Sử dụng phương pháp hình học tìm GTLN và GTNN của modun số phức

Điểm Torricelli của tamgiác ABC là điểm T nằm trong ABC và có tổng 3 cạnh TA TB TC   p q r nhỏ nhất.. Đểtìm ra điểm này, ta dựng 3 tam giác đềuACM BCN ABO, , : giao điểm của 3 đường

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Điểm Torricelli: Cho tam giác ABC có góc lớn nhất không quá 120 Điểm Torricelli của tamgiác ABC là điểm T nằm trong ABC và có tổng 3 cạnh TA TB TC   p q r nhỏ nhất Đểtìm ra điểm này, ta dựng 3 tam giác đềuACM BCN ABO, , : giao điểm của 3 đường tròn ngoạitiếp của 3 tam giác đều này (hoặc giao điểm củaAN BM CO, , ) chính là điểm Torricelli màchúng ta cần tìm

2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Với hai dãy số thực a a1, 2, ,a và m b b1, 2, ,b ta luôn có bất m

3 Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme là một đẳng thức trong hình học Euclid miêu tả quan hệgiữa độ dài bốn cạnh và hai đường chéo của một tứ giác nội tiếp Định lý này mang tên nhà toánhọc và thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Ptolemy (tức Claudius Ptolemaeus).

Nếu A, B, C, và D là 4 đỉnh của tứ giác nội tiếp đường tròn thì: AC BD AB CD BC AD

4 Bất đẳng thức Ptoleme là trường hợp tổng quát của định lý Ptoleme đối với một tứ giác bất kỳ.Nếu ABCD là tứ giác bất kỳ thì AC BD  AB CD BC AD Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ

giác nội tiếp trong một đường tròn

5 Định lí Stewart : Gọi a, b, và c là độ dài các cạnh của 1 tam giác Gọi d là độ dài của đoạn thẳng

nối từ 1 đỉnh của tam giác với điểm nằm trên cạnh (ở đây là cạnh có độ dài là a) đối diện với đỉnhđó

Đoạn thẳng này chia cạnh a thành 2 đoạn có độ dài m và n, định lý Stewart nói rằng:

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z4  z4 10 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt

là

Lời giải Chọn C

Gọi zxyi, x y   Theo giả thiết, ta có ,  z4  z4 10

5

Câu 3: Xét tập  A gồm các số phức z thỏa mãn 2

2

z i z



 là số thuần ảo và các giá trị thực m , n thỏa

mãn chỉ có duy nhất một số phức z A thỏa mãn zm ni  2 Đặt M maxm n  và

 min

N  m n Tính PM N ?

A. P  2 B. P  4 C. P 4 D. P 2

Lời giải Chọn C

Giả sử za bi , a b   thì ,  z2i  z 2 4i a b 4  1

 

22

Ta có w   z 1 i a bi a b ; ,  

z 1 i 3 2i  z 1 i   3 8i 6 2  w 3 2i  w 3 8  i 6 2

Do đó xét các điểm M a b ; ,A3; 2 , B3;8, ta có:

6 2MA MB AB6 2

Chọn C.

Xét tam giác OAB với A, B lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1, z2 và M là điểm biểu diễn số phức z, ta có OAOB , 6 AB 6 2 OAB vuông tại O

Khi đó ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của PMO MA MB 

Dựng phía ngoài tam giác OAB tam giác đều ABC , đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt

OC tại D, theo bất đẳng thức Ptoleme cho bốn đểm M , A, B, C ta có:

MA CB MB CA MC ABMA MB MC và MA MB MO  MCMOOCconst Dấu bằng xảy ra M D Ta đi tính độ dài đoạn OC , bằng định lý hàm số côsin ta có:

Vậy gá trị nhỏ nhất của Pmin 6 2 3

Câu 10: Cho số phức z Kí hiệu A B C D, , , lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z z z, , 4 3 i và

Với za bi a b , ,   

Ta có: A a b ,  ;  B a ;b,C4a3 ;3b a4b, D4a3 ; 3b  a4b

Do đó A B, đối xứng qua trục hoành; C D, đối xứng qua trục hoành và AB/ / DC

Theo giả thiết A B C D, , , là bốn đỉnh của một hình chữ nhật khi và chỉ khi có a 0và b 0 và

 

22

0

35

Đặt za bi , xét các điểm M a b ,  ;  A 1;1 , B1; 4, C2; 1 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M Az  1 i z  2.

Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z  Gọi 1 M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

dấu " " xảy ra  điểm biểu diễn của 4i, 0, z thẳng hàng

Vậy tập hợp các số phức là đoạn thẳng x 0 thỏa 0y4

Ta có: z  1 i AX với A  1;1, X là điểm biểu diễn số phức z

Ta có: z 1 imax  26, z 1 imin  1

Câu 14: Cho số phức zthỏa mãn z m22m  với m là số thực Biết rằng tập hợp điểm của số5

phức w3 4 i z 2i là đường tròn Tìm bán kính R nhỏ nhất của đường tròn đó

Lời giải Chọn D

   Vậy đường tròn có bán kính Rmin 20 với tâm I0; 2

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi m  1

Câu 15: Cho hai số phức z z thỏa mãn1, 2 z1z2  8 6i và z1z2  Tìm giá trị lớn nhất của2

P z  z

A. P 4 6 B. P 2 26 C. P  5 3 5 D. P 32 3 2

Lời giải Chọn B

Lời giải Chọn D

Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z , 1 z2

Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1 i z 3 2i  5 Gọi M m; lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun của z, tính M m

Gọi zxyi x y; ;   có điểm  M x y biểu diễn  ;  z

Nên từ  2 và  3 suy ra M thuộc đoạn thẳng AB

Nhận xét rằng OAB là góc tù (hoặc quan sát hình vẽ) ta có M  z max OB 13 và

m z OA Vậy M m 2 13.(Chứng minh max min dựa vào các tam giác

;

OAM OBM lần lượt tù tại A M; )

Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2 i z 2 3i 2 5 Gọi M m; lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun của z, tính M m

Gọi zxyi x y; ;   có điểm  M x y biểu diễn z  ; 

Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 T  z 1 2 z 1

A maxT 2 5 B. maxT 2 10 C. maxT 3 5 D. maxT 3 2.

Lời giải

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức z ;  xyi, với x y  ,

Vì hình vẽ biểu diễn số phức z là hình vành khăn nằm ở góc phần tư thứ nhất của hệ trục toan

độ nên tâm của hai đường đồng tâm có tọa dương  loại A, B.

Quan sát hình vẽ ta thấy đường tròn lớn có đường kính bằng 8  bán kính R 4

A. P 4 5 B. P 2 C. P  2 D. P 4 5.

Lời giải Chọn C.

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức z ;  xyi, với x y  ,

Khi đó M là giao điểm của đường thẳng BH y: 2x2 và đường tròn x2y2 4

 tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 2 2 2 2

x y

x y

Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z  1 i 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

y

1

 2



1 2

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức z ;  xyi, x y   , 

B y

x I

I J E

F

Câu 24: Cho hai số phức z , 1 z thỏa mãn 22 z i  2iz , biết z1z2  Tính1 P z1z2

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức z ;   x yi, với x y  ,

 tập hợp điểm M là đường tròn  C tâm O , bán kính R 1

Mặt khác gọi N , P là điểm biểu diễn z , 1 z thì 2

Mặt khác gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn z , 1 z và 2 z2 thì A, B, C nằm trên

Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  5 Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức P z22 z i 2 Tính môđun của số phức wM mi

A w  2315 B w  1258 C w 3 137 D w 2 309

Lời giải Chọn B

Gọi K x y là điểm biểu diễn số phức z ;   x yi, với x y  ,

Câu 26: Trong mặt phẳng xOy, gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z 3 3i  3

Tìm phần ảo của z trong trường hợp góc xOM nhỏ nhất

A. 3 3

Lời giải Chọn A

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức z ;   x yi, với x y  ,

O A

B

C

x y

Ta có z 3 3i  3  x3y 3i  3  2  

 tập hợp điểm M là đường tròn tâm 3; 3, bán kính R  3

Gọi : AxBy là tiếp tuyến của  C đi qua điểm O

 Với A  chọn 0 B 1  :y0 không thỏa mãn vì khi đó xOM 180

 Với A 3B chọn B 1 thì A  3  : 3xy0 xOM 120  30HOM  Khi đó M là giao điểm của đường thẳng d đi qua tâm I của đường tròn và đường thẳng 

2

3 32

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức z ;  xyi, với x y  ,

 tập hợp điểm M là đường tròn  C có tâm I  1; 0, bán kính R 1.

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức z ;  xyi, với x y  ,

Gọi M a b là điểm biểu diễn số phức  ;  za bi , a b  , 

Khi đó để A z 1 3i  z  đạt giá trị nhỏ nhất thì 1 i M là giao điểm của  và  C

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình  42  32 5

b b





  

Với b2a2 z 2 2i A 17 10

3

1



H

Câu 31: Với hai số phức z và 1 z thỏa mãn 2 z1z2  8 6i và z1z2  Tìm giá trị lớn nhất của biểu2

thức P z1  z2

A. P  5 3 5 B. P 2 26 C. P 4 6 D. P 34 3 2

Lời giải Chọn B.

Gọi M , N lần lượt là điểm biểu các số phức z và 1 z 2

B

M I K

Gọi M a b là điểm biểu diễn số phức  ;  za bi , a b  , 

Khi đó để A z 1 3i  z  đạt giá trị lớn nhất thì 1 i M là giao điểm của  và  C

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình  42  32 5

b b

3

1

y

I K

A

B E

F

1

 2

 3

 4



1 2 3 4 5 6 7 8

M

Lại có IC 2 5 C nằm trên đường tròn tâm I , bán kính R 2 5

Khi đó P z 2 3i MC lớn nhất khi M D, với D  2;5 là điểm đối xứng của C qua I

Hay z  2 5i P  4 8i

Vậy Pmax 4 5

Câu 33: Cho hai số phức z và w biết chúng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 1 

2 11

i z i

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức z ;  xyi, với x y  ,

y

I A



3

 2

3

1

D

Ta có 1 

2 11

i z i

Gọi M a b ,  ;  N c d là điểm biểu diễn các số phức  ;  z1 a bi và z2  c di,a b c d  , , ,

B y

2

 





30120

150

MON MON

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức z ;  xyi, với x y  ,

N N

30

Câu 41. Cho số phức za bi , a0,b0 thỏa mãn a b  2 0; a4b120 Hỏi giá trị lớn

nhất của z là bao nhiêu?

m m i





  , trong đó m là số thực Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực

của tham số m sao cho 1

Câu 46. Xét số phức z thỏa mãn z 2 3i  z  6 i 2 17 Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 2i  z 2 i

P  B. Pmin  3 C. Pmin  13 D. Pmin  4

Câu 48. Cho số phức z thỏa mãn z2  z2  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của6

z z

2

T

_ TOANMATH.com _