Tổng hợp lý thuyết công thức toán 12 (bản full)

Nếu hàm số y f x  liên tục và luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến ; hàm số y g x   liên tục và luôn nghịch biến hoặc luôn đồng biến trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY

BỘ MÔN TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG – ĐGNL

Tổng hợp : Thầy Văn Hoa

➊ Định lí Giả sử hàm số f x  có đạo hàm trên khoảng K.

 Nếu f x  0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x  đồng biến trên K.

 Nếu f x   0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x  nghịch biến trên K.

 Nếu f x   0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x  không đổi trên K.

Chú ý: Khoảng K trong định lí trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc một một nửa khoảng

➋ Định lí mở rộng

Giả sử hàm số f x  có đạo hàm trên khoảng K Nếu f x   0 với mọi x  K(hoặc f x   0 với mọi x  K) và f x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì

hàm số f x  đồng biến (nghịch biến) trên K.

❸ Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

 Nếu f x' 0 với mọi x K  và f x'  chỉ tại một số hữu hạn điểm 0 x K 

 Hàm số đồng biến trên TXĐ khi y' 0,  x D

 Hàm số nghịch biến trên TXĐ khi y' 0,  x D

 Hàm số đồng biến trên khoảng  a b khi ;

 

dxc

00

a

bc

00

a

bc

➊ Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D D  và x 0  D

 x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  a b ; chứa

điểm x0 sao cho  a b ;  D và

   0

f x  f x với mọi x    a b ; \ x 0 Khi đó f x 0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f

 x 0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  a b ; chứa

điểm x 0 sao cho  a b ;  D và

   0

f x  f x với mọi x    a b ; \ x 0

 Khi đó f x 0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

 Chú ý:

 Giá trị cực đại (cực tiểu) f x 0 của hàm số f nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D ; f x 0 chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng

 a b ; nào đó chứa điểm chứa x0.

 Nếu x 0 là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại điểm x 0 và

điểm có tọa độ x f x 0 ;  0  được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f

➁



 Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y  f x  có đạo hàm trên khoảng  a b ; và đạt cực đại

hoặc cực tiểu tại x 0 thì f x  0  0.

➃ Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x 0 Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x 0 thì f x  0  0.

Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng  a b ; chứa điểm f và có đạo hàm trên các khoảng a x ; 0

và x b 0 ;  Khi đó

 Nếu f x  0 với mọi x a x ; 0 và f x  0 với mọi x x b 0 ;  thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x 0

 Nếu f x  0 với mọi x a x ; 0 và f x  0 với mọi x x b 0 ;  thì

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng  a b ; chứa điểm x 0 , f x  0  0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0

 QUY TẮC 2:

➀ Tìm tập xác định Tính f x  .

➁ Tìm các nghiệm x i i1,2,3  của phương trình f x 0

➂ Tìm f  x và tính f  xi .

 Nếu f  xi 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi.

 Nếu f  xi  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi.

❺ Bài toán tổng quát hàm số bậc ba:

Cho hàm số y f x m ; ax3bx2cx d Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực

tiểu tại x x1, 2 thỏa mãn điều kiện K cho trước?

  có hai nghiệm phân biệt vàyđổi dấu qua 2 nghiệm đó

 phương trình y0 có hai nghiệm phân biệt

 Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương

 phương trình y0 có hai nghiệm dương phân biệt

 Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm

 phương trình y0 có hai nghiệm âm phân biệt





  

 Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại 0

0

ab

8cos

a

 Tam giác ABCcó bán kính đường tròn nội tiếp

0 ABC

r  r

2 3

8

br

ba

Tam giác ABCcó cực trị B C Ox,  b2 4ac

Tam giác ABCcó 3 góc nhọn b a b(8  3) 0

Tam giác ABCcó trực tâm O b38a4ac 0Tam giác ABCcùng điểm O tạo thành hình thoi 2

2

b  acTam giác ABCcó O là tâm đường tròn nội tiếp b38a4abc 0Tam giác ABCcó O là tâm đường tròn ngoại tiếp 3

b  a abc Tam giác ABCcó cạnh BC kAB kAC  b k3 28 (a k2 4) 0

Trục hoành chia tam giác ABCthành hai phần có diện tích bằng nhau

Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

 C y ax:  4bx2c và trục hoành có diện tích phần trên và phần dưới bằng nhau

2 365

➊ Định nghĩa

Cho hàm số y  f x  xác định trên tập D.

Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y  f x  trên tập D nếu f x  M với mọi

x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f x 0  M

Kí hiệu: M  maxD f x .

Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y  f x  trên tập D nếu f x  m với mọi

x thuộc D và tồn tại x 0  D sao cho f x 0  m

Kí hiệu: m  minD f x .

➋ Định lí

❸ Quy tắc tìm GTLN - GTNN của hàm số liên tục trên đoạn  a b;

➀ Tìm các điểm x x 1 , , , 2 xn trên  a b ; mà tại đó f x   0 hoặc f x   không xác định

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó

➊ Khái niệm

➋ Tiệm cận ngang Cho hàm số y  f x  xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng a ;  ,  ; b hoặc   ; ) Đường thẳng y  y 0 được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y  f x 

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

Cho hàm số y  f x  có đồ thị  C Điểm M  C , MH là khoảng cách từ M đến đường thẳng d Đường thẳng d gọi là tiệm cận của đồ thị hàm số nếu khoảng cách MH dần về 0 khi

x   hoặc x  x 0

Đường thẳng x  x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi x  x0)

Đường thẳng x  x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị (khi x  x0)

 Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng y ax b c 0; ad bc 0

 Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng

 Hàm phân thức mà bậc của tử  bậc của mẫu có TCN

➀ Tập xác định Tìm tập xác định của hàm số

➁ Sự biến thiên

• Xét chiều biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm;

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định;

+ Xét dấu đạo hàm và suy ra chiều biến thiên của hàm số

• Tìm điểm cực trị

• Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

• Lập bảng biến thiên

➂ Đồ thị Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị

O

1 1

➅



➊ Giao điểm của hai đồ thị

 Giả sử hàm số y  f x  có đồ thị là  C 1 và hàm số y  g x  có đồ thị là  C 2

 Để tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là ta giải phương trình f x  g x .

 Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của hai đồ thị

➋ Sự tiếp xúc của hai đường cong

có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó

❸ Tương giao của đồ thị hàm bậc 3

Phương pháp 1: Bảng biến thiên

 Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F x m , 0(phương trình ẩn x tham số m)

 Cô lập m đưa phương trình về dạng m f x 

 Lập BBT cho hàm số y f x 

 Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m

Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi m độc lập với x

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2

 Lập phương trình hoành độ giao điểm F x m , 0

 Nhẩm nghiệm: (Khử tham số) Giả sử x x 0 là 1 nghiệm của phương trình

 Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2 g x 0

-  -

➊ Khái niệm

➋ Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm

❸ Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

❹ Luỹ thừa với số mũ vô tỉ

 Với mỗi số nguyên dương n , lũy thừa bậc n của số a (còn gọi là lũy thừa của a với

số mũ n) là số a n được xác định bởi

thua so

.

n n

a   a a a với n  1, a 1  a

 a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ của lũy thừa a n

 Với a  0, n  0 hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc n của a là số a n xác định bởi : a 0  1, n 1 .

n

a a

 

 00 và 0n không có nghĩa

 Cho số thực a dương và số hữu tỉ ,

m r n

 trong đó m m, n    Luỹ thừa của a với

số mũ r là số ar xác định bởi:

m n

a  a  a

❺ Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

 Ta gọi giới hạn của dãy số  arn

là luỹ thừa cùa a với số mũ , kí hiệu là a





 lim rn n

 Nếu a1 thì a a khi và chi khi   

 Nếu a 1 thì a a khi và chỉ khi   

 Hàm sốy  x, với    , được gọi là hàm số lũy thừa

 Tập xác định của hàm số lũy thừa y  x tuỳ thuộc vào giá trị của 

 Với  nguyên dương, tập xác định là  ;

 Với  nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là  \ 0 ; 

 Với  không nguyên, tập xác định là 0 ; .

 Hàm số luỹ thừa y  x    có đạo hàm với mọi x  0

➂ Bảng biến thiên

➃ Đồ thị (Như hình bên dưới với   0)

➂ Bảng biến thiên

➃ Đồ thị (Như hình bên dưới với  0)

 Đồ thị của hàm số lũy thừa y  x luôn đi qua điểm  1;1

 Trên hình là đồ thị của hàm số lũy thừa trên khoảng 0;  ứng với các giá trị khác nhau của

Cho hai số dương a , b với a1. Số  thỏa mãn đẳng thức a b được gọi

là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log ab

Cho ba số dương a b b , 1, 2 với a 1, ta có

 Logarit của một lũy thừa

 Cho ba số dương a b a , ;  1 Với mọi , ta có logab  logab

 Đặc biệt loganb 1logab

c

b b

a



 Đặc biệt logab  1 b  1 log  b 1logab   0

❸ Logarit thập phân và Logarit tự nhiên

➊ Hàm số mũ

➀ Logarit thập phân

 Logarit thập phân là logarit cơ số 10.

log b10 thường được viết là log b hoặc lg b

➁ Logarit tự nhiên

 Logarit tự nhiên là logarit cơ số e.

log be được viết là ln b

 Tiệm cận Ox là tiệm cận ngang

 Đồ thị Đi qua các điểm  0;1 và  1; , a nằm phía trên trục

hoành y      a x 0, x .

● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi b0

● Phương trình vô nghiệm khi b0

➀ Biến đổi đưa về cùng cơ số

Ⓑ Phương trình logarit:

➃ Giải bằng phương pháp đồ thị

 Giải phương trình: ax  f x  0 a 1  

 Xem phương trình   là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y a x

0 a 1 và y f x  Khi đó ta thực hiện hai bước:

 Bước 1 Vẽ đồ thị các hàm số y a x 0 a 1 và y f x 

 Bước 2 Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị

➄ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

 Tính chất 1 Nếu hàm số y f x  luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên

 a b; thì số nghiệm của phương trình f x k trên  a b; không nhiều hơn một

và f u  f v  u v, u v,  a b;

 Tính chất 2 Nếu hàm số y f x  liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số y g x   liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên

D thì số nghiệm trên D của phương trình f x g x  không nhiều hơn một

 Tính chất 3 Nếu hàm số y f x  luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên

➀ Định nghĩa

Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit

➁ Phương trình cơ bản: cho a b, 0,a1

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: loga f x( )b

➂ Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit

 Đưa về cùng cơ số

( ) 0log ( ) log ( )

 x

-  -

➊ Khối lăng trụ và khối chóp

➋ Khái niệm về hình đa diện

 Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ

ấy

 Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy

 Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy

❸ Khái niệm về khối đa diện

❹ Minh họa

Điểm ngoài

Điểm trong Miền ngoài

d

M

N

 Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:

 Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung

 Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác

 Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện

 Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện

 Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện

đó

 Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện Tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa diện

 Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó

❺ Phân chia lấp ghép khối đa diện

➏ Các kết quả thừa nhận

 Các hình dưới đây là những khối đa diện:

 Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện:

 Nếu khối đa diện  H là hợp của hai khối đa diện    H1 , H2 , sao cho  H1 và  H2không có điểm trong chung thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện  H1 và  H2 , hay có thể lắp ghép được hai khối đa diện  H1 và  H2 với nhau để được khối đa diện  H

Minh hoa:

➊ Khái niệm

 Nhắm chắc .Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt

.Kết quả 2:Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh

.Kết quả 3: Cho  H là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh Nếu số mặt của  H là lẻ thì p phải là số chẵn

.Kết quả 4: Cho  H là đa diện có m mặt, mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh

.Kết quả 7: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh

.Kết quả 8: Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn

.Kết quả 9: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh

.Kết quả 10: Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh

.Kết quả 11: Với mỗi số nguyên k3 luôn tồn tại hình đa diện có 2k cạnh

.Kết quả 12: Với mỗi số nguyên k4 luôn tồn tại hình đa diện có 2k1cạnh

.Kết quả 13: Không tồn tại một hình đa diện có

➋ Khối đa diện đều

 Khối đa diện  H được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của

 H luôn thuộc  H Khi đó đa diện giới hạn  H được gọi là đa diện lồi

① Khối đa diện không lồi ② Khối đa diện lồi

B A

D C E

F

 Lý thuyết cần nắm:

 Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:

 Các mặt là những đa giác đều có đúng n cạnh

 Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh

 Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại  n p,

Chỉ có năm khối đa diện đều Đó là:

 Loại  3;3 : khối tứ diện đều

 Loại  4; 3 : khối lập phương

 Loại  3; 4 : khối bát diện đều

 Loại  5;3 : khối 12 mặt đều

 Loại  3;5 : khối 20 mặt đều

Khối tứ diện đều Khối lập phương Bát diện đều Hình 12 mặt đều Hình 20 mặt đều

➀ Chóp có cạnh bên vuông góc chiều cao chính là cạnh bên

➁.Chóp có hai mặt bên vuông góc đáy đường cao là giao tuyến của hai mặt bên vuông góc đáy

➂.Chóp có mặt bên vuông góc đáy chiều cao của mặt bên vuông góc đáy

➃.Chóp đều chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy

➄.Chóp có hình chiếu vuông góc của một đỉnhlên xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy đường cao là từ đỉnh tới hình chiếu

❸ Tỷ số thể tích

➍ Một số công thức tính diện tích thông dụng

Định lí: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V  Bh

● Thể tích khối hộp chữ nhật: V a b c

Trong đó: a b c , , là ba kích thước của khối hộp chữ nhật

● Thể tích khối lập phương: V  a3

Trong đó a là độ dài cạnh của hình lập phương

.6

V a b c

Trong đó: a b c , , là ba kích thước của 3 cạnh đôi một vuông góc

Định lí: Cho khối chóp S ABC và A ', B ', C ' là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có

 Hai khối chóp phải cùng chung đỉnh

 Đáy hai khối chóp phải là tam giác

 Các điểm tương ứng nằm trên các cạnh tương ứng