Bài giảng cơ lượng tử chương 3 ma trận thống kê lượng tử

Trung bình thống kê lượng tử• Thực tế, hệ vĩ mô không thể ở một trạng thái dừng hoàn toàn tức là không thể mô tả trạng thái vĩ mô của một hệ lượng tử chính xác bằng một hàm sóng được.. •

Chương 3:

Ma trận thống kê lượng tử

KE

nhau (dày đặc)  Khoảng cách 2 vạch kề nhau

là rất bé

• Vì thế năng lượng của bất kỳ một loại tương tác nào đó đều lớn hơn rất nhiều so với khoảng cách của hai mức năng lượng liên tiếp

< h t t p://w w w noao.ed u/im ag e _g alle ry /im ag e s/d 5/sun a.jp g >

Trung bình thống kê lượng tử

• Thực tế, hệ vĩ mô không thể ở một trạng thái dừng hoàn toàn tức là không thể mô tả trạng thái vĩ mô của một hệ lượng tử chính xác bằng một hàm sóng được

• Như vậy, tại một thời điểm xác định, trạng

thái vĩ mô của một hệ lượng tử có thể được

mô tả bằng rất nhiều hàm sóng khác nhau ứng với nhiều trạng thái lượng tử khác

nhau

• Việc tính trung bình đại lượng được thực hiện trên các trạng thái vi mô xác định bởi các hàm sóng thông qua một đại lượng trung gian là ma trận thống kê

• GiBBS: Tính trung

bình theo thời gian

được tính bằng trung

bình qua toàn bộ các

hàm riêng theo biến

không gian (tương

ứng các trạng thái vi

mô của hệ lượng tử)

dựa trên ma trận

thống kê

Trung bình thống kê lượng tử

Xem các loa phát âm liên tiếp nhau bằng các trạng thái lượng tử

3.1 – Tính trị trung bình

• Giả sử ở thời điểm cho trước, hệ ở trạng thái

lượng tử mô tả bởi hàm sóng (q,t) với q là ký hiệu toàn bộ tọa độ của hệ Trị trung bình của đại lượng F tính qua toán tử F theo biểu thức:

) 1 3 ( dq

) t , q ( Fˆ

).

t , q (

Vì có nhiều hàm sóng (q,t) nên giá trị trung bình thống kê được tính bởi trung bình lấy theo các hàm sóng:

) 2 3 ( Fˆ

Bài tập 3.1

• Tính trị trung bình của toán tử toạ độ x

Trong bài toán electron ở giếng thế sâu vô hạn

có độ rộng a Hàm sóng mô tả trạng thái

electron là :

) a

x

n sin(

a

2 )

x k

sin(

a

2 )

x

n

3.1 – Mở đầu

Toán tử mômen xung lượng có các hàm riêng trực giao n và các trị riêng l n thỏa biểu thức: (Chuyển L vì hàm sóng không phụ thuộc t)

Để thuận tiện ta chuyển từ biểu diễn tọa độ sang biểu diễn mômen xung lượng:

) 3 3 ( P

x rˆ

) 4 3 ( /

) q (

) q ( Lˆ

nm m

n

n n

3.2 – Trung bình thống kê

• Chỉ số n là ký hiệu tập hợp các lượng tử số đặc trưng một trạng

thái riêng Khai triển hàm (q,t) theo các hàm n (q) trong L

FˆC

Fˆ

*F

j j jk

* k

* k

Vì tích phân (TP) và tổng là giao hoán, đưa hằng số ra ngoài TP:

) 7 3 ( F

C C

j ,

* k

3.3 – Ma trận thống kê

• Phần tử ma trận của toán tử F (trong L biểu diễn) được tính là:

) 8 3 ( dq

) q ( Fˆ

) q ( Fˆ

Định nghĩa phần tử ma trận thống kê là

) 9 3 ( C

C* JK kJ

Tập hợp n các giá trị của (3.9) tạo thành một ma trận vuông gọi là ma trận thống kê ký hiệu là:

Đưa kết quả 3.9 và 3.8 vào biểu thức trung bình của F:

)11.3(

n 1

n

21 22

21

n 1 12

11

) 10 3 ( F

.

j

k kj

Bài tập 3.2

• Hệ ở giếng thế có 3 trạng thái lượng tử mô tả bởi hàm sóng tổng quát:

) a

x 3 sin(

).

t iE exp(

2

1 ) a

x 2 sin(

).

t iE exp(

2

1 ) a

x 1 sin(

).

t iE exp(

.

2

1

) t , x ( C

) t

,

x

(

3 2

1

3 1

C*K J

kJ

31

2322

21

1312

11

3.4 – Phần tử ma trận

) 10 3 ( F

F F

F

F F

F

F F

F

F F

nn nn 3

n 3 n 2

n 2 n 1

n 1 n

23 23 22

22 21

.

21

13 13 12

12 11

.

11

kj j

,

k kj

Tập hợp n các giá trị (3.8) cũng tạo thành một ma trận vuông gọi là

ma trận F trong L (và ma trận nghịch đảo của F):

) 12 3 ( F

F F

F F

F

F F

F M

&

F

F F

F F

F

F F

F

M

nn n

2 n

1

2 n 22

12

1 n 21

11 T

nn 2

n 1

n 2 22

21

n 12

11





Từ 2 ma trận 3.11 và 3.12 nếu nhân 2 ma trận đó và sau đó lấy Tổng các

TP đường chéo của MT tích thì nó = biểu thức trung bình của F:

) 13 3 ( ) F M M ( SP

F 

Ký hiệu SP của ma trận X là lấy tổng của các phần tử nằm trên đường chéo của ma trận X

m 2

m m

m

8 5

m 5

12 m

X

2

2 2

2

Đáp án là :

Bài tập 3.4

• Cho:

• Tính:

15 7

m 2

m m

m

8 5

m 5

12 m

MX

2

2 2

2

2 1

1 2

4 1

1 0

1 2

3 1

4 3

2 1

MY

) a 13

3 ( )

MY

MX (

SP SP

) 13

3 ( MY

MX N

Matrix of Statistics

Bài tập 3.5

• Hệ ở giếng thế có 3 trạng thái lượng tử mô tả bởi hàm sóng tổng quát:

) a

x 3 sin(

).

t iE exp(

2

1 ) a

x 2 sin(

).

t iE exp(

2

1 ) a

x 1 sin(

).

t iE exp(

.

2

1

) t , x ( C

1

3 1

J J J







Xác định các thành phần của ma trận của toán tử

toạ độ 3x3 Theo công thức:

) 8 3 ( dq

) q ( xˆ

) q ( xˆ

Bài tập 3.6

• Trở lại bài tập 3.2 và 3.5

) 8 3 ( dq

) q ( pˆ

) q ( pˆ

3 ( )

Pˆ M

M (

SP P

Hướng dẫn (1)

? M

P M M ( SP P

3.5 – Tính chất ma trận thống kê

• 1-Các số hạng trên đường chéo trong ma trận thống kê luôn

dương :

) 15 3 ( 1

) M ( SP

2 Tính chuẩn hóa: Tổng số hạng trên đường chéo bằng một

3 Vì C là hàm theo biến t nên Ma trận thống kê phụ thuộc thời gian

Chứng minh: Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta được:

)14.3(0

CC

K K

* K KK

)16.3(1)

M(SPC

CC

C

1C

Cdq

)C

()C

(dq

*

K KK

* K

* K

* K J

J

* K

* K

) 17 3 ( )

t

(

J , K J

, K

Theo tính chuẩn hoá lấy trung bình tổng và vì các số hạng dương:

Bài tập 3.7

• Xét bài tập giếng thế:

) a

x 3 sin(

).

t iE exp(

2

1 ) a

x 2 sin(

).

t iE exp(

2

1 ) a

x 1 sin(

).

t iE exp(

.

2

1

) t , x ( C )

1

3 1 J

J J







Kiểm chứng các tính chất :

Các thành phần đường chéo của Ma trận thống kê là dương

Tổng đường chéo của Ma trận thống kê = 1

Các thành phần không chéo của Ma trận thống kê là phụ thuộc

thời gian

• Xét bài tập giếng thế:

Kiểm chứng các tính chất :

Các thành phần đường chéo của Ma trận thống kê là dương

Tổng đường chéo của Ma trận thống kê = 1

Các thành phần không chéo của Ma trận thống kê là phụ thuộc

thời gian

) a

x 3 sin(

).

t iE exp(

2

1 ) a

x 2 sin(

).

t iE exp(

2

1 ) a

x 1 sin(

).

t iE exp(

.

2

1

) t , x ( C )

1

3 1 J

J J

Các thành phần đường chéo của Ma trận thống kê là dương

Tổng đường chéo của Ma trận thống kê = 1

Các thành phần không chéo của Ma trận thống kê là phụ thuộc

thời gian

3.6 – Phương trình Liouville

• Trong đó Ma trận của toán tử Hamilton thỏa pt Schrodinger

là:

) 18 3 ( 0

M H M

* H M

M i

1 t

) M

) t (

C t

) t (

C )

q ( i

and

) 19 4 ( ) t , q (

H t

) t , q

( i

* H

) t (

C t

) t ( C i

21 4 LHP Lay

) 21 3 ( Hˆ

H with H

) t (

C t

) t ( C i

] dq Hˆ

)[

t (

C t

) t ( C ] dq [

i

K

LK

* K

* L

K L

LK

K K LKL

K K

* L K

K K

K

* L







Thay nghiệm là tổ hợp của các

Photo of Liouville

Áp dụng cho chùm Laser

Bài tập 3.8 Đạo hàm của ma trận

• Lấy đạo hàm của tất

t

t t

M

M

22 21

12 11

22 21

12 11

t 4 15

e 7 t

2

t t

n t

2 / t

t 8 5

t

t t

t 5 12

t Z

t 2

2 2

2

2



Bài tập 3.9

• Tính tổng đường chéo của ma trận là đạo hàm

theo t của ma trận Z: SP {dZ/dt}

t 4 15

e 7 t

2

t t

n t

2 / t

t 8

5 t

t t

t 5 12

t Z

t 2

2 2

2

2



3.6 – CM.Phương trình Liouville

• Để chứng minh tính đạo hàm theo t của 1 phần tử ma trận:

Thay 3.21 và 3.22 vào vế phải của 3.23

)23.3

(t

)t(

CC

Ct

)t(

Ci

C

Ct

it

K J

* K J

* K



tính vế trái:

) 25 3 ( C

H C

C C

* H

) 24 3

( t

) t ( C

i C

C t

) t ( C i

J

* K

J m

* K mK

J

* K J

M H M

* H M

M i

1 t

) M



3.6 – CM.Phương trình Liouville

Đưa dấu tổng ra:

) 27 3 ( H

*

H i

1 t

H

* H

H

* H

C H

C C

C

*

H t

J m

* K mK

H M H

M

M i

1 t

) M

( : rewrite

M H M H

M

M i

1 t

) M (

Bài tập 3.10

) a

x 2 sin(

a

2 ).

t iE exp(

2

1 )

a

x 1 sin(

a

2 ).

t iE exp(

2 1

) t , x ( C )

t , x (

2 1

2 1

H

*

Hi

1dt

d

m

12 2 m 1

m 12

12





3.7 – Áp dụng PT Liouville

) 29 3 ( 0

) M H M H

M M ( : rewrite  * 

Ở trạng thái cân bằng – Ma trận thống kê không phụ thuộc t

Về hình thức,

)30.3(

C(

nn 2

n 1

n

n 2 22

21

n 1 12

11

n n



* 1 m 12

* 2 m 21

H

H t

i

H

H t

i





) a

x 2 sin(

a

2 ).

t iE exp(

2

1 ) a

x 1 sin(

a

2 ).

t iE exp(

2 1

) t , x ( C )

t , x (

2 1

2 1



