Bài toán sắp xếp kho vận với ràng buộc sắp xếp.

Bài toán sắp xếp kho vận với ràng buộc sắp xếp. Bài toán sắp xếp kho vận với ràng buộc sắp xếp. Bài toán sắp xếp kho vận với ràng buộc sắp xếp. Bài toán sắp xếp kho vận với ràng buộc sắp xếp. Bài toán sắp xếp kho vận với ràng buộc sắp xếp. Bài toán sắp xếp kho vận với ràng buộc sắp xếp. Bài toán sắp xếp kho vận với ràng buộc sắp xếp. Bài toán sắp xếp kho vận với ràng buộc sắp xếp. Bài toán sắp xếp kho vận với ràng buộc sắp xếp. Bài toán sắp xếp kho vận với ràng buộc sắp xếp. Bài toán sắp xếp kho vận với ràng buộc sắp xếp. Bài toán sắp xếp kho vận với ràng buộc sắp xếp.

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-Nguyễn Thanh Hòa

BÀI TOÁN SẮP XẾP KHO

Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học

và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học: Tiến sĩ Lê Xuân Thanh

Phản biện 1: Tiến sĩ Lê Hải Yến

Phản biện 2: Tiến sĩ Nguyễn Đức Mạnh

Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp tại Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

vào hồi 9 giờ 00 phút ngày 12 tháng 11 năm 2021

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ

Mở đầu

Với một lượng hàng hóa khổng lồ được sắp xếp vàluân chuyển qua các bến cảng trên thế giới hàng ngày,chúng ta đang chứng kiến sự bùng nổ của thương mạiquốc tế và chuỗi cung ứng toàn cầu Do đó, việc quản

lý và sắp xếp hàng hóa một cách hiệu quả trong cácbến cảng ngày càng trở nên quan trọng và thiết yếu.Các hoạt động kho vận tại các bến cảng có thể đượcphân loại theo các loại hình sau đây: sắp xếp các hànghóa cập bến vào trong khu vực kho bãi, bốc dỡ cáchàng hóa trong khu vực kho bãi để vận chuyển đến cácđiểm đến khác, sắp xếp lại các hàng hóa trong cùngmột khu vực kho bãi, kết hợp sắp xếp và bốc dỡ hànghóa khi một số hàng hóa cần được sắp xếp vào khuvực kho bãi trong khi một số hàng hóa cần được bốc

dỡ khỏi khu vực đó Trong các loại hình hoạt động khovận đó, việc sắp xếp hàng hóa cập bến vào trong khuvực kho bãi đóng vai trò trung tâm, vì hiệu quả củahoạt động đó ảnh hưởng tới hiệu quả của các hoạtđộng khác

Sắp xếp kho vận là bài toán xuất hiện trong nhiềungữ cảnh thực tế (chẳng hạn như trong các cảngcontainer, các tàu con- tainer, các trạm đỗ tàu điện)

Do đó, bài toán sắp xếp kho vận đã trở thành đối tượngnghiên cứu của một hướng chính trong vận trù học(như đã chỉ ra trong bài báo tổng quan [1]) Trong phầngiới thiệu của bài báo [2], các tác giả đã trình bày mộttổng quan cập nhật các nghiên cứu về chủ đề này: từthiết kế của khu vực kho bãi đến sự cân bằng vật lýcủa các cấu hình sắp xếp, từ độ phức tạp tính toán đếnphương pháp giải một số lớp bài toán này,

3

từ các bài toán với dữ liệu chắc chắn đến các bài toánvới dữ liệu không chắc chắn, v.v Trong phần tiếp theocủa bài báo, các tác giả đã tổng quát hóa một số biếnthể của bài toán sắp xếp kho vận, và nghiên cứu bàitoán này với các ràng buộc sắp xếp.

Sử dụng bài báo [2] làm tài liệu tham khảo chính,trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu một số bàitoán tối ưu liên quan đến hoạt động sắp xếp kho vận

Mô tả một cách ngắn gọn, trong các bài toán đượcchúng tôi nghiên cứu, cho trước một khu vực kho bãiđược tổ chức dưới dạng các ngăn xếp (stack) Khu vựckho bãi này đã chứa sẵn một số hàng hóa (items).Hàng hóa đến bến cảng theo một dãy các tập hợp vàcần được sắp xếp vào khu vực kho bãi Các ràng buộcmang tính kỹ thuật đối với quá trình sắp xếp hàng hóavào kho bãi bao gồm:

• Trong mỗi ngăn xếp, các hàng hóa được sắp xếp theo thứ tự vào sau ra trước (last-in-first-out)

• Các ngăn xếp có cùng chiều cao, hay chính xác hơn là có cùng số hàng hóa có thể chứa trong ngăn xếp

• Các ràng buộc sắp xếp được cho trước, trong đó quy định hàng hóa nào được sắp xếp lên trên hàng hóa nào

Chúng tôi quan tâm đến các mục tiêu sau

• Tối thiểu tổng số ngăn xếp được sử dụng

• Tối thiểu tổng số hàng hóa được sắp xếp ở vị trí không thuận lợi cho việc bốc dỡ theo thứ tự thời gian xuất bến

Chương 1

Mô tả bài toán

Chúng ta được cho trước một khu vực kho bãi (còn

gọi là khu vực sắp xếp) được tổ chức dưới dạng m ngăn

xếp (stack), mỗi ngăn xếp có vị trí cố định Tập hợp

các ngăn xếp được ký hiệu là Q = 1, , m Mỗi ngăn xếp có b tầng (level), và tập hợp các tầng trong một ngăn xếp được ký hiệu là L = 1, , b Như vậy mỗi ngăn xếp có thể chứa được tối đa b đơn vị hàng hóa.

Hàng hóa được sắp xếp vào trong các ngăn xếptheo thứ tự vào sau ra trước Mỗi đơn vị hàng hóa đượcxếp vào trong một tầng nào đó của một ngăn xếp.Hàng hóa phải được đặt trên mặt đất, hoặc trên mộtđơn vị hàng hóa khác đã được đặt trong khu vực sắpxếp

{}{

}

Có tất cả n hàng hóa trong tập hợp I = 1, , n , được phân hoạch thành hai tập hợp: I fi x chứa các hàng hóa đã

được sắp xếp sẵn trong khu vực sắp xếp, I∗ chứa các hàng hóa còn lại đang chờ được sắp xếp vào kho bãi Cấu hình

sắp xếp của hàng hóa trong tập hợp I fi x được cho trước cố

trong tập hợp I k phải được sắp xếp hết vào trong khu

vực kho bãi trước khi sắp xếp hàng hóa trong tập hợp

I k+1 (với k = 1, , K 1) Chúng ta có thể giả sử khôngngăn xếp nào có toàn bộ các tầng chứa hàng hóa

thuộc tập hợp I fi x

Theo thứ tự sắp xếp, hàng hóa đến trước khôngđược phép xếp lên trên hàng hóa đến sau Tùy theongữ cảnh, có thể có thêm một số ràng buộc quy địnhhàng hóa nào được xếp lên trên từng đơn vị hàng hóa.Các ràng buộc này có thể được mã hóa bởi ma trận

sắp xếp S = (s ij) 0, 1 n×n trong đó s ij = 1 nếu hàng hóa i

có thể xếp được lên hàng hóa j Để thuận tiện, chúng

ta tích hợp thứ tự sắp xếp vào trong ma trận sắp xếp

Ta luôn có s ii = 0 với mọi i = 1, , n do không hàng

hóa nào có thể xếp lên trên chính nó Mật độ của một

ma trận sắp xếp do đó được tính bởi tỉ số của số phần

tử có giá trị 1 so với số phần tử nằm ngoài đường chéochính của ma trận đó

Ràng buộc sắp xếp cũng có thể được biểu diễn bởi

k, thì hàng hóa i cũng có thể xếp lên trên hàng hóa k.

Ma trận sắp xếp được gọi là bắc cầu nếu với mọi i, j, k

1.4 Mục tiêu sắp xếp

Bài toán sắp xếp kho vận đơn giản nhất là bài toánxác định xem có thể tìm được một cách sắp xếp khả thivới các ràng buộc sắp xếp nêu trên hay không Nếu bàitoán đó khả thi, ta quan tâm đến các mục tiêu sau đây

trí không thuận lợi cho việc bốc dỡ theo thứ tựthời gian xuất bến Với mục tiêu này, mỗi hàng

hóa i có một giá trị d i chỉ thời gian hàng hóa đó

được bốc dỡ khỏi khu vực sắp xếp Hàng hóa i được gọi là chặn hàng hóa j nếu chúng cùng trong một ngăn xếp và j cần được bốc dỡ sớm hơn i (tức

i bị sắp xếp không thuận lợi.

Chương 2

Tiếp cận giải

thời gian đa thức

Định lý 1 Bài toán #St với b = 2 có thể giải trong thời gian

rằng bài toán tìm phương án sắp xếp khả thi là NP-đầy

đủ ngay cả khi không có hàng hóa xếp sẵn trong khu

vực sắp xếp (I fix = ∅) và ràng buộc sắp xếp có tính

chất bắc cầu Trong trường hợp b = k với k ≥ 4, kết quả

tương tự đã được chỉ ra trong Định lý 2.11 [6]

2.2.1 Mô hình 3-chỉ số

Chúng ta sử dụng các biến nhị phân sau

x iqℓ 1xếp q, nếu hàng hóa i được xếp vào tầng ℓ của ngăn

0 nếu ngược lại.

{=

s ij x jqℓ ≥ x i,q,ℓ+1 ∀i ∈ I, q ∈ Q, ℓ ∈ L\{b},

(2.5)

x iqℓ ∈ {0, 1} ∀i ∈ I, q ∈ Q, ℓ ∈ L.

Với bài toán #BI, ta sử dụng thêm các biến sau.

1 nếu i bị xếp không thuận lợi tại tầng ℓ của ngăn

s ij x jqℓ ≥ x i,q,ℓ+1 ∀i ∈ I, q ∈

Q, ℓ L b ,

(2.11)

y iqℓ ≤ x iqℓ ∀i ∈ I, q ∈

Q, ℓ L, ∈(2.12)

∈

Q ,

x ij 1xếp ngay trên j, nếu i được

∈{=

Ta có mô hình sau cho bài toán #St.

thuận lợi Đặt M := max{d1, , d n}, ta có mô hình sau

đây cho bài toán #BI.

các biến nhị phân x i q với i ∈ I và q ∈ Q theo ý nghĩa

x ij 1 nếu i được xếp vào ngăn q,

0 nếu ngược lại

Ta sử dụng thêm các biến z q với q ∈ Q với ý nghĩa

1 nếu có hàng hóa được xếp trong

ngăn q, z q 0 nếu ngược lại

Ký hiệu

q}

và

Ký hiệu tập hợp các ngăn xếp chứa ít nhất một hàng

hóa loại I fix bởi Q fix Với mỗi q Q fix , gọi b q là số hàng

hóa I fi x đã có sẵn trong ngăn xếp đó Bài toán #St có

thể mô hình hóa như sau

Bổ đề 1 Cho trước một ma trận sắp xếp bắc cầu S = (s ij)

S′, (ii) S′ bắc cầu, và

(iii) mỗi phương án sắp xếp khả thi theo S có thể chuyển về

được sử dụng cũng như số hàng hóa bị xếp ở vị trí không thuận lợi.

Với mỗi i ∈ I, đặt B i′ = {j ∈ I | s ij = 1, d j < d i} Ta sử dụng

∑∈ \

{ }

∑∈ \ { }

bi n

các biến sau.

β i

q

1 nếu i được xếp không thuận lợi trong ngăn q,

0 nếu ngược lại,

γ iq 1 nếu i được xếp thuận lợi trong ngăn q,

0 nếu ngược lại

Ta có mô hình sau cho bài toán #BI.

i∈I q∈Q

s.t β iq + γ iq = 1 (i, q) F bin ,

(2.47)(β iq + γ iq) ≤ b ∀q ∈ Q,

(2.51)

∑ (β jq + γ jq) ≤ b(1 − γiq) ∀(i, q) ∈ I × Q,

bi n

∈

Chúng tôi tạo ngẫu nhiên các ví dụ số cho các thửnghiệm, với số hàng hóa như sau.

Thứ tự sắp xếp bao gồm 5 tập hợp I fi x I1 I2 I3

I4 Số phần tử trong mỗi tập hợp này được tạo ngẫu

nhiên, với tổng số phần tử bằng n xác định như trên.

Số phần tử trong I fi x bị giới hạn trên bởi n

Để tạo cấu hình sắp xếp cho các hàng hóa có sẵntrong kho bãi, chúng tôi phân bố ngẫu nhiên số hàng

hóa trong I fi x vào I fi x ngăn xếp sao cho không có ngăn

nào bị xếp đầy bởi các hàng hóa trong tập hợp này.Thời gian xuất bến của mỗi hàng hóa được chọn ngẫu

Chúng tôi tạo ngẫu nhiên các ma trận sắp xếp bằng

cách gán với mỗi hàng hóa một bộ 3 tham số w1, w2, w3

và chọn giá trị cho các tham số này trong tập hợp {1, 2,

3} Với mỗi cặp hàng hóa i, j ∈ I fi x ta đặt s ij = 1 nếu

hàng hóa i được đặt ngay trên hàng hóa j trong cùng một ngăn xếp Với mỗi hàng hóa i ∈ I∗ = I\I fi x và bất

kỳ hàng hóa j ∈ I, ta đặt s ij = 1 nếu i đến sau j và w i ≤

w j

với mọi l 1, 2, 3 Theo cách này, các ma trận sắp xếp

thu được sẽ có tính chất bắc cầu

Về kích cỡ kho bãi, chúng tôi chọn giá trị 4, 5, 6 cho

số tầng b trong các ngăn xếp Với bài toán #St, chúng tôi khởi tạo giá trị số ngăn xếp m = n Với bài toán #BI,

chúng tôi khởi tạo giá trị số ngăn xếp m là giá trị tối ưu của bài toán #St với dữ liệu tương ứng.

Chúng tôi tiến hành các thực nghiệm trên máy tính

PC In- tel(R) Core(TM) i5-4210U, CPU 1.7GHz and 4GBRAM Dữ liệu cho các bài toán được tạo bởi Visual Basic.NET Chúng tôi sử dụng ZIMPL 3.3.2 [8] để cài đặt các

mô hình, và sử dụng GUROBI

9.1.2 [9] giải số các mô hình này

Chúng tôi đã tiến hành 3 thực nghiệm Trong thựcnghiệm đầu tiên, chúng tôi nhận thấy các mô hình sửdụng tiếp cận đóng gói có tốc độ giải số vượt trội hơnhẳn so với các mô hình sử dụng 2 tiếp cận còn lại.Trong thực nghiệm thứ hai, chúng tôi thấy rằng thờigian chạy của các mô hình sử dụng tiếp cận 3 chỉ số vàtiếp cận đóng gói giảm đáng kể khi số ngăn xếp đượcgiảm xuống Trong thực nghiệm thứ ba, chúng tôi nhậnthấy số hàng hóa bị xếp không thuận lợi giảm đáng kểkhi số ngăn xếp tăng lên

2

{}

l l

Kết luận

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu bài toánsắp xếp kho vận nảy sinh trong hoạt động của các tàucontainer và cảng container Chúng tôi trình bày một

số kết quả về độ phức tạp tính toán của bài toán, một

số mô hình quy hoạch nguyên hỗn hợp cho bài toán vàđánh giá hiệu quả các mô hình đó

Trong Chương 1, chúng tôi trình bày cụ thể phátbiểu của các bài toán được nghiên cứu trong luận văn.Trong các bài toán này, chúng ta cần sắp xếp các hànghóa vào trong các ngăn xếp có cùng số tầng Hàng hóađến khu vực sắp xếp theo thứ tự trong các tập hợp.Khu vực sắp xếp có thể có sẵn một số hàng hóa trong

đó Ràng buộc sắp xếp quy định hàng hóa nào đượcphép xếp trên hàng hóa nào Mục tiêu của bài toán làtối thiểu hoặc số ngăn xếp được sử dụng, hoặc số hànghóa bị đặt ở vị trí không thuận lợi

Trong Chương 2, chúng tôi chỉ ra rằng khi mỗi ngănxếp có số tầng bằng 2 thì các bài toán trên có thể giảitrong thời gian đa thức bằng cách sử dụng kỹ thuậtghép cặp trong lý thuyết đồ thị Bài toán sắp xếp khovận với mỗi ngăn xếp có số tầng ít nhất là 3 được tin làNP-hard, do đó chúng tôi đề xuất 3 tiếp cận mô hìnhhóa mỗi bài toán được nghiên cứu dưới dạng bàitoansn quy hoạch nguyên hỗn hợp Tiếp cận thứ nhất

sử dụng các biến nhị phân 3 chỉ số để ghi nhận hànghóa nào được xếp vào tầng nào của ngăn xếp nào Tiếpcận thứ hai biểu diễn các ràng buộc sắp xếp dưới dạng

đồ thị sắp xếp, sau đó nhúng đồ thị này vào một luồngmạng và coi mỗi ngăn xếp như một luồng có độ dài tốiđa

cho trước Tiếp cận cuối cùng xem mỗi ngăn xếp nhưmột hộp và xác định xem hàng hóa nào được xếp vàohộp nào, vị trí cụ thể của hàng hóa sẽ được xác địnhthông qua tính chất bắc cầu của các ràng buộc sắpxếp.

Mục đích của Chương 3 là xác định mô hình tốt nhấttrong các mô hình đã trình bày trong Chương 2 Chúngtôi trình bày quy trình tạo ngẫu nhiên các ví dụ số chocác bài toán được nghiên cứu, đánh giá hiệu quả củacác mô hình trên các ví dụ số này Kết quả thực nghiệmcho thấy tiếp cận đóng góp có hiệu quả vượt trội hơncác tiếp cận khác về tốc độ giải số, và số lượng ngănxếp có ảnh hưởng lớn tới hiệu quả của các mô hìnhcũng như số lượng hàng hóa bị xếp ở vị trí khôngthuận lợi

Tài liệu tham khảo

[1]J Lehnfeld and S Knust Loading, unloading andpremar- shalling of stacks in storage areas: Survey

and classification European Journal of Operational

[2]T Oelschlägel and S Knust Solution approaches forstor- age loading problems with stackingconstraints Computers & Operations Research,127:105142, 2021

[3]F Bruns, S Knust, and N V Shakhlevich.Complexity results for storage loading problems

with stacking constraints Euro- pean Journal of

[4]S Even and O Kariv An O(n2.5) algorithm for

maximum matching in general graphs In Proceedings

of the 16th Annual IEEE Symposium on Foundations of

1975

[5]H Gabow An efficient implementation of Edmonds’algo- rithm for maximum matching on graphs

[6]X T Le Robust solutions to storage loading problems under

[7]X T Le and S Knust MIP-based approaches forrobust stor- age loading problems with stacking

constraints Computers & Operations Research, 78:138–

153, 2017

[8]T Koch Rapid Mathematical Programming PhD thesis,

Tech- nische Universität Berlin, 2004