Khi đó dùng phép nội suy ta có thể dễ dàng tính được f tại bất kỳ x ∈ [a,b] mà độ chính xác không kém bao nhiêu.. Xây dựng một hàm để ước lượng tích phân trong R bằng công thức Simpson..
Trang 1
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC
PHƯƠNG PHÁP TÍNH
NHÓM 7 LỚP L06
GVHD: ThS Đoàn Thị Thanh Xuân
Trang 3MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC 1
DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 2
1 Câu 1 3
2 Câu 2 7
3 Câu 3 9
Trang 4DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM
STT Họ và tên MSSV Nội dungthực hiện
1 Nguyễn Trung Quân 1914840 Câu 1
Câu 2 Câu 3 3
Trang 51 Câu 1
Một bể hình cầu có một lỗ hình tròn ở đáy mà qua đó chất lỏng chảy ra Dữ liệu thu thập cho biết tốc độ dòng chảy qua lỗ là hàm số theo thời gian:
Q (m 3 /hr) 10.55 9.576 9.072 8.640 8.100 7.560
Q (m 3 /hr) 7.020 6.480 5.688 4.752 3.348 1.404 Viết phương trình để:
a) Ước tính thể tích chất lỏng (tính bằng lít) thoát ra trong toàn bộ thời gian đo
b) Ước lượng mực chất lỏng trong bình tại t = 0 Biết rằng r = 1.5m
Đa thức nội suy:
Trong thực tế, nhiều khi ta phải sử dụng hàm y = f(x) mà không biết biểu thức giải tích, chỉ biết giá trị yi = f(xi) tại các điểm xi ∈ [a,b], (i = 0, 1, , n)
Cũng có trường hợp biểu thức giải tích f(x) đã cho nhưng quá cồng kềnh Khi
đó dùng phép nội suy ta có thể dễ dàng tính được f tại bất kỳ x ∈ [a,b] mà độ chính xác không kém bao nhiêu
Bài toán nội suy đa thức: Cho hàm số y = f(x) dưới dạng bảng:
Trang 6f(x) y0 y1 yn
Đa thức Lagrange cơ bản dạng tổng quát:
l k (x) = ∏
i=0 ,i ≠ k
n x−x i
x k −x i thỏa mãn { l k(x k)=1
l k(x i)=0,i ≠ k
Khi đó đang thức nội suy Lagrange:
L n (x) = ∑
k=0
n
y k l k (x) = y0 l 0 (x) + y 1 l 1 (x) + y 2 l 2 (x) + … + y n l n (x)
Áp dụng:
Vận tốc dòng theo thời gian:
Q (m 3 /hr) 10.55 9.576 9.072 8.640 8.100 7.560
Q (m 3 /hr) 7.020 6.480 5.688 4.752 3.348 1.404
Gọi hàm vận tốc: Q(t)
Sử dụng công cụ Mathlab để xác định đa thức nội suy
Bước 1: Nhập số liệu
Trang 7Bước 2: Dùng hàm polyfit để tìm đa thức nội suy đa thức Q(t)
→ x, y tuyến tính
Bước 3: Dùng hàm polyfit để tìm đa thức nội suy đa thức Q(t)
Polyfit(x,y,n) với n = 1: bậc của phương trình nội suy, ta ra được bảng kết quả:
→ Đa thức Q(t) = −0.0003t + 2.8867
Lưu lượng là đạo hàm của thể tích theo thời gian
Trang 8→ Thể tích chất lỏng thoát ra sau t = 7500s:
Vchảy = −0.00015t2 + 2.8867t = 13212.75 (lít)
Thể tích bình chứa:
Vbình = 4/3*π*r3
= 14.1372 m3 = 14137.2 lít Thời gian để bình chảy hết nước: Q(t) = 0
↔ −0.0003t + 2.8867 = 0
↔ t = 9622s
Vnước trong bình t = 0 = Vnước chảy ra tại t = 9622s = −0.00015×96222 + 2.8867×9622 = 13888.3946 lít > Vbình/2
→ Thể tích nước trong bình tại t = 0:
Vbình − Vt = 0 = π*h2*(r – h3 ) (lít) 14137.2 − 13888.3946 = π*h2*(15 – h3 ) (lít)
↔ h = 2.36 (dm) = 0.236 (m)
Mực chất lỏng tại t = 0: H = 2r – h = 3 – 0.236 = 2.764 (m)
Trang 92 Câu 2
Gọi R là hình chữ nhật [0; 2] × [1; 4]
a) Cho f (x; y) = xcos (x2 + y) Tính tích phân ∬
R
f (x , y)ⅆA
b) Nghiên cứu công thức Simpson Xây dựng một hàm để ước lượng tích phân trong R bằng công thức Simpson
c) Gọi n và m lần lượt là số khoảng con trong x và y thành phần Ước lượng tích phân với [n; m] = [40; 60] và [n; m] = [80; 120] và ước tính các sai số
GIẢI:
b) Cho hàm số ∫
a
b
dy∫
u
v
f (x, y)dx, đặt z=f (x , y) ứng với mỗi điểm x i, ta luôn có hàm số:
z=f (x i , y)
Như vậy, sau khi coi x i là một hàm số, mỗi giá trị x i cụ thể tương ứng với một hàm số của z, ta có thể coi đây là một hàm số một biến z=f ( y), ta sẽ áp dụng
phương pháp Simpson để tính tích phân trên
Tiếp tục phân hoạch [a,b] của y thành 2n đoạn bằng nhau, Công thức Simpson như sau:
I= h y
3 ¿ Như vậy ta đã loại được biến y ra khỏi z Tuy nhiên, lúc này I trở thành một hàm số khác phụ thuộc vào biến x (Ta giả sử x là hằng số, không có nghĩa nó thật
sự là hằng số)
Tiếp tục phân hoạch [u,v] của x thành 2k đoạn bằng nhau, kết quả bài toán sẽ là:
∫
a
b
dy∫
u
v
f (x, y)dx=V = h x
3 ¿ Với
I= h y
3 ¿
Trang 10Rõ ràng, với hai biến, chúng ta sẽ phải liên tục thay đối giá trị (Tính liên tục các z để tìm I theo x, mà mỗi I như vậy chỉ là một phần tử trong 2k phần tử để tính V) và việc giải tay gần như là bất khả thi với đoạn phân hoạch lớn (Phân thành 40 hoặc 60 đoạn, chúng ta cần tính hàm z 2400 lần, đối với phân hoạch thành 80 và
120 đoạn, con số này là 9600 lần), vì vậy, ta sẽ sử dụng thuật toán bằng chương trình Mtalab để giải quyết bài toán)
a và c)
Kết quả
Trang 113 Câu 3
Nhiệt được dẫn dọc theo một thanh kim loại được định vị giữa hai bức tường nhiệt độ cố định Ngoài quá trình dẫn nhiệt được truyền giữa thanh và không khí xung quanh bằng cách đối lưu Dựa trên sự cân bằng nhiệt, sự phân bố nhiệt độ dọc theo thanh được mô tả bằng phương trình vi phân bậc hai sau đây:
0= ⅆ2T
ⅆ 2x +h(T ∞−T) Trong đó: T = nhiệt độ (K), h = hệ số truyền nhiệt khối phản ánh tầm quan trọng tương đối của đối lưu đối với sự dẫn m−2, x = khoảng cách dọc theo thanh (m),
và T1 = nhiệt độ của chất lỏng xung quanh (K)
a) Chuyển đổi phương trình vi phân này thành một hệ phương trình đại số đồng thời tương đương bằng cách sử dụng phép xấp xỉ sai phân trung tâm cho đạo hàm cấp hai
b) Phát triển một hàm để giải các phương trình này từ x = 0 đến L và trả về khoảng cách và nhiệt độ kết quả, trong đó, phương trình đại số phải được giải bằng
ma trận tam giác
c) Phát triển một tập lệnh gọi hàm này và sau đó vẽ biểu đồ kết quả
d) Kiểm tra tập lệnh của bạn cho các tham số sau: h = 0,0425 m−2, L = 12 m,
Tꝏ = 220 K, T(0) = 320 K, T (L) = 450 K, và ∆x = 0,5 m
GIẢI
a) Cơ sở lý thuyết:
Xấp xỉ đạo hàm cấp hai của hàm T(x2) có thể viết dưới dạng
d2T
d x2 =T i−1 −2T i +T i+1
¿¿
Với x là khoảng cách giữa điểm i và i+1 (Thường được cho trước, hoặc cho độ dài L và số lần chia n để tính x= L n
Thay (1) vào phương trình của đề bài ta có:
T i−1 −2T i +T i+1
¿¿
Sau khi rút gọn, ta có:
Trang 12−T i−1+2 ¿ Với h,(T ∞) là các giá trị cho trước Phương trình (2) cũng là kết quả của câu a
mà bài toán yêu cầu
Bằng các phân hoạch độ dài L thành n điểm khác nhau, cách đều một đoạn x ,
ta có thể đưa ra một hệ gồm n−1 phương trình:
−T0+2 ¿
−T1+2 ¿
−T n−2+2 ¿ Nếu đề cho trước giá trị đầu và cuối, tức T0 và T n, ta có thể sử dụng ma trận tam giác, bằng cách đưa hệ này về phương trình AT = B
¿
[ T1
T2
…
T n−1] chính là kết quả của câu c sau khi thay các giá trị vào phương trình Đoạn code dưới dây sử dụng để giải bằng ma trận tam giác để tìm ra [T1
T2
…
T n], thuật toán được sử dụng sau khi đã thành công đưa ra được hàm quy luật (2) (Ở câu a), đồng thời đưa ra phương trình vi phân chính xác của câu hỏi và vẽ đồ thị
Thuật toán yêu cầu nhập giá trị của đề bài Có thể thay đối những giá trị (Trong phạm vi cho phép) để đưa ra những mô hình và đồ thị cùng kết quả khác nhau
b, c, d)
Trang 13n = (L/delx)-1;
%Khởi tạo các vector phụ
e1 = 0:0.1:(n-1)*0.1; %Vector cho hệ số thứ nhất của pt f1 = 0:0.1:(n-1)*0.1; %Vector cho hệ số thứ hai của pt g1 = 0:0.1:(n-1)*0.1; %Vector cho hệ số thứ ba của pt r1 = 0:0.1:(n-1)*0.1; %Vector kết quả của tất cả pt của hệ
k = 0:0.1:0.1; %Vector phụ
%Khởi tạo vòng lặp nhập các hệ số vào vector
%Do T(0)và T(L) của hệ là một số cụ thể, vì vậy ta
chuyển %vế để gộp với r, vì thế e(1) và g(L) = 0
for i = 1:n
if i ==1
e1(i) = 0;
f1(i) = 2 + h*(delx)^2;
g1(i) = -1;
r1(i) = To + Tinf*h*(delx)^2;
else if i == n
e1(i) = -1;
f1(i) = 2 + h*(delx)^2;
g1(i) = 0;
r1(i) = TL + Tinf*h*(delx)^2;
else
e1(i) = -1;
f1(i) = 2 + h*(delx)^2;
g1(i) = -1;
r1(i) = Tinf*h*(delx)^2;
end
end
end
%Trả kết quả của câu d
%Nghiệm của hệ khi dùng Tridiagonal matrix
t = Trida(e1,f1,g1,r1);
for i = 1:n
fprintf('Tai vi tri L = %f, ta duoc T = %f\
n',i*delx,t(i));
end
syms T(L)
%Tìm nghiệm của phương trình vi phân
eqn = diff(T,L,2) == h*(T-Tinf);
cond = [T(0)==320, T(12)==450];
TSol(L) = dsolve(eqn,cond);
disp('Phuong trinh nhiet do T theo do dai L co dang'); disp(TSol(L))
%Vẽ đồ thị của phương trình vi phân
Trang 14L = 0:0.5:12;
plot(L,TSol(L),'b o')
title('Phuong trinh nhiet do T')
xlabel('Do dai thanh kim loai (m)')
ylabel('Nhiet do thanh kim loai (K)')
end %Kết thúc bước phân tích dữ liệu
%Dưới đây là thuật toán của Trdiagonal matrix
function x=Trida(e,f,g,r)
b=length(f);
for k = 2:b
factor = e(k)/f(k-1);
f(k) = f(k) - factor*g(k-1);
r(k) = r(k) - factor*r(k-1);
end
x(b) = r(b)/f(b);
for k = b-1:-1:1
x(k) = (r(k)-g(k)*x(k+1))/f(k);
end
end %Kết thúc bài toán
Kết quả: