Lý thuyết tán xạ rutherford

Từ lúc đó, chúng ta có một hình dung ban đầu về cấu trúc của nguyên tử; khẳng định rằng nguyên tử còn có thể được phân chia; mở ra sự hiểu biết về cơ chế tương tác giữa các nguyên tử với

LÝ THUYẾT TÁN XẠ

TÁN XẠ RUTHERFORD

Nguyễn Võ Thanh Việt – Y19 Khoa Vật lí – trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội

Nguyễn Võ Thanh Việt – Y19

1 Electron và mẫu nguyên tử đầu tiên của Thomson 4

2 Thí nghiệm của Rutherford về tán xạ hạt alpha 5

2.1 Mô tả thí nghiệm: 5

2.2 Kết quả dự kiến: 5

2.3 Kết quả thực tế: 5

3 Lý thuyết tán xạ hạt alpha của Rutherford: 6

3.1 Bài toán tán xạ Rutherford: 6

3.1.1 Các điều kiện gần đúng: 6

3.1.2 Bài toán hai vật: 7

3.2 Công thức Rutherford: 8

3.2.1 Khoảng cách tới gần cực tiểu: 8

3.2.2 Thiết lập công thức Rutherford: 9

4 Mẫu hành tinh nguyên tử của Rutherford: 10

4.1 Kích thước hạt nhân nguyên tử 10

4.2 Mẫu hành tinh nguyên tử Rutherford 11

4.3 Hạn chế của mẫu hành tinh nguyên tử Rutherford 11

5 Các tính toán với số liệu 12

Nguyễn Võ Thanh Việt – Y19

1 Electron và mẫu nguyên tử đầu tiên của Thomson

Vào đầu thế kỉ XX, nguyên tử không còn là một khái

niệm xa lạ lúc bấy giờ nữa Từ giai đoạn của những năm 400

TCN, khi mà quan niệm về duy vật và duy tâm còn đan xen

nhau chưa có hồi kết, con người đang cố gắng tìm hiểu xem bản

chất của vật chất là gì Quả thật nếu muốn củng cố cho chủ

nghĩa duy vật thì phải tìm ra vật chất – được xem như viên gạch

xây lên mọi thứ tồn tại trong vũ trụ này Đến khi Democritos

đưa ra học thuyết mang tên mình về nguyên tử thì lúc này chủ

nghĩa duy vật mới dành được sự thắng thế Nguyên tử theo

Democritos là “những hạt vật chất nhỏ nhất”, rằng nguyên tử

“đặc và không thể phân chia tiếp được” Cũng chính vì thế mà

nguyên tử được gọi là atomos (trong tiếng Hi Lạp nghĩa là

“không thể chia cắt”)

Hơn 2000 năm sau, vào năm 1903, một nhà vật lí học

người Anh là J J Thomson đã tìm ra electron, một hạt còn nhỏ

hơn nữa Cũng từ lúc này, người ta mới lại suy nghĩ về cấu trúc

của nguyên tử, vậy trong cái nguyên tử từng một thời được xem

là “không thể chia cắt” kia có gì, và liệu chúng sắp xếp như thế

nào?

J J Thomson đã đưa ra một mô hình, được xem là mẫu

nguyên tử đầu tiên thời bấy giờ Mẫu này có nội dung như sau:

- Nguyên tử có dạng khối cầu với kích thước cỡ

Angstrom (1Å = 10−10𝑚)

- Điện tích dương trải đều và lấp đầy khối cầu, như một

dạng môi trường đồng nhất

- Trôi nổi trong hình cầu là các electron mang điện tích

âm, được phân bố rải rác và đối xứng

- Tổng điện tích âm bằng tổng điện tích dương, vì thế

mà nguyên tử trung hòa về điện

Mẫu này trong khá giống một “chiếc bánh bông lan rắc

nho”, và tuy không tồn tại được lâu (vì không vượt qua được

những kiểm tra của thực nghiệm) nhưng ý nghĩa mà nó mang

lại là vô cùng lớn Từ lúc đó, chúng ta có một hình dung ban

đầu về cấu trúc của nguyên tử; khẳng định rằng nguyên tử còn

có thể được phân chia; mở ra sự hiểu biết về cơ chế tương tác

giữa các nguyên tử với nhau

“Thomson cho phóng điện với hiệu điện thế 15 000 vôn qua hai điện cực gắn vào đầu một ống kín đã rút gần hết không khí (áp suất chỉ còn 0,001 mmHg) thì thấy màn huỳnh quang trong ống thuỷ tinh phát sáng Màn huỳnh quang phát sáng do sự xuất hiện các tia không nhìn thấy được đi từ cực âm đến cực dương

Tia này được gọi là tia âm cực, tia âm cực bị lệch về phía cực dương khi đặt ống thuỷ tinh trong một điện trường Tia âm cực là chùm hạt mang điện tích

âm và mỗi hạt đều có khối lượng gọi là electron, kí hiệu là e.”

- Trích Wikipedia -

Hình 1: Democritus (khoảng 460 TCN) Triết gia người Hy Lạp

Hình 2: Joseph John Thomson (18/12/1856 - 30/08/1940) Nhà vật lí học người Anh electron

điện tích dương

phân bố đều

Kích thước cỡ Angstrom Hình 3: Mẫu "bánh bông lan rắc nho" của Thomson

2 Thí nghiệm của Rutherford về tán xạ hạt alpha

Mẫu nguyên tử của Thomson chỉ mới là mô hình lý thuyết

mà thôi Muốn tồn tại và đứng vững được trong khoa học thì cần có thực nghiệm kiểm chứng Một trong số những người đã thực hiện thí nghiệm kiểm tra là Rutherford và các học trò của ông vào năm 1911

2.1 Mô tả thí nghiệm:

Thí nghiệm sử dụng một chùm hạt alpha mảnh được tạo

ra từ một nguồn phóng xạ alpha (nguồn này là radi brom RaBr2) đặt trong một hộp chì có khoét một lỗ nhỏ

Bắn chùm alpha này vào một lá vàng rất mỏng

Sau lá vàng, bố trí một mặt cầu phủ một lớp huỳnh quang Nếu có hạt alpha đập vào màn huỳnh quang sẽ tạo nên một chấm sáng

Sử dụng một máy đếm để xác định số hạt alpha đập vào màn huỳnh quang, từ đó tìm được phương chuyển động của hạt alpha sau khi qua lá vàng

Có thể mô tả thí nghiệm bằng hình vẽ sau:

Hình 7: Mô hình thí nghiệm tán xạ Rutherford

2.2 Kết quả dự kiến:

Hai học trò của Rutherford là Hans Geiger và Ernest Marsden mong đợi rằng mẫu nguyên tử của Thomson là chính xác Và nếu thật sự là như vậy, chùm hạt alpha sẽ đâm xuyên qua lá vàng và đi thẳng, hoặc bị lệch rất ít so với ban đầu Thật sự là như vậy, vì nếu điện tích dương được trải đều khắp nguyên tử, cộng với sự phân bố rải rác các electron thì nguyên tử sẽ không tạo ra một lực Coulomb đủ lớn để làm thay đổi đáng kể quỹ đạo của hạt alpha được

Hình 8: Kết quả mong đợi nếu mẫu nguyên tử Thomson là đúng.

2.3 Kết quả thực tế:

Trái với mong đợi của nhóm nghiên cứu, các kết quả của thí nghiệm như sau:

Nguồn RaBr 2 Hộp chì bảo vệ

Chùm hạt 𝛼 với vận tốc cỡ 10 7 m/s

Lá vàng mỏng

Màn chắn phủ huỳnh quang Ống đếm

Hình 4: Ernest Rutherford

(30/08/1871 - 19/10/1937)

Nhà vật lí học người Anh

Hình 5: Johannes “Hans”

Wilhelm Geiger

(30/09/1882 - 24/09/1945)

Nhà vật lí học người Đức

Hình 6: Ernest Marsden

(19/02/1889 - 15/12/1970)

Nhà vật lí học người Anh

Nguyễn Võ Thanh Việt – Y19

- Đa số các hạt alpha đâm xuyên qua lá vàng (1)

- Một số hạt alpha bị lệch hướng đáng kể khi đi qua lá

vàng (2)

- Một số rất ít hạt alpha bị bật ngược trở lại (3)

Các kết quả này mâu thuẫn với dự đoán ban đầu Mẫu

nguyên tử Thomson không phù hợp với kết quả thực nghiệm

Hình 9: Kết quả thí nghiệm tán xạ Rutherford Hạt alpha (1) truyền thẳng,

(2) bị lệch hướng, (3) bật ngược lại.

Vậy những kết quả này chứng tỏ điều gì?

Thứ nhất, đa số các hạt alpha đâm xuyên qua lá vàng mà

không bị cản trở gì Điều này cho thấy khoảng cách giữa các

nguyên tử là rất lớn so với kích thước của chúng Không gian

trong lá vàng có nhiều “khoảng rỗng” hơn ta tưởng tượng

Thứ hai, một số hạt alpha bị lệch hướng đáng kể sau khi

đi qua lá vàng Chứng tỏ rằng đã bị va chạm trước khi ra khỏi

lá vàng

Thứ ba, một số ít hạt alpha bật ngược trở lại cho thấy các

hạt alpha này đã va chạm trực diện với một cái gì đó có khối

lượng rất lớn so với khối lượng của nó

Vậy là mẫu “bánh bông lan nho” của Thomson đã sụp

đổ Nhưng vấn đề thời bấy giờ là với những kết quả thực

nghiệm vừa thu được, cần phải xây một mô hình nguyên tử

khác phù hợp hơn mẫu trước đây

3 Lý thuyết tán xạ hạt alpha của Rutherford:

Trước hết, cần phải xử lí các kết quả thực nghiệm

Rutherford đưa ra cách giải thích như sau:

Nguyên tử không thể có điện tích dương phân bố đồng

nhất mà thay vào đó, hầu hết sẽ là khoảng không gian trống

rỗng Ở chính giữa của nguyên tử sẽ là một phần lõi có khối

lượng lớn (vì làm hạt alpha bật lại) nhưng lại có kích thước nhỏ

(vì có rất ít hạt alpha bật lại) và mang điện tích dương

Phần lõi trên được gọi là hạt nhân Các hạt alpha bị lệch

phương truyền được gọi là hiện tượng tán xạ hạt alpha Bài

toán này được gọi là bài toán tán xạ Rutherford

3.1 Bài toán tán xạ Rutherford:

3.1.1 Các điều kiện gần đúng:

Để giải bài toán này, ta cần phải có một số điều kiện gần

đúng nhằm làm đơn giản tính toán, tuy nhiên không được quá

ảnh hưởng đến kết quả của bài toán Những điều kiện đó là:

- Lá vàng rất mỏng, mỏng đến mức ta có thể coi như

nó chỉ là một lớp nguyên tử Khi đó các hạt alpha chỉ

tán xạ một lần duy nhất

(1)

(2)

(3)

Hình 10: Số liệu thực nghiệm: Trục tung - lượng hạt alpha, trục hoành - góc tán xạ Các điểm là

số liệu thực nghiệm của Geiger

và Marsden, đồ thị là hàm do Rutherford thiết lập

Nguồn: Rutherford Scattering – HyperPhysics, C R Nave, Georgia State University

Ta thử tính tỉ số giữa lực hấp

dẫn với lực tĩnh điện giữa hạt 𝛼

và hạt nhân vàng, để chứng minh

rằng có thể bỏ qua tương tác hấp

dẫn

Ta có lực tĩnh điện:

𝐹 𝑡đ =𝑘𝑧𝑍𝑒

2

𝑟 2

Lực hấp dẫn:

𝐹 ℎ𝑑 =𝐺𝑚𝐴𝑢𝑚𝛼

𝑟 2

Ta lập tỉ số:

𝐹 ℎ𝑑

𝐹𝑡đ =

𝐺𝑚 𝐴𝑢 𝑚 𝛼

𝑘𝑧𝑍𝑒 2

Thay các giá trị:

𝐺 = 6,67.10 −11 𝑁𝑚 2 𝑘𝑔 −2

𝑧 = 2

𝑍 = 79

𝑒 = 1,6.10 −19 𝐶

𝑘 = 9.10 9 𝑁.𝑚

2

𝐶 2

𝑚𝐴𝑢= 197.1,66.10 −27 𝑘𝑔

𝑚𝛼= 4.1,66.10 −27 𝑘𝑔

Ta thu được:

𝐹 ℎ𝑑

𝐹𝑡đ = 3,96.10

−36

Kết quả này cho thấy ta hoàn

toàn có thể bỏ qua ảnh hưởng

của tương tác hấp dẫn trong bài

toán này

- Điện tích của hạt alpha là +2𝑒 còn điện tích của hạt nhân là +𝑍𝑒 (cụ thể ở đây là hạt nhân vàng 𝑍 = 79)

- Hạt nhân vàng có khối lượng lớn hơn nhiều so với khối lượng của hạt alpha nên ta xem như trong quá trình va chạm, hạt nhân vàng đứng yên

- Electron có khối lượng rất bé so với hạt alpha và hạt nhân nên ta bỏ qua tương tác của chúng với hạt alpha

- Lực gây ra sự tán xạ ở đây là lực tĩnh điện Ta bỏ qua tương tác hấp dẫn trong trường hợp này

3.1.2 Bài toán hai vật:

Với những điều kiện giới hạn như trên, bài toán tán xạ của chúng ta trở thành bài toán chuyển động của một vật có khối lượng 𝑚, điện tích +2𝑒 trong trường tĩnh điện xuyên tâm của một vật có khối lượng 𝑀 ≫ 𝑚, điện tích +𝑍𝑒 Hình vẽ mô

tả bài toán như sau:

Hình 11: Hình vẽ cho bài toán hạt 𝛼 tán xạ dưới góc 𝜃

Khoảng cách từ hạt nhân vàng đến phương chuyển động của hạt 𝛼 gọi là khoảng nhằm, kí hiệu là 𝑏

Khi ở xa vô cùng, hạt 𝛼 có vận tốc 𝑣⃗0, sau khi tán xạ và lại ra vô cùng, độ lớn vận tốc là không đổi (bảo toàn năng lượng), tuy nhiên phương của vận tốc lại bị thay đổi một góc 𝜃

so với phương ban đầu Ta gọi 𝜃 là góc tán xạ Hạt 𝛼 vạch ra một quỹ đạo là đường hypebol

Nhiệm vụ: Ta cần tìm xem mối liên hệ giữa 𝜃 và 𝑏 Và

khi đó, nếu ta đo được góc tán xạ 𝜃 của một hạt, ta có thể suy

ra khoảng nhằm 𝑏 của hạt đó

Giải:

Ta xét biến thiên xung lượng cho hạt 𝛼:

Từ hình 11 ta thấy: ∆𝑝⃗ = 𝑝⃗𝑠− 𝑝⃗𝑡 Với |𝑝⃗𝑠| = |𝑝⃗𝑡| = 𝑚𝑣0, ta dễ dàng tính được:

|∆𝑝⃗| = ∆𝑝 = 2𝑚𝑣0sin𝜃

Xét định luật II Newton cho hạt 𝛼:

𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ = 𝑑𝑝⃗

Giả sử hạt đang ở một vị trí góc 𝜑 như hình 11, chiếu phương trình định luật II lên phương của trục đối xứng:

𝐹 cos 𝜑 =𝑑𝑝

𝑑𝑡

 ∆𝑝 = ∫ 𝑑𝑝 = ∫ 𝐹 cos 𝜑 𝑑𝑡 (3)

𝜃

𝜑

𝑏

Trục đối xứng

𝜑𝑡

𝜑𝑠

𝑝⃗𝑡

𝑝⃗ 𝑠

∆𝑝⃗

𝜃

Trục đối xứng

Hình 12: Biến thiên xung lượng

của hạt 𝛼.

Nguyễn Võ Thanh Việt – Y19

Trong đó:

𝐹 =𝑘𝑧𝑍𝑒

2

Momen xung lượng của hạt 𝛼 trong tọa độ cực:

𝐿 = 𝑚𝑣0𝑏 = 𝑚𝑟2𝑑𝜑

𝑑𝑡

𝑟2 = 1

𝑣0𝑏

𝑑𝜑

Thay vào (4), ta được:

𝐹 =𝑘𝑧𝑍𝑒

2

𝑣0𝑏

𝑑𝜑

Thay vào (3), ta có:

∆𝑝 =𝑘𝑧𝑍𝑒

2

𝑣0𝑏 ∫ cos 𝜑 𝑑𝜑

𝜑 𝑠

𝜑 𝑡

(7) Trong đó, các cận tích phân có thể thu được từ hình 11

𝜑𝑡= −𝜋 − 𝜃

2 ; 𝜑𝑠 =

𝜋 − 𝜃

2

∆𝑝 = 𝑘𝑧𝑍𝑒

2

𝑣0𝑏 [sin

𝜋 − 𝜃

2 − sin (−

𝜋 − 𝜃

2 )]

2

𝑣0𝑏 2 cos

𝜃

Kết hợp với (1), ta rút ra:

2𝑚𝑣0sin𝜃

2=

𝑘𝑧𝑍𝑒2

𝑣0𝑏 2 cos

𝜃 2

2

𝑚𝑣02 cot𝜃

Đây chính là công thức liên hệ giữa 𝑏 và 𝜃 mà chúng ta

cần tìm

3.2 Công thức Rutherford:

3.2.1 Khoảng cách tới gần cực tiểu:

Một hạt 𝛼 có động năng 𝑇, được bắn trực diện đến hạt

nhân vàng Theo lí thuyết, hạt 𝛼 sẽ chỉ đến cách hạt nhân vàng

một khoảng 𝑎0 nào đấy rồi bắn ngược lại Khi đó, ta nói hai hạt

va chạm với nhau, khoảng cách đó được gọi là khoảng cách tới

gần cực tiểu Ta sẽ đi tìm khoảng cách này Rất đơn giản, bằng

định luật bảo toàn năng lượng:

𝑇 =𝑘𝑧𝑍𝑒

2

𝑎0

Chú ý rằng:

𝑇 =1

2𝑚𝑣0 2

Ta viết lại biểu thức của khoảng nhằm b:

𝑏 =𝑎0

2 cot

𝜃

Khoảng cách tới gần cực tiểu trong trường hợp hạt 𝛼 tán xạ dưới góc 𝜃, khoảng nhằm 𝑏 là

𝑟 𝑚𝑖𝑛 được tính theo công thức:

𝑟𝑚𝑖𝑛 = 𝑏 cos

𝜃 2

1 − sin𝜃2

3.2.2 Thiết lập công thức Rutherford:

Khi tiến hành bắn một chùm hạt alpha như vậy và tiến hành trong thời gian dài, cái mà ta thu được chính là xác suất

để hạt tán xạ ở một góc 𝜃 nào đó Vậy xác suất này có quy luật như thế nào? Ta cần phải xây dựng công thức tính toán nó Trước tiên, nhìn vào công thức (11), ta dễ dàng nhận thấy nếu khoảng nhằm 𝑏 giảm xuống, thì góc tán xạ 𝜃 sẽ tăng lên Tức là với các hạt có khoảng nhằm 𝑏′ < 𝑏 thì các hạt sẽ tán xạ với góc 𝜃′> 𝜃

Ta sử dụng hình vẽ sau để mô tả:

Hình 13: Sự khác nhau về góc tán xạ khi thay đổi khoảng nhằm

Từ hình 13, ta cũng thấy nếu hạt nào bay vào vùng hình tròn có tâm là hạt nhân vàng, có diện tích 𝜎 = 𝜋𝑏2 thì hạt đó

sẽ tán xạ với góc 𝜃′> 𝜃 Diện tích đó được gọi là diện tích tương tác của hạt nhân

Giờ ta xét một lá vàng có bề dày 𝑑, mật độ hạt nhân vàng

là n Ta sẽ có mật độ hạt nhân vàng trên một đơn vị diện tích là

𝑛𝑑

Xét chùm hạt 𝛼 có tiết diện 𝑆 chiếu đến lá vàng, số hạt nhân vàng nằm trong tiết diện này là 𝑆𝑛𝑑

Mỗi hạt nhân lại có diện tích tương tác 𝜎, vậy tổng diện tích tương tác trong vùng có tiết diện S là:

𝑆𝑡𝑡 = 𝑆𝑛𝑑𝜎

Ta coi như số hạt tỉ lệ với diện tích, gọi N là tổng số hạt

𝛼 chiếu đến lá vàng, 𝑃(𝜃) là xác suất hạt tán xạ với góc 𝜃′>

𝜃, 𝑁𝜃′ >𝜃 là tổng số hạt tán xạ với góc 𝜃′> 𝜃 trong thời gian

đó Ta có công thức sau:

𝑃(𝜃) =𝑁𝜃′>𝜃

𝑆𝑡𝑡

𝑆 =

𝑆𝑛𝑑𝜎

𝑆 = 𝑛𝑑𝜋𝑏

2

 𝑃(𝜃) = 𝑛𝑑𝜋 (𝑎0

2)

2 cot2𝜃

Thực tế, ống đếm chỉ đặt ở một vị trí góc nhỏ, với diện tích lối vào của ống đếm nhỏ Vì thế ta tìm xác suất hạt tán xạ trong khoảng góc 𝜃 đến 𝜃 + 𝑑𝜃 Ta lấy vi phân biểu thức (12):

𝑑𝑃(𝜃) = 2𝑛𝑑𝜋 (𝑎0

2)

2 cot𝜃2 sin2𝜃 2

1

2𝑑𝜃

𝑑𝑃(𝜃) = 𝑛𝑑𝜋 (𝑎0

2)

2 cot𝜃2 sin2𝜃 2

𝜃 𝑏

𝜃′

𝑆

𝜎

Hình 14: Chỉ có các hạt 𝛼 bay

vào vùng diện tích tương tác của

hạt nhân thì mới tán xạ dưới góc

𝜃 ′ > 𝜃

Nguyễn Võ Thanh Việt – Y19

Hình 15: Các hạt tán xạ trong khoảng góc 𝜃 đế𝑛 𝜃 + 𝑑𝜃 thì sẽ đi qua hình vành khăn có diện tích 𝑑𝑆.

Từ hình 15, ta thấy các hạt này nằm trong hình vành khăn

có diện tích:

𝑑𝑆 = 2𝜋𝑟 sin 𝜃 𝑟𝑑𝜃 = 2𝜋𝑟2sin 𝜃 𝑑𝜃 (14)

Số hạt đi qua vùng diện tích này sẽ là 𝑁 𝑑𝑃(𝜃)

Số hạt trên một đơn vị diện tích là:

𝑁(𝜃) =𝑁𝑃(𝜃)

𝑑𝑆

 𝑁(𝜃) = 𝑁𝑛𝑑𝜋 (𝑎0

2)

2 cot𝜃2 sin2𝜃 2

𝑑𝜃 2𝜋𝑟2sin 𝜃 𝑑𝜃

2 16𝑟2sin4𝜃

2

(15)

Công thức (15) chính là công thức Rutherford và đã được kiểm chứng bởi thực nghiệm

4 Mẫu hành tinh nguyên tử của Rutherford:

4.1 Kích thước hạt nhân nguyên tử

Thực tế từ kết quả thí nghiệm, khi góc tán xạ 𝜃 tăng lên (tức khoảng nhằm 𝑏 giảm xuống), thì sai số so với lý thuyết của Rutherford càng tăng Đến một giá trị 𝜃0 nhất định (ứng với khoảng nhằm 𝑏0) thì công thức Rutherford không còn đúng nữa

Tương tác giữa các hạt trong lý thuyết Rutherford chỉ là tương tác tĩnh điện, điều này đưa chúng ta đến một suy đoán rằng với khoảng nhằm 𝑏 < 𝑏0 thì ngoài tương tác tĩnh điện ra còn có một tương tác khác giữa hạt 𝛼 và hạt nhân nguyên tử Tương tác này mạnh hơn tương tác tĩnh điện, đó chính là tương tác mạnh của hạt nhân

Tuy nhiên tương tác trên chỉ có tác dụng trong vùng của hạt nhân nguyên tử, vậy ta có thể lấy 𝑏0 chính là kích thước hạt nhân nguyên tử

Thực nghiệm đo được kích thước này cỡ 10−13𝑚 đến

10−14𝑚 (tức là cỡ fecmi) Trong khi đó, kích thước nguyên tử

cỡ 10−10𝑚 (cỡ Angstrom)

Vậy hạt nhân nguyên tử bé hơn nguyên tử hàng nghìn lần, điện tích dương tập trung hết vào một không gian nhỏ bé

𝑑𝜃

𝜃

𝑑𝜃 𝑟

𝑟

𝑟 sin 𝜃

𝑑𝑆