Bài tập lớn Chủ đề Phương trình đường tròn

Việc cơ bản học sinh phải làm được đó là phải đọc được các dữ kiện cần thiết khi cho biết phương trình của hai đường tròn và mô tả bài toán bằng hình vẽ.. Tuy nhiên, nếu học sinh thất bạ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

KHOA TOÁN

MÔN H ỌC: ĐÁNH GIÁ TRONG GIÁO DỤC TOÁN

Sinh viên th ực hiện: Trần Thị Bích Thủy

Mã sinh viên: 12S1011155

L ớp: Toán 4T

Hu ế, tháng 4 năm 2017

T Ừ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN TRẮC NGHIỆM

KHÁCH QUAN

Bài toán:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hai đường tròn ( ) , ( ) cùng đi qua điểm ( ) Viết phương trình đường thẳng qua

và cắt hai đường tròn ( ) và ( ) lần lượt tại sao cho

L ời giải

Cách 1:

Đường tròn ( ) có tâm ( ), bán kính ; đường tròn ( ) có tâm ( ), bán kính , suy ra:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Gọi là đường thẳng cần tìm và ⃗ ( ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng

Đường thẳng đi qua điểm ( ) nên phương trình tham số của có dạng:

{

Vì nên ( ) ( )

Ta có:

( ) ( ) ( )

[ ( )

( )

( ) ( ) ( )

[ ( )

( )

Suy ra:

( ) ( ) ( ) ( ) Theo đề bài, ta có:

( )

( ) [

( )

( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )

[

Với , ta chọn ⃗ ( ), khi đó phương trình của là:

( ) { hay ( )

Với ta chọn ⃗ ( ) khi đó phương trình của là:

( ) { hay ( )

Nh ận xét:

Bài toán này là một tổng hợp nhiều các kiến thức và kỹ năng liên quan đến đường thẳng

và đường tròn Việc cơ bản học sinh phải làm được đó là phải đọc được các dữ kiện cần thiết khi cho biết phương trình của hai đường tròn và mô tả bài toán bằng hình vẽ

Tiếp theo, học sinh phải biết cách viết phương trình của một đường thẳng và biết cách

kiểm tra một điểm có thuộc đường thẳng hay không Bên cạnh đó, học sinh còn phải biết vận

dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm vào bài toán này

Cuối cùng, theo yêu cầu của đề bài, học sinh sử dụng các kỹ thuật tính toán để đưa ra đáp

án cho bài toán này

Được phân tích theo cách này, ta thấy rõ ràng bài toán 1 đang cố gắng để làm nhiều thứ cùng một lúc Tuy nhiên, nếu học sinh thất bại ngay ở bước đầu, thì bài toán 1 không thể cho ta

biết điều gì về khả năng của các em về các khía cạnh khác của câu hỏi, chẳng hạn, các em có thể nêu được phương trình tham số của một đường thẳng và tìm được các giao điểm của đường

thẳng với đường tròn hay không… Trắc nghiệm khách quan (TNKQ) cho chúng ta cơ hội để tìm

ra những phần nào của bài toán mà học sinh có thể trả lời được

Với phương trình của đường tròn như ở bài toán trên, một câu hỏi có thể được sử dụng để

kiểm tra kiến thức của học sinh như sau:

( ) lần lượt là:

A) ( ) √ B) ( ) √

C) ( ) √ D) ( ) √

Phân tích các phương án:

Ở câu này, nếu học sinh nắm vững kiến thức về phương trình đường tròn và công thức tính bán kính , thì học sinh sẽ chọn nhanh đáp án đúng là C)

Ở đáp án A), học sinh quên cách xác định tâm và nhớ sai công thức tính bán kính của đường tròn, ở đây, học sinh tính √

Đối với đáp án B), học sinh xác định được tâm nhưng sử dụng công thức tính bán kính bị sai như

ở trên

Đối với đáp án D) thì ngược lại, học sinh quên cách xác định tâm nhưng tính đúng bán kính của đường tròn

Bước thứ hai của bài toán là khả năng gọi ra được phương trình tham số của đường thẳng

và biết cách kiểm tra một điểm có thuộc đường thẳng không Sau đây là một số câu trắc nghiệm giúp kiểm tra các kỹ năng này

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm ( ) và điểm ( ) Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm là:

A) { B) {

C) { D) {

Phân tích các phương án:

Ở câu này, nếu học sinh đã thành thạo việc viết phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm, thì học sinh sẽ tính nhanh vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và chọn đáp án đúng là B)

Ở đáp án A), học sinh tính toán cẩu thả nên bị sai tọa độ VTCP

Đối với đáp án C), học sinh bị hỏng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng, ở đây,

học sinh để sai vị trí tọa độ của điểm và tọa độ VTCP trong phương trình

Đối với đáp án D), học sinh cẩu thả nên chọn sai

{

Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc đường thẳng ?

A) ( ) B) ( ) C) ( ) D) ( )

Phân tích các phương án:

Ở câu này, học sinh nào hiểu được ứng với mỗi t trong phương trình là một điểm duy nhất, thì

em đó sẽ nhanh chóng chọn đáp án đúng ở đây là A)

Đáp án B), điểm ( ) ứng với

Đáp án C), điểm ( ) ứng với

Đáp án D), điểm ( ) ứng với

Bước thứ ba là kiểm tra kỹ năng xác định giao điểm của đường thẳng với đường tròn

Một số câu hỏi phù hợp để kiểm tra kỹ năng này của học sinh như sau:

nào sau đây là đúng:

I ( ) có tâm là ( ) và bán kính là ;

II Khoảng cách từ tâm của ( ) đến đường thẳng bằng √ ;

III cắt ( ) tại hai điểm có √ ;

Phân tích các phương án:

Ở câu hỏi này, học sinh có thể nhanh chóng thấy mệnh đề I là đúng Đối với mệnh đề II và III,

học sinh phải nhận ra được công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng là một công cụ hỗ trợ thích hợp Từ đó, sử dụng các kỹ thuật tính toán, học sinh sẽ chọn được đáp án đúng là C)

Đối với đáp án B), học sinh tính cẩu thả hoặc do quên công thức

Đối với đáp án D), học sinh xác định được tâm và bán kính của đường tròn, nhưng còn gặp khó khăn trong việc vận dụng vào các bài tập nâng cao

của điểm ( ) sao cho ( ) đạt giá trị lớn nhất là:

A) ( ) B) ( ) C) ( √ ) D) ( √ )

Phân tích các phương án:

Câu hỏi này thuộc mức độ khả năng bậc cao, nên để giải bài tập này, học sinh cần có những suy

luận hợp lý, một số kỹ thuật để tính toán và đưa ra đáp án đúng là B)

Đối với đáp án A), điểm trong trường hợp này có ( ) đạt giá trị nhỏ nhất

Các đáp án C) và D) nhằm gây sự chú ý cho một số học sinh không giải được, do đó, các em có

thể lựa chọn các đáp án này

Ngoài ra, ở bài toán này, ta có thể xây dựng thêm câu TNKQ để kiểm tra học sinh về kỹ năng tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ Câu hỏi như sau:

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng và điểm ( ) Tọa

độ điểm thuộc sao cho √ là:

A) ( ) B) ( ) C) ( ) D) ( )

Phân tích các phương án:

Câu hỏi này có hai điểm thỏa mãn Tuy nhiên, chỉ có một đáp án đúng là A) Đáp án B) nếu đúng phải là ( ) Điểm ở đáp án D) cũng thuộc đường thẳng nhưng không thỏa mãn yêu cầu của bài

Cách 2:

Gọi là đường thẳng cần tìm

Đường tròn ( ) có tâm ( ), bán kính ; đường tròn ( ) có tâm ( ), bán kính , suy ra:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Trường hợp 1: Hai điểm nằm cùng phía với điểm

Khi đó, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Suy ra là ảnh của qua phép vị tự tâm , tỉ số 2

Gọi ( ) là ảnh của đường tròn ( ) qua phép vị tự tâm , tỉ số 2 Vì ( ) nên ( )

Nếu ( ) có tâm ( ) và bán kính là thì

Hơn nữa, ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

( )

( ) ( )

( )

Vì ( ) và ( ) ( ) nên suy ra là giao điểm khác của ( ) và ( ) Đường thẳng cần tìm chính là trục đẳng phương của ( ) và ( )

( ) ( )

hay

Trường hợp 2: Hai điểm nằm cùng phía với điểm

Khi đó, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Suy ra là ảnh của qua phép vị tự tâm , tỉ số 2

Gọi ( ) là ảnh của đường tròn ( ) qua phép vị tự tâm , tỉ số 2 Vì ( ) nên ( )

Nếu ( ) có tâm ( ) và bán kính là thì

Hơn nữa, ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

( )

( ) ( )

( )

Vì ( ) và ( ) ( ) nên suy ra là giao điểm khác của ( ) và ( ) Đường thẳng cần tìm chính là trục đẳng phương của ( ) và ( )

( ) ( )

hay

Vậy có hai đường thẳng thỏa yêu cầu đề bài là:

Nh ận xét:

Khác với cách tiếp cận bài toán theo cách 1, ở đây, bài toán được nhìn nhận theo khía

cạnh các phép biến hình, mà cụ thể là phép vị tự tâm với tỉ số vị tự

Có thể học sinh một số trường không được giới thiệu về khái niệm trục đẳng phương Tuy nhiên, nếu học sinh đã nhìn nhận được bài toán theo hướng đi này, thì các em vẫn có thể suy

ra được phương trình của đường thẳng cần tìm mà không cần biết đến khái niệm này

Tương tự như cách 1, việc cơ bản học sinh phải làm được đó là phải đọc được các dữ

kiện cần thiết khi cho biết phương trình của hai đường tròn, cụ thể là xác định được tâm, bán kính và mô tả bài toán bằng hình vẽ Từ đó, học sinh nhận thấy được có hai trường hợp như trên

Tiếp theo, với giả thiết , ứng với mỗi trường hợp, học sinh phải đưa được về

dạng biểu thức vectơ Để nhìn nhận được bài toán này khía cạnh phép vị tự, học sinh phải hiểu

được thế nào là phép vị tự tâm , tỉ số , một số tính chất của nó và đã thực hành một số bài tập

cơ bản

Cuối cùng, một kỹ năng nữa mà học sinh phải có đó là xác định được tọa độ giao điểm

của hai đường tròn

Được phân tích theo cách này, ta thấy rõ ràng bài toán đang cố gắng để làm nhiều thứ cùng một lúc Tuy nhiên, nếu học sinh thất bại ngay ở bước đầu, thì bài toán không thể cho ta

biết được nhận thức của học sinh như thế nào về các phép biến hình, đặc biệt là phép vị tự Trắc nghiệm khách quan (TNKQ) cho chúng ta cơ hội để tìm ra những phần nào của bài toán mà học sinh có thể trả lời được

Việc xây dựng các câu hỏi để kiểm tra kiến thức của học sinh về phương trình đường tròn

đã ở trên

Để kiểm tra kiến thức của học sinh về các phép biến hình, ta có thể sử dụng một số câu

hỏi sau:

Câu 1: Trong các phép bi ến hình sau, phép nào không phải là phép dời hình?

A) Phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng;

B) Phép đồng nhất;

C) Phép vị tự tỉ số -1;

D) Phép đối xứng trục

Phân tích các phương án:

Phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng không phải là phép dời hình Chọn A)

Câu 2: Trong các m ệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A) Có một phép tịnh tiến biến mọi điểm thành chính nó;

B) Có một phép đối xứng trục biến mọi điểm thành chính nó;

C) Có một phép quay biến mọi điểm thành chính nó;

D) Có một phép vị tự biến mọi điểm thành chính nó

Phân tích các phương án:

A), C) và D) đúng Chọn B)

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn ( ) ( ) và điểm ( ) Phương trình của đường tròn ( ) là ảnh của đường tròn ( ) qua phép vị tự ( ) là:

A) B)

) D)

Phân tích các phương án:

Ở câu hỏi này, nếu học sinh hiểu được định nghĩa phép vị tự tâm tỉ số , bằng việc xác định tâm và bán kính của ( ), học sinh nhanh chóng chọn đáp án đúng là A)

Đối với đáp án B), học sinh hiểu được định nghĩa phép vị tự ( )nhưng xác định sai tọa độ tâm

của đường tròn ( ), cụ thể tâm ( )

Đối với đáp án C), học sinh chưa hiểu được định nghĩa phép vị tự ( ), cụ thể, ( )

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Tương tự đối với đáp án D), ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Ngoài ra, học sinh còn phải biết xác định tọa độ giao điểm của hai đường tròn Câu hỏi phù hợp để kiểm tra kỹ năng này là:

( ) Tọa độ giao điểm của ( ) và ( ) là:

A) ( ) B) ( ) C) ( ) D) ( )

Phân tích các phương án:

Ở câu hỏi này, học sinh chỉ cần hiểu để đưa bài toán về giải hệ hai phương trình hai ẩn và sử

dụng phương pháp đại số Từ đó, chọn được đáp án đúng là A)

Đối với các đáp án B), C), D), học sinh có thể chưa hiểu cách để xác định tọa độ giao điểm của hai đường tròn hoặc do giải cẩu thả dẫn đến sai lầm

- H ẾT-