(Luận văn thạc sĩ) bài toán hàm ẩn và một số dạng tích phân liên quan trong toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠNCHÂU ĐÌNH TÍN BÀI TOÁN HÀM ẨN VÀ MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN LIÊN QUAN TRONG TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - 2021... BỘ GIÁO DỤC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

CHÂU ĐÌNH TÍN

BÀI TOÁN HÀM ẨN VÀ MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN LIÊN QUAN TRONG

TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - 2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

CHÂU ĐÌNH TÍN

BÀI TOÁN HÀM ẨN VÀ MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN LIÊN QUAN TRONG

Mục lục

1.1 Hàm ẩn 41.2 Đạo hàm của hàm số ẩn 71.3 Cơ sở lý thuyết về sự đồng biến nghịch biến, cực trị, giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và sự tương giao của đồ thị hàm số 71.3.1 Các kiến thức về sự đồng biến nghịch biến của hàm số 71.3.2 Các kiến thức về cực trị của hàm số 81.3.3 Các kiến thức về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

hàm số. 101.3.4 Sự tương giao của đồ thị hàm số. 11

2 Khảo sát một số vấn đề liên quan đến hàm ẩn 122.1 Khảo sát tính đơn điệu của hàm ẩn thông qua một số điều

kiện đã biết 12

2.1.1 Xác định được khoảng đơn điệu của hàm sốy = f (u(x))

dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàmy = f ′ (x)

với hàm u(x) đã biết 122.1.2 Xác định khoảng đơn điệu của hàm y = f (u(x)) + g(x)

dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị y = f ′ (x) , với hàm

u(x) đã biết. 152.1.3 Sáng tác một số bài toán hàm ẩn liên quan tính đơn

điệu hàm số 182.2 Khảo sát cực trị hàm ẩn thông qua một số điều kiện đã biết 212.2.1 Xác định cực trị hàm số y = f (u(x)) khi biết đồ thị

hoặc bảng biến thiên của hàm f ′ (x), với u(x)là hàm

đã biết 212.2.2 Xác định cực trị hàmg(x) = f (u(x)) + v(x)khi biết

đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ′ (x),với u(x) và v(x) là hàm đã biết 242.2.3 Sáng tác một số bài toán cực trị hàm ẩn 262.3 Khảo sát giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn

thông qua một số điều kiện đã biết 30

2.3.1 Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm

số y = f (u(x)) thông qua đồ thị, bảng biến thiêncủa y = f (x) hoặc y = f ′ (x) trên miền D, với u(x)

đã biết 302.3.2 Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm

số y = f (u(x)) + v(x) trên khoảng K thông qua đồthị hàm số y = f ′ (x), với u (x) và v (x) là hàm đã biết 322.3.3 Sáng tác một số bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất hàm ẩn 342.4 Khảo sát sự tương giao của đồ thị hàm ẩn 392.4.1 Dạng toán cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của

hàm số y = f (x), xét bài toán liên quan đến phươngtrình f (u(x)) = a, với u(x) là hàm đã biết 392.4.2 Dạng toán tương giao biện luận nghiệm của phương trình

f (u(x)) = g(m) khi cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của f (x) với u(x) là hàm đã biết 412.4.3 Biết đồ thị hoặc bảng biến thiên y = f (x), xét các

bài toán liên quan đến phương trình có dạngf (u(x)) = f (m),vớihàm u (x) đã biết 44

2.4.4 Dạng toán hàm ẩn liên quan đến phương trình có

dạng

f (|x|) = a; |f (x)| = a; f (|u(x)|) = a |f (u(x))| = avớihàm u(x) đã biết 492.4.5 Dạng toán liên quan đến đồ thị hoặc bảng biến thiên

hàmy = f ′

(x) Xét các bài toán liên quan đến phươngtrình f (u(x)) = g(x) với hàm u (x), g (x) đã biết 562.4.6 Sáng tác bài toán tương giao hàm ẩn 60

3.1 Tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến 693.2 Tích phân hàm ẩn bằng phương pháp từng phần 763.3 Một số bài toán tích phân hàm ẩn liên quan đến biểu thức:

f′(x) + p(x) · f (x) = h(x)(phương trình vi phân tuyến

tính cấp 1) 833.4 Sáng tác bài toán tích phân hàm ẩn 85

MỞ ĐẦU

Theo xu thế đổi mới hiện nay của bộ giáo dục, trong quá trình dạy học đểđạt được kết quả cao đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chươngtrình, đối tượng học sinh, để đưa ra các phương pháp phù hợp với kiến thức,với các đối tượng học sinh cần truyền thụ Mỗi người thầy, cô giáo luôn luônhọc hỏi và cập nhật sáng tạo ra các phương pháp cách giải sao cho học sinh

dễ tiếp cận nhất để học sinh thích nghi được với sự thay đổi của kì thi thi tốtnghiệp trung học phổ thông quốc gia Không những thế còn giúp học sinhvượt qua được nỗi lo âu, sợ hãi khi phải luyện tập các câu mức độ vận dụngcao trong giải bài tập và trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thôngquốc gia

Từ năm học 2016-2017 (kì thi THPT Quốc Gia 2017), môn Toán áp dụnghình thức thi trắc nghiệm Qua các kì thi THPT Quốc Gia các năm 2017,

2018, 2019 và gần đây nhất là năm 2020 kiến thức toán THPT được xâydựng và phát triển theo nhiều hướng mới Đây là một thách thức lớn và cũng

là một cơ hội để mỗi giáo viên phải luôn luôn học hỏi và nâng cao kỹ nănggiảng dạy của bản thân Trong các mảng kiến thức mà Bộ Giáo dục thườngxuyên chú trọng và xoáy sâu là “Khảo sát đồ thị hàm số liên quan đến hàmẩn” và “Tích phân liên quan đến hàm ẩn” Các bài toán liên quan đến chuyên

đề “Hàm số và tích phân rất là phong phú và đa dạng Chính vì vậy phươngpháp để giải các dạng toán liên quan đến đồ thị hàm ẩn và tích phân hàm

ẩn sẽ rất cần thiết giúp giáo viên có trình độ kiến thức giảng dạy học sinh

để tiếp cận và giúp cho học sinh vận dụng kiến thức tốt để xử lí các câu mức

độ vận dụng cao trong đề thi TN THPT Quốc Gia cho những năm sắp tới.Nội dung luận văn được chia làm ba chương

Chương I: Giới thiệu, nhắc lại một số kiến thức chung về hàm số sơ cấp ởchương trình phổ thông

Chương II: dành để trình bày các phương pháp xử lý các bài toán hàm ẩnliên quan đến các tính chất của đồ thị hàm số như tính đơn điệu, cực trị,giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất và sự tương giao của đồ thị hàm số Cụ thểchương này phân ra 4 mục tương ứng cho 4 nội dung như đã đặt ra

Chương III: dành để trình bày các phương pháp xử lý các bài toán tích phânhàm ẩn Cụ thể chương này phân ra 2 mục đích chính là tích phân biến đổi số

và tích phân từng phần Và cuối chương II và III đều có mục sáng tác riêngcác dạng toán thường gặp trong kì thi TN THPT Quốc Gia

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơndưới sự hướng dẫn của TS Mai Thành Tấn, Phó Trưởng khoa Toán và Thống

Kê Qua đây tôi muốn dành lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến TS MaiThành Tấn – giảng viên hướng dẫn tôi thực hiện đề tài luận văn này Thầychính là người đã định hướng, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất và cho tôinhững nhận xét quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn với hiệu quả caonhất

Tôi cũng xin phép gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô đã giảng dạylớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp trường Đại học Quy Nhơn cũng như toàn thểquý thầy cô Khoa Toán - Thống kê trường Đại học Quy Nhơn, những người

đã cho tôi kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốtquá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện đề tài

Cuối cùng tôi xin phép gửi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạnluôn quan tâm, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quãng đường học tập vừa

Mặc dù chúng tôi đã rất cố gắng học hỏi, tìm tòi và nghiên cứu trong quátrình hoàn thành luận văn, nhưng do hạn chế về thời gian và trình độ nêntrong luận văn vẫn không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được

sự góp ý của quý thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Bình Định, tháng 7 năm 2021Tác giả luận văn

CHÂU ĐÌNH TÍN





F (x, y, z, u, v) = 0G(x, y, z, u, v) = 0trong đó F : U → R, G : U → R là các hàm số xác định trên tập hợp

U ⊂ R5, có thể xác định một hay nhiều cặp hàm só ẩn u, v của các biến số

x, y, z Ta có các định lí sau về sự tồn tại, tính liên tục và tính khả vi củacác hàm số ẩn

Định lí 1.1.1 [9]

Cho phương trình F (x, y) = 0, trong đó F : U → R là một hàm số có cácđạo hàm riêng liên tục trên tập mởU ⊂ R2 Giả sử (x0, y0) ∈ U, F (x0, y0) =

0 Nếu F′

y(x0, y0) 6= 0 thì phương trình (1.0.1) xác định trên một lân cận nào

đó của x0 một hàm số ẩn y = f (x) duy nhất, hàm số ấy có giá trị bằng y0

khi x = x0, liên tục và có đạo hàm liên tuc trong lân cận nói trên

Chứng minh Không giảm tính tổng quát có thể giả thiết F′

f (x0, y0 − α) < 0, f (x0, y0 + α) > 0

Các hàm số x 7→ F (x, y0− α) và x 7→ F (x, y0 + α) liên tục trên đoạn[x0− a, x0 + a], nên tồn tại số δ > 0 sao cho

F (x, y0− α) < 0, F (x, y0+ α) > 0,với x ∈ ( ˙x0− δ, x0+ δ) Lấy x bất kìtrên(x0 − δ, x0+ δ) Hàm sốy 7→ F (x, y)liên tục trên đoạn[y0 − α, y0 + α],lấy những giá trị khác dấu tạiy0−αvày0+α Do đó tồn tạiy ∈ (y0 − a, y0+ a)

để choF (x, y) = 0 Giá trị y ấy duy nhất, vì hàm sốy 7→ F (x, y) tăng ngặttrên [y0 − α, y0 + α] Vậy hệ thức (1.0.1) xác định y là hàm số ẩn của x duynhất trên x0 − δ, x0+ δ)

Đặty = f (x), đương nhiên f (x0) = y0 Ta sẽ chứng minh rằng hàm số ẩn

f liên tục trên (x0− δ, x0 + δ) Thật vậy, giả sử x1 ∈ (x0 − δ, x0+ δ) , ε làmột số dương cho trước Đặty1 = f (x1) Theo trên, y1 ∈ (y0 − α, y0+ α) ,

f (x1, y1) = 0 Khi đó với α1 > 0 đủ nhỏ, tồn tại δ1 > 0 sao cho hệ thức(1.0.1) xác định một hàm số ẩn duy nhất

f1 : (x1− δ1, x1+ δ1) → (y1− α1, y1+ α1) Chọn a1 < ε sao cho

(x1− δ1, x1 + δ1) × (y1 − a1, y1+ α1) ⊂ (x0− δ1x0+ δ) × (y0− δ, y0 + δ)

Rõ ràng ta có

f1(x) = f (x), ∀x ∈ (x1− δ1, x1 + δ1) Vậy

|x − x1| < δ1 kéo theo |f1(x) − y1| = |f(x) − f (x1)| < ε Do đó f (x) liêntục tạix1 Cuối cùng, ta chứng minh rằngf khả vi trên (x0− δ, x0+ δ) Giả

F (x, f (x)) = 0Lấy đạo hàm hai vế đối với x, ta được

F′

x + F′ y

F′ y

1.3 Cơ sở lý thuyết về sự đồng biến nghịch biến, cực trị, giá

trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và sự tương giao của đồ thịhàm số

1.3.1 Các kiến thức về sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng

Định nghĩa 1.3.1 [1]

Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trên K khi và chỉ khi với mọi x1, x2 ∈

K, x1 < x2 thì f (x1) < f (x2) Hàm sốy = f (x) nghịch biến (giảm) trên Kkhi và chỉ khi với mọi x1, x2 ∈ K, x1 < x2 thì f (x1) > f (x2)

1.3.1.1 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm sốf (x)có đạo hàm trênK Nếuf (x)đồng biến trênK thì f′

(x) ≥

0với mọi x ∈ K; Nếu f (x)nghịch biến trênK thìf′

(x) ≤ 0, với mọix ∈ K

1.3.1.2 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên K Nếu f′

Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.Bước 4: Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

1.3.2 Các kiến thức về cực trị của hàm số

Định nghĩa 1.3.2 [1] Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (a; b)

và điểm x0 ∈ (a; b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) < f (x0), với mọi

x ∈ (x0 − h; x0+ h), x 6= x0 thì ta nói hàm số f (x) đạt cực đại tại x0; Nếutồn tại số h < 0 sao cho f (x) > f (x0), với mọi x ∈ (x0− h; x0+ h), x 6= x0

thì ta nói hàm số f (x) đạt cực tiểu tại x0

Định lí 1.3.3 [1] Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng K chứa x0 và

có đạo hàm trên các khoảng (x0− h, x0) và (x0, x0+ h)

a) Nếu f′

(x) < 0, ∀x ∈ (x0 − h; x0) và f′

(x) > 0, ∀x ∈ (x0, x0 + h) thìhàm số f (x) đạt cực tiểu tại điểm x0

b) Nếu f′

(x) > 0, ∀x ∈ (x0− h; x0) và f′

(x) < 0, ∀x ∈ (x0, x0 + h) thì

hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm x0.

Chứng minh a) Vì hàm số f (x) liên tục trên nửa khoảng (x0 − h; x0] và

f (x) > f (x0), với mọi x ∈ (x0, x0+ h)

Vậy f (x) > f (x0), với mọi x ∈ K\{x0} tức hàm số f đạt cực tiểu tạiđiểm x0

b) Chứng minh tương tự a)

Định lí 1.3.4 [1] Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa

x0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại x0 Nếu f′

Vì x − x0 ≤ 0 với mọi x ∈ (x0 − h; x0) nên từ (1) suy ra f′

Chứng minh tương tự

Nếu f′

(x) = 0 và f′′

(x) > 0 thì hàm số f (x) đạt cực tiểu tại x0.Các bước tìm cực trị:

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

(xi) suy ra tính chất cực trị của các điểm xi.(Chú ý: f′′

(xi) = 0 thì ta phải dùng cách 1 trong phần xét cực trị để xét

cự trị tại xi)

1.3.3 Các kiến thức về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.Định nghĩa 1.3.5 [2] Cho hàm số y = f (x) xác định trên K Nếu tồn tạimột điểm x0 ∈ K sao cho f (x) ≤ f(x0), với mọi x ∈ K thì số M = f (x0)được gọi là giá trị lớn nhất của hàmf trênK, kí hiệuM = max

x∈Kf (x); Nếu tồntại một điểm x0 ∈ K sao cho f (x) ≥ f(x0),với mọi x ∈ K thì số m = f (x0)được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm f trên K, kí hiệu m = min

x∈Kf (x)

Các bước tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất:

Bước 1: Tìm các điểm x1, x2, , xm thuộc (a; b) tại đó hàm số f có đạohàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

Bước 2: Tính f (x1), f (x2), , f (xm), f (a) và f (b)

Bước 3: So sánh các giá trị tìm được, số lớn nhất trong các giá trị đó là

giá trị lớn nhất của f trên đoạn [a; b], số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giátrị nhỏ nhất của f trên đoạn [a; b].

1.3.4 Sự tương giao của đồ thị hàm số.

Tính chất 1: Nếu hàm số f (x) liên tục [a; b]và đơn điệu trên khoảng(a; b)thì phương trình f (x) = 0có nhiều nhất một nghiệm trong đoạn [a; b]

Mở rộng: Một hàm số f (x) liên tục [a; b] và có đạo hàm đổi dấu n lầntrên khoảng (a; b) thì phương trình f (x) = 0 có nhiều nhất n + 1 nghiệmtrong đoạn [a; b]

Tính chất 2: Nếu hàm sốf (x)liên tục [a; b] và đơn điệu trên khoảng(a; b)thì phương trình f (u) = f (v) khi và chỉ khi u = v, với mọi u, v ∈[a; b].Tính chất 3: Nếu hàm số f (x) liên tục [a; b] và đơn điệu tăng trênkhoảng (a; b) thì f (x) > f (y) khi và chỉ khi x > y (Nếu f đơn điệu giảmthì f (x) > f (y) khi và chỉ khi x < y, với mọi x, y ∈ (a; b).

Tính chất 4:

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] Bất phương trình f (x) ≤ mnghiệm đúng với mọi x ∈ [a; b] khi và chỉ khi max

x∈ [ a;b ]f (x) ≤ m.Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] Bất phương trình f (x) ≥ mnghiệm đúng với mọi x ∈ [a; b] khi và chỉ khi min

x∈ [ a;b ]f (x) ≥ m.

2.1 Khảo sát tính đơn điệu của hàm ẩn thông qua một số điều

kiện đã biết

Trong mục này trình bày một số dạng toán khảo sát tính đơn điệu củahàm ẩn với những giả thiết đã biết như cho đồ thị, bảng biến thiên hoặc bảngxét dấu của hàm số đạo hàm

2.1.1 Xác định được khoảng đơn điệu của hàm số y = f (u(x)) dựa vào

bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm y = f ′ (x) với hàm u(x) đã biết.

thì x ∈ K2 Kéo theo f′

(u) > 0 thì u ∈ K1; f′

(u) < 0 thì u ∈ K2.Các bước thực hiện:

Bước 1: Tính đạo hàm y′

(x) = u′

(x).f′

(u)Bước 2: Giải bất phương trình f′

(u).u′

(x) > 0Bước 3: Lập bảng biến thiên y = f (u), suy ra kết quả tương ứng

Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 1) và (3; +∞).

Chú ý: Căn cứ vào đồ thị y = f′(x) có dạng như đồ thị hàm đa thức bậc

ba cắt trục hoành tại 2 điểm x = −1 là điểm tiếp xúc và x = 2 nên ta chọnhàm f′

Ví dụ 2.1.2 Cho hàm số f′

(x) có bảng xét dấu như sau:

Hỏi hàm số y = f (x2+ 2x) nghịch biến trên khoảng nào?

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số f (x2+ 2x) nghịch biến trên khoảng(−3; −1) và (1; +∞).

Chú ý: Để xét dấu g′

(x):Chọn giá trịx = 0 thuộc (−1; −1 +√2), dễ thấy dựa theo bảng xét dấu củahàm f′

2.1.2 Xác định khoảng đơn điệu của hàm y = f (u(x)) + g(x) dựa vào

bảng biến thiên hoặc đồ thị y = f ′ (x) , với hàm u(x) đã biết.Dạng toán này là mở rộng của dạng 1, hàm f (u(x)) được bổ sung thêmmột hàm nữa là hàm g(x), với g(x) là hàm đã biết

= 0 tìm nghiệm Để giải phương trình

y′

= 0ta đưa về dạng phương trình tích u′

(x)

(f′

(t) − h(t) = 0 với h(t) là hàm số được biến đổi

(t) xem như là f′

(x)) trên cùng mặt phẳng toạ độ suy ra nghiệm

Chú ý khi hai đồ thị cắt nhau tại điểm x0 thì x0 là nghiệm đơn, còn hai đồthị tiếp xúc nhau tại x0 là nghiệm kép) Một số trường hợp đặt biệt hàm h(t)không phải bậc nhất hoặc bậc hai ta dùng đến cách xét dấu bất đẳng thứctuỳ vào trường hợp.

Bước 3: Sau khi tìm được nghiệm ta tiến hành xét dấu y′, chú ý trongkhoảng K nào đó f′

≥ 0 ⇔ f′

(x − 1) + 2x − 2 ≥ 0 (1)Đặt t = x − 1 thì (1) trở thành: f′

(t) + 2t ≥ 0 hay f′

(t) ≥ −2t.Quan sát đồ thị hàm số y = f′

(t) và y = −2t trên cùng 1 hệ tọa độ.

Khi đó ta thấy với t ∈ (0; 1) thì đồ thị hàm số y = f′

(t) luôn nằm trênđường thẳng y = −2t.

Suy ra f′

(t) + 2t ≥ 0, với t ∈ (0; 1).Với 0 < t < 1 suy ra 0 < x − 1 < 1 hay 1 < x < 2

= 0 theo biến tnhư sau: f′

Dựa vào đồ thị trên, ta có bảng xét dấu của hàm sốy′

= f′

(t)−(−3t2

−6t+9)như sau:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng t ∈ (t0; 1) Do đó hàm số nghịch biếntrên khoảng x ∈ (1; 2) .

2.1.3 Sáng tác một số bài toán hàm ẩn liên quan tính đơn điệu hàm số

Dạng toán 1: Từ Ví dụ 2.1.4 ta có thể thay đổi bảng xét dấu f′

(x), thayđổi hàm u(x) hoặc thay đổi hàm g(x) thì ta sẽ có rất nhiều bài toán dạngtương tự Ví sau là trường hợp thay đổi cả 3 điều kiện trên

Ví dụ 2.1.5 Cho hàm số f (x) khả vi trên R có bảng xét dấuf′

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 1).

Dạng toán 2: Từ Ví dụ 2.1.2 ta sẽ có nhiều bài toán dạng tương tự bằngcách thay đổi hàm u(x) và hàmg(x) có chứa m để xây dựng thành bài toánbiện luận Ví dụ sau là một minh hoạ cho trường hợp này

Ví dụ 2.1.6 Cho hàm số f′

(x) có đồ thị như hình

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên m ∈ (−2020; 2020) để hàm số

g (x) = f (2x − 3) − ln (1 + x2

) − 2mx đồng biến trên

1

2; 2



?Lời giải

Ta có g′

(x) = 2f′

(2x − 3) − 2x

1 + x2 − 2m.Hàm số g(x) đồng biến trên 1

2; 2
khi và chỉ khi g′

(x) ≥ 0, với x ∈ (−1; 2)khi và chỉ khi m ≤ f′

Đặt t = 2x − 3 , vớix ∈ 1

2; 2
khi đó t ∈ (−2; 1) Từ đồ thị hàm f′

(x) suy

ra f′

(t) ≥ 0, với t ∈ (−2; 1) và f′

(t) = 0 khi t = −1.Tức là f′

Xét hàm số h (x) = − x

1 + x2 trên khoảng 1

2; 2
Ta có h′

(x) = x

2

− 1(1 + x2)2

Từ bảng biến thiên suy rah (x) ≥ −1

Nhận xét: với cách thay đổi hàm u(x) thành hàm phân thức, hàm cănthức, hàm mũ, hàm logarit, hàm lượng giác hoặc thay đổi bảng biến thiên,

hàm g(x) thì ta tạo ra vô số bài toán mức độ vận dụng cao cho học sinh.

2.2 Khảo sát cực trị hàm ẩn thông qua một số điều kiện đã

biết

Trong mục này Luận Văn giải quyết các dạng toán liên quan đến vấn đềcực trị của hàm ẩn với các điều kiện cho trước như đồ thị, bảng biến thiênhoặc bảng xét dấu của đạo hàm

2.2.1 Xác định cực trị hàm số y = f(u(x)) khi biết đồ thị hoặc bảng biến

thiên của hàm f ′ (x), với u(x) là hàm đã biết.

Để xác định cực trị hàm g(x) = f (u(x)) ta thường hướng đến việc xétdấu Như vậy ta đạo hàm hàm g(x) Ta có g′

(x) = u′

(x).f′

(u(x)) Nếu g′

(x) đổi dấu x0 thuộc tập xác định của g(x) thì x0 là điểm cực trị.Trường hợp đơn giản khi f (x), u(x) là các hàm đa thức thì nghiệm đơn vànghiệm bội lẻ là các điểm cực trị của hàm số

Ví dụ 2.2.1 (Đề tham khảo TN THPT lần 1 năm 2020)

dụ như sau.

Ví dụ 2.2.3 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn y = f (x) cóbảng biến thiên như sau:

Hỏi số điểm cực trị của hàm số g (x) = x4[f (x + 1)]2 là?

(x + 1) = 0

(x + 1) = 0Với f (x + 1) = 0 (∗

) khi đó 5(x + 1)4

− 10(x + 1) + 3 = 0,suy ra x + 1 ≈ 1, 278; x + 1 ≈ 0, 606; x + 1 ≈ −0, 606; x + 1 ≈ −1, 278.Như vậy phương trình f (x + 1) = 0 có bốn nghiệm phân biệt khác 0

Với 2f (x + 1) + xf′

(x + 1) = 0khi đó 2 (5t4 − 10t2+ 3) + (t − 1) (20t3 − 20t) = 0

Vậy số điểm cực trị của hàm số g(x) là 9

2.2.2 Xác định cực trị hàm g(x) = f (u(x)) + v(x) khi biết đồ thị hoặc

bảng biến thiên của hàm số y = f ′ (x), với u(x) và v(x) là hàm đã biết.

Ở Mục 2.2.1 ta chỉ nghiên cứu hàm ẩn dạng f (u(x)), bây giờ giả sử tathêm một hàm số v(x) thì cách giải sẽ thay đổi như sau

Ví dụ 2.2.4 (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hàm số y = f (x) làhàm đa thức bậc 4, có đồ thị hàm số y = f′

(1 − x) > 0 thì f′

(1 − x) < 0 suy ra 1 − x < −2hoặc 0 < 1 − x < 4hay x > 3 hoặc −3 < x < 1.

Ví dụ 2.2.6 Cho hàm số y = f (x) là hàm đa thức bậc bốn Biết hàm số

y = f′

(x) có đồ thị như hình bên

−1 1 2 3

−1

12

(x2) = − (x2− 2).(1)Đặt t = x2 khi đó (1) trở thành f′

(t) = − (t − 2) với t ∈ [0; +∞)

−1

12

3 y

xy=2-t

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f′

(t) = − (t − 2), với t ∈ [0; +∞)

có hai nghiệm phân biệt t = 2 và t = 1

Khi t = 2 suy ra x = √

2; x = −√2, t = 1 suy ra x = 1; x = −1.Suy ra phương trình g′

(x) = 0 có 5 nghiệm phân biệt

Vậy g(x) có 5 điểm cực trị

Nhận xét: Với cách thay đổi hàm u(x) và v(x) như trên ta cũng có thểthêm dấu giá trị tuyệt đối vào để nâng sự tư duy của học sinh lên Ví dụ sau

là một minh hoạ

Ví dụ 2.2.7 Cho hàm số f (x) có f (0) = 0 Biết f′

(x) là hàm số bậc bốn

và có đồ thị là đường cong trong hình bên

Hỏi số điểm cực trị của hàm số g(x) = |f (x4) + x2

(x4) + 1 = 0 suy ra f′

(x4

) = −12x2

(x 6= 0) (1)Đặt x4 = t ta có x2 = √

(x)

Dựa vào đồ thị ta có: phương trình f′

(t) = − 1

2√

t, (t > 0) có nghiệm duynhất

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số g(x) = |f (x4) + x2

| có 5 điểm cựctrị

2.3 Khảo sát giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn

thông qua một số điều kiện đã biết

Trong mục này Luận Văn sẽ đưa ra một số phương pháp để giải một sốdạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn thường gặp

2.3.1 Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (u(x))

thông qua đồ thị, bảng biến thiên của y = f(x) hoặc y = f ′ (x) trên miền D, với u(x) đã biết

Phương pháp:[4]

Tìm tập xác định của u(x) trên miền D (giả sử tập xác định của u(x) là

D1) Từ đồ thị (bảng biến thiên) của f (x) ta đưa ra kết luận

Chú ý: Nếu bài toán cho đồ thị hoặc bảng biến thiên của f′

(x) ta cần phảiđạo hàm hàm số y = f (u(x)) Rồi giải tìm nghiệm và lập bảng biến thiêncho hàm y = f (u(x)) Từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 2.3.1 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ

Xét hàm số g(x) = f (2x3

+ x − 1) + m Tìm m để giá trị lớn nhất củag(x) = −10, với x ∈ [0, 1].

9 − x2 − 1, với x ∈ [−3, 3], suy ra t′

√

9 − x2.Khi t′

Suy ra t(x) ∈ [−1; 2].

Ta xét hàm f (t), với t ∈ [−1; 2].

Dựa vào đồ thị hàm f (x) đã cho ở đầu bài ta xem x như là t, ta thấy giátrị nhỏ nhất f (t), với t ∈ [−1; 2] bằng −2 khi t = −1.

Khi t = −1 suy ra √9 − x2 − 1 = −1 hay x = ±3.

2.3.2 Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(u(x)) + v(x)

trên khoảng K thông qua đồ thị hàm số y = f ′ (x), với u(x) và v(x)

là hàm đã biết.

Tiếp nối dạng hàm ẩn f (u(x)) ta cộng thêm hàm v(x)) thì phương pháp

sẽ thay đổi như thế nào? Dưới đây sẽ là câu trả lời

(x) nằm phía trên (P ) nên

f′

(x) − (x2+ 3x

2 − 3

2) > 0.Trên khoảng (1; 1) đồ thị hàm số f′

(x) nằm phía dưới (P ) nên

f′

(x) − (x2+ 3x

2 − 3

2) < 0.Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta có giá trị nhỏ nhất của g(x) tại x = −1 .

Ví dụ 2.3.4 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hàm số y = f (x)

có bảng biến thiên như hình dưới đây Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

≤ 4 do đó f′

(4x − x2) > 0.Mặt khác 4 − x

Như vậy g(1) < g(3) < g(2) nên giá trị lớn nhất của hàm số đạt tại x = 2

2.3.3 Sáng tác một số bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm ẩn

Từ ví dụ 2.3.1 và 2.3.2 ta có thể xây dựng một số bài toán bằng cách thayđổi hàm u(x) thành hàm khác và ví dụ dưới đây ta thay hàm u(x) = |x|