

Mã SV: 13S1011022

Lớp: Toán 4T

Huế, ngày 12 tháng 4 năm 2017

Hiện nay, ở kỳ thi THPT Quốc gia, môn Toán đã được thay đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan Sự thay đổi hình thức đánh giá này được cho là hợp lý Tuy vẫn còn nhiều nhược điểm, song trắc nghiệm khách quan có nhiều ưu điểm vượt trội để đánh giá thí sinh trên quy mô toàn quốc như việc chấm điểm diễn ra nhanh và khách quan hơn, kiểm tra được trên một diện rộng kiến thức trong thời gian ngắn, quan trọng nhất là đánh giá được các mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng

Tuy hình thức đánh giá đã được đổi mới sang trắc nghiệm nhưng trong hệ

thống SGK dành cho THPT hiện hành đa số các bài toán đều được đưa ra dưới hình thức tự luận, chỉ có một số ít ỏi các câu hỏi trắc nghiệm nằm ở phần ôn tập chương song vẫn chưa được phong phú, đa dạng

Vì vậy chúng ta có thể đặt ra câu hỏi có thể chuyển các bài toán tự luận thường gặp thành các câu hỏi dưới dạng trắc nghiệm được hay không Câu trả lời

là có thể Vậy làm thể nào để chuyển từ bài toán tự luận sang hệ thống các câu hỏi

trắc nghiệm Nhiều người cho rằng đơn giản chỉ cần từ bài toán tự luận thêm vào các đáp án lựa chọn thì sẽ thành một câu hỏi trắc nghiệm nhưng làm như vậy vô tình ta bỏ qua nhiều đơn vị kiến thức có thể khai thác và phân tích được thành câu

hỏi được đưa ra trong giả thuyết bài toán tự luận

Do vậy, ta cần phải khai thác tối đa các kiến thức có trong bài toán tự luận từ

đó làm cơ sở xậy dựng thành một hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm khách quan theo các mức độ từ dễ đến khó, và theo mức độ tư duy của học sinh (nhận biết, thông hiểu, vận dụng)

Bài viết dưới đây sẽ cho chúng ta xem một vài ví dụ cụ thể về việc xậy dựng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan từ bài toán tự luận

CH Ủ ĐỀ: TH Ể TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Đầu tiên, ta xét ví dụ sau:

Ví d ụ 1: Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông có cạnh 𝑎 biết 𝑆𝐴

vuông góc với đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 và (𝑆𝐵𝐶) hợp với đáy (𝐴𝐵𝐶𝐷) một góc 600 Tính thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷

Phân tích bài toán: Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là sử dụng các dữ kiện đề cho

để thành lập một mô hình toán Bước này liên quan đến kiến thức về khả năng vẽ hình không gian ở đây là hình biểu diễn của một hình trong không gian cụ thể là hình biểu diễn của một hình vuông trong không gian là hình bình hành Giả sử rằng

học sinh có kiến thức này và khả năng này em sẽ vẽ một hình như sau:

Sau đó, học sinh này cần phải xác định rõ góc giữa hai mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) và

(𝐴𝐵𝐶𝐷) là góc nào bằng cách sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng chính

là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó Ở bài toán này cụ thể ta có:

𝑆𝐴 ⊥ 𝐵𝐶

𝐴𝐵 ⊥ 𝐵𝐶} ⇒ (𝑆𝐴𝐵) ⊥ 𝐵𝐶 ⇒ 𝑆𝐵 ⊥ 𝐵𝐶 Suy ra,

(𝑆𝐵𝐶) ∩ (𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝐵𝐶

𝑆𝐵 ⊥ 𝐵𝐶

𝐴𝐵 ⊥ 𝐵𝐶 } ⇒ ((𝑆𝐵𝐶), (𝐴𝐵𝐶𝐷)) = 𝑆𝐵𝐴̂ = 600

C

D

S

Tiếp theo, học sinh cần phải nhớ được công thức tính thể tích khối đa diện cụ thể ở bài toán này là thể tích khối chóp là:

𝑉 = 13 𝐵ℎ trong đó: 𝐵: diện tích đáy

ℎ: độ dài chiều cao của khối chóp

Từ công thức này học sinh phải đi tìm các yếu tố còn thiếu dựa vào các dữ kiện ban đầu mà đề cho Cụ thể là xác định diện tích đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 bằng công thức diện tích hình vuông:

𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑎2

Và xác định chiều cao của khối chóp chính là cạnh 𝑆𝐴 (vì theo giả thuyết ta có 𝑆𝐴 vuông góc với mặt đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷) Tam giác 𝑆𝐴𝐵 vuông tại 𝐴 nên ta có:

𝑡𝑎𝑛𝑆𝐵𝐴̂ = 𝑆𝐴

𝐴𝐵 ⇒ 𝑆𝐴 = 𝑡𝑎𝑛𝑆𝐵𝐴̂.𝐴𝐵 = 𝑡𝑎𝑛600 𝑎 = 𝑎√3

Cuối cùng, các em chỉ cần thay các yếu tố vừa tìm được vào công thức tính thể tích như trên và tính toán bằng máy tính cầm tay

Qua các phân tích trên, chúng ta có thể thấy bài toán đang cố gắng để làm nhiều

thứ cùng một lúc Nếu các em thất bại ở ngay bước đầu, câu hởi tự luận sẽ không

thể cho ta biết điều gì về khả năng của học sinh về các khía cạnh khác của câu hỏi Bên cạnh đó, trắc nghiệm khách quan có thể giúp chúng ta khắc phục nhược điểm

đó, chính là giúp tìm ra những phần nào của câu hỏi học sinh có thể trả lời được Vấn đề đặt ra là người viết câu hỏi trắc nghiệm xây dựng một loạt các câu hỏi để kiểm tra tất cả các khía cạnh có thể phân tích được của bài toán gốc, từ đó có thể xây dựng được nhiều câu hỏi trắc nghiệm khác nhau tùy theo yêu cầu về mức độ tư duy của học sinh

Cụ thể, xét bài toán trên ta có thể phân tích thành nhiều câu hỏi trắc nghiệm theo các cấp độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng như sau:

x Nhận biết:

Câu 1: Khối chóp đều 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có mặt đáy là hình:

A Hình bình hành

B Hình chữ nhật

C Hình thoi

D Hình vuông

Với câu hỏi này có thể giúp kiểm tra kiến thức về hình chóp Đa số học sinh

thường chỉ học các công thức để giải các bài toán mà bỏ qua phần lý thuyết vì vậy các câu hỏi lý thuyết như thế này giúp học sinh cải thiện được tình trạng đó

Câu 2: Thể tích của khối chóp có diện tích đáy 𝐵 và chiều cao ℎ là;

A. 𝑽 = 𝟏𝟑𝑩𝒉

B 𝑉 = 𝐵ℎ

C 𝑉 = 12𝐵ℎ

D 𝑉 = √32 𝐵ℎ

Ở câu hỏi này chủ yếu củng cố cho học sinh công thức tính diện tích khối chóp Câu hỏi này có thể được hỏi dưới một hình thức khác như sau:

Câu 3: Khối đa diện nào sau đây có công thức tính thể tích là 𝑉 = 13𝐵ℎ (trong đó

𝐵 là diện tích đáy, ℎ là chiều cao):

A Khối lăng trụ

B Khối chóp

C Khối lập phương

D Khối hộp chữ nhật

Câu 4: Cho một khối chóp có thể tích bằng 𝑉 Khi giảm 13 lần diện tích đa giác đáy thì thể tích khối chóp lúc đó bằng:

A 𝑉9

B 𝑉6

C. 𝑽

𝟑

D 27𝑉

Đối với các câu hỏi ở mức độ nhận biết thường để kiểm tra các kiến thức về lý thuyết, định nghĩa, khái niệm, công thức, ký hiệu,… mà không đòi hỏi khả năng tư duy ở học sinh Thông thường trong các đề thi trắc nghiệm đây là phần cho điểm giúp các học sinh yếu kém đạt điểm

x Thông hiểu:

Câu 5: Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông có cạnh 𝑎 biết 𝑆𝐴 vuông góc với đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 và mặt bên (𝑆𝐵𝐶) hợp với đáy một góc 600 Thể tích

khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 bằng:

A. 𝒂 𝟑 √𝟑

𝟑

B 3𝑎3√3

C 𝑎36√3

D 𝑎3√3

Đối với các câu hỏi trắc nghiệm, các đáp án nhiễu thường cũng có vẻ hợp lý dùng

để đánh lừa học sinh, tránh tính trạng học sinh dùng phương pháp loại trừ để suy ra đáp án câu hỏi

Ở câu hỏi này, đáp án đúng là A Các đáp án nhiễu B, C, D chủ yếu là học sinh sai

ở bước xác định công thức thể tích hoặc diện tích:

B: Nhầm lẫn 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3𝐵ℎ

C: Nhầm lẫn 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 =12𝑎2

D: Nhầm lẫn 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐵ℎ

x Vận dụng:

Câu 6: Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông có cạnh 𝑎 biết 𝑆𝐴 vuông góc với đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 và mặt bên (𝑆𝐵𝐶) hợp với đáy một góc 600 Khoảng cách từ 𝐴 đến (𝑆𝐵𝐶) bằng:

A. 𝒂√𝟑

𝟐

B 𝑎√3

C 𝑎√34

D Không thể xác định được

Đối với câu hỏi này, yêu cầu học sinh phải tư duy tìm tòi phương pháp của lời giải khi không có gợi ý ở trong câu hỏi như mục thông hiểu

Quay trở lại câu hỏi này, ta cần xác định khoảng cách từ 𝐴 đến (𝑆𝐵𝐶) Để tính khoảng cách người ta thường dựa vào công thức tính thể tích:

𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 13 𝑆𝑆𝐵𝐶 𝑑(𝐴, (𝑆𝐵𝐶))

⇒ 𝑑(𝐴, (𝑆𝐵𝐶)) = 3𝑉𝑆𝑆.𝐴𝐵𝐶

𝑆𝐵𝐶

Vậy đáp án của câu hỏi này là đáp án A

Với các đáp án nhiễu, người ra đề cũng cần đưa ra một cách hợp lý nhằm đánh lừa các học sinh Cụ thể,

Đáp án B: Học sinh cho rằng 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷

Đáp án C: Học sinh nhớ nhầm 𝑆𝑆𝐵𝐶 = 𝑆𝐵 𝐵𝐶

Còn nhiều trường hợp sai khác vẫn đưa ra các kết quả như trên, do đó chú ý khi làm bài trắc nghiệm cần phải hết sữa chú ý

Đáp án D: Nhiều học sinh yếu kém cho rằng nếu câu hỏi không gợi ý rõ nêu rõ tường minh phương pháp thì chính là không thể xác định được đáp án vì thiếu thông tin cần thiết

Trên đây là một ví dụ cơ bản về việc xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan theo các mức độ tư duy nhận biết, vận dụng, thông hiểu từ một bài toán tự luận thường gặp

C

D

S

Ta thấy, 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 12𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 nên ta có

thể tính được 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 =𝑎36√3

Và, 𝑆𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝑆𝐵𝐴𝐴𝐵̂ =0,5𝑎 = 2𝑎

⇒ 𝑆𝑆𝐵𝐶 = 12 𝑆𝐵 𝐵𝐶 = 12 2𝑎 𝑎 = 𝑎2

Suy ra, 𝑑(𝐴, (𝑆𝐵𝐶)) = 3.𝑎3√36

𝑎 2 =𝑎√32

Ví d ụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều 𝐴𝐵𝐶 𝐴′𝐵′𝐶′ có cạnh đáy bằng 𝑎 Gọi G là

trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶 biết 𝐴′𝐺 = 𝑎 Tính thể tích khối lăng trụ trên theo a ?

Phân tích bài toán:

Sau đó, học sinh cần phải phân tích bài toán, xác định các thông tin cần có từ đó đưa ra phương pháp giải quyết Ở bài toán này, đầu tiên các em phải xác định được công thức tính thể tích khối lăng trụ:

𝑉 = 𝐵ℎ trong đó 𝐵: diện tích đáy

ℎ: chiều cao của khối lăng trụ

Vậy để tính 𝑉𝐴𝐵𝐶.𝐴′𝐵′𝐶′ ta cần tính 𝑆𝐴𝐵𝐶 và 𝐴𝐴′

Tam giác 𝐴𝐵𝐶 đều nên 𝑆𝐴𝐵𝐶 =𝑎24√3

Vì 𝐴𝐵𝐶 𝐴′𝐵′𝐶′ là lăng trụ tam giác đều nên 𝐴𝐴′ ⊥ (𝐴𝐵𝐶), suy ra 𝐴𝐴′ ⊥ 𝐴𝐺

Do đó, 𝐴𝐴′ = √𝐴′𝐺2− 𝐴𝐺2 = √𝑎2−13𝑎2 = 𝑎√63

Cuối cùng, các em chỉ việc ráp vào công thức thể tích và tính toán bằng máy tính

cầm tay Qua phân tích trên ta thấy rõ rang câu hỏi đang cố gắng để làm nhiều thứ cùng một lúc

Nếu các em thất bại ngay ở bước vẽ hình cụ thể là xác định khái niệm khối lăng trụ tam giác đều thì ta không thể biết them được điều gì về khả năng của học sinh ở

G H C

B

B'

A

Nhiệm vụ đầu tiên cũng như quan trọng nhất của

học sinh khi giải một bài toán hình không gian

chính là vẽ hình một cách chính xác và trực quan

nhất Ở bài toán này để vẽ hình đúng, học sinh cần

nắm được thế nào là hình lăng trụ tam giác đều,

cũng như cách xác định trọng tâm một tam giác

Giả sử học sinh có kiến này và khả năng này em sẽ

vẽ một hình bên

các khía cạnh khác của câu hỏi Sau đây là một số ví dụ về các câu hỏi trắc nghiệm được xây dựng dựa vào bài toán trên nhằm khai thác tối đa các kiến thức của học sinh tùy vào các mức độ tư duy:

x Nhận biết:

Câu 1: Hình lăng trụ tam giác đều là hình :

A Lăng trụ có đáy là tam giác đều

B Lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều

C Lăng trụ có tất cả các cạnh bằng nhau

D Lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau

Câu hỏi này giúp học sinh củng cố lại kiến thức về hình lăng trụ, đây cũng chính là

một giả thuyết quan trọng của bài toán đưa ra nhằm xác định đúng chiều cao của khối lăng trụ

x Thông hiểu:

Câu 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều 𝐴𝐵𝐶 𝐴′𝐵′𝐶′ có cạnh đáy bằng 𝑎 Gọi G là

trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶 biết 𝐴′𝐺 = 𝑎 Chiều cao của khối lăng trụ trên bằng:

A. 𝒂√𝟔

𝟑

B 𝑎√336

C 𝑎2

D 𝑎

Theo như phân tích ở trên, ta tính xác định được chiều cao của khối lăng trụ đã cho

là 𝐴𝐴′ = 𝑎√63 Vậy đáp án của bài toán là A

Các phương án nhiễu B, C, D khai thác những sai lầm của học sinh khi giải quyết

vấn đề như các kiến thức về trọng tâm tam giác, xác định sai chiều cao của khối

trụ

Câu 3: Cho hình lăng trụ tam giác đều 𝐴𝐵𝐶 𝐴′𝐵′𝐶′ có cạnh đáy bằng 𝑎 Gọi G là

trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶 biết 𝐴′𝐺 = 𝑎 Thể tích khối lăng trụ trên bằng:

A 𝒂𝟑𝟒√𝟐

B 𝑎3√118

C 𝑎38√3

D 𝑎34√3

Đối với câu hỏi này đòi hỏi học sinh tính toán nhiều bước, đầu tiên xác định chiều cao, diện tích đáy và cuối cùng thay vào công thức tính thể tích, ta sẽ được đáp án

là A

Các sai lầm khi tính toán chiều cao của lăng trụ như đã đề cập đến ở câu hỏi trên dĩ nhiên sẽ kéo theo sai lầm ở câu hỏi này Dựa vào điều đó, giáo viên có thể đưa ra các phương án nhiễu như trên

x Vận dụng:

Câu 4: Tỉ số thể tích khối chóp 𝐴′𝐵′𝐶′𝐶𝐵 và khối lăng trụ 𝐴𝐵𝐶 𝐴′𝐵′𝐶′ là:

A 32

B. 𝟐

𝟑

C 13

D 12

Đáp án của câu hỏi này là đáp án B

Đầu tiên, ta cần xác định 𝑉𝐴′𝐵′𝐶′𝐶𝐵 = ?

G H C

B

B'

A

Cách 1: Tính trực tiếp

Gọi 𝐻 là trung điểm 𝐵𝐶

Ta có:

𝐴𝐻 ⊥ 𝐵𝐶

𝐴𝐻 ⊥ 𝐵𝐵′} ⇒ 𝐴𝐻 ⊥ (𝐵′𝐶′𝐶𝐵)

Hay, 𝐴𝐻 chính là chiều cao của khối chóp

𝐴′𝐵′𝐶′𝐶𝐵

Suy ra, 𝑉𝐴′𝐵′𝐶′𝐶𝐵 = 13𝐴𝐻 𝑆𝐵′𝐶′𝐶𝐵

= 13.𝑎√32 𝑎.𝑎√63 =𝑎36√2

Từ đó, ta có thể xác định được tỉ số:

𝑉𝐴′𝐴𝐵𝐶

𝑉𝐴𝐵𝐶.𝐴′𝐵′𝐶′ =

𝑎3√2 6

𝑎3√2 4

= 23 Cách 2: Tính gián tiếp thông qua 𝑉𝐴′𝐴𝐵𝐶

Ta có, 𝑉𝐴′𝐴𝐵𝐶 =13 𝐴𝐴′ 𝑆𝐴𝐵𝐶 =13.𝑎√63 𝑎24√3 =𝑎312√2

⇒ 𝑉𝑉𝐴′𝐴𝐵𝐶

𝐴𝐵𝐶.𝐴′𝐵′𝐶′ =

𝑎3√2 12

𝑎3√2 4

= 13

Mà, 𝑉𝐴′𝐴𝐵𝐶 + 𝑉𝐴′𝐵′𝐶′𝐶𝐵 = 𝑉𝐴𝐵𝐶.𝐴′𝐵′𝐶′ nên 𝑉𝐴′𝐵′𝐶′𝐶𝐵

𝑉 𝐴𝐵𝐶.𝐴′𝐵′𝐶′ = 1 −13 =23 Các sai lầm học sinh dễ mắc dẫn đến đáp án nhiễu là:

Đáp án A: Nhầm tỉ số thành 𝑉𝐴𝐵𝐶.𝐴′𝐵′𝐶′

𝑉𝐴′𝐵′𝐶′𝐶𝐵 nên dẫn đến kết quả bị nghịch đảo Do đó

học sinh cần chú ý đọc kỹ yêu cầu câu hỏi

Đáp án C: Học sinh cho rằng 𝑉𝐴′𝐴𝐵𝐶 = 𝑉𝐴′𝐵′𝐶′𝐶𝐵

mà 𝑉𝐴′𝐴𝐵𝐶 + 𝑉𝐴′𝐵′𝐶′𝐶𝐵 = 𝑉𝐴𝐵𝐶.𝐴′𝐵′𝐶′ nên suy ra kết quả là 12

Đáp án D: Vẫn sai lầm 𝑉𝐴′𝐴𝐵𝐶 = 𝑉𝐴′𝐵′𝐶′𝐶𝐵 nhưng học sinh có tính toán tương tự như phần giải đúng ở cách 2 ra được 𝑉𝐴′𝐴𝐵𝐶

𝑉 𝐴𝐵𝐶.𝐴′𝐵′𝐶′ = 𝑎3√212

𝑎3√2 4

= 13 Suy ra đáp án là 1

3

Ở các câu hỏi vận dụng giúp kích thích khả năng tư duy của học sinh, không còn

gò bó rập khuôn như các câu hỏi thông hiểu

Như vây, trên đây là hai ví dụ thực tế cách xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan từ một bài toán tự luận Nguyên tắc xây dựng chính là khai thác tối đa các kiến thức có chứa trong bài toán tự luận để hình thành một hệ thống các câu hỏi

trắc nghiệm theo các mức độ từ dễ đến khó và theo các cấp độ tư duy của học sinh (nhận biết, thông hiểu, vận dụng)