Bài tập lớn Chủ đề Nguyên hàm tích phân và ứng dụng

Phân tích: Để tính được tích phân này, học sinh cần phải hiểu được phương pháp tính tích phân từng phần, phương pháp đổi biến số để tìm được các nguyên hàm tương ứng, học sinh phải có

KHOA TOÁN



TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN CÂU H ỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

CHỦ ĐỀ:

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Sinh viên: Hoàng Lê Thu H ằng

L ớp: Toán 4T

Mã sinh viên: 13S1011044

Giáo viên hướng dẫn: Thầy Nguyễn Đăng Minh Phúc

Hu ế, tháng 4 năm 2017

Chủ đề: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng

Bài toán 1: Tính tích phân sau: 𝑰 = ∫𝟑(𝒙𝒙 𝐥𝐧 𝒙𝟐+ 𝟏)𝟐𝒅𝒙

Bài gi ải:

Đặt {𝑑𝑣 =𝑢 = ln 𝑥 𝑥

(𝑥2+ 1)2𝑑𝑥 ⇒

{

𝑑𝑢 =𝑑𝑥𝑥

𝑣 = −2(𝑥21+ 1)

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có:

𝐼 = −2(𝑥ln 𝑥2+ 1)|

1

3

+ ∫32𝑥(𝑥12+ 1)𝑑𝑥

1

= −ln 320 +12∫3𝑥(𝑥21+ 1)𝑑𝑥

1

= −ln 320 +12∫ (3 1𝑥−𝑥2𝑥+ 1) 𝑑𝑥

1

= −ln 320 +12(ln 𝑥 −12ln(𝑥2+ 1))|

1 3

= −ln 320 +12(ln 3 −12ln 10 +12ln 2)

=209 ln 3 −14ln 5 Vậy 𝐼 =209 ln 3 −1

4ln 5

Phân tích:

Để tính được tích phân này, học sinh cần phải hiểu được phương pháp tính tích phân từng phần, phương pháp đổi biến số để tìm được các nguyên hàm tương ứng, học sinh phải có đầy đủ các kiến thức cơ bản về phép tính đạo hàm của các hàm cơ bản, phép tính đạo hàm đối với hàm hợp

Ngay từ đầu, các em phải xác định được phương pháp tính tích phân nào sẽ được sử dụng trong bài toán này Sau khi xác định được phương pháp làm (phương pháp tích phân từng phần),

học sinh cần phải hiểu được lượng nào sẽ đặt làm 𝑢 và lượng nào đặt làm 𝑑𝑣 để tìm nguyên hàm Sau đó, bằng những kỹ năng tính toán của bản thân, các em sẽ thu được kết quả

Câu h ỏi trắc nghiệm:

Câu 1: Tính 𝐼 = ∫ 𝑃(𝑥) ln 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎 (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ), trong đó 𝑃(𝑥) là đa thức, bằng phương pháp tích phân từng phần

A Đặt {𝑢 = 𝑃(𝑥) 𝑑𝑣 = ln 𝑥 𝑑𝑥 ⟹ {𝑑𝑢 = 𝑃

′(𝑥)𝑑𝑥

𝑣 = 1𝑥 ⟹ 𝐼 =

𝑃(𝑥)

𝑥 |𝑎

𝑏

− ∫ 𝑃′(𝑥)

𝑥

𝑏

B Đặt {𝑢 = 𝑃(𝑥) 𝑑𝑣 = ln 𝑥 𝑑𝑥 ⟹ {𝑑𝑢 = 𝑃

′(𝑥)𝑑𝑥

𝑣 =1𝑥 ⟹ 𝐼 =

𝑃(𝑥)

𝑥 |𝑃(𝑎)

𝑃(𝑏)

− ∫ 𝑃′(𝑥)

𝑥

𝑃(𝑏)

C Đặt { 𝑢 = ln 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ⟹ {𝑑𝑢 =

1

𝑥𝑑𝑥

𝑣 = ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑄(𝑥)⟹ 𝐼 = ln 𝑥 𝑄(𝑥)|𝑎

𝑏 − ∫𝑏𝑄(𝑥)𝑥

D Đặt { 𝑢 = ln 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ⟹ {𝑑𝑢 =

1

𝑥𝑑𝑥

𝑣 = ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑄(𝑥) ⟹ 𝐼 = ln 𝑥 𝑄(𝑥)|𝑒𝑎

𝑒𝑏 − ∫𝑒 𝑄(𝑥)𝑥

𝑏

Đáp án: C

Học sinh thường gặp sai lầm khi làm các bài toán tích phân liên quan đến hàm 𝑦 = ln 𝑥, các

em bị nhẫm lẫn giữa đạo hàm và nguyên hàm dẫn đến việc đặt sai các lượng 𝑢 và 𝑑𝑣 (phương

án nhiễu A, B)

Ngoài ra, một số học sinh mắc sai lầm trong việc chọn cận, các em nghĩ rằng ở phương pháp tích phân từng phần ta cũng phải đổi cận như ở phương pháp đổi biến số dẫn đến việc đưa ra kết quả sai (phương án nhiễu B, D)

Câu 2: Tìm nguyên hàm 𝐹(𝑥) = ∫(𝑥2+ 1)𝑥 2𝑑𝑥

A 𝐹(𝑥) = 𝑥21+ 1+ 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ B 𝐹(𝑥) = −𝑥21+ 1+ 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ

C 𝐹(𝑥) = 2(𝑥21+ 1)+ 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ D 𝐹(𝑥) = −2(𝑥21+ 1)+ 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ

Đáp án: D

Để tìm nguyên hàm này, học sinh sẽ dử dụng phương pháp đổi biến số, đặt 𝑡 = 𝑥2 + 1 Và

ở đây, học sinh thường mắc phải các sai lầm về kỹ năng đạo hàm, kỹ năng tìm nguyên hàm các hàm cơ bản dẫn đến sai sót (phương án nhiễu A, B, C)

Câu 3: Khi tính tích phân 𝐼 = ∫3𝑥(𝑥21+ 1)𝑑𝑥

1 , một học sinh làm như sau:

Bước 1: 𝑥(𝑥21+ 1) =1𝑥−𝑥2𝑥+ 1

Bước 2: 𝐼 = ∫ (3 1𝑥−𝑥2𝑥+ 1) 𝑑𝑥

1 = (ln 𝑥 − ln(𝑥2+ 1))|13 = ln𝑥2𝑥+ 1|

1

3

Bước 3: 𝐼 = ln103 − ln12= ln 3 − ln 5

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Sai từ Bước 1 B Sai từ Bước 2 C Sai từ Bước 3 D Đúng

Đáp án: B

Học sinh thường thiếu giá trị 12 khi tìm nguyên hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑥+ 1 dẫn đến sai sót trong quá trình làm bài (phương án nhiễu D)

Bài toán 2: Tính di ện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝒚 = |𝒙𝟐− 𝟒𝒙 + 𝟑|

và đường thẳng 𝒅: 𝒚 = 𝒙 + 𝟑

Bài gi ải:

Gọi 𝑆 là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

𝑦 = |𝑥2− 4𝑥 + 3| và đường thẳng 𝑑: 𝑦 = 𝑥 + 3

Gọi 𝑆1 và 𝑆2 lần lượt là phần diện tích hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 với đường thẳng 𝑑: 𝑦 =

𝑥 + 3 và trục hoành

Suy ra: 𝑆 = 𝑆1− 2𝑆2

Ta có:

 𝑥2− 4𝑥 + 3 = 𝑥 + 3 ⟺ 𝑥2− 5𝑥 = 0 ⟺ [𝑥 = 0𝑥 = 5.

Suy ra: 𝑆1 = ∫ |(𝑥5 2 − 4𝑥 + 3) − (𝑥 + 3)|𝑑𝑥

0

= ∫ |𝑥5 2− 5𝑥|𝑑𝑥

0

= ∫ (5𝑥 − 𝑥5 2)𝑑𝑥

0

= (5𝑥22−𝑥33)|

0 5

=1256

 𝑥2− 4𝑥 + 3 = 0 ⇔ [𝑥 = 1𝑥 = 3.

Suy ra: 𝑆2 = ∫ |𝑥3 2− 4𝑥 + 3|𝑑𝑥

1

= ∫ (−𝑥3 2+ 4𝑥 − 3)

= (−𝑥33+ 2𝑥2− 3𝑥)|

1 3

= 0 − (−43) =43 Vậy: 𝑆 = 𝑆1− 2𝑆2 =1256 − 2.43=1096 (đvdt)

Phân tích:

Để tính được diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = |𝑥3− 4𝑥 + 3| và đường thẳng 𝑑: 𝑦 = 𝑥 − 3, ta cần xác định được phần hình phẳng đó trên mặt phẳng tọa độ Do

đó, việc vẽ được đồ thị hai hàm số này đóng vai trò quan trọng trong việc định hướng giải quyết bài toán

Sau khi xác định được phần hình phẳng cần tính diện tích, học sinh cần phải có khả năng

quan sát, tư duy, suy luận để tìm được cách tính sao cho hợp lý, dễ dàng và thuận tiện

Ngoài ra, học sinh cần phải hiểu được cách tính một tích phân có chứa giá trị tuyệt đối, biết xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối phục vụ cho việc tính toán được chính xác

Câu h ỏi trắc nghiệm:

Câu 1: Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) được cho như hình vẽ:

Trong các đồ thị sau, đâu là đồ thị của hàm số 𝑦 = |𝑓(𝑥)|?

Đáp án: B

Nhiều học sinh còn nhầm lẫn về cách vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = |𝑓(𝑥)| và 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) do chưa hiểu rõ bản chất của mỗi loại hàm số (phương án nhiễu A) Cũng vì chưa hiểu rõ bản chất của hàm số 𝑦 = |𝑓(𝑥)| mà học sinh có những cách vẽ hình không đúng (phương án nhiều C, D)

Câu 2: Cho hai hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) và y= 𝑔(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏] Gọi 𝐷 là phần hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đó và các đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏) Gọi

𝑆𝐷 là diện tích của hình phẳng 𝐷 Lúc đó, 𝑆𝐷 được biểu diễn theo công thức nào?

A 𝑆𝐷 = ∫ |𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥𝑏

𝑎 B 𝑆𝐷 = ∫ |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥𝑏

C 𝑆𝐷 = ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥𝑏

𝑎 D 𝑆𝐷 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥𝑏

Đáp án: B

Một vài học sinh chưa hiểu rõ bản chất của vấn đề nên việc học, nhớ công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số là máy móc, dẫn đến việc bị nhầm lẫn giữa hai phép tính cộng và trừ (thay vì tính 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥), học sinh lại tính 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) (phương án nhiễu A, C)

Ngoài ra, một sai lầm rất nhiều học sinh mắc phải chính là quên đặt biểu thức 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) vào trong dấu giá trị tuyệt đối Từ đó, học sinh đưa ra kết quả sai (phương án nhiễu C, D)

Câu 3: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏] Gọi 𝐷 là phần hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (như hình

vẽ dưới đây)

Gọi 𝑆𝐷 là diện tích của hình phẳng 𝐷 Khi đó, 𝑆𝐷 được tính bởi công thức nào?

A 𝑆𝐷 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑐

𝑎 − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑐 B 𝑆𝐷 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑐

𝑎 + ∫ 𝑓(𝑑)𝑑𝑥𝑏

C 𝑆𝐷 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥0

𝑎 − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

0 D 𝑆𝐷 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥0

𝑎 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

Đáp án: A

Học sinh thường gặp khó khăn trong việc xác định dấu của biểu thức 𝑓(𝑥) khi 𝑥 thuộc vào một khoảng giá trị nào đó dẫn đến việc nhẫm lẫn về dấu khi loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối của một biểu thức (phương án nhiều B)

Học sinh chưa phân biệt được |𝐴|, với 𝐴 là một biểu thức đại số ẩn 𝑥, và |𝑥| nên khi xét

dấu của biểu thức 𝐴 học sinh lại xét đến các trường hợp 𝑥 ≥ 0, 𝑥 < 0 thay vì phải tìm các giá

trị 𝑥 để 𝐴 ≥ 0, 𝐴 < 0 Điều này dẫn đến việc học sinh chọn sai cận để tính tích phân (phương

án nhiễu C, D)

Bài toán 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H giới hạn bởi đồ thị

hàm số 𝒚 = √𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝟒𝒙 + 𝐬𝐢𝐧𝟒𝒙 , trục hoành và hai đường thẳng 𝒙 = 𝝅𝟐,

𝒙 = 𝝅 quanh trục hoành

Bài gi ải:

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục hoành là:

𝑉 = 𝜋 ∫ (1 + cos𝜋𝜋 4𝑥 + sin4𝑥)𝑑𝑥

2

= 𝜋 ∫ (2 − 2 sin𝜋𝜋 2𝑥 cos2𝑥)𝑑𝑥

2

= 𝜋 ∫ (2 − 2.𝜋𝜋 1 − cos 2𝑥2 1 + cos 2𝑥2 ) 𝑑𝑥

2

= 𝜋 ∫ [2 −𝜋𝜋 12(1 − cos22𝑥)] 𝑑𝑥

2

= 𝜋 ∫ [2 −12(1 −1 + cos 4𝑥

2 )] 𝑑𝑥

𝜋 𝜋 2

= 𝜋 ∫ (𝜋𝜋 74+14cos 4𝑥) 𝑑𝑥

2

= 𝜋 [(74𝑥 +161 cos 4𝑥)|𝜋

2

𝜋

]

= 𝜋 [(7𝜋4 +161) − (7𝜋8 +161)] = 7𝜋82 Vậy: 𝑉 =7𝜋82 (đvtt)

Phân tích:

Để giải được bài tập này, đầu tiên học sinh phải hiểu và nhớ được công thức tính thể tích

khối tròn xoay được tạo thanh khi quanh một phần hình phẳng quanh trục 𝑂𝑥

Nhận thấy rằng hàm số dưới dấu tích phân là một hàm lượng giác, nên học sinh cần phải có

kỹ năng biến đổi và nhớ các công thức lượng giác, các tính chất cơ bản để đơn giản hóa phép tính tích phân

Ngoài ra, học sinh cần phải có đầy đủ các kiến thức cơ bản về nguyên hàm của các làm lượng giác cơ bản để tránh nhầm lẫn dẫn đến sai sót

Câu h ỏi trắc nghiệm:

Câu 1: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎; 𝑏] Gọi H là phần tích hình phẳng giới

hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 Khi

xoay H quanh trục 𝑂𝑥 ta thu được một khối tròn xoay Hãy tính thể tích 𝑉 của khối tròn xoay này

A 𝑉 = ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥𝑏

𝑎 B 𝑉 = 𝜋 ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥𝑏

C 𝑉 = ∫ 𝑓𝑏 2(𝑥)𝑑𝑥

𝑎 D 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓𝑏 2(𝑥)𝑑𝑥

Đáp án: D

Học sinh thường hay nhầm lẫn giữa hai công thức tính diện tích hình phẳng và tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân nên chọn sai công thức để làm bài (phương án nhiễu A, B) Đối

với bài toán thể tích, một sai lầm học sinh hay gặp đó chính là quên nhân kết quả tích phân với

số 𝜋 (phương án nhiễu A, C)

Câu 2: Trong các bi ểu thức sau, biểu thức nào sai?

A cos 2𝑥 = 2 cos2−1 B cos 2𝑥 = 1 − 2 sin2𝑥

C cos 2𝑥 = sin2𝑥 − cos2𝑥 D cos 2𝑥 = cos2𝑥 − sin2𝑥

Đáp án: C

Câu 3: Với 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ và 𝑎 ≠ 0, cho các biểu thức:

(1) ∫ sin(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = − cos(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ

(2) ∫ cos(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 =1𝑎sin(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ

(3) ∫cos12𝑥𝑑𝑥 = ∫(tan2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ

(4) ∫sin12𝑥𝑑𝑥 = ∫(cot2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = cot 𝑥 + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ

Trong các biểu thức trên, có bao nhiêu biểu thức đúng?

A 0 B 1 C 2 D 3

Đáp án: C (Hai biểu thức đúng là (2) và (3))

Khi tính nguyên hàm ∫ 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 , học sinh thường thiếu giá trị1𝑎 (phương án nhiễu (1))

Học sinh nhầm lẫn về dấu của các nguyên hàm chứa sin 𝑥 và cos 𝑥 (phương án nhiễu (4))

Câu 4: Khi tính tích phân 𝐼 = ∫ sin𝜋𝜋 3𝑥

2

cos2𝑥 𝑑𝑥, một học sinh làm như sau:

Bước 1: 𝐼 = ∫ sin𝜋𝜋 3𝑥

2

cos2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos𝜋𝜋 2𝑥

2

(1 − cos2𝑥) sin 𝑥 𝑑𝑥

0 = ∫ (𝑡−1 2− 𝑡4)𝑑𝑡

0

Bước 3: 𝐼 = (𝑡3

3 −

𝑡5

5)|0

−1

= −152 Bài làm của học sinh đó đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Đúng B Sai từ Bước 1 C Sai từ Bước 2 D Sai từ Bước 3 Đáp án: C

Học sinh thường mắc sai lầm về đạo hàm của sin 𝑥 và cos 𝑥 dẫn đến việc làm bài, tính toán sai và đưa ra kết quả chưa chính xác (phương án nhiễu A)