BIẾN ĐỔI FOURIER NGƯỢC, CÁC VÍ DỤ MINH HỌA CHỨNG MINH TÍNH CHẤT TUYẾN TÍNH, TÍNH CHẤT TRỄ VÀ TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

Xử lý tín hiệu số (DSP: Digital Signal Processing) là môn học để cập đến các phép xử lý các dãy số để có các thông tin cần thiết phân tích, tổng hợp mã hóa, biến đổi tín hiệu sang dạng mới phù hợp với hệ thống So sánh với xử lý tín hiệu tương tự, xử lý tín hiệu số có nhiều ưu điểm như: - Độ chính xác cao, chép trung thực, tin cậy - Tính bền vững: không chịu ảnh hưởng nhiều của nhiệt độ hay thời gian - Linh hoạt và mềm dẻo: thay đổi phần mềm có thể thay đổi các tính phần cứng - Thời gian thiết kế nhanh, các chip DSP ngày càng hoàn thiện và có độ tích hợp cao Trong môn học Xử lý tín hiệu số 1, những nội dung chính đề cập bao gồm các khái niệm về tín hiệu và hệ thống, các phép biến đổi bản dùng xử lý tín hiệu số biến đổi z, biến đổi Fourier, biến đổi FFT, các phương pháp tổng hợp bộ lọc FIR, IIR và cấu trúc bộ lọc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC KHOA ĐIỆN, ĐIỆN TỬ VÀ CÔNG NGHỆ VẬT LIỆU

BIẾN ĐỔI FOURIER NGƯỢC, CÁC VÍ DỤ MINH HỌA CHỨNG MINH TÍNH CHẤT TUYẾN TÍNH, TÍNH CHẤT TRỄ

VÀ TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA PHÉP

BIẾN ĐỔI FOURIER

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 1

DTV3023 GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: NGUYỄN VĂN ÂN

HUẾ, THÁNG 12 NĂM 2021

MỤC LỤC

DANH MỤC HÌNH ẢNH

DANH MỤC BẢNG BIỂU

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 BIẾN ĐỔI FOURIER NGƯỢC 2

1.1 ĐỊNH NGHĨA 2

1.2 VÍ DỤ MINH HỌA 4

CHƯƠNG 2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP ĐỔI FOURIER 7

2.1 TÍNH CHẤT TUYẾN TÍNH 7

2.2 TÍNH CHẤT TRỄ 8

2.3 TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG 10

TÀI LIỆU THAM KHẢM

PHIẾU ĐÁNH GIÁ TIỂU LUẬN

Trang

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1.1 Biểu diễn x(n) tìm được sau khi biến đổi Fourier ngược 6

Hình 2 Đồ thị x (n) 12

Hình 3 Đồ thị ℜ[X(e jωω) ] 13

Hình 4 Đồ thị ℑ[X(e jωω) ] 13

Hình 5 Đồ thị|X(e jωω) | 14

Hình 6 Đồ thị arg[X(e jωω) ] 14

Trang

LỜI NÓI ĐẦU

Xử lý tín hiệu số (DSP: Digital Signal Processing) là môn học để cập đến các phép xử lý các dãy số để có được các thông tin cần thiết như phân tích, tổng hợp mã hóa, biến đổi tín hiệu sang dạng mới phù hợp với hệ thống So sánh với xử lý tín hiệu tương tự, xử lý tín hiệu số có nhiều ưu điểm như:

năng phần cứng

tích hợp cao

Trong môn học Xử lý tín hiệu số 1, những nội dung chính được đề cập bao gồm các khái niệm về tín hiệu và hệ thống, các phép biến đổi cơ bản dùng trong xử lý tín hiệu số như biến đổi z, biến đổi Fourier, biến đổi FFT, các phương pháp tổng hợp bộ lọc FIR, IIR và cấu trúc bộ lọc

Bài báo cáo tiểu luận gồm 2 chương:

CHƯƠNG 1 BIẾN ĐỔI FOURIER NGƯỢC

CHƯƠNG 2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

CHƯƠNG 1 BIẾN ĐỔI FOURIER NGƯỢC 1.1 ĐỊNH NGHĨA

Về mặt toán học chúng ta có quan hệ sau đây:

Chúng ta biết rằng X(e jωω) là một hàm tuần hoàn của biến tần số ω có chu kỳ là 2 π và X(e jωω) tồn tại nếu điều kiện (1.1 1) được thỏa mãn Vậy chúng ta có thể khai triển hàm X(e jωω) thành chuỗi Fourier trong khoảng (−π , π ) vì thế chúng ta có thể coi các hệ số của khai triển chuỗi Fourier này chính là x (n), tức là chúng ta có thể tìm thấy các giá trị của x (n) từ X(e jωω)

Định lý:

Mặt khác ta xét công thức biến đổi Fourier:

n=−∞

+∞

Nhân cả 2 vế với e jωωk rồi lấy tích phân trong khoảng (−π , π ) ta có:

∫

−π

π

−π

π

[ ∑

n=−∞

∞

x (n) e−jωωn

]e jωωk dωω=∫

−π

π

x (n ) e jωω(k−n)

n=−∞

∞

−π

π

e jωω(k−n)

dωω

2

n=−∞

∞

n=−∞

∞

∫

−π

π

e jωω(k−n)

dωω={2 π n ´ê u k=n

0 n ´ê u k ≠ n (1.1 2)

n=−∞

∞

−π

π

e jωω(k−n)

dωω={2 πx (k )n ´ê u k=n

0 n ´ê u k ≠ n

Cuối cùng ta có:

Ω – tần số của tín hiệu liên tục

Đây chính là công thức biến đổi Fourier ngược, cho phép chuyển tín hiệu từ miền tần số về miền thời gian

Vậy ta có cặp biến đổi Fourier sau đây:

2 π∫

−π

π

X(e jωω)e jωωn dωω

n=−∞

+∞

Ký hiệu:

1.2 VÍ DỤ MINH HỌA

2

2 π∫

−π

π

X(e jωω)e jωωk dωω

(1.1 3)

0 ω c `o n lại (−π ≤ ω ≤ π )

Bài giải

Ta có:

X(e jωω)=A(e jωω) e jωθω

Từ đây theo đề bài ta suy ra: A(e jωω)=1 θ (ω )=0

2 π ∫

−ω c

ω c

2 πjωn e

jωωn

|ω c

−ω c

2 πjωn(e

jω ω c n

−e−jω ω c n

)= 1

4

π

sin(ω c n)

2

sin(π2n)

π

2n

¿n=0 : x (0 )=1

2

2

sin(π2)

π

2

=1

2

sin(π2.2)

π

2.2

=0=x (−2)

2

sin(π2.3)

π

2.3

=−1

3 π=x (−3)

2

sin(π2.4)

π

2.4

=0=x (−4)

2

sin(π2.5)

π

2.5

= 1

2

sin(π2 .6)

π

2.6

=0=x (−6)

Đây chính là đáp ứng xung bộ lọc nửa băng tần, rất có lợi trên thực tế Đặc điểm của bộ lọc này là tất cả những điểm chẵn đều bằng 0, lợi dụng tính chất này người ta thường chia thành 2 băng nên tốc độ tính toán và truyền đi nhanh

Hình 1.1 Biểu diễn x(n) tìm được sau khi biến đổi Fourier ngược

Ở đây ta rút ra 3 nhận xét:

Helmitle)

CHƯƠNG 2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP ĐỔI FOURIER

2.1 TÍNH CHẤT TUYẾN TÍNH

Giả sử ta có hai tín hiệu x1(n ) và x2(n ) và biến đổi Fourier của chúng là:

6

{FT[x1(n)]=X1(e jωω)

FT[x2(n)]=X2(e jωω)

Chúng ta coi x (n) được tạo bởi tổ hợp tuyến tính của hai dãy x1(n ) và x2(n )

như sau:

Ở đây a và b là các hằng số

n =−∞

∞

[a x1( n)+b x2(n)]e−jωωn

=a ∑

n =−∞

∞

x1(n )e−jωωn+b ∑

n=−∞

∞

x2(n) e−jωωn

Biểu thức (2.1 1) và (2.1 2) thể hiện tính tuyến tính của biến đổi Fourier.

Ví dụ 2.1.1: Hãy xác định biến đổi Fourier của tín hiệu sau đây:

với:

x1(n )={ (12)n n ≥0

0 n<0

; x2(n )={ (13)n n ≥ 0

0 n<0

Bài giải

Áp dụng tính chất tuyến tính của chuỗi Fourier ta có:

X(e jωω)=2 X1(e jωω)+3 X2(e jωω)

Mặc khác ta có:

(2.1 1)

(2.1 2)

⇒ X(e jωω)=a X1(e jωω)+b X2(e jωω)

X1(e jωω)=∑

n =0

∞

(12)n e−jωωn

=∑

n=0

∞

(12e

−jωω

1−1

2e

−jωω

n =0

∞

(13)n e−jωωn

=∑

n=0

∞

(13e

−jωω

1−1

3e

−jωω

Vậy:

1−1

2e

1−1

3e

2−e−jωω+ 9

3−e−jωω= 30−13 e−jωω

e jω 2 ω−5 e−jωω

+6

2.2 TÍNH CHẤT TRỄ

Giả sử y (n) là phiên bản trẽ của x (n), tức là:

n0 là số nguyên

Ta có:

n =−∞

∞

=∑

n=−∞

∞

Đổi biến số: k =n−n0, ta có:

Biểu thức (2 2 1) và (2 2 2) thể hiện tính chất trễ của biến đổi Fourier Nếu ta biểu diễn Y(e jωω) ở dạng modul và argument, ta có:

8

(2.2 1)

(2.2 2)

k =−∞

∞

x ( k ) e−jωωn e−jωω n0

=e−jωωn0X(e jωω)

(2.2 3)

{ |Y(e jωω) |=|X(e jωω) |

arg[Y(e jωω) ]=−ω n0+arg[X(e jωω) ]

⇒ Từ biều thức (2.2 3) ta thấy rằng tín hiệu x (n) trễ đi n0 mẫu trong miền biến độc lập n, thì trong miền tần số phổ biên độ của nó giữ nguyên không đổi, còn phổ

Ví dụ 2.2.1: Cho x (n)=rect N(n−n0)

- Hãy tìm X(e jωω)

- Hãy tìm phổ biên độ và phổ pha của x (n)

Bài giải

Áp dụng tính chất trễ, ta có:

Trước tiên ta tìm biến đổi Fourier của dãy x (n)=rect N (n ):

n =−∞

∞

=∑

n=0

N −1

e−jωωn

=1−e−jωωN

1−e−jωω

¿e jωω

N

2−e−jωω

N

2

e jω

ω

2−e−jω

ω

2

−jωω N

2

e−jω

ω

2

=e−jω(N−1)

ω

2.

sin(ωN2 )

sin(ω2)

Áp dụng kết quả trên ta có:

X(e jωω)=

{e−jωωn0

e−jω(N −1)

ω

2.

sin(ωN2 )

sin(ω2) =e

−jωω(n0 +N−1

.

sin(ωN2 )

sin(ω2) ;e

−jωω

≠ 1

N e−jωωn0;e−jωω

=1

|X(e jωω) |={ |sin(ωN2 )

N ;ω=k 2 π

arg[X(e jωω) ]=

{ −ω(n0+N−1

2 )+arg[sin(ωN2 )

sin(ω2) ]

;ω≠ k 2 π

2.3 TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG

Vậy dãy liên hợp phức của x (n) là x¿(n) có dạng:

Bây giờ ta tìm quan hệ giữa FT[x¿

(n)] và FT[x (n )]:

n =−∞

∞

(n)]= ∑

n=−∞

∞

x¿

(n) e−jωωn={ [ ∑

n=−∞

∞

x¿

(n )e−jωωn]¿}¿

¿{ ∑

n=−∞

∞

x (n) e jωωn}¿={X(e−jωω) }¿=X¿(e−jωω)

Vậy:

10

(2.3 1)

(2.3 2)

x¿

(n)=ℜ[x (n)]−jωIm[x ( n)]

(2.3 3)

FT[x¿(n)]=X¿(e−jωω)

Nếu x (n) là thực thì:

Vậy đối với tín hiệu x (n) thực ta có quan hệ sau đây:

Hay:

Từ quan hệ (2.3 4) hay (2.3 5) ta có thể nói rằng phổ của tín hiệu thực có tính đối xứng Hermit (Hermitian Symmetry)

Từ đây thấy rằng đối với x (n) thực ta có:

{ℜ[X(e jωω

) ]=ℜ[X(e−jωω

) ](2.3 6 )

ℑ[X(e jωω

) ]=−ℑ[X(e−jωω

) ](2.3.7 )

Tức là:

ℜ[X(e jωω) ] là hàm chẵn của ω

ℑ[X(e jωω) ] là hàm lẻ của ω

Tương tự đối với modun và argument ta cũng có:

{ |X(e jωω) |=|X(e−jωω

) |(2.3 8)

arg[X(e jωω) ]=−arg[X(e−jωω

) ](2.3.9 )

Vậy ta nói rằng |X(e jωω) | là đối xứng (hoặc đối xứng chẵn), còn arg[X(e jωω) ] là phản đối xứng (hoặc đối xứng lẻ)

Ví dụ 2.3.1: Cho

Hãy tính X(e jωω), ℜ[X(e jωω) ], ℑ[X(e jωω) ],|X(e jωω) | và arg[X(e jωω) ] Sau đó hãy vẽ chúng

x¿

(n) ≡ x (n) và FT[x¿

X¿(e−jωω)=X(e jωω) (2.3 4)

(2.3 5)

X¿(e jωω)=X(e−jωω)

Bài giải

n =−∞

∞

=∑

n=0

∞

(34)4e−jωωn

=∑

n=0

∞

(34e

−jωω

)n

1−3

4e

−jωω

=

1−3

4 e

−jωω

4e

−jωω

4e

−jωω

)

=

1−3

4cos ω− jω

3

4sin ω

4cosω)2+(34)2sin ω

=

1−3

4cos ω− jω

3

4sin ω 1−3

2cosω+(34)2

Hình 2 Đồ thị x (n)

Vậy ta có:

ℜ[X(e jωω) ]=

1−3

4cosω

4cos ω)2+(34)2sin2ω

=

1−3

4cosω 1−3

4cosω+(34)2

ℑ[X(e jωω

) ]=

−3

4sin ω

4cosω)2+(34)2sin2ω

=

−3

4sin ω 1−3

4cos ω+(34)2

12

Hình 3 Đồ thị ℜ[X(e jωω) ]

Hình 4 Đồ thị ℑ[X(e jωω) ]

sau:

|X(e jωω) |=√R e2[X(e jωω) ]+I m2[X(e jωω) ]

arg[X(e jωω) ]=arctgℑ[X(e jωω) ]

ℜ[X(e jωω

) ]

Do đó ta có:

|X(e jωω) |= 1

√ (1−3

4cos ω)2+(34)2sin2ω

√25

16−

6

4cosω

√1−3

2cosω+(34)2

arg[X(e jωω) ]=−arctg

3

4sin ω 1−3

4cos ω

Hình 5 Đồ thị |X(e jωω) |

Hình 6 Đồ thị arg[X(e jωω) ]

14

TÀI LIỆU THAM KHẢO

thuật – 2001

BC – VT, Tp.HCM