Hình học phi euclid, hình học riemann, không gian đa chiều, felix klein (1849 – 1925), hình học hậu riemann

Chúng ta đã thừa nhận rằng trong thập kỷ thứ hai của thế kỷ ấy, Gauss đã đi đến kết luận bằng những nỗ lực để chứng minh định đề song song được đưa ra bởi Saccheri, Lambert, Legendre, và

ỦY BAN NHÂN DÂN TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN

-

Ch ủ đề: Hình học Phi Euclid,

đa chiều, Felix Klein (1849 –

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC

THI KẾT THÚC HỌC PHẦN

Không gian đa chiều, Felix Klein (1849 –

Hồ Nhật Vy

L ỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các s ố liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung th ực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác

Tác giả luận văn

H ồ Nhật Vy

L ỜI CẢM ƠN

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo khoa Toán - Ứng dụng, bạn

bè, gia đình đã giúp đỡ chúng tôi trong quá trình làm tiểu luận

Đặc biệt, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Ái Quốc – giảng viên khoa Toán - Ứng dụng đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn chúng tôi trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Mặc dù có nhiều cố gắng trong quá trình nghiên cứu, song do vốn kinh nghiệm của bản thân có hạn, nên không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý chân thành của các thầy giáo, cô giáo nhằm bổ sung hoàn thiện trong quá trình nghiên cứu tiếp theo

Xin chân thành cảm ơn

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2021

Tác gi ả

H ồ Nhật Vy

M ỤC LỤC

Trang

Trang ph ụ bìa 1

L ời cam đoan 2

L ời cảm ơn 3

M ục lục 4

Chương 1 GEOMETRY Hình h ọc 1.1 Non-Euclidean Geometry 5

1.1 Hình h ọc phi Euclid 5

1.2 Riemannian Geometry 9

1.2 Hình h ọc thời Riemman 9

1.3 Spaces of Higher Dimensions 12

1.3 Không gian đa chiều 12

1.4 Felix Klein 14

1.4 Felix Klein 14

1.5 Post – Riemannian Algebraic Geometry 19

1.5 Hình h ọc – Đại số hậu Riemman 19

Chương 2 Conclusion K ết luận 2.1 Thành t ựu toán học 21

2.2 S ự ra đời của khái niệm toán học 21

2.3 Các đặc trưng khoa học của khái niệm toán học 22

2.4 Quan ni ệm ảnh hưởng lên sự hình thành khái niệm toán học 22

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 23

Chương 1

GEOMETRY 1.1

Trong hình học phi Euclide, chúng ta tìm thấy một trường hợp đáng kinh ngạc

về sự đồng khám phá, đối với các quan điểm tương tự đã xảy ra, trong ba thập kỉ đầu của thế kỷ XIX về ba người đàn ông đến từ Đức, Hungary và Nga Chúng ta đã thừa

nhận rằng trong thập kỷ thứ hai của thế kỷ ấy, Gauss đã đi đến kết luận bằng những nỗ lực để chứng minh định đề song song được đưa ra bởi Saccheri, Lambert, Legendre,

và người bạn Farkas Bolyai đến từ Hungary đã cho rằng kết luận của Gauss vô ích và các hình học khác hơn Euclid có thể Tuy nhiên, ông đã không chia sẻ quan điểm này với những người khác; anh ấy chỉ đơn giản là giải thích ý tưởng, như anh ấy nói, “cho chính mình.” Do đó, việc nỗ lực để chứng minh định đề song song vẫn tiếp tục, và trong số những cố gắng đó có một bằng chứng thực là một người trẻ - Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793 – 1856) Lobachevsky được coi là “cha đẻ của hình học”, người đàn ông đã cách mạng hóa chủ đề thông qua việc tạo ra một hướng đi hoàn toàn mới, Hình học Lobachevskian, do đó cho thấy rằng hình học Euclide không phải hoàn toàn

là khoa học chính xác hay sự thật tuyệt đối mà chỉ là nó đã được đưa ra trước đây Qua công việc của Lobachevsky, cần phải sửa đổi quan điểm cơ bản về bản chất của toán

học, nhưng các đồng nghiệp của Lobachevsky đã tiếp cận tình huống quá gần với lối

đi cũ để nhìn nhận nó ở góc độ thích hợp, và người đi trước phải theo đuổi suy nghĩ

của mình trong cô đơn lẻ loi

Lobachevsky’s revolutionary view seems not to have come to him as a sudden inspiration In an outline of geometry that he drew up in 1823, presumably for classroom use, Lobachevsky said of the parallel postulate simply that “no rigorous proof of the truth of this had ever been discovered.” Apparently, he did not then exclude the possibility that such a proof might yet be discovered Three years later at Kazan University, he read in French a paper (now lost) on the principles of geometry, including “une de´monstration rigoreuse du the´ore`me des paralle`les.” The year 1826

in which this paper was delivered may be taken as the unofficial birth date of Lobachevskian geometry, for it was then that the author presented many of the

characteristic theorems of the new subject Another three years later, in the Kazan Messenger for 1829, Lobachevsky published an article, “On the Principles of Geometry”,which marks the official birth of non-Euclidean geometry Between 1826 and 1829, he had become thoroughly convinced that Euclid’s fifth postulate cannot be proved on the basis of the other four, and in the paper of 1829, he became the first mathematician to take the revolutionary step of publishing a geometry specifically built

on an assumption in direct conflict with the parallel postulate: Through a point C lying outside a line AB there can be drawn more than one line in the plane and not meeting

AB With this new postulate, Lobachevsky deduced a harmonious geometric structure having no inherent logical contradictions This was in every sense a valid geometry, but so contrary to common sense did it appear, even to Lobachevsky, that he called it

“imaginary geometry.”

Quan điểm cách mạng của Lobachevsky dường như không đến với anh ta như một cảm hứng bất chợt Trong một phác thảo về hình học mà ông đã vẽ vào năm 1823,

có lẽ để sử dụng trong lớp học, Lobachevsky nói về định đề song song chỉ đơn giản

rằng “không có bằng chứng chặt chẽ nào về sự thật của điều này đã từng được phát hiện.” Rõ ràng, sau đó anh ta đã không loại trừ khả năng rằng có một bằng chứng có thể vẫn chưa được khám phá Ba năm sau tại Đại học Kazan, anh ấy đọc một bài báo

bằng tiếng Pháp (nay đã bị thất lạc) về các nguyên tắc hình học, bao gồm cả “Lịch sử người chứng minh định đề song song” Năm 1826 bài báo này được giao vào ngày có

lẽ là sự ra mắt không chính thức của hình học Lobachevskian, vì lúc đó là thời điểm các tác giả đã trình bày nhiều định lý đặc trưng của môn học mới này Ba năm sau, trong Kazan Messenger năm 1829, Lobachevsky đã xuất bản một bài báo "Các nguyên tắc của hình học", đánh dấu sự ra đời chính thức của hình học phi Euclid Giữa năm

1826 và năm 1829, ông đã hoàn toàn bị thuyết phục rằng định đề thứ năm của Euclid không thể được chứng minh trên cơ sở của bốn định đề kia, và trong năm 1829, ông trở thành nhà toán học đầu tiên thực hiện bước cách mạng trong việc xuất bản một hình

học được xây dựng đặc biệt dựa trên một giả định mâu thuẫn trực tiếp với định đề song song: “Qua một điểm C nằm bên ngoài một đoạn thẳng AB có thể được vẽ nhiều hơn

một đoạn thẳng trong mặt phẳng và không gặp AB” Với định đề mới này, Lobachevsky đã suy ra một cấu trúc hình học hài hòa không mâu thuẫn về mặt logic

vốn có Theo mọi nghĩa, đây là một hình học hợp lệ, nhưng ngược lại với lẽ thường nó

đã xuất hiện, ngay cả với Lobachevsky, rằng ông gọi nó là "Hình học tưởng tượng"

Lobachevsky was well aware of the significance of his discovery of “imaginary geometry,” as is clear from the fact that during the score of years from 1835 to 1855,

he wrote out three full accounts of the new geometry In 1835 1838, his New Foundations of Geometry appeared in Russian; in 1840, he published Geometrical Investigations on the Theory of Parallels in German; and in 1855, his last book, Pangeometry, was published simultaneously in French and Russian (All have since been translated into other languages, including English.) From the second of the three works, Gauss learned of Lobachevsky’s contributions to nonEuclidean geometry, and

it was on his recommendation that in 1842, Lobachevsky was elected to the Go¨ttingen Scientific Society In letters to friends, Gauss praised Lobachevsky’s work, but he never gave it support in print, for he feared the jibes of “the Boeotians.” Partly for this reason, the new geometry became known only very slowly

Lobachevsky nhận thức rõ tầm quan trọng của việc khám phá ra "Hình học tưởng tượng", như rõ ràng là trong khi điểm lại quá trình xây dựng bộ môn này từ 1835 đến 1855, ông đã viết ra ba công trình đầy đủ về hình học Năm 1835 - 1838, nền tảng Hình học mới của ông xuất hiện trong Tiếng Nga Năm 1840, ông xuất bản “Điều tra Hình học về Lý thuyết định đề song song” bằng tiếng Đức Và vào năm 1855, cuốn

sách cuối cùng của ông “Pangeometry” được xuất bản đồng thời bằng tiếng Pháp và

tiếng Nga (tất cả đã được dịch sang các ngôn ngữ khác, bao gồm cả tiếng Anh) Từ phần thứ hai của ba công trình, Gauss đã biết về những đóng góp của Lobachevsky cho hình học phi Euclide, và theo khuyến nghị của ông rằng vào năm 1842, Lobachevsky được bầu vào Hiệp hội Khoa học Go¨ttingen Trong thư gửi bạn bè, Gauss khen ngợi công việc của Lobachevsky, nhưng ông không bao giờ ủng hộ nó trong bản in, vì anh

ta sợ hãi những kẻ xấu xa của "người Boeotians." Một phần vì lý do này, Hình học mới được biết đến rất chậm

Gauss’s Hungarian friend Farkas Bolyai had spent much of his life trying to prove the parallel postulate, and when he found that his own son Janos Bolyai (1802 - 1860) was absorbed in the problem of parallels, the father, a provincial mathematics teacher, wrote to the son, a dashing army officer:

For God’s sake, I beseech you, give it up Fear it no less than sensual passions because it, too, may take all your time, and deprive you of your health, peace of mind, and happiness in life

Người bạn Hungary Farkas Bolyai của Gauss đã dành phần lớn cuộc đời mình

cố gắng chứng minh định đề song song và khi anh ta nhận thấy rằng con trai János Bolyai (1802 - 1860) đã bị cuốn vào định đề song song, người cha, một giáo viên dạy Toán cấp tỉnh, đã viết thư cho con trai cùng với sự quả quyết của một sĩ quan quân đội:

Vì Chúa, ta c ầu xin con, hãy từ bỏ nó Điều đó thật sự rất đáng sợ bởi vì nó cũng có thể chiếm hết thời gian của con và lấy đi của con sức khỏe, sự bình yên

Người con trai không nhụt chí và tiếp tục nỗ lực của mình cho đến khoảng năm

1829, ông đã đưa ra kết luận chỉ vài năm trước đó bởi Lobachevsky Thay vì cố gắng chứng minh điều không thể, ông đã phát triển cái mà ông gọi là "Khoa học tuyệt đối

về không gian", bắt đầu từ giả định rằng: “Thông qua một điểm không nằm trên một đường thẳng, có thể vẽ vô số đường trong mặt phẳng, mỗi đường song song với đường cho trước.” Janos đã gửi những phản ánh của ông cho cha ông, người đã xuất bản dưới dạng phụ lục của một luận thuyết mà ông đã hoàn thành, mang một tiêu đề dài bắt đầu bằng Tentamen Bản Tentamen của Bolyai mang dấu ấn vào năm 1829 – năm xuất hiện bài báo của Kazan Lobachevsky, nhưng nó đã không thực sự xuất hiện cho đến năm

1832

Gauss’s reaction to the “Absolute Science of Space” was similar to that in the case of Lobachevsky—sincere approval, but lack of support in print When Farkas Bolyai wrote to ask for an opinion on the unorthodox work of his son, Gauss replied that he could not praise Janos’s work, for this would mean self-praise, inasmuch as he had held these views for many years The temperamental Janos was understandably disturbed, fearing that he would be deprived of priority Continued lack of recognition,

as well as the publication of Lobachevsky’s work in German in 1840, so upset him that

he published nothing more The lion’s share of the credit for the development of Euclidean geometry consequently belongs to Lobachevsky

non-Phản ứng của Gauss đối với “Khoa học tuyệt đối về không gian” cũng tương tự như trong trường hợp của Lobachevsky – dù hoàn toàn tán thành, nhưng thiếu sự ủng

hộ trên báo in Khi Farkas Bolyai viết thư để hỏi ý kiến về việc làm không chính thống của con trai mình, Gauss trả lời rằng ông không thể khen ngợi công việc của Janos, vì điều này có nghĩa là tự khen ngợi bản thân, vì ông đã giữ những quan điểm này trong nhiều năm Janos tính khí thất thường đã bị xáo trộn một cách dễ hiểu, sợ rằng mình sẽ

bị tước quyền ưu tiên Việc tiếp tục không được công nhận, cũng như việc xuất bản tác phẩm của Lobachevsky bằng tiếng Đức vào năm 1840, khiến ông khó chịu đến nỗi ông không xuất bản thêm gì nữa Phần lớn về công trình nghiên cứu cho sự phát triển của hình học phi Euclid luôn thuộc về Lobachevsky

1.2

Non-Euclidean geometry continued for several decades to be a fringe aspect of mathematics until it was thoroughly integrated through the remarkably general views

of G F B Riemann (1826 -1866) The son of a village pastor, Riemann was brought

up in very modest circumstances, always remaining frail in body and shy in manner

He nevertheless secured a good education, first at Berlin and later at Go¨ttingen, where

he took his doctorate with a thesis in theory of functions of a complex variable It is here that we find the so-called Cauchy-Riemann equations, u x =v y, u y = −v x, which

an analytic function w = f z( )= + of a complex variable u iv z= +x yi must satisfy, although this requirement had been known even in the days of Euler and d’Alembert The thesis also led to the concept of a Riemann surface, anticipating the part that topology ultimately was to play in analysis

Hình học phi Euclid tiếp tục trong vài thập kỷ là một khía cạnh bên lề của toán học cho đến khi nó được tích hợp triệt để thông qua những quan điểm tổng quát đáng

kể của G F B Riemann (1826-1866) Là con trai của một mục sư trong làng, Riemann

đ ược nuôi dưỡng trong hoàn cảnh rất khiêm tốn, cơ thể luôn yếu ớt và nhút nhát Tuy nhiên, ông vẫn được đảm bảo một nền giáo dục tốt, đầu tiên tại Berlin và sau đó là tại Go¨ttingen, nơi ông lấy bằng tiến sĩ với luận án về lý thuyết hàm biến phức Chính ở đây, chúng ta tìm thấy cái gọi là phương trình Cauchy-Riemann, u x =v y, u y = −v x,thứ

mà một hàm giải tích w = f z( )= + của một biến phức phải thỏa mãn u iv z= +x yi, mặc dù yêu cầu này đã được biết đến ngay cả trong thời của Euler và d’Alembert Luận

án cũng dẫn đến khái niệm bề mặt Riemann, dự đoán phần cuối cùng mà cấu trúc liên kết đóng vai trò trong giải tích

In 1854, Riemann became a privatdozent at the University of Go¨ttingen, and according to custom, he was called on to deliver a Habilitationsschrift before the faculty The result, in Riemann’s case, was the most celebrated probationary lecture in the history of mathematics, for it presented a deep and broad view of the whole field

of geometry The thesis bore the title “U¨ ber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen” (“On the Hypotheses which Lie at the Foundation of Geometry”), but

it did not present a specific example It instead urged a global view of geometry as a study of manifolds of any number of dimensions in any kind of space His geometries are non-Euclidean in a far more general sense than is Lobachevskian geometry, where the question is simply how many parallels are possible through a point Riemann saw that geometry should not even necessarily deal with points or lines or space in the ordinary sense, but with sets of ordered n-tuples that are combined according to certain rules

Năm 1854, Riemann trở thành nhân viên tư vấn tại Đại học Go¨ttingen, và như thường lệ, ông được yêu cầu cung cấp một chứng chỉ hành nghề trước khoa Kết quả, trong trường hợp của Riemann, là bài giảng tập sự nổi tiếng nhất trong lịch sử toán học, vì nó trình bày một cái nhìn sâu và rộng về toàn bộ lĩnh vực hình học Luận án có tiêu đề “U¨ ber die Hypothesen Welche der Geometrie zu Grunde liegen” (“Về những giả thuyết nằm ở nền tảng hình học”), nhưng nó không đưa ra một ví dụ cụ thể Thay vào đó, nó thúc đẩy một quan điểm toàn cầu về hình học như một nghiên cứu về đa tạp của bất kỳ số chiều nào trong bất kỳ loại không gian nào Hình học của ông không phải

là Euclid theo một nghĩa tổng quát hơn nhiều so với hình học Lobachevskian, ở đó câu

hỏi đơn giản là có bao nhiêu đường song song có thể có qua một điểm Riemann thấy rằng hình học thậm chí không nhất thiết phải xử lý các điểm hoặc đường thẳng hoặc

không gian theo nghĩa thông thường, mà với các tập hợp n bộ có thứ tự được kết hợp theo các quy tắc nhất định

Among the most important rules in any geometry, Riemann saw, is that for finding the distance between two points that are infinitesimally close together In ordinary Euclidean geometry, this “metric” is given by 2 2 2 2

ds =dx +dy +dz , but infinitely many other formulas can be used as a distance formula, and, of course, the metric used will determine the properties of the space or the geometry A space whose metric is of the form

where the g s' are constants or, more generally, functions of x, y , and z , is known as

a Riemannian space Thus, (locally) Euclidean space is only the very special case of a Riemannian space in which g11 = g22 = g33 = and all the other 1 g s' are zero Riemann even developed from the metric a formula for the Gaussian curvature of a “surface” in his “space.” It is no wonder that after Riemann’s lecture and for almost the only time

in his long career, Gauss expressed enthusiasm for the work of someone else

Trong số các quy tắc quan trọng nhất trong bất kỳ hình học nào, Riemann nhận

thấy cách tìm khoảng cách giữa hai điểm gần nhau nhất Trong hình học Euclid thông thường, “số liệu” này được đưa ra bởi 2 2 2 2

ds =dx +dy +dz , nhưng vô số công thức khác có thể được sử dụng làm công thức khoảng cách, và tất nhiên, số liệu được sử

dụng sẽ xác định các thuộc tính của không gian hoặc hình học Không gian có chỉ số

có dạng

trong đó các hằng số hay nói chung là các hàm của x y, và z, được gọi là một không gian Riemann Do đó, không gian Euclid chỉ là trường hợp rất đặc biệt của không gian Riemann trong đó g11 =g22 =g33 = và tất cả các không gian 1 g s' khác đều bằng không Riemann thậm chí còn phát triển từ hệ mét một công thức cho độ cong Gaussian của một “bề mặt” trong “không gian” của mình Không có gì lạ khi sau bài giảng của Riemann và gần như là lần duy nhất trong sự nghiệp lâu dài của mình, Gauss bày tỏ sự nhiệt tình với công việc của người khác

There is a more restricted sense in which we today use the phrase “Riemannian geometry”: the plane geometry that is deduced from Saccheri’s hypothesis of the obtuse angle if the infinitude of the straight line is also abandoned A model for this geometry is found in the interpretation of the “plane” as the surface of a sphere and of

a “straight line” as a great circle on the sphere In this case, the angle sum of a triangle

is greater than two right angles, whereas in the geometry of Lobachevsky and Bolyai (corresponding to the hypothesis of the acute angle), the angle sum is less than two right angles This use of Riemann’s name, however, fails to do justice to the fundamental change in geometric thought that his 1854 Habilitationsschrift (not published until 1867) brought about It was Riemann’s suggestion of the general study

of curved metric spaces, rather than of the special case equivalent to geometry on the sphere, that ultimately made the theory of general relativity possible Riemann himself contributed heavily to theoretical physics in a number of directions, and it was therefore fitting that in 1859 he should have been appointed as successor to Dirichlet

in the chair at Go¨ttingen that Gauss had filled

Có một ý nghĩa hạn chế hơn mà ngày nay chúng ta sử dụng cụm từ “hình học Riemann”: hình học phẳng được suy ra từ giả thuyết của Saccheri về góc tù nếu tính

vô hạn của đường thẳng cũng bị loại bỏ Mô hình cho hình học này được tìm thấy trong việc giải thích “mặt phẳng” là bề mặt của hình cầu và “đường thẳng” là một đường

tròn lớn trên hình cầu Trong trường hợp này, tổng các góc trong một tam giác lớn hơn hai góc vuông, trong khi trong hình học của Lobachevsky và Bolyai (tương ứng với giả thuyết về góc nhọn), tổng các góc nhỏ hơn hai góc vuông Tuy nhiên, việc sử dụng tên của Riemann này không phù hợp với sự thay đổi cơ bản trong tư tưởng hình học

mà cuốn sách Habilencesschrift năm 1854 của ông (không được xuất bản cho đến năm 1867) đã mang lại Đề xuất của Riemann về nghiên cứu tổng quát về không gian metric cong, thay vì trường hợp đặc biệt tương đương với hình học trên hình cầu, cuối cùng

đã làm cho lý thuyết tương đối rộng trở nên khả thi Bản thân Riemann đã đóng góp

rất nhiều cho vật lý lý thuyết theo một số hướng, và do đó, điều phù hợp là vào năm

1859, đáng lẽ ông phải được bổ nhiệm làm người kế nhiệm Dirichlet trong chiếc ghế chủ tịch tại Go¨ttingen mà Gauss đã bổ nhiệm

In showing that non – Euclidean geometry with angle sum greater than two right angles is realized on the surface of a sphere, Riemann essentially verified the consistency of the axioms from which the geometry is derived In much the same sense, Eugenio Beltrami (1835 – 1900), a colleague of Cremona’s at Bologna and later a professor at Pisa, Pavia, and Rome, showed that there was at hand a corresponding model for Lobachevskian geometry This is the surface generated through the revolution of a tractrix about its asymptote, a surface known as a pseudosphere, inasmuch as it has constant negative curvature, as the sphere has constant positive curvature If we define the “straight line” through two points on the pseudosphere as the geodesic through the points, the resulting geometry will have the properties resulting from the Lobachevskian postulates Inasmuch as the plane is a surface with constant zero curvature, Euclidean geometry can be regarded as an intermediary between the two types of non Euclidean geometry

Khi chỉ ra rằng hình học phi Euclid có tổng góc lớn hơn hai góc vuông được

thực hiện trên bề mặt của một hình cầu, Riemann về cơ bản đã xác minh tính nhất quán của các tiên đề mà từ đó hình học được suy ra Theo cùng một ý nghĩa, Eugenio Beltrami (1835 - 1900), một đồng nghiệp của Cremona’s tại Bologna và sau đó là giáo

sư tại Pisa, Pavia và Rome, đã chỉ ra rằng đã có sẵn một mô hình tương ứng cho hình

học Lobachevskian Đây là bề mặt được tạo ra thông qua cuộc cách mạng của ma trận

về tiệm cận của nó, một bề mặt được gọi là giả cầu, mặc dù nó có độ cong âm không đổi, vì hình cầu có độ cong dương không đổi Nếu chúng ta xác định “đường thẳng” qua hai điểm trên giả cầu là đường trắc địa qua các điểm, thì hình học thu được sẽ có các đặc tính từ các định đề Lobachevskian Mặt phẳng là một bề mặt có độ cong không đổi, hình học Euclide có thể được coi là trung gian giữa hai loại hình học phi Euclide

1.3

The unification of geometry that Riemann had achieved was especially relevant

in the microscopic aspect of differential geometry, or geometry “in the small.” Analytic geometry, or geometry “in the large,” had not been much changed In fact, Riemann’s lecture was given at about the midpoint of Plu¨cker’s self-imposed geometric retirement, during which there had been something of a lull in analytic geometric activity in Germany In 1865, Plu¨cker again resumed mathematical publication, this time in British publications instead of in Crelle’s Journal, probably because Cayley had shown interest in Plu¨cker’s work In this year, he published a paper in the Philosophical Transactions (often known simply as Phil Trans.), expanded three years later into a book on a “new geometry” of space Here, he explicitly formulated a principle at which he had hinted about twenty years earlier A space, he argued, need not be thought of as a totality of points; it can equally well be visualized as composed

of lines In fact, any figure that formerly had been thought of as a locus or a totality of points can itself be taken as a space element, and the dimensionality of the space will correspond to the number of parameters determining this element If our ordinary three-space is considered a “cosmic haystack of infinitely thin, infinitely long straight straws,” rather than an “agglomeration of infinitely fine birdshot,” it is four-dimensional, rather than three-dimensional In 1868, the year of Plu¨cker’s book based

on this theme, Cayley analytically developed in the Phil Trans the notion of the ordinary two-dimensional Cartesian plane as a space of five dimensions, the elements

of which are conics In Plu¨cker’s Neue Geometrie des Raumes, there are also other new ideas The geometric representation of a single equation f x y z( , , )= in point 0coordinates is called a surface, two simultaneous equations correspond to a curve, and three equations determine one or more points In the “new geometry” of his four-dimensional line space, Plu¨cker called the “figure” represented by a single equation

( , , , ) 0

f r s t u = in the four coordinates of his line space a “complex,” two equations designated a “congruence,” and three a “range.” He found that the quadratic line complex has properties similar to those of the quadric surface, but he did not live to complete the extensive study he planned He died in 1868, the year in which the first volume of his New Geometry appeared, followed a year later by the second, edited by one of his students, Felix Klein (1849 1925)

Sự thống nhất của hình học mà Riemann đã đạt được thành tựu đặc biệt và thích hợp trong khía cạnh vi mô của hình học vi phân, hay hình học “trong cái nhỏ” Hình

học giải tích hay hình học “nói chung” không bị thay đổi nhiều Trên thực tế, bài giảng của Riemann được đưa ra ở điểm giữa của quá trình nghỉ hưu hình học tự áp đặt của Plu¨cker, trong thời gian đó, hoạt động hình học giải tích ở Đức đã có điều gì đó tạm

lắng Năm 1865, Plu¨cker lại tiếp tục xuất bản toán học, lần này là trên các ấn phẩm của Anh thay vì trên Tạp chí Crelle, có lẽ vì Cayley đã thể hiện sự quan tâm đến công trình của Plu¨cker Trong năm này, ông đã xuất bản một bài báo trên tạp chí “Các giao dịch triết học” (thường được gọi đơn giản là Phil Trans.), Được mở rộng ba năm sau

đó thành một cuốn sách về “hình học mới” của không gian Ở đây, ông đã xây dựng một cách rõ ràng một nguyên tắc mà ông đã gợi ý khoảng hai mươi năm trước đó Ông lập luận rằng một không gian không cần phải được coi là một tổng thể của các điểm;

nó cũng có thể được hình dung như bao gồm các đường Trên thực tế, bất kỳ hình nào trước đây được coi là quỹ tích hoặc tổng điểm đều có thể được coi là phần tử không