Mục tiêu nghiên cứu của đề tài nhằm hệ thống được các kiến thức về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian, trình bày các kết quả qua quá trình nghiên cứu. Giúp các em học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản và vận dụng linh hoạt vào việc giải bài tập, đồng thời định hướng cho các em học sinh suy nghĩ và sáng tạo những bài toán mới.
Trang 1I. PH N M Đ UẦ Ở Ầ
1/Lý do ch n đ tài: ọ ề
Bài t p hình h c không gian nói chung và bài t p v đậ ọ ậ ề ường th ng, m t ph ngẳ ặ ẳ
và quan h song song nói riêng là m t n i dung quan tr ng trong chệ ộ ộ ọ ương trình môn Toán THPT, các ki n th c liên quan c a d ng toán này thế ứ ủ ạ ường xuyên xu tấ
hi n trong các đ thi t t nghi p THPT và các đ thi vào các trệ ề ố ệ ề ường Đ i h c,ạ ọ cao đ ng trong c nẳ ả ước.
Đường th ng và m t ph ng là nh ng khái ni m quen thu c trong đ i s ngẳ ặ ẳ ữ ệ ộ ờ ố hàng ngày, chúng cũng là nh ng đ i tữ ố ượng c b n, m đ u c a hình h c khôngơ ả ở ầ ủ ọ gian, h c sinh đọ ược nghiên c u chúng trong Chứ ương II hình h c l p 11. Do tínhọ ớ
tr u từ ượng c a hình h c không gian và s b ng m i ti p xúc nên h c sinhủ ọ ự ỡ ỡ ớ ế ọ
thường lúng túng, m t đ nh hấ ị ướng và thi u t tin vào b n thân khi làm các bàiế ự ả
t p v ph n nàyậ ề ầ ,v ph n giáo viên c ng g p không ít khó khăn khi truy n đ tề ầ ủ ặ ề ạ
n i dung ki n th cộ ế ứ Vi c phân lo i bài toán, đ a ra phệ ạ ư ương pháp gi i phù h pả ợ
đ i v i t ng trố ớ ừ ường h p và h th ng các ví d phong phú s giúp h c sinh đ nhợ ệ ố ụ ẽ ọ ị
hướng được phương pháp trong quá trình gi i bài t p.ả ậ
Xu t phát t t m quan tr ng c a n i dung, tính ph c t p hóa gây nên s trấ ừ ầ ọ ủ ộ ứ ạ ự ở
ng i cho h c sinh trong quá trình ti p c n v i bài t p hình h c không gian, cùngạ ọ ế ậ ớ ậ ọ
v i s tích lu kinh nghi m có đớ ự ỹ ệ ược c a b n thân qua nhi u năm gi ng d y;ủ ả ề ả ạ
K t h p v i nh ng ki n th c mà tôi đã lĩnh h i đế ợ ớ ữ ế ứ ộ ược trong chương trình Đ iạ
h c Toán và đ c bi t là s đ ng viên, đóng góp ý ki n t n tình c a các đ ngọ ặ ệ ự ộ ế ậ ủ ồ nghi p. Tôi m nh d n ch n đ tài “ệ ạ ạ ọ ề Phân d ng và h th ng các bài t p v ạ ệ ố ậ ề
đ ườ ng th ng, m t ph ng và quan h song song trong không gian ẳ ặ ẳ ệ ”
Qua đ tài, tôi mong r ng b n thân mình s tìm hi u sâu h n v v n đ này,ề ằ ả ẽ ể ơ ề ấ ề
t phân lo i đự ạ ược m t s d ng bài t p thộ ố ạ ậ ường g p, nêu lên m t s phặ ộ ố ươ ngpháp gi i cho t ng d ng bài t p. T đó giúp h c sinh có th d dàng h n trongả ừ ạ ậ ừ ọ ể ễ ơ
vi c gi i bài t p và phát huy đệ ả ậ ược kh năng phân tích, t ng h p, khái quát hoáả ổ ợ các bài t p nh T đó hình thành cho h c sinh kh năng t duy sáng t o trongậ ỏ ừ ọ ả ư ạ
h c t p. Hy v ng r ng đ tài này s là m t tài li u có ích cho các đ ng nghi p,ọ ậ ọ ằ ề ẽ ộ ệ ồ ệ cũng nh h c sinh trong quá trình gi ng d y và h c t p.ư ọ ả ạ ọ ậ
2/M c tiêu nghiên c u: ụ ứ
Nh m h th ng đằ ệ ố ược các ki n th c v đế ứ ề ường th ng, m t ph ng và quanẳ ặ ẳ
h song song trong không gian, trình bày các k t qu qua quá trình nghiên c u.ệ ế ả ứ Giúp các em h c sinh n m v ng các ki n th c c b n và v n d ng linh ho tọ ắ ữ ế ứ ơ ả ậ ụ ạ
Trang 2vào vi c gi i bài t p, đ ng th i đ nh hệ ả ậ ồ ờ ị ướng cho các em h c sinh suy nghĩ vàọ sáng t o nh ng bài toán m i. ạ ữ ớ
H th ng đệ ố ược các ví d theo d ng giúp c ng c lý thuy t và rèn luy nụ ạ ủ ố ế ệ
k năng gi i bài t p thông qua đó nâng cao kh năng phân tích, đ nh hỹ ả ậ ả ị ướng cách
gi i bài t p.ả ậ
3/Nhi m v nghiên c u: ệ ụ ứ
Th c hi n đ i m i phự ệ ổ ớ ương pháp gi ng d y Toán làm cho h c sinh sángả ạ ọ
t o tìm nh ng hạ ữ ướng gi i quy t m i cho bài toán đả ế ớ ược đ a ra.ư
L a ch n các ví d phù h p, sau khi d y m i d ng có bài t p tự ọ ụ ợ ạ ỗ ạ ậ ương tự cho h c sinh t luy n t p nhà.ọ ự ệ ậ ở
H th ng bài t p đ a ra đệ ộ ậ ư ượ ắc s p x p t d đ n khó.ế ừ ễ ế
4/Các ph ươ ng pháp nghiên c u ứ
Nghiên c u lý lu n chung.ứ ậ
Kh o sát đi u tra t th c t d y và h c.ả ề ừ ự ế ạ ọ
Nghiên c u tài li u, t ng h p l a ch n phứ ệ ổ ợ ự ọ ương pháp gi i và ví d phù h p.ả ụ ợ
T ng h p so sánh , đúc rút kinh nghi m.ổ ợ ệ
Trao đ i v i đ ng nghi p, tham kh o ý ki n giáo viên cùng b môn.ổ ớ ồ ệ ả ế ộ
Liên h th c t trong nhà trệ ự ế ường, áp d ng đúc rút kinh nghi m qua quá trìnhụ ệ
6/Đ i t ố ượ ng kh o sát và th i gian th c hi n đ tài: ả ờ ự ệ ề
Đ tài đề ược áp d ng đ i v i h c sinh các l p 11A3, 11A4,11A10 – Trụ ố ớ ọ ớ ườ ngTHPT n i tôi đang công tác v i đ i tơ ớ ố ượng là các h c sinh h c l c trung bình, trungọ ọ ự bình khá. Th c hi n trong h c k I năm h c 20132014 vào các gi luy n t p, tự ệ ọ ỳ ọ ờ ệ ậ ự
ch n và tăng bu i sau khi h c sinh đã đọ ổ ọ ược h c xong t ng bài c a ọ ừ ủ chương II hình
Trang 3II . PH N N I DUNGẦ Ộ
1/ C s lý khoa h c c a đ tàiơ ở ọ ủ ề
1.a) C s lý lu n c a đ tài ơ ở ậ ủ ề
1.a.1 Các tính ch t th a nh n c a hình h c không gian ấ ừ ậ ủ ọ
Tính ch t 1: Có m t và ch m t đấ ộ ỉ ộ ường th ng đi qua hai đi m phân bi t.ẳ ể ệ
Tính ch t 2: Có m t và ch m t m t ph ng đi qua ba đi m không th ng hàng.ấ ộ ỉ ộ ặ ẳ ể ẳ Tính ch t 3: N u m t đấ ế ộ ường th ng có hai đi m phân bi t thu c m t m tẳ ể ệ ộ ộ ặ
ph ng thì ẳ
m i đi m c a đọ ể ủ ường th ng đ u thu c m t ph ng đó.ẳ ề ộ ặ ẳ
Tính ch t 4: T n t i b n đi m không cùng thu c m t m t ph ng.ấ ồ ạ ố ể ộ ộ ặ ẳ
Tính ch t 5: N u hai m t ph ng phân bi t có m t đi m chung thì chúng còn cóấ ế ặ ẳ ệ ộ ể
m t đi m chung khác n a.ộ ể ữ
Tính ch t 6: Trên m i m t ph ng, các k t qu đã bi t trong hình h c ph ngấ ỗ ặ ẳ ế ả ế ọ ẳ
đ u ề
đúng.
1.a.2 Hai đ ườ ng th ng song song ẳ
a) Đ nh nghĩa: Hai đ ng th ng song song là hai đ ng th ng cùng n m trongị ườ ẳ ườ ẳ ằ
m t m t ph ng và không có đi m chung.ộ ặ ẳ ể
b) Các tính ch t:ấ
Đ nh lý 1: Trong không gian, qua m t đi m không n m trên đị ộ ể ằ ường th ng choẳ
trước, có m t và ch m t độ ỉ ộ ường th ng song song v i đẳ ớ ường th ng đã cho.ẳ
Đ nh lý 2(v giao tuy n c a ba m t ph ng): N u ba m t ph ng đôi m t c t nhauị ề ế ủ ặ ẳ ế ặ ẳ ộ ắ theo ba giao tuy n phân bi t thì ba giao tuy n y ho c đ ng quy ho c đôi m tế ệ ế ấ ặ ồ ặ ộ song song
Trang 4H qu : N u hai m t ph ng phân bi t l n lệ ả ế ặ ẳ ệ ầ ượt ch a hai đứ ường th ng songẳ song thì giao tuy n c a chúng ( n u có)cũng song song v i hai đế ủ ế ớ ường th ng đóẳ
ho c trùng v i m t trong hai đặ ớ ộ ường th ng đó.ẳ
Đ nh lý 3: Hai đị ường th ng phân bi t cùng song song v i đẳ ệ ớ ường th ng th ba thìẳ ứ chúng song song v i nhau.ớ
1.a.3 Đ ườ ng th ng song song v i m t ph ng ẳ ớ ặ ẳ
a) Đ nh nghĩa: M t đị ộ ường th ng và m t m t ph ng g i là song song v i nhau n uẳ ộ ặ ẳ ọ ớ ế chúng không có đi m chung.ể
b) Các tính ch t:ấ
Đ nh lý 1: N u đị ế ường th ng ẳ d không n m trong m t ph ng ằ ặ ẳ và d song song
v i đớ ường th ng ẳ d' n m trongằ thì dsong song v i ớ
Đ nh lý 2: Cho đị ường th ng ẳ a song song v i m t ph ng ớ ặ ẳ N u m t ph ng ế ặ ẳ
ch a ứ a và c t ắ theo giao tuy n ế bthì b song song v i ớ a
H qu : N u hai m t ph ng phân bi t cùng song song v i m t đệ ả ế ặ ẳ ệ ớ ộ ường th ngẳ thì giao tuy n c a chúng (n u có) cũng song song v i đế ủ ế ớ ường th ng đó.ẳ
Đ nh lý 3: Cho hai đị ường th ng chéo nhau. Có duy nh t m t m t ph ng chúaẳ ấ ộ ặ ẳ
đường th ng này và song song v i đẳ ớ ường th ng kia.ẳ
Đ nh lý 2: Qua m t đi m n m ngoài m t m t ph ng cho trị ộ ể ằ ộ ặ ẳ ước có m t và ch m tộ ỉ ộ
m t ph ng song song v i m t ph ng đã cho.ặ ẳ ớ ặ ẳ
H qu 1: N u đệ ả ế ường th ng ẳ d song song v i m t ph ng ớ ặ ẳ thì qua d có duy
nh t m t m t ph ng song song v i ấ ộ ặ ẳ ớ
H qu 2: Hai m t ph ng phân bi t cùng song song v i m t ph ng th ba thìệ ả ặ ẳ ệ ớ ặ ẳ ứ chúng song song v i nhau.ớ
H qu 3: Cho đi m A không n m trên m t ph ng ệ ả ể ằ ặ ẳ M i đọ ường th ng đi quaẳ
A và song song v i ớ đ u n m trên m t ph ng đi qua A và song song v i ề ằ ặ ẳ ớ
Đ nh lý 3: Cho hai m t ph ng song song. N u m t m t ph ng c t m t ph ng nàyị ặ ẳ ế ộ ặ ẳ ắ ặ ẳ thì cũng c t m t ph ng kia và hai giao tuy n song song v i nhau.ắ ặ ẳ ế ớ
1.b) C s th c ti n c a đ tàiơ ở ự ễ ủ ề
Trong quá trình gi ng d y c a mình, tôi nh n th y r ng h c sinh thả ạ ủ ậ ấ ằ ọ ường lúng
Trang 5trên n n m t ph ng, không xác đ nh đề ặ ẳ ị ượ ự ắc s c t nhau c a các đủ ường th ng , c aẳ ủ
đường th ng v i m t ph ng; t đó d n đ n tâm lý buông xuôi, b qua không h c.ẳ ớ ặ ẳ ừ ẫ ế ỏ ọ2/ Th c tr ng c a v n đ nghiên c uự ạ ủ ấ ề ứ
Sau khi d y xong ạ “Bài 1: Đ i cạ ương v đề ường th ng và m t ph ng” c a chẳ ặ ẳ ủ ươ ngII Hình h c 11 Ban c b n, trọ ơ ả ước khi d y th nghi m n i dung sáng ki n cho h cạ ử ệ ộ ế ọ sinh l p 11A3, 11A4, 11A10 tôi đã ra bài t p v nhà cho h c sinh v i th i gianớ ậ ề ọ ớ ờ chu n b m t tu n. N i dung bài t p nh sau:ẩ ị ộ ầ ộ ậ ư
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. G i M,N,P l n ọ ầ
lượt là trung đi m SB,SD,OCể
a) Tìm giao tuy n c a (MNP) và (SAC).ế ủ
b) Tìm giao đi m c a SA và (MNP).ể ủ
c) Xác đ nh thi t di n c a hình chóp c t b i (MNP)ị ế ệ ủ ắ ở
K t qu thu đế ả ược nh sau:ư
L pớ T ngổ
số
Đi m 8 tr lênể ở Đi m t 5 đ n dể ừ ế ướ i
8 Đi m dể ưới 5
T k t qu thu đừ ế ả ược ta th y m c dù bài t p tấ ặ ậ ương đ i d , d ng toán c b n vàố ễ ạ ơ ả
th i gian chu n b tho i mái nh ng h c sinh v n ch a n m đờ ẩ ị ả ư ọ ẫ ư ắ ược k năng gi i nênỹ ả
vi c th c hi n đ tài là c n thi t. ệ ự ệ ề ầ ế
Chú ý : Đ tìm đi m chung c a hai m t ph ng ta thể ể ủ ặ ẳ ường tìm hai đường th ng ẳ
đ ng ph ng l n lồ ẳ ầ ượ ằt n m trong hai m t ph ng đó . Giao đi m , n u có c a hai ặ ẳ ể ế ủ
đường th ng này chính là đi m chung c a hai m t ph ng .ẳ ể ủ ặ ẳ
3.1.b) Ví d áp d ng ụ ụ
Trang 6Ví d 1 ụ : Trong m t ph ng (ặ ẳ ) cho t giác ứ ABCD có các c p c nh đ i không songặ ạ ố song và đi m ể S ( ).
a. Xác đ nh giao tuy n c a ị ế ủ (SAC)và (SBD)
⇒ O là đi m chung c a (SAC) và (SBD)ể ủ
V y: SO là giao tuy n c a (SAC) vàậ ế ủ
(SBD)
b.Xác đ nh giao tuy n c a (SAB) vàị ế ủ
(SCD)
Ta có:
S là đi m chung c a (SAC) và (SBD)ể ủ
Trong (α) , AB không song song v i CD, G i I = AB ớ ọ ∩ CD
I ∈ AB mà AB ⊂ (SAB) ⇒ I ∈ (SAB)
I ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) ⇒ I ∈ (SCD)
Nên I là đi m chung c a (SAB) và (SCD)ể ủ
V y : SI là giao tuy n c a (SAB) và (SCD).ậ ế ủ
Ví d 2 ụ : Cho t di n ABCD , M là m t đi m thu c mi n trong tam giác ABD , Nứ ệ ộ ể ộ ề
là m t đi m thu c mi n trong tam giác ACD . Tìm giao tuy n c a các c p m tộ ể ộ ề ế ủ ặ ặ
ph ng sau: a. (AMN) và (BCD).ẳ
b. (DMN) và (ABC)
Gi i: ả
Trang 7⇒ P là đi m chung c a mp ( DMN) và (ABC ) ể ủ
Trong (ACD) , g i Q = DN ọ ∩ AC
Trang 8⇒ A’ là đi m chung c a ( A’,a) và (SAC ) ể ủ
Trong ( P) , ta có a không song song v i AC, G i F = a ớ ọ ∩ AC
• F∈ AC mà AC ⊂ (SAC ) ⇒ F ∈ (SAC )
Trang 9Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD coa đáy là hình bình hành tâm O. M, N l n l t là ầ ượcác đi m thu c c nh SA,SB sao cho: ể ộ ạ BM BS SN SA
4
3
; 4
1 Tìm giao tuy n c a :ế ủa) (OMN) và (SAB)
Chú ý : Đường th ng b thẳ ường là giao tuy n c a mp (ế ủ α) và mp (β) ⊃ a
C n ch n mp (ầ ọ β) ch a đứ ường th ng a sao cho giao tuy n c aẳ ế ủ
mp (α) và mp (β) d xác đ nh và giao tuy n không song song v i ễ ị ế ớa
3.2.b) Ví d áp d ngụ ụ
Ví d 1 ụ : Trong mp (α) cho tam giác ABC . M t đi m S không thu c (ộ ể ộ α). Trên
c nh AB l y m t đi m P và trên các đo n th ng SA, SB ta l y l n lạ ấ ộ ể ạ ẳ ấ ầ ượt hai đi mể
M, N sao cho MN không song song v i AB.ớ
a. Tìm giao đi m c a để ủ ường th ng MN v i m t ph ng (SPC )ẳ ớ ặ ẳ
b. Tìm giao đi m c a để ủ ường th ng MN v i m t ph ng (ẳ ớ ặ ẳ α)
Gi i: ả
Trang 10a. Tìm giao đi m c a đ ể ủ ườ ng th ng ẳ
P
E
C N
Trang 11N∈ BK mà BK ⊂ (AMB) ⇒ N
∈(ABM)
N ∈ SD V y : N = SD ậ ∩ (ABM)
Ví d 3: ụ Cho hình chóp S.ABCD, trên c nh AB l y m t đi m M , trên c nh SCạ ấ ộ ể ạ
l y m t đi m N ( M , N không trùng v i các đ u mút ) . ấ ộ ể ớ ầ
a Tìm giao đi m c a để ủ ường th ng AN v i m t ph ng (SBD)ẳ ớ ặ ẳ
b. Tìm giao đi m c a để ủ ường th ng MN v i m t ph ng (SBD)ẳ ớ ặ ẳ
D
N I
B M
S
Trang 12c) G i N là đi m thu c c nh AB. Tìm giao đi m c a MN và (SBD).ọ ể ộ ạ ể ủ
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy l n AB. G i M,N,P ớ ọ
l n lầ ượt là các đi m n m trên c nh SA, AB, BC. Tìm giao đi m c a ể ằ ạ ể ủ
a) Tìm giao tuy n c a (IMK) v i m t ph ng (SAB).ế ủ ớ ặ ẳ
b) Tìm giao tuy n c a (IMK) v i m t ph ng (SAC).ế ủ ớ ặ ẳ
c) Tìm giao tuy n c a (IMK) v i m t ph ng (SAD).ế ủ ớ ặ ẳ
Đ xác đ nh thi t di n c a hình ể ị ế ệ ủ H khi c t b i m t ph ng ắ ở ặ ẳ ta tìm giao tuy n ế
c a ủ v i các m t c a hình chóp t đó tìm các đo n giao tuy n và k t lu n.ớ ặ ủ ừ ạ ế ế ậ
Chú ý: N u nh ng giao tuy n c a ế ữ ế ủ v i các m t c a ớ ặ ủ H n m hoàn toàn phía ằngoài hình H ta không c n tìm( n u không c n thi t).ầ ế ầ ế
3.3.b) Ví d áp d ng ụ ụ
Trang 13Ví d 1 ụ : Cho hình chóp S.ABCD. G i M, N , P l n lọ ầ ượt là trung đi m các đo nể ạ
th ng AB , AD và SC. Xác đ nh thi t di n c a hình chóp c t b i m t ph ngẳ ị ế ệ ủ ắ ở ặ ẳ (MNP)
Gi i: ả
Trong (ABCD) , g i E = MN ọ ∩ DC
F = MN ∩ BCTrong (SCD) , g i Q = EP ọ ∩ SD
Trong (SBC) , g i R = FP ọ ∩ SB
V y : thi t di n là ngũ giác MNPQRậ ế ệ
Ví d 2 ụ : Cho t di n ABCD . G i H,K l n lứ ệ ọ ầ ượt là trung đi m các c nh AB, BCể ạ . Trên đường th ng CD l y đi m M sao cho KM không song song v i BD . Tìmẳ ấ ể ớ thi t di n c a t di n v i mp (HKM ).ế ệ ủ ứ ệ ớ
B
C
D A
K H
M
L H
K
A
D
C B
Trang 14Ví d 3 ụ : Cho hình chóp S.ABCD .G i M, N l n lọ ầ ượt là trung đi m SB và SC . Giể ả
s AD và BC không song song .ử
a. Xác đ nh giao tuy n c a (SAD) và ( SBC)ị ế ủ
b. Xác đ nh thi t di n c a hình chóp S.ABCD c t b i m t ph ng (AMN) .ị ế ệ ủ ắ ở ặ ẳ
S.ABCD c t b i m t ph ng (AMN) ắ ở ặ ẳ
Trong (SBC) , g i ọ J = MN ∩ SI
Trong (SAD) , g i ọ K = SD ∩ AJ
V y : thi t di n là t giác AMNKậ ế ệ ứ
Ví d 4: ụ Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC l y m t đi m M, trong tam ấ ộ ểgiác SCD l y m t đi m N.ấ ộ ể
a. Tìm giao đi m c a để ủ ường th ng MN v i m t ph ng(SAC)ẳ ớ ặ ẳ
b. Tìm giao đi m c a c nh SC v i m t ph ng (AMN) ể ủ ạ ớ ặ ẳ
c. Tìm thi t di n c a m t ph ng (AMN) v i hình chóp S.ABCDế ệ ủ ặ ẳ ớ
S
Trang 15
D E
N' C B
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. G i M,N,P ọ
l n lầ ượt là trung đi m SB,SD,OCể
a) Tìm giao tuy n c a (MNP) và (SAC).ế ủ
b) Tìm giao đi m c a SA và (MNP).ể ủ
c) Xác đ nh thi t di n c a hình chóp c t b i (MNP)ị ế ệ ủ ắ ở
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, M n m trên c nh SC, N,P l n l t là trung đi m ằ ạ ầ ượ ểAB,AD
Trang 16G i I,N theo th t là trung đi m c nh SA,SB; M là đi m thu c c nh SDọ ứ ự ể ạ ể ộ ạ
a) Tìm giao tuy n c a hai m t ph ng (SAD) và (SBC).ế ủ ặ ẳ
b) Tìm giao đi m c a để ủ ường th ng IM v i m t ph ng (SBC).ẳ ớ ặ ẳ
c) Tìm giao đi m c a để ủ ường th ng SC v i m t ph ng (INM).ẳ ớ ặ ẳ
d) Xác đ nh thi t di n c a hình chóp S.ABCD c t b i m t ph ng (INM).ị ế ệ ủ ắ ở ặ ẳ
Bài 4: Cho t di n ABCD , trên c nh AB l y đi m I và l y các đi m J,K l n l t ứ ệ ạ ấ ể ấ ể ầ ượ
là đi m thu c mi n trong các tam giác BCD và ACD. G i L là giao đi m c a JK vàể ộ ề ọ ể ủ (ABC)
a) Hãy xác đ nh đi m L.ị ể
b) Xác đ nh thi t di n c a t di n c t b i m t ph ng (IJK).ị ế ệ ủ ứ ệ ắ ở ặ ẳ
3.4) D ng 4: Ch ng minh ba đi m th ng hàng và ba đạ ứ ể ẳ ường th ng đ ng quy.ẳ ồ
3.4.a) Lý thuy t ế
Phương pháp:
Mu n ch ng minh 3 đi m th ng hàng ta ch ng minh 3 đi m đó là các đi m ố ứ ể ẳ ứ ể ể
chung c a hai m t ph ng phân bi t. Khi đó chúng s th ng hàng trên giao tuy n ủ ặ ẳ ệ ẽ ẳ ế
c a hai m t ph ng đó .ủ ặ ẳ
Mu n chúng minh 3 đố ường th ng đ ng quy ta ch ng minh giao đi m c a hai ẳ ồ ứ ể ủ
đường này là đi m chung c a hai m t ph ng mà giao tuy n là để ủ ặ ẳ ế ường th ng th baẳ ứ
3.4.b) Ví d áp d ng ụ ụ
Ví d 1 ụ : Cho hình bình hành ABCD. S là đi m không thu c (ABCD), M và N l nể ộ ầ
lượt là trung đi m c a đo n AB và SC . ể ủ ạ
a. Xác đ nh giao đi m I = AN ị ể (SBD)
I O
S
C N
A
D
I J
S
Trang 17b. Xác đ nh giao đi m J = MN ị ể (SBD)
Ch n mp ph (SMC) ọ ụ MN
Tìm giao tuy n c a (SMC ) và (SBD)ế ủ
S là đi m chung c a (SMC ) và (SBD)ể ủ
Trong (ABCD) , g i E = MC ọ BD ( SAC) (SBD) = SE
Trong (SMC), g i J = MN ọ SE
J MN, J SE mà SE ( SBD) J ( SBD)
V y J = MN ậ ( SBD)
c. Ch ng minh I , J , B th ng hàng ứ ẳ
Ta có :
B là đi m chung c a (ANB) và ( SBD)ể ủ
I SO mà SO ( SBD) I ( SBD)
I AN mà AN (ANB) I (ANB)
I là đi m chung c a (ANB) và ( SBD)ể ủ
J SE mà SE ( SBD) J ( SBD)
J MN mà MN (ANB) J (ANB)
J là đi m chung c a (ANB) và ( SBD)ể ủ
V y : B , I , J th ng hàng.ậ ẳ
Ví d 2 ụ : Cho hình chóp t giác S.ABCD. G i I , J là hai đi m trên AD và SB,ứ ọ ể
AD c t BC t i O và OJ c t SC t i M .ắ ạ ắ ạ
a. Tìm giao đi m K = IJ ể (SAC)
S là đi m chung c a (SIB ) và (SAC)ể ủ
Trong (ABCD) , g i E = AC ọ BI
F E
L A
D
C B
O
J
I
S
Trang 18Ch n mp ph (SBD) ọ ụ DJ
Tìm giao tuy n c a (SBD ) và (SAC)ế ủ
S là đi m chung c a (SBD ) và (SAC)ể ủ
Trong (ABCD) , g i F = AC ọ BD (SBD) ( SAC) = SF
Trong (SBD), g i ọ L = DJ SF
L DJ
L SF mà SF (SAC ) L (SAC) V y : L = DJ ậ ( SAC)
c. Ch ng minh A ,K ,L ,M th ng hàng ứ ẳ
Ta có:A là đi m chung c a (SAC) và ( AJO)ể ủ
K IJ mà IJ (AJO) K (AJO)
K SE mà SE (SAC ) K (SAC )
K là đi m chung c a (SAC) và ( AJO)ể ủ
L DJ mà DJ (AJO) L (AJO)
L SF mà SF (SAC ) L (SAC )
L là đi m chung c a (SAC) và ( AJO)ể ủ
M JO mà JO (AJO) M (AJO)
M SC mà SC (SAC ) M (SAC )
M là đi m chung c a (SAC) và (AJO)ể ủ
V y: A ,K ,L ,M th ng hàng.ậ ẳ
Ví d 3 ụ : Cho t di n SABC.G i L, M, N l n lứ ệ ọ ầ ượt là các đi m trên các c nh SA,ể ạ
SB và AC sao cho LM không song song v i AB, LN không song song v i SC.ớ ớ
S
C M
L
N
B A
Trang 19V y: M ậ IJ hay ba đường th ng IJ, SB, MN đ ng quy t i M.ẳ ồ ạ
Ví d 4: ụ Cho t giác ABCD và S ứ (ABCD). G i M , N là hai đi m trên BC và SD.ọ ể
a. Tìm giao đi m I = BN ể ( SAC)
S
Trang 20a) Tìm giao tuy n c a (P) v i các m t ph ng (SAB),(SBC).ế ủ ớ ặ ẳ
b) Tìm giao đi m I c a SO v i (P), giao đi m K c a SD v i (P).ể ủ ớ ể ủ ớ
c)Xác đ nh giao tuy n c a (P) v i (SAD) và (SCD).ị ế ủ ớ
d)Xác đ nh các giao đi m E,F c a các đị ể ủ ường th ng DA,DC v i (P). CMR: E,B,F ẳ ớ
Các ph ng pháp th ng dùng đ ch ng minh hai đ ng th ng song song:ươ ườ ể ứ ườ ẳ
Ch ng minh a và b đ ng ph ng và không có đi m chung (áp d ng cácứ ồ ẳ ể ụ tính
ch t c a hình h c ph ng)ấ ủ ọ ẳ
Ch ng minh a và b phân bi t và cùng song song v i đứ ệ ớ ường th ng th ba ẳ ứ
S d ng các đ nh lý .ử ụ ị
Ch ng minh b ng ph n ch ng.ứ ằ ả ứ