CHUYÊN ĐỀ: VẬN DỤNG PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II ĐỂ TÌM QUY LUẬT CỦA VẬT TRONG CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT (GIẢI NHÌ MÔN VẬT LÍ TẠI HỘI THẢO KHOA HỌC CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 20212022)

CHUYÊN ĐỀ: VẬN DỤNG PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II ĐỂ TÌM QUY LUẬT CỦA VẬT TRONG CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT (GIẢI NHÌ MÔN VẬT LÍ TẠI HỘI THẢO KHOA HỌC CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 20212022) ĐÂY LÀ MỘT TRONG SỐ HAI CHUYÊN ĐỀ ĐƯỢC ĐÁNH GIÁ VÀ TRAO GIẢI NHÌ TRONG SỐ CÁC CHUYÊN ĐỀ VẬT LÍ GỬI VỀ.

1

CHUYÊN ĐỀ:

VẬN DỤNG PHƯƠNG TRÌNH

LAGRANGE LOẠI II

ĐỂ TÌM QUY LUẬT CỦA VẬT

TRONG CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT

HỒ MINH NHỰT – SƯU TẦM 2021

2

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU 3

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 3

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 4

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 4

IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 4

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 4

VI NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI 5

VII PHẠM VI NGHIÊN CỨU 5

B NỘI DUNG 6

PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 6

I TỔNG QUÁT 6

1 Những khái niệm về liên kết Tọa độ suy rộng 6

2 Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo 8

3 Công ảo và liên kết lí tưởng 9

II PHƯƠNG TRÌNH LAGRAGE LOẠI II 11

1 Nguyên lý Dalambert – Lagrange 11

2 Phương trình Lagrange loại II 11

III VẬN DỤNG PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II ĐỂ TÌM PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA MỘT SỐ CƠ HỆ 16

1 Quy trình chung 16

2 Vận dụng cho các cơ hệ điển hình 16

PHẦN 2: VẬN DỤNG GIẢI TOÁN 34

PHẦN 3: BÀI TẬP RÈN LUYỆN 52

C KẾT LUẬN 55

D TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

Các bài toán có chuyển động liên kết thường là các bài toán cơ học thuộc loại khó đối với học sinh và nó hay xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi Vật Lý Mặc dù vậy trong các sách giáo khoa lại không đề cập một cách chi tiết nội dung này, do đó học sinh thường lúng túng không có định hướng khi giải quyết các bài toán có chuyển động liên kết

Để khảo sát chuyển động của một hệ vật hầu như chúng ta khá quen thuộc với việc áp dụng các định luật Newton để giải quyết Các định luật Newton rất dễ nhớ, tuy nhiên trong thực tế việc triển khai chúng lại rất khó khăn bởi vì:

o Để khảo sát được một hệ có liên kết thì các lực liên kết phải được tính tới, trong thực tế đa số các trường hợp lực liên kết lại phức tạp không

dễ dàng tính được

o Số phương trình cần có cho một cơ hệ n bậc tự do là 3n , cùng với các

phương trình mô tả các ràng buộc tương ứng với các liên kết

o Mọi quan hệ trong các phương trình của Newton đều thể hiện dưới dạng vecto, điều này cũng khiến việc giải các phương trình cũng trở nên phức tạp hơn

Nhận thấy được những hạn chế trên, năm 1788, Lagrange đã phát biểu lại cơ học cổ điển của Newton Theo Lagrange quỹ đạo chuyển động của hệ vật là nghiệm của các phương trình Lagrange (có hai dạng là loại I và loại II)

4

Ưu điểm của các phương trình này là chúng chỉ hướng tới những đại lượng vô hướng như động năng, thế năng để mô tả chuyển động của một hệ, điều đó làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều

Từ những lý do trên tôi chọn chuyên đề “ Vận dụng phương trình Lagrange loại II để tìm quy luật của vật trong chuyển động liên kết”

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích của chuyên đề này là xây dựng quy trình chung nhằm vận dụng phương trình Lagrange loại II để tìm ra quy luật chuyển động của một số cơ hệ trong chuyển động liên kết

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Đề tài này thực hiện các nhiệm vụ nghiên cứu sau:

o Nghiên cứu các khái niệm cơ bản về liên kết, liên kết lí tưởng, tọa độ suy rộng, hàm Lagrange

o Xây dựng phương trình Lagrange loại II

o Xây dựng quy trình chung để vận dụng phương trình Lagrange loại II nhằm tìm ra quy luật chuyển động của một số cơ hệ trong chuyển động liên kết

o Vận dụng quy trình đã xây dựng để tìm quy luật chuyển động của một

số cơ hệ liên kết điển hình

IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Đối tượng nghiên cứu chuyên đề này là ứng dụng phương trình Lagrange loại

II để tìm ra quy luật chuyển động của các cơ hệ

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu lý thuyết về phương trình Lagrange loại II và vận dụng phương trình Lagrange loại II

VII PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Chuyên đề này chỉ nghiên cứu cho cơ hệ chịu liên kết lí tưởng

6

B NỘI DUNG PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I TỔNG QUÁT

1 Những khái niệm về liên kết Tọa độ suy rộng

1.1 Số bậc tự do – liên kết

Ta xét một cơ hệ gồm N chất điểm M M M1, 2, 3 ,M chuyển động đối với hệ N

quy chiếu quán tính Vị trí của chất điểm M được xác định bởi bán kính vecto i

i

r hay ba tọa độ Descarter x , i y và i z Để xác định vị trí của cơ hệ ta cần N i

bán kính veto r i, với i1, 2,3, ,N hay tương ứng 3N tọa độ Descarter

Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ gọi

là số bậc tự do của cơ hệ

Cơ hệ được gọi là tự do nếu những chất điểm tạo thành cơ hệ có thể chiếm những vị trí bất kì trong không gian và có những vận tốc bất kì Nói cách khác,

cơ hệ tự do thì vị trí và vân tốc của những chất điểm tạo nên cơ hệ không bị ràng

buộc bởi những điều kiện nào Số bậc tự do của cơ hệ là 3N

Trong thực tế ta gặp các cơ hệ không tự do, nghĩa là cơ hệ mà vị trí và vận tốc

bị hạn chế bởi những điều kiện nào đó

Những điều kiện hạn chế vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ trong không gian gọi là liên kết

 Ví dụ 1: Cơ hệ gồm hai chất điểm M và 1 M nối với nhau bằng một thanh 2

có độ dài l là một cơ hệ không tự do

Sáu tọa độ Descarter xác định vị trí của hai chất điểm thõa mãn phương trình

7

 Ví dụ 2: Cơ hệ gồm hai vật nối với nhau bởi một sợi dây lí tưởng chiều dài

l vắt qua ròng rọc trong mặt thẳng đứng là hệ không tự do

Sáu tọa độ Descarter xác định vị trí của hai vật thõa mãn các phương trình

Để khảo sát được cơ hệ ta cần chỉ ra được liên kết đặt lên cơ hệ Liên kết này

được biểu diễn bởi n phương trình

 Ví dụ 2: Ta xét chuyển động của một thanh rắn, được cố định một đầu

Vị trí khối tâm của thanh trong quá trình chuyển động có thể được xác định dựa vào góc  Lúc này  được gọi là tọa độ suy rộng

2 Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo

r

i

d r

9

Chất điểm M được xác định bởi vecto vị trí r i Sau một khoảng thời gian vô

cùng bé dt vị trí của chất điểm được xác định bởi r i d r i

Tập hợp tất cả các vecto dịch chuyển vô cùng bé d r i được gọi là những dịch chuyển khả dĩ

gọi là những vecto dịch chuyển ảo

3 Công ảo và liên kết lí tưởng

3.1 Công ảo

Giả sử chất điểm M chuyển động dưới tác dụng của lực i F i Nếu chất điểm này chuyển động tự do thì theo định luật II Newton, ta có

i i i

F a m

 Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động trên một mặt phẳng nhẵn (không ma

sát) thì phản lực liên kết R i vuông góc với dịch chuyển ảo r i , nên R r i i 0

 Ví dụ 2: Trong thực tế, một cơ hệ dù phức tạp đến đâu cũng được cấu tạo

từ những cặp vật rắn theo các kiểu sau đây: hai vật rắn liên kết với nhau bằng thanh rắn, hoặc chuyển động quanh một điểm cố định, hoặc tiếp xúc với nhau bằng bề mặt của chúng Một cơ hệ phức tạp như vậy có thể khảo sát như một cơ

hệ chịu những liên kết lí tưởng Tuy nhiên cũng cần chú ý rằng, trong thực tế không phải mọi liên kết đều là lí tưởng Ví dụ một vật rắn trượt lên một vật rắn khác, lúc này phản lực R không vuông góc với dịch chuyển ảo Ta có thể phân tích R thành hai thành phần là N và F ms Thành phần N vuông góc với dịch chuyển ảo nên N r 0, còn thành phần song song với r ta xem như một lực hoạt động đã biết Như vậy tác dụng liên kết không lí tưởng bất kì lên cơ hệ tương đương với liên kết lí tưởng và một lực hoạt động bằng lực ma sát

R

i r



i r



R

N

ms F

11

II PHƯƠNG TRÌNH LAGRAGE LOẠI II

1 Nguyên lý Dalambert – Lagrange

Xét cơ hệ gồm N chất điểm chịu những lực liên kết lí tưởng đặt lên nó,

phương trình chuyển động của chất điểm i trong hệ có dạng

Biểu thức (2.1) được gọi là nguyên lý Dalambert – Lagrange

Trường hợp riêng, khi hệ ở trạng thái cân bằng a  i 0 ta thu được nguyên lý quan trọng của tĩnh học

1

0

N

i i i

F r





Phương trình (2.2) được gọi là nguyên lý dịch chuyển ảo

2 Phương trình Lagrange loại II

Xét cơ hệ gồm N chất điểm, liên kết đặt lên cơ hệ được biểu diễn bằng n

Khi   , thì 0 q k q t k ,0 q t k  xác định vị trí thực của cơ hệ

Khi   , thì tọa độ suy rộng 0 q k q t k , xác định vị trí khả dĩ của cơ hệ phù hợp với liên kết đặt lên nó

Dạng q thay đổi khi biến số k t không thay đổi nhưng thông số  thay đổi

Ta định nghĩa biến phân của tọa độ suy rộng q k t là đại lượng được xác định bằng biểu thức

Đại lượng Q được gọi là lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng k

Biến đối Z về dạng thuận tiện hơn ta được k

Phương trình (2.11) được gọi là phương trình Lagrange loại II hay phương

trình Lagrange trong tọa độ suy rộng

Để tìm được phương trình chuyển động của cơ hệ ta chỉ cần giải hệ thống s

phương trình Lagrange loại II

Đại lượng k

k

dq q

dt

 được gọi là vận tốc suy rộng; đại lượng

2 2

k k

d q q

q





 được gọi là xung lượng suy rộng

Nếu hoạt lực F i tác dụng lên cơ hệ là lực thế thì ta có

i

i

U F

r



 

 (2.12) Biểu thức lực suy rộng trong trường hợp này có dạng

Ta đặt r k r q q q k 1, 2, 3, ,q t s,  thay vào biểu thức của U thì thế năng U chỉ

phụ thuộc vào q và thời gian k t

 1 , 2 , 3 , , s, 

U U q q q q t

Nên

15

0

k

U q

U  Fdq

là thế năng của các lực thế và không thế

Từ (2.11), (2.14), (2.15) và (2.16) ta thấy rằng các phương trình Lagrange

loại II không chứa các phản lực liên kết và số phương trình đủ để mô tả chuyển động của cơ hệ là ít nhất đúng bằng số bậc tự do của cơ hệ Đây là ưu điểm nổi bật của các phương trình Lagrange loại II

o Bước 1: Xác định số bậc tự do của cơ hệ và chọn các tọa độ suy rộng

phù hợp

o Bước 2: Xác định động năng T của hệ qua các tọa độ suy rộng vừa chọn

o Bước 3: Xác định thế năng của hệ qua các tọa độ suy rộng vừa chọn

Với các lực không thế và các lực thế, thế năng có thể được xác định từ biểu thức tổng quát

U  A Fdq

Ở bước này, thay vì tính thế năng, ta có thể tính công của các lực hoạt động từ đó suy ra các lực suy rộng tương ứng Sử dụng phương trình Lagrange dạng (2.11)

o Bước 4: Thực hiện các phép toán đạo hàm để thu được phương trình vi

phân chuyển động

2 Vận dụng cho các cơ hệ điển hình

2.1 Hệ hai vật liên kết với nhau bằng dây lí tưởng

Bài toán 1: Hai vật có khối lượng m và 1 m được nối với nhau bằng sợi dây 2

mềm, không giãn, chiều dài l vắt qua ròng rọc cố định như hình vẽ Ròng rọc có

17

 Hướng dẫn:

Chọn tọa độ suy rộng là x như hình vẽ Khi đó vị trí của vật m được xác 2

định bởi l x

Ta xây dựng phương trình Lagrange cho cơ hệ

Động năng của hệ là tổng động năng tịnh tiến của hai vật m , 1 m và động 2

năng trong chuyển động quay của ròng rọc

Bài toán 2: Một ống hình trụ bán kính R, trọng lượng P được quấn xung 1

quanh bởi sợi dây Dây vắt qua ròng rọc cố định O (ròng rọc lí tưởng) rồi nối

với vật nặng A trọng lượng P Vật 2 A trượt trên mặt phẳng ngang với hệ số ma sát  Bỏ qua mọi ma sát

Xác định phương trình chuyển động của các vật

 Hướng dẫn:

Hệ gồm ống trụ tâm C và vật nặng A Chuyển động của vật A là chuyển động tịnh tiến; ống trụ chuyển động song phẳng

Vậy hệ có hai bậc tự do Ta chọn tọa độ suy rộng là x và  như hình vẽ

Xây dựng phương trình Lagrange cho hệ

Động năng của hệ là tổng động năng chuyển động tịnh tiến của vật A và động

năng chuyển động song phẳng của vật B

20

2 1 2

1 22

2.2 Chuyển động lăn không trượt của vật trên mặt phẳng nghiêng

Bài toán 1: Một đĩa tròn có khối lượng m , bán kính R chuyển động lăn

không trượt trên một mặt phẳng nghiêng góc  như hình vẽ Biết momen quán tính của đĩa tròn là I, mặt phẳng nghiêng cố định Xác định phương trình chuyển động của vật rắn

 Hướng dẫn:

Chọn tọa độ suy rộng x như hình vẽ

Ta xây dựng hàm Lagrange cho đĩa

Động năng của đĩa là tổng động năng chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay

12

21

Thế năng của đĩa

sin

U  mgx Vậy, hàm Lagrange của hệ là

2 2

1

sin2

 

Phương trình chuyển động của đĩa

2

sin

mg x

I m R

 Hướng dẫn:



22

Ta chọn tọa độ suy rộng là X và x như hình vẽ Ta xây dựng phương trình

Lagrange cho hệ

Động năng của hệ là động năng chuyển động tịnh tiến của mặt phẳng nghiêng

và động năng chuyển động song phẳng của đĩa

m m

23

0

L X

 

Phương trình Lagrange cho chuyển động của hệ

g X

2.3 Chuyển động của hạt trên một thanh quay

Bài toán 1: Một viên bi B, khối lượng m chuyển động dọc theo một thanh

nhẹ OA đang quay trong mặt phẳng nằm ngang với tốc độ góc  Bỏ qua mọi



Trong trường hợp này hàm Lagrange chỉ có động năng

Ta thực hiện các phép toán

T mr r

2

0

r r Phương trình trên cho ta nghiệm dưới dạng



r

25

Bài toán 2: Một hạt có thể trượt tự do, không ma sát quanh một vòng tròn

bánh kính R Vòng tròn quay với tốc độ góc  không đổi quanh một đường



m R



Bài toán 1: (HSG Quốc Gia – 2005) Cho vật nhỏ A có khối lượng m và vật

B có khối lượng M Mặt trên của B có dạng là một bán cầu, bán kính R như

hình vẽ Lúc đầu B đứng yên trên mặt sàn S , bán kính của mặt cầu đi qua A

hợp với phương thẳng đứng một góc 0 (0 có giá trị nhỏ) Thả cho A chuyển động với vận tốc ban đầu bằng 0 Ma sát giữa A và B không đáng kể Cho gia

C

S

Trong đó

sincos

12

  



B A

C

S

28

Phương trình trên chứng tỏ hạt dao động điều hòa trong bát hình cầu với tần

số góc

g R

m m

x y

 





B A

C

S y

x

O

Bài toán 2: (HSG Quốc Gia – 2011) Cho vật 1 là một bản mỏng đều, đồng

chất, được uốn theo dạng lòng máng thành một phần tư hình trụ AB cứng, ngắn,

có trục ∆, bán kính R và được gắn với điểm O bằng các thanh cứng, mảnh, nhẹ Trên hình vẽ, OA và OB là các thanh cứng cùng độ dài R , OAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục ∆, chứa khối tâm G của vật 1, C là giao điểm của

OG và lòng máng Giữ cho vật 1 luôn cố định rồi đặt trên nó vật 2 là một hình

trụ rỗng, mỏng, đồng chất, cùng chiều dài với vật 1, bán kính r ( r R), nằm dọc theo đường sinh của vật 1 Kéo vật 2 lệch ra khỏi vị trí cân bằng một góc nhỏ 0 rồi thả nhẹ

O



C

B A

0



g





2.5 Dao động của đĩa xoắn

Bài toán 1: (Chọn đội dự tuyển IPho – 2004) Hai đĩa tròn A và B đồng

tính và giống hệt nhau Mỗi đĩa có momen quán tính I đối với trục quay đi qua tâm của đĩa và vuông góc với mặt phẳng của đĩa Đĩa A nằm ngang, tâm của đĩa gắn vào đầu dưới của một sợi dây mảnh thẳng đứng có hằng số xoắn k , đầu trên của dây gắn vào một điểm cố định C Đĩa B cũng nằm ngang và tâm đĩa gắn vào đầu đưới của một sợi dây mảnh khác có hằng số xoắn k , giống như đĩa A , chỉ khác là đầu trên của sợi dây này gắn vào tâm mặt dưới đĩa A , khiến cho hai

dây treo nằm trên cùng một đường thẳng đứng Ở vị trị cân bằng của hai đĩa, hai dây treo không bị xoắn Kí hiệu 1 và 2 lần lượt là toạ độ góc của mỗi đĩa (vào

thời điểm t ) tính từ vị trí cân bằng

Viết phương trình vi phân cho chuyển động của từng đĩa

Bài toán 2: (UC – Berkeley) Cho cơ hệ như hình vẽ Hai đĩa tròn A và B

đồng tính và giống hệt nhau Mỗi đĩa có momen quán tính I đối với trục quay đi

qua tâm của đĩa và vuông góc với mặt phẳng của đĩa Ba sợi dây thẳng, có

momen xoắn được xác định bởi M  k Ở vị trị cân bằng của hai đĩa, hai dây

U  k      Vậy, hàm Lagrange của hệ có dạng

Bỏ qua mọi ma sát

 Hướng dẫn:

  (dây không trượt) → x

R

 Vậy

2 2

12

36

L kx x

 

Phương trình chuyển động của m

Vật m dao động điều hòa với tần số góc

2

k I m R





Bài tập 2: Cho cơ hệ như hình vẽ Vật nặng có khối lượng m, lò xo có độ

cứng k Khung ABCD gồm các thanh có khối lượng không đáng kể, có thể di

chuyển được nhờ các khớp ở bốn đỉnh Tại vị trí cân bằng, khung có dạng hình thoi, góc ở đỉnh là 20 Bóp nhẹ hai đầu AB rồi thả ra

Xác định phương trình chuyển động của vật m

 Hướng dẫn:

A

D C

m x