Khái niệm hàm số mũ ở trung học phổ thông: Nghiên cứu khoa học luận và chuyển hóa sư phạm

NỘI DUNG NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN 1. Luận án làm rõ một số lý luận về dạy học phát triển năng lực, dạy học tích hợp liên môn, mô hình hóa, dạy học thông qua hoạt động thực hành và trải nghiệm (gọi chung là các mô hình dạy học) trong môn Toán trong mối liên hệ với chương trình giáo dục phổ thông môn toán năm 2018. Song song đó, luận án giới thiệu một số yếu tố lý thuyết của didactic Toán cùng với việc kết hợp hài hòa giữa lý thuyết này với các mô hình dạy học trên trong môn Toán sẽ làm cơ sở cho các hợp thức các sản phẩm sư phạm hoàn chỉnh hơn, góp phần làm phong phú kho tàng lý thuyết về phương pháp dạy học môn Toán. 2. Luận án thực hiện một nghiên cứu tri thức luận làm rõ các bài toán phát sinh trong quá trình phát triển HSM thuộc các lĩnh vực khác nhau như Kinh tế, Sinh học, Hóa học, Hình học. Điều này cho thấy HSM có phạm vi ảnh hưởng hay có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực, đồng thời các vấn đề về tích hợp liên môn, mô hình hóa, hoàn toàn có thể thực hiện tốt đối với HSM cho dù HSM được tiếp cận theo tiến trình nào. 3. Phân tích tri thức cần dạy HSM trong các SGK Việt Nam, Pháp, Mỹ cho thấy có những tiến trình đưa vào HSM khác nhau ở các SGK. Điều đó minh chứng cho sự chuyển hóa sư phạm đối với tri thức HSM là rất đa dạng. Đồng thời, từ những kết quả quan trọng qua phân tích các sách giáo khoa trên trong sự tham chiếu với tri thức bác học của hàm số mũ giúp chúng tôi đề xuất định hướng việc tổ chức dạy học hàm số mũ với những tiêu chí như: việc chọn lựa bài toán; yêu cầu của tình huống dạy học; các cách thiết kế bài toán trong tình huống dạy học; tiến trình tổ chức dạy học.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hữu Lợi

KHÁI NIỆM HÀM SỐ MŨ

Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG:

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC LUẬN

VÀ CHUYỂN HÓA SƯ PHẠM

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2021

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hữu Lợi

KHÁI NIỆM HÀM SỐ MŨ

Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG:

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC LUẬN

VÀ CHUYỂN HÓA SƯ PHẠM

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số : 62 14 01 11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 TS TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

2 PGS TS LÊ VĂN TIẾN

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2021

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai khác công bố trong bất kỳ công trình nào

Tác giả luận án

Nguyễn Hữu Lợi

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC BẢNG

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

1.1 Về vấn đề dạy học phát triển năng lực, tích hợp liên môn, mô hình hóa và dạy học thông qua hoạt động thực hành và trải nghiệm trong môn Toán 1

1.2 Về khái niệm hàm số mũ 3

1.3 Tổng quan về tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước 4

1.3.1 Những nghiên cứu về dạy học phát triển năng lực HS, dạy học tích hợp liên môn, dạy học mô hình hóa và dạy học thông qua thực hành và trải nghiệm trong môn Toán 4

1.3.2 Những nghiên cứu về khái niệm hàm số mũ ở nước ngoài 14

1.3.3 Những nghiên cứu về khái niệm hàm số mũ ở Việt Nam 16

1.3.4 Định hướng nghiên cứu 17

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu 18

3 Giới hạn phạm vi đề tài 18

4 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu 18

4.1 Giải thích thuật ngữ: 18

4.2 Mục tiêu nghiên cứu: 20

5 Phương pháp nghiên cứu 21

5.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận 21

5 2 Phương pháp nghiên cứu khoa học luận 22

5.3 Phương pháp phân tích tài liệu 22

5.4 Thực nghiệm sư phạm 22

6 Giả thuyết nghiên cứu 22

7 Nhiệm vụ nghiên cứu 22

8 Đóng góp của luận án và ý nghĩa của luận án 23

8.1 Đóng góp của luận án 23

8.2 Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của luận án 23

9 Cấu trúc của luận án 24

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 25

1.1 Một số cơ sở lý luận về dạy học phát triển năng lực trong môn Toán 25

1.1.1 Quan điểm về năng lực 25

1.1.2 Phân loại năng lực toán học trong môn Toán 26

1.1.3 Năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn 26

1.1.4 Năng lực mô hình hóa toán học 31

1.1.5 Đặc điểm của dạy học phát triển năng lực trong môn Toán 32

1.1.6 Tổ chức dạy học phát triển năng lực 34

1.2 Một số cơ sở lý luận về dạy học tích hợp liên môn 34

1.2.1 Quan điểm về tích hợp 35

1.2.2 Quan điểm về liên môn 35

1.2.3 Quan điểm về dạy học tích hợp liên môn 36

1.2.4 Ý nghĩa của dạy học tích hợp liên môn trong môn Toán 37

1.2.5 Tổ chức dạy học tích hợp liên môn trong môn Toán 37

1.3 Một số cơ sở lý luận về dạy học mô hình hóa trong môn Toán 38

1.3.1 Mô hình hóa toán học 38

1.3.2 Ý nghĩa của mô hình hóa 39

1.3.3 Tổ chức dạy học mô hình hóa trong môn Toán 40

1.3.4 Quá trình mô hình hóa toán học 40

1.3.5 Phân loại các mức độ năng lực mô hình hóa 43

1.4 Một số cơ sở lý luận về dạy học thông qua hoạt động thực hành và trải nghiệm trong môn Toán 45

1.4.1 Một số khái niệm cơ bản 45

1.4.2 Sự cần thiết phải tổ chức hoạt động thực hành và trải nghiệm trong môn Toán 47

1.4.3 Đặc điểm của hoạt động thực hành và trải nghiệm trong môn Toán 48

1.4.4 Vai trò của hoạt động thực hành và trải nghiệm trong môn Toán 50

1.4.5 Các hình thức, phương pháp tổ chức hoạt động thực hành và trải nghiệm trong môn Toán 51

1.4.6 Một số mô hình dạy học thông qua hoạt động trải nghiệm 52

1.5 Một số yếu tố lý thuyết của didactic Toán 56

1.5.1 Didactic toán và đối tượng nghiên cứu của didactic toán 56

1.5.2 Nghiên cứu khoa học luận 58

1.5.3 Chuyển hóa sư phạm 59

1.5.4 Khái niệm kiểu nhiệm vụ 61

1.5.5 Hợp thức hóa nội tại và hợp thức hóa ngoại vi 61

1.6 Kết luận chương 1 62

CHƯƠNG 2: NGHIÊN CỨU KHOA HỌC LUẬN HÀM SỐ MŨ 63

2.1 Sơ lược lịch sử hình thành và phát triển của hàm số mũ 63

2.1.1 Giai đoạn cổ xưa đến thế kỷ 17 64

2.1.2 Giai đoạn từ thế kỷ 17 đến nay 74

2.2 Hàm số mũ ở cấp độ đại học 84

2.2.1 Hàm số mũ trong giáo trình Toán cao cấp, Tập 2: Phép tính vi phân – Các hàm thông dụng, Guy Lefort, Viện Đại học Sài gòn, 1975 84

2.2.2 Hàm số mũ trong giáo trình Les Logarithmes et leurs applications, André

Delachet, Presses Universitaire de France, 1960 90

2.2.3 Hàm số mũ trong http://fr.wikiversity.org/wiki/ Fonction_exponentielle 93

2.3 Kết luận chương 2 95

2.3.1 Tiến trình đưa vào hàm số mũ 95

2.3.2 Phạm vi tác động của khái niệm hàm số mũ 96

2.3.3 Các đối tượng có liên quan 96

2.3.4 Một số bài toán liên quan hàm số mũ 96

2.3.5 Về vấn đề mô hình hóa, áp dụng hàm số mũ vào giải bài toán thực tiễn 97

CHƯƠNG 3: HÀM SỐ MŨ TRONG CÁC SÁCH GIÁO KHOA VÀ THỰC TRẠNG DẠY HỌC 98

3.1 Hàm số mũ trong sách giáo khoa phổ thông Việt Nam 98

3.1.1 Sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000 98

3.1.2 Sách giáo khoa Giải tích 12 ban khoa học tự nhiên – bộ 1 100

3.1.3 Sách giáo khoa Giải tích 12 ban khoa học tự nhiên – bộ 2 103

3.1.4 Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao 104

3.2 Hàm số mũ trong sách giáo khoa Pháp 106

3.2.1 Giai đoạn cải cách toán học hiện đại những năm 1970 theo trường phái Bourbaki 106

3.2.2 Giai đoạn cải cách chống toán học hiện đại – những năm 1980, 1990 107

3.2.3 Giai đoạn sau 2000 109

3.2.4 Sách giáo khoa Pháp Déclic Maths, Spécialité 1 (2019) 110

3.3 Hàm số mũ trong bộ sách giáo khoa Mỹ 113

3.3.1 Định nghĩa hàm số mũ 113

3.3.2 Định nghĩa hàm số lôgarit 114

3.3.3 Các bài toán 114

3.4 Hàm số mũ trong Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2018) 114

3.4.1 Vị trí của hàm số mũ trong chương trình phổ thông 2018 115

3.4.2 Các nội dung thuộc chủ đề hàm số mũ trong chương trình 115

3.4.3 Các yêu cầu cần đạt đối với chủ để hàm số mũ trong chương trình 115

3.5 Khảo sát giáo viên 117

3.5.1 Mục tiêu khảo sát 117

3.5.2 Tiến trình khảo sát 117

3.5.3 Phân tích bộ câu hỏi trước khảo sát 118

3.5.4 Kết quả khảo sát 120

3.5.5 Kết luận về khảo sát GV 134

3.6 Kết luận chương 3 136

3.6.1 Nhận xét 136

3.6.2 Định hướng tổ chức dạy học hàm số mũ 137

CHƯƠNG 4: THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU VÀ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 139

4.1 Nghiên cứu 1 139

4.1.1 Mục tiêu 139

4.1.2 Các tình huống 139

4.1.3 Tiến trình tổ chức thực nghiệm 140

4.1.4 Phân tích các tình huống trước thực nghiệm 142

4.2 Nghiên cứu 2 145

4.2.1 Mục tiêu thực nghiệm 145

4.2.2 Các tình huống 145

4.2.3 Tiến trình tổ chức thực nghiệm 150

4.2.4 Phân tích các tình huống trước thực nghiệm 152

4.3 Nghiên cứu 3 156

4.3.1 Mục tiêu thực nghiệm 156

4.3.2 Quá trình tiến hành thực nghiệm gồm: 156

4.3.3 Hoạt động thực hành và trải nghiệm với tình huống “Khám phá số e và ứng dụng của nó” 156

4.3.4 Khảo sát sau thực nghiệm 160

4.4 Các tiêu chí phân tích sau thực nghiệm 161

4.5 Kết luận chương 4 161

CHƯƠNG 5: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 163

5.1 Kết quả nghiên cứu 1 163

5.1.1 Kết quả bài làm của HS qua bài toán 1 163

5.1.2 Kết quả bài làm của HS qua bài toán 2 168

5.1.3 Kết quả khảo sát sau thực nghiệm 172

5.1.4 Kết luận nghiên cứu 1 178

5.2 Kết quả nghiên cứu 2 178

5.2.1 Pha 1 178

5.2.2 Pha 2 179

5.2.3 Pha 3 179

5.2.4 Pha 4 180

5.2.5 Pha 5 181

5.2.6 Pha 6 181

5.3 Kết quả nghiên cứu 3 184

5.3.1 Hoạt động 1 – Đánh giá nhóm 184

5.3.2 Hoạt động 2 Quan sát, phản hồi 187

5.3.3 Hoạt động 3 Khái niệm hóa vấn đề trừu tượng 187

5.3.4 Hoạt động 4 Ứng dụng, thử nghiệm tích cực 187

5.3.5 Đánh giá sau thực nghiệm 190

5.3.6 Kết luận nghiên cứu 3 193

5.4 Kết luận chương 5 194

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 196

1 Những kết quả đạt được 196

2 Hạn chế 198

3 Kiến nghị 198

4 Hướng nghiên cứu mở ra từ đề tài 198

TÀI LIỆU THAM KHẢO 200 PHỤ LỤC 1 : SỐ e 1PL

PHỤ LỤC 2: LÔGARIT NÊPE 4PL PHỤ LỤC 3: BỘ CÂU HỎI KHẢO SÁT GIÁO VIÊN 7PL PHỤ LỤC 4: BIÊN BẢN THẢO LUẬN VỀ HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM 12PL PHỤ LỤC 5: PHIẾU THỰC NGHIỆM NGHIÊN CỨU 1 14PL PHỤ LỤC 6: PHIẾU THỰC NGHIỆM NGHIÊN CỨU 2 24PL PHỤC LỤC 7: PHIẾU THỰC NGHIỆM NGHIÊN CỨU 3 36PL PHỤ LỤC 8: Fonction_exponentielle (2008) (Bản dịch) 43PL

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang

Bảng 1.1 Yêu cầu cần đạt của năng lực MHH toán học ở các cấp 30

Bảng 1.2 Thang đánh giá năng lực MHH toán học 42

Bảng 2.1 Bảng số (6/5)n 68

Bảng 2.2 Bảng tương ứng tiến trình số học và tiến trình hình học 70

Bảng 2.3 Bảng cộng các tiến trình hình học 70

Bảng 3.1 Thống kê trả lời câu hỏi 1 121

Bảng 3.2 Thống kê trả lời các câu hỏi 2, 3, 5, 6 121

Bảng 3.3 Thống kê trả lời câu hỏi 4 123

Bảng 3.4 Thống kê trả lời câu hỏi 7, 8 124

Bảng 3.5 Thống kê trả lời câu hỏi 9 126

Bảng 3.6 Thống kê trả lời câu hỏi 10 127

Bảng 3.7 Thống kê trả lời câu hỏi 11 128

Bảng 3.8 Thống kê trả lời câu hỏi 12 129

Bảng 4.1 Bảng dữ liệu 3 2 146

Bảng 4.2 Bảng số liệu tính tiền đến năm 2030 của thành phố A 147

Bảng 5.1 Thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 1 của HS 163

Bảng 5.2 Thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 1 của cá nhân về năng lực 1 163

Bảng 5.3 Thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 1 của các nhóm về năng lực 2 164

Bảng 5.4 Thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 1 của cá nhân về năng lực 3 165

Bảng 5.5 Thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 1 (làm nhóm) 166

Bảng 5.6 Thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 2 của HS làm cá nhân 168

Bảng 5.7 Thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 2 của HS làm nhóm 170

Bảng 5.8 Thống kê kết quả các bài toán khảo sát sau thực nghiệm về năng lực 1 172

Bảng 5.9 Thống kê kết quả các bài toán khảo sát sau thực nghiệm về năng lực 2 173

Bảng 5.10 Thống kê kết quả các bài toán khảo sát sau thực nghiệm về năng lực 3 173

Bảng 5.11 Thống kê kết quả phỏng vấn câu 1 176

Bảng 5.12 Thống kê các chiến lược của HS trong pha 1 178

Bảng 5.13 Thống kê các chiến lược của HS trong pha 2 179

Bảng 5.14 Thống kê các chiến lược của HS trong pha 3 179

Bảng 5.15 Thống kê các chiến lược của HS trong pha 5 181

Bảng 5.16 Thống kê các chiến lược của HS trong pha 6 182

Bảng 5.17 Kết quả bài toán 1 theo tiêu chí đánh giá năng lực GQVĐ thực tiễn 188

Bảng 5.18 Kết quả bài toán 2 theo tiêu chí đánh giá năng lực GQVĐ thực tiễn 189

Bảng 5.19 Kết quả bài toán 3 theo tiêu chí đánh giá năng lực GQVĐ thực tiễn 190

Bảng 5.20 Kết quả khảo sát thái độ của HS sau thực nghiệm 192

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 0.1 Minh họa hai chuyển động tương ứng theo tỉ lệ 15 Hình 2.1 Hiện vật khảo cổ 64 Hình 2.2 Bảng minh họa lời giải bài toán “7 nhà-mèo” 69

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

Sơ đồ qui trình nghiên cứu 21

Sơ đồ 1.1 Tiến trình hình thành và phát triển năng lực theo tác giả Vũ Quốc Chung (2020) 33

Sơ đồ 1.2 Quá trình MHH toán học của tác giả Lê Thị Hoài Châu 41

Sơ đồ 1.3 Qui trình MHH toán học của tác giả Nguyễn Danh Nam 42

Sơ đồ 1.4 Chu trình MHH toán học của tác giả Nguyễn Phú Lộc 43

Sơ đồ 1.5 Mô hình học tập trải nghiệm của Kolb (1984) 52

Sơ đồ 1.6 Mô hình dạy học thông qua hoạt động thực hành và trải nghiệm của Betts, S.C & Dalla, R.L (1996) 54

Sơ đồ 1.7 Mô hình dạy học thông qua hoạt động thực hành và trải nghiệm sử dụng ở trường phổ thông của tác giả Đào Thị Ngọc Minh, Nguyễn Thị Hằng (2018) 55

Sơ đồ 1.8 Sơ đồ bốn cực các đối tượng của didactic 57

Sơ đồ 1.9 Sơ đồ sự chuyển hóa sư phạm 60

Sơ đồ 4.1 Sơ đồ thể hiện tiến trình thực nghiệm 141

“vận dụng” kiến thức vào giải quyết vấn đề cụ thể” (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2018b, tr.3) Do đó, một trong những yêu cầu hiện nay của chương trình môn Toán là “phát triển khả năng giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và các môn học khác như Vật lí, Hoá học, Sinh học, Địa lí, Tin học, Công nghệ, Lịch sử, Nghệ thuật, ; tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào thực tiễn” (Bộ Giáo dục và Đào

tạo, 2018b, tr.6) Như vậy, chương trình môn Toán phổ thông đã xác định rõ các vấn đề cần đạt được là:

- Dạy học phát triển năng lực người học

- Dạy học định hướng tích hợp liên môn trong môn Toán

- Chú trọng việc gắn dạy học Toán với thực tiễn và trải nghiệm

Thêm vào đó, những đặc điểm trên cũng được cụ thể hóa qua các mục tiêu cụ thể như sau (nội dung được in đậm và nghiêng bên dưới là dụng ý của chúng tôi nhằm để nhấn mạnh):

a) Hình thành và phát triển năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy

và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán

b) Góp phần hình thành và phát triển ở học sinh các phẩm chất chủ yếu và năng lực chung theo các mức độ phù hợp với môn học, cấp học được qui định tại Chương trình tổng thể

c) Có kiến thức, kĩ năng toán học phổ thông, cơ bản, thiết yếu; phát triển khả năng giải quyết vấn

đề có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và các môn học khác như Vật lí, Hoá học, Sinh học, Địa lí, Tin học, Công nghệ, Lịch sử, Nghệ thuật, ; tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học

vào thực tiễn

d) Có hiểu biết tương đối tổng quát về sự hữu ích của toán học đối với từng ngành nghề liên quan để làm cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề liên quan đến toán học trong suốt cuộc đời (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2018b, tr,6)

Như vậy, các vấn đề trên nếu được áp dụng vào dạy học hàm số mũ (HSM) trong sách giáo khoa (SGK) Toán 12 hiện hành, nội dung nào của HSM có thể đáp ứng được? Cụ thể thêm, các nhà giáo dục, giáo viên (GV) triển khai như thế nào? Học sinh (HS) có thể học được gì từ các hoạt động dạy học chủ đề HSM như định hướng bên trên? HSM sẽ được vận dụng như thế nào trong các bài toán thực tiễn?

Trên đây là các câu hỏi xuất phát cho vấn đề nghiên cứu Ngoài ra, để trả lời các câu hỏi này cần một số cơ sở lý thuyết về: dạy học phát triển năng lực của HS, dạy học tích hợp liên môn, dạy học mô hình hóa hay dạy học thông qua hoạt động thực hành và trải nghiệm (HĐ TH&TN) trong môn Toán

Trước tiên, chúng tôi thảo luận về dạy học phát triển năng lực của HS trong môn Toán Nghiên cứu dạy học phát triển năng lực của HS đang được nhiều nhà giáo dục trong

và ngoài nước quan tâm sâu sắc, cụ thể trong lĩnh vực giáo dục toán, các nhà nghiên cứu

cố gắng tìm các giải pháp nhằm thúc đẩy hình thành và phát triển các năng lực toán học cho HS Thêm vào đó, chương trình giáo dục phổ thông (GDPT) mới được ban hành năm

2018 cũng nêu rõ định hướng dạy học chuyển từ truyền thụ nội dung kiến thức sang

phát triển năng lực và phẩm chất của người học Ngoài ra, chương trình này cũng định

rõ 5 thành tố năng lực toán học cần được hình thành và phát triển như sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán Bên cạnh đó, các thành tố cốt lõi của các năng lực trên cũng được làm rõ theo mức độ

Môn Toán là một môn học thể hiện sự tích hợp chặt chẽ các kiến thức với nhau như: số học và đại số, hình học và đại lượng, xác suất và thống kê Ngoài ra, môn học này cũng có nhiều ứng dụng trong các môn học, lĩnh vực khác Vì vậy, vấn đề dạy học tích hợp liên môn Toán và các khoa học, lĩnh vực khác cũng cần quan tâm thiết thực Bởi nó

có nhiều lợi ích đáng kể như: GV có thể mở rộng phạm vi ảnh hưởng của tri thức trong nhiều môn học cũng như sự trau dồi kiến thức trong các môn học Hơn nữa, HS hứng thú với các tiết học tích hợp liên môn, từ đó góp phần hiểu sâu về nội dung bài học Một lợi ích khác là HS có sự thay đổi tích cực về việc vận dụng kiến thức, kỹ năng vào giải quyết các vấn đề thực tiễn, cụ thể hơn các em có thể vận dụng kiến thức toán học vào giải các vấn đề trong các khoa học khác

Để phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho HS, GV có thể sử dụng dạy học

mô hình hóa trong môn Toán bởi vì cách dạy học này giúp HS nhận biết được ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống, phát triển khả năng sử dụng toán để hiểu và giải quyết những vấn đề thực tiễn Quá trình này đòi hỏi HS cần có các kĩ năng và thao tác

tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa Hơn nữa, cách tiếp cận này có những ưu điểm như: tạo cơ hội cho HS tham gia giải quyết các vấn

đề thực tiễn chứ không đơn thuần là giải các bài toán toán học; giúp việc học toán của HS trở nên có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học toán Tuy nhiên, mô hình hóa toán học là một quá trình áp dụng các tri thức toán học vào các tình huống mới và lạ Do

đó, khi thực hiện mô hình hóa toán học, HS có thể gặp nhiều khó khăn như: không hiểu

vấn đề được đặt ra bởi tình huống thực tế; khó khăn trong việc xác định giả thuyết, nhận

ra các yếu tố quan trọng để thiết lập mô hình toán; hạn chế bởi kiến thức toán, khả năng

để lựa chọn một phương pháp giải phù hợp cũng như giải thích kết quả,…

Ngoài ra, HĐ TH&TN cũng được bố trí thời lượng đáng kể trong chương trình Toán ở từng cấp học Ví dụ, Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018 nêu thêm (tr.102): (nội dung được in đậm và nghiêng bên dưới là dụng ý của chúng tôi nhằm

để nhấn mạnh)

Hoạt động 2: Thực hành ứng dụng các kiến thức toán học vào lĩnh vực Giáo dục dân số, chẳng hạn: vận

dụng cấp số cộng, cấp số nhân để giải thích qui luật tăng trưởng dân số; vận dụng hàm số mũ, hàm số lôgarit để giải thích ảnh hưởng của sự tăng trưởng dân số tới tiến bộ kinh tế – xã hội, giải thích mối

liên hệ giữa sự tăng trưởng dân số với môi trường sinh thái,

Hoạt động 3: Tìm hiểu một số kiến thức về tài chính, như:

– Thực hành lên kế hoạch và quản lí thu nhập và tích luỹ của cải trong khoảng thời gian ngắn hạn và

trung hạn

– Xác định được các phương thức để bảo vệ bản thân khỏi rủi ro

Hoạt động 4: Tổ chức các hoạt động ngoài giờ chính khoá: câu lạc bộ toán học; cuộc thi về Toán, dự án

học tập, ra báo tường (hoặc nội san) về Toán, như: câu lạc bộ về ứng dụng toán học trong khoa học máy tính và công nghệ thông tin,

Hoạt động 5 (nếu nhà trường có điều kiện thực hiện): Tổ chức giao lưu HS giỏi Toán trong trường và

trường bạn, giao lưu với các chuyên gia nhằm hiểu rõ hơn về vai trò của Toán học trong thực tiễn và trong các ngành nghề

Rõ ràng, chương trình mới cũng định hướng đến các HĐ TH&TN cần thiết để tổ chức cho HS có hiểu biết thêm về HSM Vì thế việc trải nghiệm trong quá trình học HSM

là rất cần thiết, thông qua trải nghiệm các em HS sẽ được phát triển năng lực sáng tạo, tự chiếm lĩnh kiến thức, hình thành các kỹ năng, giá trị và phẩm chất của bản thân Nội dung môn Toán thường mang tính trừu tượng, khái quát, vì thế để hiểu và học được Toán thì chương trình Toán ở trường phổ thông cần bảo đảm sự cân đối giữa học kiến thức và áp dụng kiến thức vào giải quyết vấn đề cụ thể thì phương pháp này thật sự đem lại hiệu quả thiết thực

việc lựa chọn HSM để nghiên cứu là phù hợp, đáp ứng ba vấn đề của chương trình đặt ra như trên

Về định nghĩa HSM, tồn tại nhiều tiến trình khác nhau Trong đó, khái niệm lũy thừa vẫn giữ vai trò then chốt trong định nghĩa HSM Tiến trình thứ nhất của định nghĩa HSM chịu ảnh hưởng mạnh và trực tiếp bởi sự mở rộng khái niệm lũy thừa từ lũy thừa với số

mũ nguyên dương, không, nguyên âm, hữu tỉ và thực Chương trình phổ thông hiện hành của Việt Nam lựa chọn tiến trình này cho định nghĩa HSM Khi đó, khái niệm lũy thừa được mở rộng dần từ lớp 6 đến lớp 12 theo sơ đồ: số mũ nguyên dương (lớp 6)  số mũ không (lớp 6, lớp 12)  số mũ nguyên âm (lớp 7, lớp 12)  số mũ hữu tỉ (lớp 12)  số

mũ thực (lớp 12) HSM là hàm số được xác định bởi biểu thức x

y  a , với x là số thực

Theo một tiến trình khác, HSM được định nghĩa là hàm ngược của hàm số logarit và

do vậy hàm số logarit là hàm số ngược của HSM Việc mở rộng khái niệm lũy thừa có thể được thực hiện thông qua HSM

Trong các sách giáo khoa của Pháp , HSM cơ số e được xây dựng dựa trên phương trình vi phân HSM cơ số a (a > 0) được định nghĩa từ HSM cơ số e và logarit Nêpe

Dù với tiến trình nào, việc tính giá trị của HSM tại một điểm đều mang đến một nghĩa mới cho khái niệm lũy thừa với số mũ bất kỳ Nhưng vì sao có những tiến trình khác biệt này? Lợi ích của mỗi tiến trình ra sao? Cơ sở cho những định nghĩa liên quan là gì? Tiến trình nào là tuân thủ lịch sử phát triển của HSM? Sự thay đổi những tiến trình sẽ ảnh hưởng như thế nào đến các đối tượng toán học khác? Có mối quan hệ nào giữa hai quá trình phát triển khái niệm HSM và hàm số logarit cũng như các khái niệm liên quan khác? Phải chăng hàm số logarit là cơ sở cho sự ra đời HSM hoặc ngược lại?

Song song với những nội dung đặt ra trên đối với HSM cùng với yêu cầu của Chương trình phổ thông môn Toán (2018) đã làm nảy sinh vấn đề khác cần nghiên cứu:

Có thể hay không cải tiến việc xây dựng khái niệm HSM thông qua việc dạy học tích hợp liên môn, mô hình hóa hoặc bổ sung các kiểu nhiệm vụ thích hợp nhằm giúp HS nhận ra

được vai trò công cụ hay phương tiện của HSM?

1.3 Tổng quan về tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước

1.3.1 Những nghiên cứu về dạy học phát triển năng lực HS, dạy học tích hợp liên môn, dạy học mô hình hóa và dạy học thông qua thực hành và trải nghiệm trong môn Toán

1.3.1.1 Những nghiên cứu về dạy học phát triển năng lực học sinh trong môn Toán

a) Tình hình nghiên cứu ở nước ngoài

Dạy học dựa trên năng lực ngày nay đã trở thành một chủ đề nóng trong giáo dục Vấn đề này càng nhận được sự quan tâm khi chính phủ các nước đang nỗ lực tìm giải

pháp cải cách giáo dục và đo lường chính xác hơn thành tích của HS Tác giả Căprioară (2015) đã nghiên cứu trên một nhóm HS lớp 12 trung học cơ sở để biết được tầm quan trọng của HS trong việc giải toán, loại bài toán ưa thích và mức độ đạt được của HS khi giải toán Hơn nữa, tác giả đã làm rõ bản chất của các vấn đề HS gặp phải khi giải quyết vấn đề từ nhận thức đến thách thức tự điều chỉnh Ngoài ra, nhóm tác giả Geiger và cộng

sự (2018) đã tiến hành một nghiên cứu để xác định các yếu tố liên quan đến toán học, nhận thức, xã hội và môi trường cho phép HS lập mô hình thành công qui trình, tức là hình thành, tính toán và giải quyết một vấn đề trong thực tiễn Kết quả nghiên cứu cũng tạo ra những hiểu biết lý thuyết và thực tiễn mới về vai trò của người hỗ trợ trong việc thực hiện các nhiệm vụ toán học để dẫn đến sự phát triển của HS

Các tác giả Brečka và Valentová (2017) đã thực hiện một nghiên cứu điển hình với

72 HS trung học cơ sở Phân tích nội dung được sử dụng để đánh giá dữ liệu trong nghiên cứu định tính này Hơn nữa, năm bài toán sáng tạo do Smith phát triển đã được các nhà nghiên cứu sử dụng làm công cụ thu thập dữ liệu Các bài toán áp dụng được xem xét theo giai đoạn giải quyết vấn đề của Polya Các vấn đề được đánh giá theo các bước như hiểu vấn đề, lựa chọn chiến lược, sử dụng cách tiếp cận đã chọn và đánh giá giải pháp Trong khi kiểm tra các vấn đề ở nhà của HS, người ta thấy rằng các em giải quyết các bài toán đã gặp trong quá khứ thành công hơn hoặc các tình huống tương tự hơn với các bài toán mà các em đã giải quyết Theo báo cáo, đa số HS gặp khó khăn khi giải các bài toán không quen thuộc trong chương trình và SGK

Mulyono và Hadiyanti (2018) đã triển khai một nghiên cứu nhằm kiểm tra và phân tích chất lượng của việc học tập dựa trên vấn đề và điều tra khả năng giải quyết vấn đề (GQVĐ) siêu nhận thức Nghiên cứu này áp dụng phương pháp nghiên cứu hỗn hợp với

HS lớp 12 Kết quả cho thấy những HS có mức độ sử dụng siêu nhận thức ngầm có thể hoàn thành các nhiệm vụ được đưa ra, nhưng không hiểu chiến lược được sử dụng HS với một mức độ nhận thức vừa phải có thể giải quyết vấn đề, có thể xây dựng kiến thức mới thông qua giải quyết vấn đề đến các chỉ số, hiểu vấn đề và xác định các chiến lược được

sử dụng Trong khi đó, HS sử dụng nhận thức có thể áp dụng nhiều kỹ thuật thích hợp để GQVĐ và đạt được các chỉ số kết quả và hiệu suất cao Các tác giả gợi ý rằng GV cần biết

về hoạt động siêu nhận thức của HS cũng như mối quan hệ của nó với việc GQVĐ

Agoestanto và cộng sự (2017) đã nghiên cứu kỹ năng tư duy phản biện của HS trung học dựa trên phong cách nhận thức Mẫu bao gồm bốn HS, trong đó hai HS bị ảnh hưởng bởi kiểu nhận thức độc lập với trường, trong khi hai người còn lại không dựa trên kiểu nhận thức độc lập với trường Các tác giả đã sử dụng phương pháp định tính và mô tả để làm rõ kết quả kiểm tra của HS Kết quả nghiên cứu cho thấy HS có kiểu nhận thức phụ

thuộc vào lĩnh vực có khả năng tư duy tốt hơn so với HS có kiểu nhận thức phụ thuộc vào lĩnh vực ở các khía cạnh như lập luận, giả thuyết, diễn giải và giải thích vấn đề cũng như đánh giá trong cuộc tranh luận

Một nghiên cứu về phát triển tư duy phản biện của HS trong môn Toán thông qua dạy học môn xác suất ở trường trung học cơ sở được thực hiện bởi Aizikovitsh-Udi và Cheng (2015) Mẫu nghiên cứu bao gồm 55 HS tham gia các khóa học về chủ đề "xác suất trong cuộc sống hàng ngày", và họ được bồi dưỡng các kỹ năng tư duy từ tư duy định đoạt đến tư duy phản biện Kết quả của nghiên cứu đã được quan sát thấy rằng HS đã cải thiện đáng kể tư duy phản biện của họ trong toán học nhờ các phương pháp có định hướng của

GV sử dụng toán học trong cuộc sống thực, khuyến khích tranh luận trong các nội dung toán học cũng như lập kế hoạch bài học để điều tra một vấn đề toán học

Alcantara và Bacsa (2017) thực hiện khảo sát 24 HS trường trung học công lập ở Philippines về mối quan hệ của ba kĩ năng: kĩ năng phân tích, kỹ năng tư duy phản biện,

kĩ năng GQVĐ Kết quả chỉ ra rằng HS giỏi toán thành thạo, nhưng hai kỹ năng còn lại chỉ ở mức trên trung bình Tương tự như vậy, mức độ thực hiện phân tích có tương quan với hai kỹ năng này Ngoài các giá trị trên, HS còn gặp một số khó khăn về các kỹ năng liên quan đến chủ đề toán lớp 7 như giải bài toán về tập hợp, tìm nghiệm của phương trình hoặc bất phương trình một biến, giải thích dữ liệu liên quan đến biểu đồ cột hoặc bảng

b) Tình hình nghiên cứu trong nước

Tác giả Thịnh Thị Bạch Tuyết (2016) có nghiên cứu về “Dạy học Giải tích ở trường Trung học Phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang

bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh” Tác giả đã đề xuất nhiều thủ pháp

hoạt động nhận thức nhằm phát triển năng lực (NL) GQVĐ, giúp HS lĩnh hội được kiến thức Giải tích tốt hơn; qua đó đề xuất định hướng dạy thủ pháp hoạt động nhận thức song song với quá trình hình thành kiến thức

Tác giả Chu Cẩm Thơ đã xuất bản bài báo “Rèn luyện năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh tiểu học thông qua dạy học môn Toán” vào năm 2014 Bài viết

cho thấy tầm quan trọng của NL GQVĐ và phát triển một số nội dung bài tập toán thành các bài tập phát triển NL phát triển và GQVĐ cho HS tiểu học

Tác giả Nguyễn Thụy Thùy Trang (2019) có bài báo “Rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học toán phần lượng giác ở trường trung học phổ thông”,

trong đó, tác giả mô tả một số biện pháp nhằm phát triển NL GQVĐ cho HS cùng với các bài tập minh họa

Hai tác giả Đỗ Thị Hồng Minh và Bùi Minh Đức (2019) qua bài báo “Xây dựng câu hỏi, bài tập kiểm tra, đánh giá năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh trung học

phổ thông trong dạy học chủ đề Hàm số” trình bày các cơ sở lý luận và hệ thống những

đặc điểm của câu hỏi, bài tập định hướng phát triển NL cho HS

Tác giả Nguyễn Thị Tươi (2015), với đề tài: “Phát triển một số năng lực tư duy toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học phương trình vô tỉ”, tác giả

sử dụng một số năng lực tư duy như tư duy phê phán, tư duy sáng tạo và một số thao tác của hoạt động trí tuệ nhằm phát triển năng lực tư duy toán học cho HS qua dạy học phương trình vô tỉ

Tác giả Đỗ Ngọc Miên (2014) với đề tài: “Phát triển một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh tiểu học”, chủ yếu nghiên cứu về phát triển một số yếu tố của tư duy sáng

tạo nhằm hình thành cho HS tiểu học, tác giả làm rõ những vấn đề chung, những giai đoạn cũng như những đặc trưng cơ bản về tư duy sáng tạo để xây dựng các biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho HS tiểu học

Bài báo khoa học của tác giả Nguyễn Thị Thúy An (2014) đã phân tích cho chúng

ta thấy rằng việc xây dựng một số biện pháp như tập cho HS có thói quen đặc biệt hóa, khái quát hóa, mò mẫm, dự đoán kết luận rồi phân tích, tổng hợp để kiểm tra tính đúng đắn của kết luận, biết vận dụng phép tương tự là hoàn toàn có thể phát triển được khả năng tư duy sáng tạo cho HS

1.3.1.2 Những nghiên cứu về dạy học tích hợp liên môn

a) Tình hình nghiên cứu ở nước ngoài

Vladimír và Ondřej (2018) cung cấp một minh họa về mối quan hệ liên môn giữa toán học và công nghệ thông tin và truyền thông (ICT) có thể sẵn sàng sử dụng trong dạy học hai môn học này ở các trường tiểu học và trung học cơ sở Phương pháp DH liên môn được mô tả không chỉ thúc đẩy sự hiểu biết tốt hơn về nghiên cứu toán học mà còn phát triển tư duy logic và tư duy phản biện của HS Sự cần thiết phải kết nối giữa toán học và công nghệ thông tin (CNTT) trong dạy học được ghi nhận thông qua các ví dụ cụ thể Sự chú ý tập trung vào việc giải mã các số giữa các hệ thống số riêng lẻ và nhập số vào bộ nhớ của máy tính

Tác giả Kiray (2012) phát triển mô hình khoa học và toán học tích hợp phù hợp với nền tảng của GV Thổ Nhĩ Kỳ Các kích thước của mô hình được đưa ra và có sự so sánh với các mô hình đã được phát triển trước đó và những phát hiện của các nghiên cứu trước

đó về chủ đề này Mô hình được gọi là sự cân bằng, phản ánh tầm quan trọng của sự cân bằng trong quá trình tích hợp Mô hình cân bằng bao gồm năm yếu tố: nội dung, kỹ năng, quá trình dạy-học, đặc điểm tình cảm, đo lường và đánh giá Mục tiêu của mô hình cân bằng là giữ cho nội dung / tiêu chuẩn giống như giá trị ban đầu của chúng

Tác giả Hye (2017) mô tả lịch sử của giáo dục liên môn và các xu hướng hiện tại và làm sáng tỏ khung khái niệm và các giá trị hỗ trợ việc giảng dạy khoa học liên môn Nhiều nhà giáo dục đã nhận thấy sự cần thiết của một sự thay đổi mô hình quan trọng theo hướng học tập liên môn như được thể hiện trong các tiêu chuẩn khoa học Học tập liên môn trong khoa học được đặc trưng như một quan điểm tích hợp hai hoặc nhiều các ngành học thành các kết nối chặt chẽ để cho phép HS tạo ra các kết nối phù hợp và tạo ra các liên kết có ý nghĩa Không nghi ngờ gì rằng sự phức tạp của hệ thống tự nhiên và các vấn

đề khoa học tương ứng của nó đòi hỏi sự hiểu biết liên môn được kết nối bởi nhiều nền tảng chuyên ngành Cách tốt nhất để học và nhận thức các hiện tượng tự nhiên của thế giới thực trong khoa học nên dựa trên phương pháp giảng dạy liên môn hiệu quả Để hỗ trợ cơ sở lý luận cơ bản cho việc dạy học liên môn, nghiên cứu này đề xuất các phương pháp tiếp cận lý thuyết về cách thức mà kiến thức tích hợp của GV ảnh hưởng đến thực tiễn dạy học liên môn và việc học của HS Nghiên cứu này nhấn mạnh thêm nhu cầu về các chương trình phát triển chuyên môn thích hợp có thể thúc đẩy sự hiểu biết liên ngành giữa các ngành khoa học khác nhau

b) Tình hình nghiên cứu trong nước

Nhóm tác giả Trần Thị Kiểm Thu, Lê Phước Lượng và Phạm Thị Phú (2018) đã có một khảo sát GV về dạy học tích hợp liên môn khoa học tự nhiên ở nhà trường THPT Kết quả cho thấy số đông GV đánh giá cao hiệu quả của hoạt động này, đồng thời còn đề xuất các trường sư phạm đào tạo SV tăng cường kiến thức liên môn cho SV sư phạm Vật Lý Hai tác giả Lê Văn Tiến và Văng Thị Kim Cửu (2020) có một nghiên cứu phân tích

về tích hợp và liên môn trong lĩnh vực giáo dục Kết quả được đề xuất rằng khi triển khai nghiên cứu, các nhà giáo dục cần chọn ngay từ đầu cơ sở lí luận theo cách tiếp cận tích hợp hay các tiếp cận liên môn

Trong khi đó, tác giả Nguyễn Văn Biên (2015) có sự phân loại về tích hợp: quan điểm đơn môn, quan điểm đa môn, quan điểm liên môn và quan điểm xuyên môn Tác giả cũng đưa ra qui trình tích hợp xuất phát từ vấn đề thực tiễn theo quan điểm liên môn gồm

7 bước: lựa chọn chủ đề, xác định các vấn đề cần giải quyết trong chủ đề, xác định các kiến thức cần thiết để giải quyết các vấn đề, xây dựng mục tiêu dạy học của chủ đề, xây dựng nội dung các hoạt động dạy học của chủ đề, lập kế hoạch dạy học chủ đề và tổ chức dạy học và đánh giá chủ đề

1.3.1.3 Những nghiên cứu về dạy học mô hình hóa

a) Tình hình nghiên cứu ở nước ngoài

Nhiều nhà giáo dục trên thế giới đã nghiên cứu về MHH trong DH toán học, và phạm vi sử dụng của nó rất phổ biến, từ cấp tiểu học đến trung học cơ sở, trung học phổ

thông và thậm chí ở cấp đại học Đối tượng của các nghiên cứu có thể là HS, SV hoặc GV các trường phổ thông, thậm chí là GV bảo mẫu ở các trường đại học sư phạm Những phạm vi này chứng minh tầm quan trọng của mô hình toán học trong giáo dục toán học hiện đại

Áp dụng phương pháp MHH vào dạy học sẽ có những ưu điểm như: tạo cơ hội cho

HS tham gia giải các chủ đề thực tế chứ không đơn thuần là giải toán; hỗ trợ HS học toán theo cách có ý nghĩa thúc đẩy và có niềm đam mê học toán (Blum và Ferri, 2009) Ngoài

ra, mô hình toán học là một quá trình vận dụng kiến thức toán học vào các tình huống mới

và lạ, do đó, khi thực hiện các nhiệm vụ mô hình toán học, HS có thể gặp rất nhiều khó khăn như: không hiểu vấn đề do tình huống thực tế đặt ra; xác định các giả định, ghi nhận các yếu tố quan trọng để thiết lập các mô hình toán học; có kiến thức toán học hạn chế, lựa chọn phương pháp giải thích hợp cũng như giải thích kết quả (Carrejo và Marshall, 2007; Bahmaei, 2011) Theo đó, nghiên cứu cho thấy khả năng GQVĐ toán học của HS

có liên quan chặt chẽ đến các nhiệm vụ MHH (Fasni và cộng sự, 2017; Yuliani và Kusumah, 2018)

Có nhiều định nghĩa khác nhau của các nhà nghiên cứu về năng lực MHH, chẳng hạn như Maab (2006), những người tin rằng năng lực MHH bao gồm các kỹ năng và khả năng thực hiện quá trình MHH để đạt được mục tiêu Theo Kaiser (2005), năng lực MHH toán học là khả năng thực hiện toàn bộ quá trình mô hình toán học và phản ánh lại quá trình đó (dẫn theo Blum và Ferri, 2009) Dựa trên khái niệm của Blum và Niss (1991), kỹ năng MHH có thể được hiểu là khả năng xây dựng mô hình bằng cách thực hiện các bước khác nhau cũng như phân tích hoặc đánh giá các mô hình được đề xuất Sáu cấp độ của khả năng lập mô hình do Edu (2013) đưa ra như sau:

(1) Dễ dàng áp dụng các mô hình đã cho

(2) Nhận biết, sử dụng và giải thích các mô hình cơ bản đã cho

(3) Sử dụng các mô hình biểu diễn riêng biệt

(4) Làm việc với các mô hình rõ ràng và kết nối các ràng buộc và giả định

(5) Phát triển và làm việc với các mô hình phức tạp; phản ánh về các qui trình và kết quả MHH

(6) Hình thành khái niệm và làm việc với các mô hình của các quá trình toán học phức tạp và các mối quan hệ phản ánh, tổng quát hóa và giải thích các kết quả MHH Hơn nữa, các nhà nghiên cứu, Blum và Ferri (2009) cũng nêu ra qui trình bốn giai đoạn cho một nhiệm vụ MHH: hiểu nhiệm vụ, thiết lập mô hình, sử dụng toán học, giải thích kết quả Trong khi đó, Sekerák (2010) đưa ra mô hình ngắn gọn hơn với ba bước:

xác định điểm bắt đầu của tình huống mô hình, xây dựng mô hình toán học và xác minh

mô hình toán học đối với kỹ năng giải quyết vấn đề và các mối quan tâm toán học của HS lớp 9 Đặc biệt, nhóm đối chứng được giảng dạy dưới sự hướng dẫn của GV và nhóm thực nghiệm được tổ chức với mô hình toán học tích hợp Bên cạnh đó, bảng câu hỏi và phương pháp phỏng vấn cũng được sử dụng để biết thêm về hành vi của HS khi họ tham gia vào các nhiệm vụ người mẫu Sau khi phân tích bài kiểm tra, rõ ràng việc tích hợp mô hình toán học đã mang lại hiệu quả rõ rệt, trong đó HS nâng cao khả năng giải toán và tâm

lý lo lắng khi học toán cũng giảm hẳn

b) Tình hình nghiên cứu trong nước

Tác giả Nguyễn Thị Tân An (2012) với bài viết về “Sự cần thiết của mô hình hóa trong dạy học toán” đã nêu ra một số lí do cần thiết của MHH trong dạy học toán đồng

thời chỉ ra các yếu tố chính của chu trình MHH toán học Bên cạnh đó, bài viết đã giới thiệu tóm tắt lịch sử và cách tiếp cận lí thuyết về MHH từ nhiều quan điểm khác nhau để thấy được sự quan tâm của thế giới trong lĩnh vực này

Bài báo của tác giả Nguyễn Thị Nga (2014) nhan đề “Bàn về vấn đề dạy học mô hình hóa toán học ở trường phổ thông” trình bày một số khái niệm về MHH toán học; các

bước của quá trình MHH cũng như lợi ích, khó khăn và trở ngại của việc dạy học MHH toán học Ngoài ra, bài báo chỉ ra những quan điểm, định hướng dạy học MHH toán học ở các nước và Việt Nam

Đối với hai tác giả Dương Hữu Tòng và Trần Văn Tuấn (2016), khái niệm logarit

là tri thức toán được phát sinh từ nhu cầu tính toán và ứng dụng nhiều trong thực tiễn Tuy nhiên, thể chế dạy học hiện nay cho thấy mục tiêu chỉ tập trung vào việc cung cấp kiến thức chưa quan tâm đến ý nghĩa thực tiễn của nó nên làm cho HS, không thấy được những ứng dụng của khái niệm này Để giúp của HS, tiếp cận các bài toán thực tiễn khi hình thành khái niệm logarit, hai tác giả đã triển khai chiến lược dạy học khái niệm logarit bằng

MHH Kết quả dạy học cho thấy của HS, đã đạt những năng lực toán học cần thiết

1.3.1.4 Những nghiên cứu về dạy học thông qua hoạt động thực hành và trải nghiệm a) Tình hình nghiên cứu ở nước ngoài

Hoạt động trải nghiệm được hầu hết các quốc gia quan tâm, nhất là các quốc gia tiếp cận chương trình giáo dục phổ thông theo hướng phát triển năng lực; quan tâm đến giáo dục nhân văn, giáo dục sáng tạo, giáo dục phẩm chất và kỹ năng sống

Các hoạt động trải nghiệm làm tăng tính hấp dẫn của việc học, đặc biệt, các hoạt động này chủ yếu giúp HS làm quen với các vấn đề và tình huống trong thực tế, sau đó giải quyết chúng và tiếp thu kiến thức dễ dàng hơn (Weinber và cộng sự, 2011; Davidovitch và cộng sự, 2014) Do đó, giáo dục trải nghiệm là một cầu nối quan trọng giữa việc giảng dạy trên lớp và việc áp dụng nó vào thực tế Bên cạnh đó, các hoạt động này phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho HS vì các em phải tự suy nghĩ Do đó, các hoạt động trải nghiệm sẽ mở ra tiềm năng và giúp HS hình thành thói quen của mình Phương pháp học này không áp đặt HS mà phát huy tối đa khả năng sáng tạo của các em Hơn nữa, học tập trải nghiệm trong nhà trường là cầu nối giữa nhà trường, kiến thức các môn học với thực tế cuộc sống một cách có tổ chức, có định hướng góp phần tích cực vào việc hình thành và củng cố năng lực, phẩm chất nhân cách cho người học (Breunig, 2017; Sharlanova, 2004; Waite, 2018) Thông qua các hoạt động này, người học được nuôi dưỡng và phát triển đời sống tình cảm, hình thành ý chí thúc đẩy họ lao động và năng động Ngoài ra, các nhiệm vụ trải nghiệm hỗ trợ các nhà giáo dục thực hiện mục đích của tích hợp và khác biệt hóa nhằm phát triển năng lực thực hành và cá nhân hóa, đa dạng hóa tiềm năng sáng tạo (Parahakaran, 2017; Sand, 2014; Weinbern và cộng sự, 2011)

Ngoài những vai trò quan trọng trên, hoạt động trải nghiệm còn có những ý nghĩa đáng xem xét khác Thật vậy, các hoạt động trải nghiệm góp phần đáng kể vào việc hình thành và phát triển kỹ năng, hành vi, giáo dục tình cảm, niềm tin ở người học, chủ yếu giúp người học hình thành và phát triển các kỹ năng sống để thích ứng với môi trường sống luôn thay đổi, tạo cơ sở cho sự phát triển toàn diện của người học tính cách, đáp ứng các yêu cầu của xã hội (Miettine, 2000; Roland, 2017; Waite, 2018) Hơn nữa, các hoạt động trải nghiệm hỗ trợ nhà trường và GV trong việc xây dựng chương trình giáo dục, tạo môi trường văn hóa giáo dục trong nhà trường, xây dựng văn hóa học đường và môi trường thân thiện vì được coi là bộ phận hữu cơ của quá trình giáo dục phổ thông cũng như không thể thiếu các bộ phận của kế hoạch giáo dục của trường Phương pháp học tập chú trọng trải nghiệm của HS tạo ra môi trường học tập tích cực trong các hoạt động của người học nhằm hình thành và phát triển nhân cách và hỗ trợ nhà trường huy động các nguồn lực để giáo dục HS về mọi mặt nhằm xây dựng trường học thân thiện và HS tích cực (Falloon, 2019; Katranci & Bozcus, 2014; Polk, 2013)

Nhiều nhà nghiên cứu đã đưa ra các qui trình học tập trải nghiệm, bao gồm qui trình vòng tròn của Kolb (1984): trải nghiệm cụ thể, hình thành khái niệm trừu tượng, quan sát phản chiếu, thử nghiệm phản hồi Năm 1972, lý thuyết học tập trải nghiệm để đánh giá phong cách học tập cá nhân được phát triển bởi Kolb (dẫn theo Kolb và Kolb, 2017), bao gồm 4 phong cách học tập thành phần như phân kỳ, đồng hóa, hội tụ và thích nghi Mô hình học tập của Kolb được giải thích trong bối cảnh toán học, coi HS là những người có

NL như nhà tiên tri, phân tích và tổng hợp (dẫn theo Chesimet và cộng sự, 2016)

Nghiên cứu về tác động của dạy học thông qua HĐ TH&TN đối với khả năng sáng tạo toán học của HS trung học cơ sở ở Kenya được thực hiện bởi các tác giả Chesimet và cộng sự (2016) Trong đó, 168 HS được chia thành lớp đối chứng và lớp thực nghiệm Trong nhóm thực nghiệm, GV sử dụng phương pháp học tập trải nghiệm, trong khi nhóm đối chứng được dạy theo phương pháp thông thường Để đánh giá hiệu quả của các nhiệm

vụ thí nghiệm, bài kiểm tra tính sáng tạo toán học được coi như một bài kiểm tra cho cả hai nhóm Các công cụ thống kê suy luận được sử dụng để giải thích dữ liệu thu thập được Được biết, phương pháp học tập trải nghiệm có ảnh hưởng đáng kể đến khả năng sáng tạo toán học của HS Những phát hiện của nghiên cứu được kỳ vọng sẽ giúp các GV toán học điều chỉnh chiến lược giảng dạy của họ vì họ đã xác định được tiềm năng của học tập trải nghiệm đối với khả năng sáng tạo toán học của HS

Tác giả Falloon (2019) đã thực hiện một nghiên cứu chi tiết về việc sử dụng mô phỏng để dạy HS tiểu học các khái niệm vật lý cơ bản như một hoạt động giáo dục trải nghiệm Mẫu bao gồm 38 HS 5 tuổi tham gia vào các hoạt động mô phỏng dựa trên lý thuyết học tập trải nghiệm của Kolb để khám phá kiến thức về mạch, các khái niệm điện

và chức năng của mạch Kết quả chỉ ra rằng HS đã phát triển kiến thức của họ đối với các đơn vị kiến thức nêu trên Ngoài ra, HS có cơ hội tham gia các hoạt động phản xạ và tư duy rõ ràng, thể hiện các quá trình tư duy cấp cao Một số quan niệm sai lầm của HS đã nảy sinh và được GV sửa chữa

Girvan và cộng sự (2016) đã nghiên cứu sự phát triển nghề nghiệp của GV trung học

cơ sở thông qua việc sử dụng học tập trải nghiệm Một mẫu gồm 38 GV đã tham gia chương trình phát triển nghề nghiệp theo kinh nghiệm Kết quả cho thấy những GV này

đã thể hiện vai trò thay đổi trong thực hành giảng dạy; vượt qua thử thách để thay đổi; tuy nhiên, họ cũng cần các cấu trúc hỗ trợ để mang lại sự thay đổi đáng kể trong việc giảng dạy Tương tự, Katranci và Bozkus (2016) cũng đã nghiên cứu về phong cách học tập của các GV tiểu học tương lai “Phong cách học tập Kolb” được sử dụng để thu thập dữ liệu từ

155 GV tương lai Kết quả cho thấy hơn 50% GV thích kiểu học “hội tụ” và 36,61% trong

số họ thích kiểu “hội tụ”, và sự khác biệt về độ tuổi và cấp lớp cũng ảnh hưởng đáng kể đến phong cách học tập nổi trội

b) Tình hình nghiên cứu trong nước

Đối với bậc tiểu học, hoạt động trải nghiệm là rất cần thiết cho HS, tác giả Nguyễn Quang Nhữ (2015) đã trình bày những vấn đề cơ bản trong tổ chức cho HS học Toán thông qua hoạt động trải nghiệm ở bậc tiểu học cụ thể là điều kiện để xây dựng, duy trì môi trường học tập thuận lợi; đổi mới phương pháp dạy học, phương pháp điều tra, đánh giá Một công trình của tác giả Lê Thị Cẩm Nhung (2018) nghiên cứu về thiết kế, tổ chức hoạt động trong dạy học môn Toán ở tiểu học theo các hình thức tổ chức của hoạt động trải nghiệm

Với công trình của tác giả Phạm Thanh Phương (2017), tác giả đã nghiên cứu qui trình tổ chức các hoạt động trải nghiệm trong dạy học về số tự nhiên cho HS lớp 2 Cũng với bậc Tiểu học, tác giả Nguyễn Thị Thu Hà (2017) nghiên cứu một số biện pháp dạy học giúp HS tiếp thu nội dung bài dễ dàng hơn

Tác giả Nguyễn Hữu Tuyến (2017) đã có một đề xuất lý luận về việc tiếp cận và triển khai hoạt động trải nghiệm trong dạy học Toán cho HS trung học cơ sở (THCS) ở Việt Nam Tác giả đã làm rõ hoạt động trải nghiệm trong chương trình Toán học Việt Nam và định hướng tổ chức hoạt động giáo dục trải nghiệm ở trường THCS Cuối cùng, tác giả đưa ra qui trình tổ chức hoạt động trải nghiệm toán 5 bước như: lựa chọn nội dung

và điều kiện, thiết kế hoạt động, tổ chức hoạt động để HS tham gia, đánh giá hoạt động, kết luận và vận dụng vào tình huống mới Quá trình này cũng được mong đợi sẽ hữu ích cho GV khi họ thực hiện các nhiệm vụ liên quan đến kinh nghiệm trong toán học Do khoảng cách địa lý, phương tiện đi lại và kinh nghiệm đối tượng nên việc đảm bảo an toàn trong quá trình tổ chức cho số lượng lớn HS tham gia học tập sẽ gặp nhiều trở ngại

Ở bậc THPT, tác giả Nguyễn Phương Trang (2017) tìm hiểu cơ sở lí luận và một

số cách tổ chức hoạt động trải nghiệm trong dạy học chủ đề xác suất nhằm nâng cao nhận thức, kỹ năng, hứng thú cho HS trong môn Toán nói riêng và các môn học khác nói chung trong nghiên cứu Tác giả cho rằng với phương pháp dạy học này HS sẽ phát huy được khả năng sáng tạo, biết vận dụng những gì đã học vào thực tế, biết quan tâm và sẻ chia với những người xung quanh, đồng thời phương pháp này tạo hứng thú, khơi dậy niềm đam

mê cho các em trong việc học tập và qua đó nó góp phần nâng cao chất lượng dạy học

Đối với cấp đại học, cao đẳng hoạt động trải nghiệm có các công trình nghiên cứu tiêu biểu như tác giả Nguyễn Văn Hạnh (2017) đã tìm hiểu cơ sở khoa học của dạy học nghiệp vụ sư phạm dựa vào học tập thông qua hoạt động trải nghiệm và nêu ra các biện pháp để dạy cho sinh viên đại học ngành sư phạm kĩ thuật Theo tác giả, sự trải nghiệm

trong suốt quá trình giáo dục ở nhà trường đã cho sinh viên sư phạm nói chung và sư phạm kĩ thuật nói riêng một vốn kinh nghiệm nhất định về nghiệp vụ sư phạm làm phong phú quá trình học tập, làm cơ sở nền tảng cho việc dạy học nhằm giúp sinh viên đạt được mục tiêu dạy học đã đề ra Vì vậy, dạy học có thể bắt đầu bằng việc khai thác những giá trị của kinh nghiệm nghiệp vụ sư phạm mà bản thân sinh viên đã rút ra, sau đó dần chuyển sang những những vấn đề có liên quan mà họ chưa giải quyết được, tiếp tục từng bước hỗ trợ họ lập kế hoạch và giải quyết vấn đề từ vốn kinh nghiệm đã có của bản thân, qua đó các em sẽ đúc kết thành kinh nghiệm mới Muốn thực hiện điều đó, GV phải tiến hành dạy học nghiệp vụ sư phạm dựa vào học tập thông qua hoạt động trải nghiệm

1.3.2 Những nghiên cứu về khái niệm hàm số mũ ở nước ngoài

Trong bài báo Concept of the exponential law prior to 1900, Lorenzo (1978) trình

bày mầm mống việc hình thành HSM đã xuất hiện từ thời Babylon, năm 2000 TCN Đó là vấn đề lãi suất tiền gửi Tài liệu đã chỉ ra việc thực hiện tính toán này bởi một bảng lãi suất được tính sẵn theo những khoảng thời gian định trước bằng nhau Ở những thời điểm bất kỳ, lãi suất được tính dựa vào phép nội suy

Lorenzo (1978) cũng chỉ ra một bằng chứng khoa học khác về mục đích xuất hiện của HSM đã được đặt ra vào khoảng thời gian 1650 TCN Đó là bằng chứng về sự xuất hiện các nhu cầu tính toán cho các hiện tượng mang tính chất tăng theo cấp số nhân mà từ

đó qui luật mũ (qui luật tăng, giảm về số lượng theo thời gian) cũng dần được hình thành theo sự hiểu biết của con người Tuy nhiên mục đích xuất hiện của nó mang tính chất phục vụ nhu cầu tính toán trong cuộc sống con người (dưới dạng câu đố), chưa trở thành một nghiên cứu của toán học Lời giải cho dạng bài toán này mới được trình bày vào đầu thế kỷ 20 bởi nhà toán học và nhà lịch sử khoa học Neugebauer1 với việc sử dụng một số

ít các phép tính cộng và nhân Ngoài ra, Lorenzo (1978) cũng cho thấy, HSM được phát hiện gián tiếp thông qua những nghiên cứu có liên quan, chẳng hạn như trong quỹ tích dựng hình trong hình học

Florian (1993) trong tác phẩm A history of mathematical notations đã nghiên cứu

về các ký hiệu toán học từ thời Babylon đến thế kỷ 19 Trong đó, các ký hiệu về lũy thừa,

mũ cũng được chỉ ra trong nghiên cứu này từ ký hiệu dạng biểu tượng đến các từ, ký tự

1 Otto Eduard Neugebauer (1899-1990) là nhà toán học và nhà lịch sử khoa học Mỹ gốc Áo Ông nghiên cứu lịch

sử toán học và lịch sử thiên văn học từ thời thượng cổ đến trung cổ Các công trình của ông cho thấy toán học Babylone phát triển hơn những gì ngày nay chúng ta biết về họ Noel Swerdlow xem ông là “nhà bác học độc đáo nhất và có nhiều công trình nhất về lịch sử các khoa học chính xác nói riêng và lịch sử khoa học nói chung của thời đại chúng ta” Ông nhận giải Balzan năm 1986

Tác phẩm cũng trình bày các nghiên cứu về số mũ âm, phân số và cả số mũ ảo Số e và

logarit (theo bảng logarit trong công trình của Nêpe) xuất hiện trong công thức số mũ ảo

Các khái niệm có liên quan hàm số mũ như hàm số logarit, số e tìm thấy trong các

tác phẩm sau:

A Description of the Admirable Table of Logariths, London của Wright (1618) là

một tác phẩm bày về công trình số logarit2, một phát minh vĩ đại của John Nêpe (1550 – 1617) Công trình trình bày nhiều nội dung như các thực hành về tính toán các đại lượng

trong tam giác, logarit và số e Ở đây, bảng logarit thật sự là kết quả thực hành tính toán từ

định nghĩa logarit, trong đó:

Logarithme của sin là một số rất gần với biểu diễn trên đường thẳng, nơi mà đường thẳng này thì tăng đều theo từng khoảng thời gian bằng nhau, trong khi đường thẳng của toàn bộ sine là giảm theo tỉ lệ với sin đó, cả hai chuyển động là bằng nhau về thời gian và cùng thời điểm xuất phát (Hình 0.1)

Hình 0.1 Minh họa hai chuyển động tương ứng theo tỉ lệ

Tác phẩm cho thấy định nghĩa logarit của Nêpe xuất phát từ mục đích tạo ra tác phẩm tính toán sẵn để có thể loại bỏ khó khăn, trở ngại và tốn nhiều thời gian đối với việc thực hiện các phép tính nhân, chia, khai căn bậc hai, bậc ba Định nghĩa không sử dụng khái niệm cơ số mà được xây dựng trên cơ sở sự tương ứng của hai chuyển động Tuy nhiên, khái niệm cơ số đã xuất hiện ngầm ẩn trong định nghĩa này

Đến công trình Napier’s ideal construction of the logarithms của Roegel (2010) chỉ ra sự xuất hiện ngầm ẩn khái niệm cơ số e Sau đó, số e được định nghĩa và Euler

2 Số logarit trong công trình của Nêpe năm 1614 có ý nghĩa khác với logarit ngày nay Công trình của ông được

ông công bố trong tác phẩm Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, xuất bản bằng tiếng Latin năm 1614

Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio được dịch sang tiếng Anh bởi nhà toán học Edward Wright Tác

phẩm này được tái bản lần thứ hai với việc bổ sung một số chi tiết bởi Henry Briggs nhằm tạo dễ hiểu cho người

đọc và được Edward Wright xuất bản tại London năm 1618 với tựa đề A Descrition of the Admirable Table of

Logariths

Liên quan chủ đề HSM, có luận án tiến sĩ A case study of a secondary mathematics teacher’s understanding of exponential function: an emerging theoretical framework của

Strom (2008) Nghiên cứu của luận án này thực hiện một điều tra nghiên cứu điển hình về quan niệm của của GV toán cơ sở khi làm việc với họ thông qua bộ sưu tập các hoạt động

có liên quan đến HSM Các công cụ nghiên cứu được thiết kế để tìm hiểu kỹ năng của GV đối với việc nhân lặp lại trong ngữ cảnh thao tác với số mũ Đây là công trình nghiên cứu một trường hợp cụ thể về quan niệm của GV đối với chuỗi các hoạt động liên quan HSM

do nhà nghiên cứu đặt ra

Luận án tiến sĩ A teaching experiment in covariational reasoning and exponential growth của Castillo-Garsow (2010) mô tả cách có thể dạy HS “cách suy nghĩ” về hành vi

mũ bởi sự tác động đồng biến của hai đại lượng thay đổi Luận án xây dựng các hành vi

mũ từ các tác động khác nhau Luận án mô tả một thực nghiệm giảng dạy của GV, đề ra một loạt các nhiệm vụ dựa trên kiểu nhiệm vụ phỏng vấn giảng dạy khám phá Mục đích của thực nghiệm là xác định các hành động của sinh viên về về các tác động đồng biến và những ảnh hưởng của nó đối với toán học mà có liên quan đến tăng trưởng mũ Công trình này là một tham khảo về phương pháp giảng dạy, trong đó tri thức liên quan là HSM

Các kết quả của những công trình trình là cơ sở cho nghiên cứu khoa học luận HSM trong luận án

1.3.3 Những nghiên cứu về khái niệm hàm số mũ ở Việt Nam

Một số công trình nghiên cứu có liên quan đến HSM như:

Luận án tiến sĩ Dạy học khái niệm hàm số liên tục ở trường trung học phổ thông

của tác giả Trần Anh Dũng (2013) Đây là công trình nghiên cứu về quá trình hình thành, phát triển của khái niệm hàm số liên tục và trở thành tri thức dạy học ở trường phổ thông Theo đó, HSM là hàm số cụ thể trong lớp các hàm số mà được luận án nghiên cứu về sự liên tục Theo tác giả Trần Anh Dũng:

Sự tiến triển của khái niệm liên tục gắn liền với sự tiến triển của khái niệm hàm số Khi việc nghiên cứu hàm số bắt đầu ở thế kỷ 18, hàm số đã được đồng nhất với biểu thức giải tích, thông thường là các chuỗi

vô hạn, các đa thức, hàm số hữu tỉ, HSM, hàm số lượng giác và hàm số logarit, những hàm số mà các nhà toán học thời đó đều xử lý tốt như chúng có giá trị trung gian, có đạo hàm vô hạn lần…

Luận án cho thấy quá trình hình thành, phát triển khái niệm hàm số liên tục ở giai đoạn trước thế kỷ 18 chỉ được nhận biết chủ yếu qua quan niệm Euler và quan niệm trực giác, hình học Điều đặc biệt lưu ý trong quá trình phát triển là sự thiếu vắng của các hiểu biết về số thực là một trong những nguyên nhân quan trọng làm cho quá trình chậm tiến triển Khái niệm hàm số liên tục chỉ được chính xác hóa từ thế kỷ 19 sau nhiều nghiên cứu

về tập số thực của Cauchy, Weierstrass, Dedekin Định nghĩa chặt chẽ đầu tiên về hàm số

liên tục trong giải tích (không phải theo quan niệm hình học, trực giác như trước đây) là

của Bolzano có nội dung “hàm số f liên tục tại một điểm x nếu hiệu số f x(  ) f x( ) có thể nhỏ hơn bất kỳ một đại lượng cho trước nào đó khi  đủ bé”

Luận án cũng chỉ ra khái niệm liên tục ở phổ thông Khi đó, đối tượng liên tục đã hiện diện ngầm ẩn qua hình ảnh liên tục của đồ thị hàm số, các biểu tượng về sự biến thiên, mô tả hình ảnh về quãng đường đi của một chuyển động liên tục Đến giai đoạn tường minh, khái niệm hàm số liên tục được định nghĩa thông qua giới hạn của hàm số Như vậy, sự liên tục của HSM được hiểu theo cách này

Như vậy, công trình trên đã chỉ ra sự phát triển cũng như những chướng ngại của khái niệm hàm số liên tục Do HSM cũng là hàm số liên tục, vì vậy kết quả nghiên cứu hàm số liên tục sẽ là một tham khảo cho nghiên cứu HSM nhất là các yếu tố về chướng ngại, về các giai đoạn phát triển

Luận văn thạc sĩ Khái niệm hàm số mũ ở trường trung học phổ thông của Nguyễn

Hữu Lợi (2008) chỉ ra nhiều cách tiếp cận khái niệm HSM như: đồng cấu liên tục, phương trình vi phân, chuỗi, hàm ngược của hàm logarit Nêpe Một trong những ứng dụng của hàm mũ được luận văn đề cập là sự MHH các hiện tượng trong tự nhiên, vật lí, hóa học,

Ở chương trình phổ thông Việt Nam, HSM được định nghĩa từ khái niệm lũy thừa Sự mở rộng khái niệm lũy thừa sử dụng khái niệm giới hạn giới hạn HSM là cơ sở cho định nghĩa hàm số logarit Trên cơ sở đó, luận án sẽ mở rộng nghiên cứu khoa học luận HSM, đồng thời nghiên cứu sự chuyển hóa sư phạm khái niệm này ở phổ thông Bên cạnh đó, luận án sẽ nghiên cứu về nội dung dạy học tích hợp liên môn, MHH trên chủ đề HSM

1.3.4 Định hướng nghiên cứu

Từ những công trình trên cho thấy rằng cũng có nhiều tác giả trong và ngoài nước nghiên cứu các vấn đề xoay quanh chủ đề HSM, kể cả những nghiên cứu về tri thức khoa học luận Các tác giả Việt Nam quan tâm đến các vấn đề như khái niệm lũy thừa, trong đó

có sự mở rộng lũy thừa; khái niệm về hàm số, hàm số liên tục; HSM trong dạy học vật lý

ở trung học phổ thông Các tác giả nước ngoài nghiên cứu về sự nảy sinh, hình thành và phát triển HSM, các khái niệm có liên quan và ứng dụng của HSM Tuy nhiên, các công trình trên chưa nghiên cứu HSM đồng thời trên các phương diện: Khoa học luận, chuyển hóa

sư phạm, dạy học theo quan điểm tích hợp, MHH và trải nghiệm Vì vậy, điều này sẽ là định hướng nghiên cứu của luận án

Về vấn đề dạy học tích hợp liên môn, gắn dạy học với thực tiễn và MHH, trải nghiệm đối với HSM, đây là nội dung khá lý thú, tuy nhiên phức tạp và trừu tượng, nhất

là đối với cấp trung học phổ thông Trong phạm vi luận án, chúng tôi sẽ lồng ghép một phần nội dung này vào các nghiên cứu của chúng tôi

Với định hướng trên, chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu là Khái niệm hàm số

mũ ở trung học phổ thông: nghiên cứu khoa học luận và chuyển hóa sư phạm

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Một số cơ sở lý thuyết chính được sử dụng trong luận án gồm:

- Nghiên cứu khoa học luận, thuyết nhân học (chuyển hóa sư phạm, quan hệ thể chế) và lí thuyết tình huống của Didactic toán

- Dạy học phát triển năng lực của HS, dạy học tích hợp liên môn, dạy học mô hình hóa và dạy học thông qua HĐ TH&TN trong môn Toán

3 Giới hạn phạm vi đề tài

Luận án tập trung chủ yếu vào nghiên cứu khoa học luận và chuyển hóa sư phạm của khái niệm HSM Mặc khác, hàm số là một tri thức hình thành độc lập, đóng vai trò như một phép toán trên các đối tượng tri thức khác, hơn nữa khái niệm hàm số cũng là một mảng nghiên cứu lớn, vì vậy trong phạm vi của luận án, chúng tôi tập trung nghiên cứu vào những vấn đề sau đây:

- Sự hình thành và phát triển của khái niệm HSM, trong đó có khái niệm lũy thừa của một số

- Những hướng tiếp cận của HSM

- Sự chuyển hóa sư phạm của HSM

- Sự liên quan của khái HSM với các khái niệm toán học khác

- Dạy học HSM theo định hướng dạy học tích hợp liên môn, mô hình hóa, dạy học thông qua HĐ TH&TN và gắn dạy học với thực tiễn

4 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

4.1 Giải thích thuật ngữ:

Phân tích tri thức luận hay khoa học luận là việc nghiên cứu một tri thức nào đó nhằm để “khám phá những mò mẫm, những lệch lạc, những chướng ngại khác nhau, những điều kiện cho phép xuất hiện tri thức, lý do tồn tại của nó” (Lê Thị Hoài Châu và Comiti, 2018, tr.45) Do đó, nghiên cứu tri thức luận sẽ giúp hiểu biết về lịch sử của tri thức, giúp “trả lại tính lịch sử cho khái niệm toán học mà việc dạy học thường có khuynh hướng trình bày nó như những đối tượng phổ biến đồng thời trong thời gian và trong không gian” (Artigue, 1991, dẫn theo Lê Thị Hoài Châu và Comiti, 2018, tr.50)

Theo tác giả Lê Thị Hoài Châu (2017), nghiên cứu (hay phân tích) tri thức luận được sử dụng theo nghĩa của các thuật ngữ étude épistémologique, analyse épistémologique trong tiếng Pháp Trong tiếng Pháp, épistémologique là tính từ của danh

từ épistémologie Thuật ngữ épistémologie được định nghĩa trong Vocabulaire technique

et critique de la Philosophie của Lalande (cuối thế kỷ 20), như sau:

Từ này chỉ triết học của các khoa học nhưng với nghĩa rõ hơn một chút Nó không phải là một nghiên cứu

về các phương pháp khoa học […] Nó cũng không phải là một sự tổng hợp hay tiên đoán về các luật khoa học […] Về cơ bản, nó là một nghiên cứu mang tính phê phán những nguyên lý, những giả thuyết

và những kết quả của các khoa học khác nhau, nhằm xác định nguồn gốc logic (chứ không phải là nguồn gốc tâm lý), giá trị và ảnh hưởng khách quan của chúng (dẫn theo Lê Thị Hoài Châu, 2017, tr.18)

Dorier (1997) giải thích rằng épistémologie nhằm (1) vạch rõ đặc trưng của tri thức (nhà bác học nói về cái gì, và nói như thế nào về cái đó?) và (2) xác định tính hợp thức của tri thức (chân lý khoa học là gì? có chân lý khoa học với điều kiện nào? có thể nói về chân lý khoa học trong những giới hạn nào?) (dẫn theo Lê Thị Hoài Châu, 2017, tr.18)

Theo đó, tác giả Dorier (1997) cho rằng épistémologie giúp người ta hiểu rõ hơn mối liên hệ giữa việc xây dựng tri thức trong cộng đồng các nhà bác học với việc dạy và học tri thức này Tác giả đề nghị định nghĩa sau: étude épistémologique nghiên cứu những điều kiện cho phép nảy sinh tri thức (đối với chúng tôi là tri thức toán học), quan tâm đến

sự tiến triển của các tri thức hay kiến thức Ở đây thuật ngữ tiến triển được hiểu theo nghĩa rộng nhất: nó có thể liên quan đến sự biến đổi tình trạng kiến thức của một hệ thống, một thể chế hay một cá thể Hơn thế, nó chú ý không chỉ đến những tư tưởng tiến bộ mà còn đến cả những trì trệ, những bước lùi (Dorier, 1997, tr.17 ; dẫn theo Lê Thị Hoài Châu,

2017, tr.19)

Như vậy, nghiên cứu tri thức luận là nghiên cứu lịch sử hình thành tri thức nhằm làm rõ:

- nghĩa của tri thức, những bài toán, những vấn đề mà tri thức đó cho phép giải quyết;

- những trở ngại cho sự hình thành tri thức;

- những điều kiện sản sinh ra tri thức, những bước nhảy cần thiết trong quan niệm để thúc đẩy quá trình hình thành và phát triển tri thức (*) (Lê Thị Hoài Châu, 2017, tr.19)

Với định nghĩa trên, nghiên cứu tri thức luận phải dựa trên những dữ liệu về lịch sử hình thành tri thức Tuy nhiên, nghiên cứu tri thức luận và nghiên cứu lịch sử một khoa học không đồng nhất với nhau Theo tác giả Lê Thị Hoài Châu:

Phân tích tri thức luận lịch sử một tri thức là một phân tích quá khứ để khám phá những mò mẫm, những lệch lạc, những chướng ngại khác nhau, những điều kiện cho phép xuất hiện các khái niệm khoa học mới Trong phân tích tri thức luận lịch sử, điều kiện cho sự nảy sinh một phát minh cũng quan trọng không kém bản thân phát minh đó Phân tích này giúp ta hiểu đầy đủ hơn sự tiến triển của tri thức, từ đó hiểu rõ hơn các hiện tượng dạy học tri thức đang bàn đến (Lê Thị Hoài Châu, 2017, tr.19-20)

Như vậy, phân tích khoa học luận có thể dựa trên nhiều khía cạnh như: các cách thức tạo ra tri thức, cơ sở của tri thức này, động cơ của việc tạo ra tri thức Khi đó, nhiều câu hỏi nảy sinh: Tri thức là gì? Nó được tạo ra như thế nào? Làm thế nào nó được xác nhận? Nó dựa trên cái gì? Các tri thức được tổ chức như thế nào? Tiến triển ra sao?

Trong luận án này, chúng tôi dùng thuật ngữ “nghiên cứu khoa học luận” theo quan niệm đã được trình bày trên, mà một số tác giả ở Việt Nam thường gọi là “nghiên cứu tri thức luận” hay “điều tra tri thức luận” Để thực hiện một nghiên cứu khoa học luận (tức là nghiên cứu về tri thức bác học) phải dựa vào các tài liệu lịch sử, tài liệu khoa học Nhưng, nghiên cứu như vậy thường rất khó khăn Để khắc phục khó khăn này, nhiều tác giả xem tri thức giảng dạy ở bậc đại học (tri thức ít nhiều đã chịu sự chuyển hóa sư phạm) như là tri thức “gần đúng” của tri thức bác học

Với giả định như vậy, trong luận án này, chúng tôi sẽ thực hiện nghiên cứu khoa học luận về HSM dựa trên hai nguồn tư liệu: một số công trình nghiên cứu đã biết về lịch

sử phát triển của toán học và một số giáo trình, tài liệu được dùng ở bậc đại học liên quan tới HSM

4.2 Mục tiêu nghiên cứu:

Làm rõ đặc trưng khoa học luận và sự chuyển hóa sư phạm của khái niệm HSM từ tri thức bác học thành tri thức cần giảng dạy Đặc biệt là soi xét các đặc trưng này từ góc

độ của dạy học tích hợp và dạy học MHH Từ đó thiết kế và tổ chức dạy học HSM liên quan đến: dạy học phát triển năng lực, dạy học tích hợp liên môn, dạy học MHH và dạy học thông qua thực hành và trải nghiệm

Để đạt được mục tiêu trên, luận án hướng đến tìm câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu sau:

CH1 Thế nào là dạy học theo định hướng phát triển năng lực, dạy học tích hợp liên môn, dạy học mô hình hóa và dạy học thông qua HĐ TH&TN trong môn Toán? Đặc trưng của chúng?

CH2 Những đặc trưng khoa học luận cơ bản nào của HSM thể hiện qua quá trình phát sinh và phát triển của nó trong lịch sử toán học?

CH3: Ở cấp độ tri thức khoa học ở bậc đại học, HSM có những đặc trưng cơ bản nào? Đặc biệt, HSM xuất hiện trong những tình huống nào? Để giải quyết vấn đề gì? Theo tiến trình như thế nào (trong mối liên hệ với các đối tượng khác)? Đặc trưng của những tình huống này nhìn từ quan điểm dạy học tích hợp liên môn, MHH trong môn Toán ?

CH4 Ở bậc trung học phổ thông HSM được thể hiện như thế nào trong những hệ thống dạy học khác nhau? Có những nét đặc trưng tương ứng nào? Có những tương đồng, khác biệt nào so với tri thức luận của nó Có những khuyến nghị gì, thuận lợi nào cho dạy học tích hợp liên môn, MHH trong môn Toán qua phân tích sự chuyển hóa sư phạm các tiến trình đưa vào HSM, mối quan hệ thể chế của khái niệm HSM?

thể hiện như thế nào qua các tiến trình đưa vào HSM cũng như qua các nội trên Mối quan

hệ thể chế của khái niệm HSM ở trường trung học phổ thông thể hiện như thế nào? Có những phạm vi hoạt động nào của khái niệm HSM?

CH5 Giáo viên tại các trường THPT hiểu như thế nào về dạy học phát triển năng lực, dạy học tích hợp liên môn, dạy học MHH và dạy học thông qua hoạt động thực hành

và trải nghiệm trong mối quan hệ với dạy học HSM?

CH6 Việc thiết kế và tổ chức dạy học HSM có thể thực hiện theo định hướng tích hợp liên môn, MHH, dạy học thông qua hoạt động thực hành và trải nghiệm trong môn Toán như thế nào? Với những tình huống nào?

5 Phương pháp nghiên cứu

Để trả lời được các câu hỏi nghiên cứu nêu trên, chúng tôi sử dụng qui trình nghiên

cứu được sơ đồ hóa như sau:

Sơ đồ qui trình nghiên cứu

- Về nghiên cứu cơ sở lý luận: chúng tôi tiến hành phân tích, tổng hợp các lý thuyết được sử dụng trong nghiên cứu luận án như: lý luận về dạy học phát triển năng lực trong môn Toán, lý luận về dạy học tích hợp liên môn, lý luận về dạy học MHH, lý luận về dạy học thông qua HĐ TH&TN, một số yếu tố lý thuyết của didactic Toán

- Về nghiên cứu khoa học luận HSM: Làm rõ các đặc trưng khoa học luận cơ bản của HSM gắn với tiến trình, tình huống xuất hiện HSM, các kiểu nhiệm vụ liên quan và vấn đề về MHH, tích hợp trong các nội dung trên

- Về nghiên cứu tri thức ở trung học phổ thông: phân tích chương trình, SGK Việt Nam, Pháp, Mỹ về HSM

- Thiết kế các tình huống nghiên cứu DH HSM và thực nghiệm

5.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Phân tích các tài liệu, chương trình, SGK, bài báo khoa học trong và ngoài nước, một số luận án có liên quan để làm rõ cơ sở lý luận của đề tài

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC LUẬN HÀM SỐ MŨ

NGHIÊN CỨU TRI THỨC

5 2 Phương pháp nghiên cứu khoa học luận

Nghiên cứu khoa học luận HSM nhằm làm rõ những đặc trưng của đối tượng tri thức này, đặc biệt là chỉ ra những mối quan hệ liên môn với các môn học khác

5.3 Phương pháp phân tích tài liệu

- Phân tích một số giáo trình bậc đại học

- Phân tích, chương trình, SGK, SGV bậc trung học phổ thông

- Điều tra GV: Phương pháp điều tra được sử dụng đối với GV nhằm mục đích tìm hiểu thêm quan điểm, nhận thức của họ về dạy học phát triển năng lực, dạy học tích hợp liên môn, dạy học MHH và dạy học thông qua HĐ TH&TN trong môn Toán trong mối quan hệ với dạy học khái niệm hàm số mũ

5.4 Thực nghiệm sư phạm

Từ những nghiên cứu có liên quan, chúng tôi đề xuất các giả thuyết nghiên cứu Việc kiểm chứng tính đúng đắn của các giả thuyết nghiên cứu được thực hiện nhờ vào các thực nghiệm sư phạm đối với HS

6 Giả thuyết nghiên cứu

Các giả thuyết bên dưới đây được ghi nhận từ việc phân tích nội dung HSM trong lịch sử, chương trình, SGK trong mối quan hệ với cơ sở lý luận được lựa chọn Tính đúng đắn của chúng được kiểm chứng trong chương 4, 5 của luận án thông qua 3 thực nghiệm

sư phạm

H1: Tổ chức dạy học hàm số mũ thông qua các tình huống đã thiết kế trên cơ sở các kết quả phân tích khoa học luận và phân tích sách giáo khoa về hàm số mũ và các định hướng dạy học hàm số mũ được đề xuất để góp phần giúp học sinh phát triển năng lực mô hình hóa, tăng cường khả năng vận dụng toán học vào giải quyết vấn đề các vấn đề thực tiễn thuộc những lĩnh vực khác, từ đó cung cấp cho học sinh các nghĩa* của hàm số mũ

* Biểu diễn sự tăng trưởng theo cấp số nhân của hiện tượng thực tế; biểu diễn mối quan hệ suy giảm mũ; biểu diễn mối quan hệ tăng trưởng mũ

H2: Việc thiết kế và tổ chức dạy học thông qua hoạt động thực hành và trải

nghiệm về số e và hàm số x

y  e trên cơ sở vận dụng các kết quả phân tích khoa học

luận và phân tích sách giáo khoa có thể bồi dưỡng các kiến thức, kĩ năng, thái độ liên

quan đến năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn của học sinh và tạo cơ hội để các em tiếp cận các nghĩa* của hàm số mũ

* Biểu diễn mối quan hệ tăng trưởng mũ; biểu diễn mối quan hệ suy giảm mũ

7 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận án triển khai các nhiệm vụ nghiên cứu sau:

- Phân tích các công trình đã có để làm rõ các yếu tố lí thuyết hình thành nên cơ cở lí luận của đề tài Cụ thể là cơ sở lý luận về dạy học phát triển năng lực trong môn Toán, dạy học tích hợp liên môn, dạy học MHH, dạy học thông qua HĐ TH&TN, một số yếu tố lý thuyết của didactic Toán

Phân tích các tài liệu lịch sử và các giáo trình đại học để làm rõ đặc trưng khoa học luận trong các vấn đề về các tiến trình, tình huống, các kiểu nhiệm vụ liên quan, các vấn

đề MHH, tích hợp có liên quan đến HSM

- Phân tích chương trình và SGK trung học phổ thông của Việt Nam, Pháp, Mỹ theo các các nội dung tham chiếu trên để chỉ ra sự chuyển hóa sư phạm của khái niệm HSM từ tri thức bác học thành tri thức cần giảng dạy ở phổ thông trung học

- Khảo sát quan niệm của GV về dạy học phát triển năng lực, dạy học tích hợp liên môn, dạy học MHH và dạy học thông qua HĐ TH&TN trong mối quan hệ với dạy học hàm số mũ

- Xây dựng và triển khai triển khai các thực nghiệm để dạy học HSM nhằm kiểm những giả thuyết nghiên cứu được đặt ra trong quá trình phân tích các hệ thống dạy học

8 Đóng góp của luận án và ý nghĩa của luận án

8.1 Đóng góp của luận án

- Làm rõ đặc trưng khoa học luận của khái niệm HSM và sự chuyển hóa sư phạm khái niệm này từ tri thức bác học thành tri thức cần dạy thông qua tiếp cận khoa học luận

và phân tích chương trình, SGK

- Các hướng tiếp cận khái niệm HSM và đặc trưng của mỗi hướng tiếp cận ở cấp

độ tri thức khoa học và cấp độ tri thức cần giảng dạy

- Những cải tiến có thể liên quan đến việc xây dựng chương trình gắn với việc dạy học HSM; những cải tiến liên quan đến việc thiết kế các tình huống dạy học HSM

8.2 Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của luận án

Luận án sẽ đóng góp một minh chứng cho những tác động cụ thể của chuyển hóa

sư phạm lên HS đối với trường hợp HSM:

Có lẽ ta không thể thật sự nói về "sự trung thành với tri thức", cũng như về việc chuyển hóa một tri thức tiềm ẩn sự "không trung thành" Tri thức luôn luôn mang tính bộ phận: nó được và phải được định vị trong thực hành để đạt được một nghĩa nào đó Nếu không, nó trở thành một sự phổ biến khoa học tồi tệ Tri thức luôn được huy động trong tiến trình "biên dịch" và vì thế mà có sự "lệch nghĩa" Theo nghĩa này, quá trình giảng dạy của GV được xem như là nơi sáng tạo các tri thức mới (Jonathan Philippe, "La

transposition didactique en question : pratiques et traduction", Revue française de Pédagogie, numéro

- Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu

- Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đóng góp của luận án và ý nghĩa của luận án

Chương 1: Cơ sở lý luận

Chương 2: Nghiên cứu khoa học luận hàm số mũ

Chương 3: Hàm số mũ trong các sách giáo khoa và thực trạng dạy học

Chương 4: Thiết kế nghiên cứu và thực nghiệm sư phạm

Chương 5: Kết quả nghiên cứu

Kết luận và kiến nghị

Danh mục các công trình đã công bố

Tài liệu tham khảo

Phụ lục

3 Nguyên văn: Il apparaît qu’on ne peut pas réellement parler de « fidélité au savoir », ni donc d’une transposition du savoir potentiellement « infidèle » Le savoir est toujours partiel : il est, et doit être, situé dans une pratique pour acquérir un sens – sinon, il s’agit de mauvaise vulgarisation Il est toujours pris dans un processus de traduction, donc toujours aussi de trahison En ce sens, nous considérons les pratiques enseignantes comme un lieu de création de nouveaux savoirs (Jonathan Philippe, "La transposition didactique en question :

pratiques et traduction", Revue française de Pédagogie, numéro 149, 2004)

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

Mục tiêu chương 1

Trong chương này, chúng tôi trình bày những yếu tố lý thuyết về dạy học phát triển năng lực, dạy học tích hợp liên môn, dạy học MHH, dạy học thông qua HĐ TH&TN trong môn Toán Ngoài ra, một số yếu tố lý thuyết didactic cũng được lựa chọn để bổ sung

cơ sở lý luận cho những nghiên cứu được thực hiện trong luận án

1.1 Một số cơ sở lý luận về dạy học phát triển năng lực trong môn Toán

1.1.1 Quan điểm về năng lực

Vấn đề năng lực đã được nhiều nhà khoa học, trong nhiều lĩnh vực trên thế giới cũng như ở Việt Nam quan tâm Khái niệm năng lực được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau tùy theo sự lựa chọn dấu hiệu khác nhau

Theo Từ điển bách khoa Việt Nam (2005): “Năng lực là đặc điểm của cá nhân, thể hiện mức độ thông thạo – tức là có thể thực hiện một cách thành thục và chắc chắn một hay một số dạng hoạt động nào đó” (tr.41) Theo Từ điển Tiếng Việt: Năng lực là phẩm chất tâm lý và sinh lý tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao (Hoàng Phê, 1992)

Về phương diện tâm lý học: Năng lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của cá nhân

phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả tốt Năng lực vừa là tiền đề, vừa là kết quả của hoạt động Năng lực vừa là điều kiện cho hoạt động đạt kết quả nhưng đồng thời năng lực cũng phát triển ngay trong chính hoạt động ấy

Hai tác giả Epstein và Hundert (2002) xác định năng lực là việc sử dụng thường lệ

và xác đáng kĩ năng giao tiếp, kiến thức và kĩ năng chuyên môn, khả năng luận lý, các cảm xúc, giá trị và tiến trình xem xét ngẫm nghĩ trong thực tiễn hoạt động hằng ngày vì lợi ích của cá nhân và của cộng đồng mà mình đang phục vụ

Chương trình GDPT mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo đã xác định: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2018a, tr.37)

Mặc dù cách trình bày về khái niệm năng lực có khác nhau nhưng phần lớn các tài liệu trong nước và nước ngoài đều hiểu năng lực là khả năng vận dụng kết hợp của nhiều thành tố như kiến thức, kĩ năng, thái độ để thực hiện tốt các công việc chuyên môn và giải quyết có hiệu quả những vấn đề trong thực tiễn cuộc sống Trong khuôn khổ của luận án,

chúng tôi sử dụng định nghĩa của Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể (2018) làm cơ

sở lý luận của đề tài

1.1.2 Phân loại năng lực toán học trong môn Toán

Chương trình GDPT môn Toán năm 2018 nêu rõ 5 thành tố năng lực toán học cần được hình thành và phát triển như sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực MHH toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực

sử dụng công cụ, phương tiện học toán (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2018b, tr.9)

Trong khi đó, tác giả Trần Kiều (2014) đề xuất số lượng năng lực thành phần của năng lực toán học nhiều hơn: năng lực tư duy; năng lực MHH toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán và năng lực học tập độc lập và hợp tác

Tuy vậy, các tổ chức giáo dục trên thế giới hay các quốc gia khác có những lựa chọn riêng về các năng lực thành phần này Chương trình đánh giá HS thế giới (PISA) nêu

rõ các năng lực: tư duy và suy luận; lập luận; MHH; đặt và giải quyết vấn đề; giao tiếp; biểu diễn; sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu hình thức; sử dụng các phương tiện hỗ trợ và công

vì nó mang tính cập nhật trong nước và phù hợp với thực tế giáo dục toán học của đất nước trong giai đoạn hiện nay Bên dưới đây, chúng tôi đặc biệt làm rõ thêm năng lực giải quyết vấn đề toán học và năng lực MHH toán học bởi vì đây là hai thành tố năng lực toán học được quan tâm trong các phần nghiên cứu tiếp theo

1.1.3 Năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn

1.1.3.1 Khái niệm năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn

a) Năng lực GQVĐ

Năng lực GQVĐ là một trong những năng lực chung cơ bản cần thiết cho mỗi người

để có thể tồn tại trong xã hội ở mọi thời đại Vì vậy, việc hình thành và phát triển năng lực này cho HS phổ thông là thực sự cần thiết

Theo định nghĩa trong đánh giá PISA (2012), năng lực GQVĐ là “Khả năng của một

cá nhân hiểu và giải quyết tình huống có vấn đề khi mà giải pháp giải quyết chưa rõ ràng

Nó bao hàm sự tham gia giải quyết vấn đề đó – thể hiện tiềm năng là công dân tích cực và xây dựng” (OECD, 2013, tr.122)

Theo tác giả Nguyễn Cảnh Toàn (2011), giải quyết vấn đề là “hoạt động trí tuệ,

được coi là trình độ phức tạp và cao nhất về nhận thức, vì cần huy động tất cả năng lực trí tuệ của cá nhân Để giải quyết vấn đề, chủ thể cần huy động trí nhớ, tri giác, lí luận, khái niệm hóa, ngôn ngữ đồng thời sử dụng cả cảm xúc, động cơ niềm tin ở năng lực bản thân

và khả năng kiểm soát được tình thế” (Nguyễn Cảnh Toàn, 2011, tr.150)

Tác giả Trần Vui (2008) cho rằng: “Năng lực giải quyết vấn đề là năng lực của một

cá nhân để sử dụng các quá trình nhận thức để đối mặt và giải quyết các bối cảnh thực tế xuyên suốt các môn học ở đó con đường tìm ra lời giải là không rõ ràng ngay tức thì và ở

đó các lĩnh vực hiểu biết hay chương trình có thể áp dụng được không chỉ nằm trong một lĩnh vực toán học, khoa học, đọc hiểu” (Trần Vui, 2008, tr.14)

Dựa trên các quan niệm của các tác giả về NL GQVĐ, chúng tôi quan niệm rằng NL

GQVĐ của HS trung học phổ thông là khả năng của HS phối hợp vận dụng những kinh nghiệm của bản thân, kiến thức, kĩ năng của các môn học được trang bị trong chương trình trung học phổ thông để giải quyết thành công các tình huống có vấn đề trong học tập và trong cuộc sống của các em với thái độ tích cực

b) Năng lực giải quyết vấn đề toán học

Từ định nghĩa về năng lực GQVĐ, chúng tôi quan niệm rằng năng lực GQVĐ toán

học của HS là khả năng học sinh có thể vận dụng những kinh nghiệm, kiến thức và kĩ năng toán học đã được trang bị để giải quyết các vấn đề toán học với thái độ tích cực

Các biểu hiện của năng lực GQVĐ toán học được Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2018) định nghĩa như sau:

+ Học sinh nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học

+ Học sinh lựa chọn, đề xuất được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề

+ Học sinh sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra

+ Học sinh đánh giá được giải pháp đề ra và khái quát hoá được cho vấn đề tương tự (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2018b, tr.12-13)

c) Năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn

Trong môn Toán, tác giả Coulange (1997) phân biệt ba khái niệm khác nhau về vấn

đề (hay bài toán), bao gồm bài toán thực tiễn, bài toán phỏng thực thiễn và bài toán toán

học (dẫn theo Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.7)

Trong khuôn khổ của luận án, chúng tôi xem vấn đề thực tiễn là cách gọi chung cho những câu hỏi, tình huống hay bài toán thực tiễn và phỏng thực tiễn nảy sinh trong quá trình học tập toán, đòi hỏi HS huy động các kiến thức, kĩ năng toán học để giải quyết