2; 1;5 3 Đáp án: C Phân tích: Để chọn được phương án đúng thì học sinh cần biết được cách tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết phương trình tham số và các vectơ chỉ phương của
Trang 1KHOA TOÁN
- -
H Ồ THỊ ĐỨC THẢO
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
Hu ế, tháng 4 năm 2017
Trang 2Bài toán 1:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ( 4; 2;4)A và
đường thẳng
3 2
1 4
d y t t
Bài giải:
Cách 1: Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )P và ( )Q , trong đó ( )P là mặt phẳng đi qua A và chứa d , ( )Q là mặt phẳng đi qua Avà
vuông góc với d
Đường thẳng d đi qua ( 3 ; 1 ; 1) B và có vectơ chỉ phương u(2 ; 1 ; 4)
Ta có: AB(1 ; 3 ; 5)
Mặt phẳng ( )P nhận u và AB làm vectơ chỉ phương, suy ra ( )P có một vectơ
7
n u AB
Mặt phẳng ( )P đi qua ( 4 ; 2 ; 4)A và nhận n(1 ; 2 ; 1) làm vectơ
1(x 4) 2(y 2) 1(z hay 4) 0 x2y z 4 0
Vì ( )Q nên ( )d Q nhận u(2 ; 1 ; 4) làm vectơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng ( )Q là:
2(x 4) 1(y 2) 4(z hay 24) 0 x y 4z10 0
( )P ( )Q
1 3 2 3
Cách 2: Vì đi qua A và vuông góc với d nên phải nằm trong mặt phẳng
Mặt phẳng ( )P nhận vecto chỉ phương u(2 ; 1 ; 4) của d làm vectơ pháp
tuyến
Phương trình của mặt phẳng ( )P là: 2x y 4z10 0
Trang 3Gọi M d ( )P thì M( 3 2 ;1 t t; 1 4 )t và M d
Vậy ( 1;0;3)M
x y z
Cách 3: Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên d thì M d
Suy ra: M( 3 2 ;1 t t; 1 4 )t
Khi đó: AM (1 2 ;3t t; 5 4 )t
Ta có: AM d AM u 0 2(1 2 ) 1(3 t t) 4( 5 4 )t 0 t 1
x y z
Phân tích: Bài toán này có nhiều cách giải, học sinh có thể viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng( )P và ( )Q , trong đó mp( )P chứa
A và d , mp( )Q chứa A và vuông góc với d (cách 1) hoặc xác định giao điểm
trên phương trình tham số đề cho thì câu hỏi tự luận sẽ không thể cho ta biết điều
cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết phương trình tham số,
viết phương trình mặt phẳng khi biết tọa độ điểm đi qua và vectơ pháp tuyến
phương trình đường thẳng
Trang 4Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
1 2 1 2 3 5
z
3
a
C.a6; 1;0 D. 2; 1;5
3
Đáp án: C
Phân tích: Để chọn được phương án đúng thì học sinh cần biết được cách tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết phương trình tham số và các vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với nhau, đây cũng là điểm mà học sinh
3
u
6; 1;0
(tương ứng với hệ số tự do) với tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng (tương ứng với hệ số của tham số t)
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua
trong các phương trình sau đây?
A 2x3y4z13 0 B 4 3x y z 13 0
C 2x3y4z13 0 D 2x3y4z 9 0
Đáp án: A
Trang 5Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh cần nhớ được phương trình
mặt phẳng đi qua điểm M x y z( ; 0 0 ; ) 0 có vectơ pháp tuyến n ( ; ; )a b c là:
a xx b y y c zz
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể nhầm lẫn tọa độ
điểm M với tọa độ vectơ pháp tuyến (phương án B), hay sai sót, bất cẩn trong
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )
d
A x y 2z 1 0 B x y 2z 1 0
C x y 2z 1 0 D x y 2z 3 0
Đáp án: A
Phân tích: Để làm được câu hỏi này, học sinh cần biết rằng khi một mặt phẳng
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể sai sót trong quá trình tính toán
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 3
3
x y z
C.
1 6
4
3 2
D.
2 3
1 2
4 1
Đáp án: D
Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần có sự chuyển đổi linh
Các phương án gây nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh lúng túng khi đường ẳng được biểu diễn dưới dạng giao của 2 mặt phẳng (phương án A), dạng
Trang 6chính tắc của phương trình đường thẳng (phương án B ), dạng khác của phương
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (4 ; -3 ; 2)A và đường
d
Đáp án: B
Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh có thể làm theo hai cách: tìm
giao điểm M của mặt phẳng đi qua A vuông góc với đường thẳng d và đường
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể sai sót trong quá trình tính toán
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 :
1 2
x t
d y t
z t
và
mặt phẳng ( ) : 2P x y z 2 0 Giao điểm M của d và (P) có tọa độ là gì?
Đáp án: A
Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh cần biết được rằng khi điểm
M thì (1 ; d M t t ; 1 2 ) t sau đó thế tọa độ điểm M vào phương trình mặt
phẳng (P) để tìm giá trị t
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể nhầm lẫn trong quá trình tính toán
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng song song với hai đường thẳng
Trang 7:
2
1
x t
z t
có vectơ pháp tuyến là gì?
A n ( 5;6; 7) B n (5; 6;7)
C n ( 5; 6;7) D n ( 5;6;7)
Đáp án:D
Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần tìm được vecto chỉ
hay chính tắc, sau đó tính được tích có hướng của 2 vectơ chỉ phương để tìm được vectơ pháp tuyến
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể sai sót về dấu trong quá trình tính toán
Bài toán 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng
( )P đi qua (3;0;0), (0;0;1)A C và tạo với mp(Oxy) một góc 60
Bài gi ải: Mặt phẳng ( )P đi qua A C, và tạo với mp(Oxy) một góc 60 nên ( )P cắt
Oytại điểm (0; ;0)B b khác gốc O b 0
x y z b
hay bx3y3bz3b 0 Suy ra: n P ( ;3;3 )b b
Mặt phẳng (Oxy)có vecto pháp tuyến là k(0;0;1)
Theo giả thiết, ta có:
0
cos( , ) cos 60
2
9 9
6 10 9
p
b
n k
Phân tích: Nếu từ giả thiết mặt phẳng ( )P đi qua điểm A Ox và tạo với mp
(Oxy) một góc 60 học sinh không suy ra được (P) sẽ cắt trục Oy tại một điểm
Trang 8khác với gốc tọa độ thì câu hỏi tự luận sẽ không cho ta biết được khả năng của
theo đoạn chắn, tính góc giữa hai mặt phẳng dựa trên góc giữa hai vectơ pháp tuyến
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi( ) là mặt phẳng cắt ba trục
tọa độ tại ba điểm (0 ; 0 ; 3), (0 ; -1 ; 0), (4 ; 0 ; 0)A B C Phương trình của ( ) là gì?
x y z
x y z
x y z
x y z
Đáp án: B
Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần nắm được phương trình
mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua các điểm ( ; 0 ; 0)A a , B b( ;0;0),C(0;0; )c là
1
x y z
Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh nhớ sai vế phải
phương trình theo thứ tự các điểm đề cho (phương án A,D)
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng ( ) : 2P x y 3z và ( ) :1 0 Q x Gọiy z 5 0 là góc giữa hai mặt phẳng ( )P và ( ) Q Tính cos
A cos 3
14
14
C cos 2 3
14
14
Đáp án: C
Phân tích: Để chọn được phương án đúng học sinh cần nắm được công thức
cos
n n
n n
Trang 9Các phương án gây nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể làm thiếu dấu giá trị tuyệt đối ở tử số trong công thức trên, dẫn đến cosnhận giá trị âm (phương án B và D) hay sai sót trong quá trình tính toán (phương án A và D)
Bài toán 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
( 2 ; 1 ; 2), (0 ; 4 ; 1), (5 ; 1 ; 5) , ( 2 ; 8 ; 5)
a Chứng minh: A B C D, , , là bốn đỉnh của một tứ diện
b Tính thể tích khối tứ diện ABCD
Bài gi ải:
a Ta có: AB(2 ; 3 ; 1) , AC (7 ; 0 ; 7)
(0;7; 7)
, , ,
A B C D không đồng phẳng nên là các đỉnh của một tứ diện
ABCD
V AB AC AD
Phân tích: Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng tích có hướng để kiểm tra tính đồng phẳng của các điểm trong không gian và tính thể tích tứ diện Tuy nhiên nếu
điểm , , ,A B C D đồng phẳng
Bước 1: AB ( 3 ; 1 ; 1) ; AC (4 ; 1 ; 2) ;AD(1 ; 0 ; m 2)
AB AC
Bước 3: , , ,A B C D đồng phẳng AB AC AD, 0 m 5 0
Trang 10Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
Đáp án: C
Phân tích: Câu hỏi này kiểm tra kiến thức tổng hợp về tích vô hướng và điều kiện
để các điểm trong không gian đồng phẳng, khả năng phân tích, theo dõi các bước
giải để tìm ra lỗi sai
Câu 2 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, choM(2 ; 1 ; 1), (3 ; 0 ; 1), N
Tìm tọa độ của điểm Q
A (0 ; 7 ; 0)Q B (0 ; 7 ; 0)Q hoặc (0 ; 8 ; 0)Q
C (0 ; 8 ; 0)Q D (0 ; 7 ; 0)Q hoặc (0 ; 8 ; 0)Q
Đáp án: B
Phân tích: Để chọn được phương án đúng, học sinh cần nắm được công thức tính
6
MNPQ
V MN MP MQ Các phương án nhiễu được đưa ra dựa trên việc học sinh có thể xét thiếu trường
KẾT LUẬN
để giải quyết bài toán