Chuyên đề giải phương trình bồi dưỡng toán 8

Bạn đọc giải tiếp theo phương pháp đã nêu... Ta thấy x =0 không là nghiệm của phương trình.. Chia 2 vế của phương trình cho x3.

CHUYÊN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH CÓ HỆ SỐ ĐỐI XỨNG Phương pháp giải:

Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho x2, rồi đặt ẩn phụ

Bài 1: Giải phương trình: x4 +3x3+4x2+3 1 0x+ =

Bài 4: Giải phương trình: x4+2x3+4x2+2x+ =1 0

Bài 5: Giải phương trình: x4−3x3−6x2+3 1 0x+ =

Nhận thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình , chia cả hai vế của PT cho

Bài 7: Giải phương trình: x4−3x3+4x2−3 1 0x+ =

Bài 8: Giải phương trình: 3x4 −13x3+16x2−13x+ =3 0

Bài 9: Giải phương trình: 6x4 +5x3−38x2+5x+ =6 0

Bài 10: Giải phương trình: 6x4 +7x3−36x2−7x+ =6 0

Bài 11: Giải phương trình: 2x4 +x3−6x2+ + =x 2 0

Bài 12: Giải phương trình: 2x4−5x3+6x2 −5x+ =2 0

Bài 13: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x4− +x3 2x2− + =x 1 0

Bài 14: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x4 +x3+x2+ + =x 1 0

HD:

Biến đổi phương trình thành: (x2− +x 1)(x2− +x 2)= 0

Bài 4: Giải phương trình: (x+1)(x+2)(x+4)(x+5)=40

Bài 5: Giải phương trình: x x( +1)(x−1)(x+2)=24

Bài 6: Giải phương trình: (x−4)(x−5)(x−6)(x−7)=1680

Bài 7: Giải phương trình: x x( −1)(x+1)(x+2)=24

Bài 8: Giải phương trình: (x−1)(x−3)(x+5)(x+7)=297

Bài 9: Giải phương trình: x x( +1)(x+2)(x+ =3) 24

Bài 10: Giải phương trình: (x+2)(x−2) (x2−10)=72

HD:

Nhân 8 vào hai vế ta được: ( ) (2 )

8 8x x−1 8x−2 =72 Đặt 8x− =1 y , ta được : (y+1) (y y2 − =1) 72=(y2 −9)(y2 +8)= 0

Bài 12: Giải phương trình: ( ) (2 )( )

12x+7 3x+2 2x+ =1 3 HD:

Nhân hai vế với 24 ta được: ( ) (2 )( )

12x+7 12x+8 12x+6 =72 Đặt 12 7 y+ =

Bài 13: Giải phương trình: ( )( ) (2 )

2x+1 x+1 2x+3 =18 HD:

Nhân hai vế với 4 ta được: ( )( ) (2 )

2x+1 2x+2 2x+3 =0 , Dặt 2x+ =2 y Bài 14: Giải phương trình: ( ) (2 )( )

6x+7 3x+4 x+ =1 6 HD:

Nhân hai vế với 12 ta được: ( ) (2 )( )

6x+7 6x+8 6x+6 =72 Đặt y=6x+7

Bài 15: Giải phương trình: (4x+1 12)( x−1 3)( x+2)(x+ − = 1 4 0)

Biến đổi phương trình thành:

Vì x =0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình chox2 ta được:

=



Với t=  −2 x2 2x− =  = 12 0 x 1 13

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm:x= −3;x=4;x= 1 13

DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG

PHƯƠNG

( ) (4 )4

x a+ + x b+ =c Bài 1: Giải phương trình: ( ) (4 )4

x+ + +x =

DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ

Bài 1: Giải phương trình: ( 2 ) (2 2 )

2x +3 1x− −5 2x +3x+ +3 24 0= Bài 2: Giải phương trình: ( 2 ) (2 2 )

x +x + x +x = Bài 3: Giải phương trình: ( 2 )2 ( 2 )

Bài 10: Giải phương trình: ( ) (3 ) (3 )3

t= −  x − x+ = phương trình vô nghiệm

Bài 17: Giải phương trình: ( )( )( ) (2 )( )

Bài 18: Giải phương trình: ( 3 )3 3

x + x+ + x + x+ = HD:

Vậy x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 19: Giải phương trình: ( 2 )( 2 )

6x+7 3x+4 x+ = 1 1

Bài 22: Giải phương trình: (x+1)(x+2)(x+4)(x+ =5) 10

Bài 23: Giải phương trình: ( 2 )( 2 ) 2

Bài 25: Giải phương trình: ( 2 ) (2 2 )2 2

3 x +2x−1 −2 x +3x−1 +5x = 0HD:

Do x = 0 không là nghiệm của phương trình, chia hai vế của phương trình cho x2 ta

k = = nên phương trình là phương trình bậc bốn có

10

25 1454

Do x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức

ở vế trái của phương trình cho x, rồi đặt y 4x 7

Đặt u x = − 1 đưa phương trình (2) về dạng tổng quát ( 2 )( 2 ) 2

u − u− u − u− = u Bạn đọc giải tiếp theo phương pháp đã nêu Ta có thể giải bằng cách khác như sau

Viết phương trình đã cho về dạng ( 2 )( 2 ) ( )2

x − − x+ x − − x− = Đặt 2

Điều kiện x  − 2 Khử mẫu thức ta được phương trình tương đương:

Với 3 t = − − 6 x 20 ta có 3x2−18= − −6x 20 hay 3x2+6x+ =2 0 suy ra 3 3

Bài 38: Giải phương trình: 2( 4 )( 2 )

Bài 40: Giải phương trình: x4 −4x3−19x2+106x−120 0=

Bài 41: Giải phương trình: 4x4 +12x3+5x2 −6x−15 0=

Bài 42: Giải phương trình : x4 =8x+7

Bài 45: Giải phương trình: x4 −4x3+6x2 −4x−24 0=

Bài 46: Giải phương trình: ( )3 ( )( )

Biến đổi phương trình thành: ( 2 )2 ( )2 ( ) ( 2 )

x − x+ = x − x− HD:

Biến đổi phương trình thành: ( 2 )3 ( )3 ( )2 3

x x x x

 Với t = 2, ta được:

Cộng cả hai vế với 36x2 ta được:

Bài 57: Giải phương trình: ( 2 )2

x − = x+ HD:

Cộng thêm 36x2 vào hai vế ta được: ( 2 )2 2 3

x − + x = x + x+ Bài 58: Giải phương trình : 6 1 8 27x+ = x− x−1

a b

Nhận thấy x = −1 không phải là nghiệm của phương trình

Với x  −1 , phương trình đã cho tương đương với

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x− = = =1 0 x 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình có nghiệm khi x = - 1

Bài 60: Giải các phương trình sau: ( 2 )2 ( 2 ) 2

x + +x + x x + + +x x = HD:

Đặt x2 + + =x 4 t , ta có: t2 + 8xt+ 16x2 = 0

Đặt y x= 2+x , Phương trình trở thành: y2+4y−12 0= =(y+6)(y−2)= 0

Bài 62: Tìm x biết: ( 2 ) (2 2 )

x +x + x +x = HD:

Đặt x2 + =x t , Phương trình trở thành: t2+4 12 0t− = = +(t 6)(t−2)= 0

DẠNG 5 : NHẨM NGHIỆM ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Phương pháp :

+ Nếu phương trình có tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình có một nhân tử là :

(x − 1)

+ Nếu phương trình có hiệu hệ số bậc chẵn với bậc lẻ bằng 0 thì có một nhân tử là :

(x + 1)

+ Nếu phương trình có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của hệ số tự do

+ Nếu phương trình có nghiệm phân số, thì tử là ước của hệ số tự do, mẫu là ước của

Phương trình tương đương với (x−1)(x+2) (x2+ +x 6)= 0

Bài 2: Giải phương trình:x4+2x3−4x2−5x− =6 0

HD:

Phương trình tương đương với: (x−2)(x+3) (x2+ + = x 1) 0

Bài 3: Giải phương trình: x4+x2+6x− =8 0

HD:

Phương trình tương đương với (x−1)(x+2) (x2 − +x 4)= 0

Bài 4: Giải phương trình: 6x4− −x3 7x2+ + =x 1 0

HD:

Phương trình tương đương với: (x2−1 2) ( x−1 3)( x+ = 1) 0

Bài 5: Giải phương trình: x4 −2x3+4x2 −3x+ =2 0

HD:

Phương trình tương đương với (x2 − +x 1)(x2− +x 2)= 0

Bài 6: Giải phương trình:2x4+3x3+8x2 +6x+ =5 0

HD :

Phương trình tương đương với (x2+ +x 1 2)( x2+ +x 5)= 0

Bài 7: Giải phương trình sau: ( 2 )2

Biến đỏi phương trình thành : ( 2 5)( 2 4) 0 1 17

x x

Bài 18: Cho đa thức: P x( )=x4+x3+6x2−40x m+ −1979

a) Tìm m sao cho P(x) chia hét cho x-2

b) Với m tìm được, hãy giải phương trình P(x) =0

2x +3x+4 − x + +x 4 0 HD:

Biến dổi phương trình về dạng: x x( +2 3) ( x2+4x+8) 0

3x +4x+ =8 x+2 +2x +  =4 0 x x+2  =  − hoặc 0 x 20

y y

DẠNG 6 : PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Bài 1: Giải phương trình: x5−x4+3x3+3x2 − + =x 1 0

Ta thấy phương trình x4 +x3+x2+ +x 1 vô nghiệm

Bài 3: Giải phương trình sau: x5+x3+3x=2(x4+x2 + 3)

HD:

Phương trình tương đương với 2(x−2) (x4 +x2 +3)= 0

Bài 4: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x6+x5+x4+x3+x2 + + =x 1 0

HD:

Nhân hai vế với x −1 ta được: x7− = = =1 0 x 1

Bài 5: Giải phương trình: x5+x2+2x= −2

HD:

Phương trình có 1 nghiệm x = -1

Bài 7: Giải phương trình: x6+3x5−6x4−21x3−6x2+3x+ =1 0

HD :

Đây là phương trình bậc 6 và ta thấy các hệ số đối xứng do đó ta có thể áp dụng cách

giải mà ta đã giải đối với phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng

Ta thấy x =0 không là nghiệm của phương trình Chia 2 vế của phương trình cho x3

DẠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Bài 1: Tìm x biết:

− − + − − + − − =

HD:

Phương trình tương đương với:

a b c+ + = , phương trình có nghiệm với mọi x

Bài 17: Giải phương trình:

Nhận thấy:

2 2

−+

2

5

x x

 + + = phương trình vô nghiệm

Bài 28: Giải phương trình: 5 5 6

1

x x

Bài 30: Giải phương trình:

x

y x

+

=+ , Phương trình trở thành:

Biến đổi phương trình:

Bài 34: Giải phương trình:

1

x

x x

−

−HD:

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

DẠNG 8: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài 1: Giải phương trình sau: 2x+ = − 3 x 3

Bài 2: Giải phương trình sau:

Bài 3: Giải phương trình sau: 2x− = − 1 x 1

Bài 4: Giải phương trình sau: 2x+ =1 x2−3x− 4

Vì 2x− 5 0, 2x2−7x+  Nên suy ra: 5 0, 2x− +5 2x2 −7x+  5 0

Dấu bằng xảy ra khi:

HD:

95

6 = 2 − +

x

2 2

x x

 =

  =

 , Vậy: x= 1; x= 3 Bài 8: Giải phương trình : 2 ( )

x − +x x− = HD:

Lập bảng xét dấu Từ đó ta có 3 trường hợp:

x x

Bài 11: Giải phương trình : 2x+ +2 2x− =1 5

Bài 12: Giải phương trình : 3x+4 = x−2 1

( 3; )

2

Bài 13: Giải phương trình : x2 −1+ x =1 (x =  0; 1)

Bài 14: Giải phương trình : x2− − =x 2 x2+2x ( 2 ; 1 17)

Bài 16: Giải phương trình : 3x− =5 2x+1

Bài 17: Giải phương trình : 7x− =4 3x− 4

Bài 18: Giải phương trình : 2x+ = 1 x

Bài 19: Giải phương trình : 3x+ = −4 x 2

Bài 20: Giải phương trình : x− =3 2x− 1

Bài 21: Giải phương trình : 2x+ =5 3x−2

Bài 22: Giải phương trình : x− =3 2x−1

Bài 23: Giải phương trình : 2 7

1

x

x x

+

−Bài 24: Giải phương trình : 3 1

32

x

x x

−

= −+

Bài 25: Giải phương trình : 5 2

23

x

x x

−

= −+

Bài 26: Giải phương trình : 2

x − + = x

Bài 27: Giải phương trình : x− +1 2x+ = 3 0

Bài 28: Giải phương trình : x− +1 x2− = 1 0

Bài 29: Giải phương trình : x2− +1 x2−3x+ = 2 0

Bài 30: Giải phương trình : 5x+ +2 3x− =4 4x+ 5

Bài 1: Giải phương trình: 2x+ = + 1 x 2

Bài 2: Giải phương trình sau: x+ +4 3x= 5

Bài 3: Giải phương trình: x2 + x−1 =1

HD:

11

2

2 2

Bài 4: Giải phương trình sau: x− =1 x3+ + x 1

Bài 5: Giải phương trình sau: 4x2−2x + =1 2x

Bài 6: Giải phương trình sau: x2−5x+ = + 4 x 4

Bài 7: Giải phương trình: x2−4x− =5 4x− 17

Bài 9: Giải phương trình sau: ( )2

x+ − x+ + = HD:

11

x x

x x

 Bài 12: Giải phương trình: 3x− =2 x2+2x+ 3

HD:

Vì x2+2x+   , Nên phương trình 3 0, x

2 2

Bài 13: Giải phương trình: x2− − =x 2 0

Bài 14: Giải phương trình: 2

Bài 17: Giải phương trình: 2

x − x+ x− + =Bài 18: Giải phương trình: x2−2x+5x− + = 1 5 0

Bài 19: Giải phương trình sau: ( )2

2x−1 −3 2x− − =1 4 0 HD:

Bài 22: Giải phương trình: x2 −3x+2 =2x+1 ( x =  5 21)

Bài 23: Giải phương trình : x

x

−

−2

2

23

=

−++

−

−

x x

x x

Bài 26: Giải phương trình: x2 + −x 12 =x2− −x 2 (x= 5; 7)

Bài 27: Giải phương trình: x2−3x+ −2 2x=1 (x= 5 21)

Bài 28: Giải phương trình: x2−4x+ = +3 x 3 (x=0; 5)

Bài 29: Giải phương trình: 2x− =3 1

Bài 30: Giải phương trình: x2− = −1 1 4x

Bài 31: Giải phương trình: 4x+ =1 x2+2x− 4

Bài 32: Giải phương trình: 3x− =5 2x2+ − x 3

Bài 33: Giải phương trình: 2

x + x− x− − = Bài 34: Giải phương trình: x2−2x+ =8 x2 − 1

Bài 35: Giải phương trình: x2−5x− − =1 1 0

Bài 36: Giải phương trình: 3x2− = −2 6 x2

Bài 37: Giải phương trình: 1 3 1

x x

− −

=

−Bài 39: Giải phương trình: 2 3 3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = −7

Bài 42: Giải phương trình: 4x2−4x−5 2x− − = 1 5 0

Với −   = + = +3 x 0 x 3 x 1 vô nghiệm

Với x − = = −3 x 2 không thỏa mãn:

III, PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: f x( ) + g x( ) + h x( ) ( )=t x

Phương pháp:

Lập bảng xét dấu:

Sử dụng tính chất: a b+ = + =a b a b  hoặc: 0 a b− = − =a b b a b( −  ) 0

Bài 1: Giải phương trình sau: x− −1 2 x− +2 3x− = 3 4

Bài 2: Giải phương trình sau: 3 1

231

x x

Biến đổi phương trình về: (x−3)(x−1) + x x( −4) = 3

Bài 4: Giải phương trình sau: x− + −1 1 x− − = 1 1 2

HD:

Sử dụng tính chất a b− = a b− =b a b( − ) 0

Phương trình tương đương với: x− + −1 1 ( x− −1 1) = = = 2 2 2,

Dấu bằng khi: 2( x− −  =  1 1) 0 x 2

Vậy phương trình có nghiệm x 2

Bài 5: Giải phương trình sau: x+ +1 3x− = + + +1 x 2 x 2x− 2

Bài 6: Giải phương trình sau: x 2a x a a2(x 0)

Bài 7: Giải phương trình sau: x− + + = 3 x 2 7

Bài 8: Giải phương trình sau: x − 2x+ = − 3 x 1

Bài 9: Giải phương trình sau: x + − = + −1 x x x 3 , 1(   x 3)

Bài 10: Giải phương trình sau: x − = + 3 x 1

HD:

Xét x 0 , phương trình có dạng x− = + , Giải phương trình bình thường 3 x 1Xét x 0 , Phương trình tương đương với − − = + , Giải phương trình bình x 3 x 1thường

Bài 11: Giải phương trình sau: x −2x− +2 3x− = 3 4

Bài 12: Giải phương trình sau: x −2 x− +1 3x− = 2 4

Bài 13: Giải phương trình sau: x+ + + + + =1 x 2 x 3 4x

Bài 14: Giải phương trình sau: x x+ −3 x2+ + = x 1 1

Bài 15: Giải phương trình sau: x3−3x + =2 0

Bài 16: Giải phương trình sau: 1 1 5 14 2 9 7

Bài 18: Giải phương trình sau: 5− + − = − x x 1 x 6

IV GIẢI VÀ BIỆN LUẬN Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau: mx+2m = mx x+ + 1

m − , Phương trình có hai nghiệm là x=-1 và x=2m-1

Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau: mx+2x− = − 1 x 1

Nếu m = −1, Thì phương trình (2) có nghiệm đúng với mọi x

Nếu m  −1 , Thì phương trình có nghiệm x = 0

Với phương trình (3) ta có :

Nếu m = −3 , thì phương trình (3) vô nghiệm

Nếu m  −3 , thì phương trình (3) có nghiệm 2

3

x m

=+ Kết luận : Với m = −1 , Phương trình có nghiệm đúng với mọi x

Với m = −3 , Phương trình có nghiệm x = 0

Với m −1,m −3 , Phương trình có nghiệm x=0 và 2

3

x m

=+ Bài 3 : Tìm m để phương trình x2+ =x mx2 −(m+1)x−2m− , có 3 nghiệm phân biệt : 1

Nếu m = −1 , thì phương trình (2) vô nghiệm, Khi đó PT ban đàu không có ba nghiệm phân biệt

Nếu m  1 , thì

1 21(4)

1 21

m x

m m x

2

00

2

0 (2)

x x

493

+ m > 0: Vô nghiệm

Bài 5: Cho phương trình : x2−2x−2x− + + = 1 m 3 0

a, Giải phương trình khi m= -2

b, Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Với m 1 , Phương trình tương đương với 1 2

1

m x

m

−

=

− Giải (2) :

Với m = −1 , Phương trình trở thành : 0x =1 , phương trình vô nghiệm

Với m  −1 , Phương trình tương đương với : 2 1

1

m x

m

=+ Kết luận :

Với m = 1 , Phương trình có nghiệm là 3

m

=+ Bài 7: giải và biện luận phương trình: mx+2x = mx− 1

Nếu m = −1 thì phương trình (*) vô nghiệm

Nếu m  −1 thì phương trình (*) có nghiệm 1

x m

=+ Kết luận :

1

2

x −= 1

=+ Bài 8: Giải và biện luận phương trình sau: 3x m+ = − x 1

Bài 9: Giải và biện luận phương trình sau: x2+4x−2x m− + − = 2 m 0

Bài 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: |x2 – 2x + m| = x2 + 3x – m – 1

Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4x−3m =2x+ m

Bài 12: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x+2m = −x m

Bài 13: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2x m+ = −x 2m+2

Bài 14: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2

2

x − x m+ = x

Bài 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3mx − =1 5

Bài 16: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2x m+ = 2x+2m− 1

Bài 17: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x m− = 2x m+ +1

Bài 18: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x m− = +x 1

Bài 19: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x m+ = 2x−2m

Bài 20: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x+m = − x 1

Bài 21: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x m− = −x 1

Bài 22: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2

x + a x a+ −a = Bài 23: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: mx+ =1 2x m− −3

Bài 24: Cho phương trình: x− +3 2x+ =1 4

a, Giải phương trình

b, Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của phương trình