Nhiễu loạn không suy biến Nhiễu loạn: Phương pháp làm đơn giản để giải gần đúng phương trình schrodinger khi toán tử Hamilton có dạng phức tạp hay bài toán hàm sóng nhiều chiều... D.H.Đ
Trang 1CƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAO
Chương hai: NHIỄU LOẠN
Trang 2PhD D.H.Đẩu 2
1. NHI U LO N D NG KHÔNG SUY Ễ Ạ Ừ
Bi N Ế
2. NHI U LO N D NG CÓ SUY Bi N Ễ Ạ Ừ Ế
3.NHI U LO N SUY Bi N B C CAO Ễ Ạ Ế Ậ
4 NG D NG C U TRÚC TINH T Ứ Ụ Ấ Ế
QUANG PH Ổ
Chương hai: NHIỄU LOẠN
Trang 4PhD D.H.Đẩu 4
1 Nhiễu loạn không suy biến
Nhiễu loạn: Phương pháp làm đơn giản để giải gần
đúng phương trình schrodinger khi toán tử Hamilton có dạng phức tạp hay bài toán hàm sóng nhiều chiều
Trang 5PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
• Là phương trình xác định hàm riêng
và trị riêng của toán tử năng lượng:
) t , z , y , x (
E )
t , z , y , x ( )
Vˆ m
Trang 6PhD D.H.Đẩu 6
PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN
Thực tế: phương pháp nhiễu loạn là
cách làm đơn giản toán tử thế năng
(gọi là toán tử nhiễu loạn) để giải
gần đúng PT Schrodinger tìm mức
năng lượng và hàm sóng.
Xem toán tử thế năng là một gia số
nhỏ của toán tử năng lượng:
) 1 2 ( '
Hˆ Hˆ
Chân dung Schrodinger
• Toán tử nhiễu loạn H’ xem là một biến thiên nhỏ
của toán tử năng lượng không nhiễu loạn H 0
Trang 71.1- Phương pháp nhiễu loạn
không suy biến
Điều kiện áp dụng: nghiệm của phương trình
Schrodinger không nhiễu loạn đã được xác định:
0 n
) 0
( n
0 n
) 0
( n
nm
) 0
( m
) 0
( n
) 0
( n
) 0
( n
) 0
( n 0
E E
; :
Denote
) 3 2 ( :
here
) 2 2 ( )
t ,r ( E
) t ,r (
Ký hi u (0) không ph i là lũy th a, nh ng có m t s ệ ả ừ ư ộ ố
sách v n ghi gi ng lũy th a 0. Đây là ch b c nhi u ẫ ố ừ ỉ ậ ễ
Trang 8PhD D.H.Đẩu 8
1.1- Phương pháp nhiễu loạn
không suy biến
En0 là các tr riêng ng v i các hàm riêng c a toán t ị ứ ớ ủ ử
Hamilton không nhi u lo n, không suy bi nễ ạ ế v n đ ấ ề
là tìm nghi m (2.1) ệ Các tr ng thái và m c năng ạ ứ
lượng g n đúng cho: ầ
) 4 2 ( )
t , z , y , x (
E )
t , z , y , x ( )'
Hˆ Hˆ
(
) t , z , y , x (
E )
t , z , y , x ( Hˆ
n n
n 0
n n
n
Phương trình 2.4 là tính năng lượng và hàm
sóng trong trường hợp chính xác có xét đến
nhiễu loạn
Trang 9Nhiễu loạn dừng
Dừng: là không phụ thuộc thời gian tức là
trạng thái có xác suất ổn định Năng lượng là không đổi, toán tử thế là không phụ thuộc
STOP
Trang 10PhD D.H.Đẩu 10
Nhiễu loạn dừng và không suy biến
Khi nói các tr riêng c a toán t H là không suy bi n ị ủ ử ế
t c là m t m c năng lứ ộ ứ ượng ng v i 1 tr ng thái.ứ ớ ạ
B t đ u, ta xem toán t Hamilton g n đúng g m 2 ắ ầ ử ầ ồ
thành ph n:ầ
) 5 2 ( '
Hˆ Hˆ
Ở đây, chọn có giá trị nhỏ sau đó ta sẽ tăng dần giá trị của nó đến 1,0 Khi đó toán tử
Hamilton sẽ đạt giá trị chính xác (2.4)
Khai triển các hàm sóng n và năng lượng E n
thành dạng các chuỗi lũy thừa của ta có:
Trang 11Khai triển lũy thừa
) 7 2 ( E
E E
E E
) 6 2 (
) n
( n
n )
2
( n
2 )
1
( n
) 0
( n n
) n
( n
n )
2
( n
2 )
1
( n
) 0
( n n
Khi đó E n (1) được gọi là số hiệu chỉnh bậc nhất
đối với trị riêng năng lượng thứ n
n (1) được gọi là hàm hiệu chỉnh bậc nhất đối với hàm sóng riêng thứ n
Tương tự E n (2) được và n (2) được gọi là số hiệu chỉnh bậc hai cho năng lượng và hàm sóng…
Trang 12PhD D.H.Đẩu 12
Bậc của nhiễu loạn
) 8 32 (
x ) E
E E
E (
)' Hˆ Hˆ
(
) n
( n
n )
2
( n
2 )
1
( n
) 0
( n
) n
( n
n )
2
( n
2 )
1
( n
0 n
) n
( n
n )
2
( n
2 )
1
( n
) 0
( n 0
) 9 2 (
) (
) (
' ˆ ˆ
) '
ˆ ˆ
(
ˆ
) 0 ( ) 2 ( )
1 ( ) 1 ( )
2 ( ) 0 ( 2 )
0 ( 1 1
0
0
0
) 1 ( )
2 ( 0 2
) 0 ( 1
0 0
0
n n
n n
n n
n n n
n n
n n
n n
n
E E
E E
E E
H H
H H
H
Nhân ra và gom nhóm theo lũy thừa của ta có:
Trường hợp nhiễu loạn bậc không (không nhiễu loạn)
Trong 2.9 cho thành phần 0 =1 ta quay lại PT:
) 2 2 ( E
Hˆ0 (n0) (n0) (n0)
Trang 13Xét nhiễu loạn bậc nhất và bậc 2
• Từ phương trình 2.9 cho thành phần 1
• Ta có phương trình nhiễu loạn bậc nhất:
) 10
2 ( )
E E
( )
' Hˆ Hˆ
( 0 (n1) (n0) (n0) (n1) (n1) (n0)
) 11 2 ( )
E E
E ( '
Trang 15Hướng dẫn
(thay ký hiệu giống lũy thừa)
Lấy tích trong n 0 với PT 2.10 (thực ra là nhân
( n 0 )* sau đó lấy tích phân) ta có:
) 12 2 ( :
' ˆ ˆ
0 0
1 1
0 0
0 1 0
1 0 0
0 0
1 0 0
n n
n n
n n
n n n
n n n
n n
n n
E E
right
E E
H H
Bên vế trái của 2.12 ta sử dụng H o là Hermitian
)13.2('
ˆ
'ˆˆ
'ˆˆ
0 0
1 0
0
0 0
1 0
0 0
0 1
0 0
n n
n n
n
n n
n n
n n
n n
H E
H H
H H
So sánh 2.12 và 2.13 ta có:
ˆ
Trang 16PhD D.H.Đẩu 16
Kết luận về nhiễu loạn bậc nhất
• Số hiệu chỉnh về năng lượng mức n
trong nhiễu loạn bậc nhất (1) chính là
giá trị trung bình của toán tử nhiễu loạn
ở trạng thái mô tả bởi hàm sóng không
bị nhiễu loạn thứ n (số phía trên là chỉ bậc của nhiễu loạn)
) 15
2 ( E
E E
) 14
2 ( '
Hˆ
E
) 1
( n
0 n n
0 n
0 n
) 1 ( n
Trang 172 )
0
( n
) 0
( n
ma2
nE
:here
)a
x
nsin(
a
2)
x(
Xét trường hợp có nhiễu loạn là một thế V (có giá trị bé) như hình
V
Tính số hiệu chỉnh năng lượng
Bậc nhất và cho biết các giá trị năng
lượng có nhiễu loạn bậc nhất ở các
mức 1,2,3 Chứng minh năng lượng chỉ
Trang 18a 2
1 V a
2 dx
) a
x
n ( sin
V a 2
dx
) a
x
n sin(
a
2 ) V
)(
a
x
n sin(
a
2 '
Hˆ E
2 / a 0
2
2 / a 0
0 n
0 n
1
n
S d ng công th c 2.14 đ xác đ nh E ử ụ ứ ể ị n1:
4
V ma
2
1 E
E
E 1 2 2 22
1
0 1 1
2
2 E
E
E 1 2 2 22
2
0 2 2
2
3 E
E
Trang 19Hàm sóng nhiễu loạn bậc nhất
Xét PT nhiễu loạn bậc 1- 2.10 và chuyển vế các hàm:
) 16
2 ( )
E '
Hˆ ( )
E Hˆ
(
E '
Hˆ E
Hˆ
) 10
2 ( )
E E
( )
' Hˆ Hˆ
(
0 n
1 n
1 n
0 n 0
0 n
1 n
0 n
1 n
0 n
1 n 0
0 n
1 n
1 n
0 n
0 n
1 n 0
) 17
2 (
Trang 20PhD D.H.Đẩu 20
Bài tập 3w - Giải tìm hàm riêng
của nhiễu loạn bậc nhất
) 19 2 ( '
ˆ )
' ˆ (
) (
0 0
1 0
0 0
1 0
0 0
) 1 ( 0 0
n K
n n
K n
n K
m
K n
m m n mn
E H
E H
c E E
Hãy đưa PT 2.17 vào 2.16 lấy tích trong k 0
Từ đó tính hàm riêng:
)18.2()
'
ˆ()
(
)
ˆ(:
)16.2()
'
ˆ()
ˆ(
0 1
0 ) 1 ( 0 0
0 ) 1 ( 0
0
0 1
1 0
0
n n
m n
m m n mn
m n
m mn n
n n
n n
E H
c E
E
c E
H Left
E H
E H
Lấy tích trong 2.18 với k 0 với c (1) là hệ số KT bậc 1
m chạy đến k thì dừng lại
Trang 21Hàm sóng nhiễu loạn bậc nhất
) 22 2 ( '
'
ˆ
0 0
0 0
0 ) 1 (
c
) 21 2
( ) (
'
ˆ )
(
' ˆ
' ˆ )
(
0 0
0 0
0 0
0 0
) 1 (
0 0
) 1 ( 0 0
K n
n K
n k
n K
kn
n K
kn n
k
E E
H E
E
H c
H c
E E
Từ PT 2.19 vế trái cho m=K nhưng K khác n (nếu không
sẽ về 0 nhiễu loạn) số hạng cuối bên phải nhận trị không:
Từ đó tính được C Kn (1)
) 20 2 ( 0 '
ˆ )
' ˆ (
)
(
0 0
0 1
0
) 1 ( 0 0
n K
n n
K
kn n
k
H E
H
c E E
Thay vào biểu thức
hàm sóng 2.17:
Trang 22PhD D.H.Đẩu 22
Phần tử ma trận của toán tử nhiễu loạn bậc 1
Ma trận phòng máy tính toán SV
Trang 23Ma trận chứa các phần tử nhiễu loạn
bậc nhất
• Phần tử ma trận của toán tử H’ tổng quát được viết lại
là:
) 23 2
( E
E
dx '
Hˆ E
E
'
Hˆ E
0 K
*
0 m 0
K
0 m
0 K
0 m 0
K
0 m
mK mk
) 1 (
Tập hợp các phần tử H’ mk tạo thành một ma trận vuông gọi là ma trận của toán tử nhiễu loạn bậc nhất
(các thành phần đường chéo là hiệu chỉnh năng lượng):
) 24 2
(
' H
' H H
' H
' H '
H '
n 1 12
11
Trang 24PhD D.H.Đẩu 24
Bài tập 4:
Bài toán dao động tử (DĐT) 1D
Giải bài toán DĐT 1D ta có kết quả là hàm sóng:
) 2
1 n
(
En
] x
im dx
d i
[ m 2
1
)
x 2
m exp(
A )
m exp(
A )
a ( )
x ( u ) aˆ ( )
Trang 26A)
m A
2
m exp(
m )
x (
4 / 1 0
Hint: Xác định biên độ hàm sóng cơ bản
1 dx
) x (
Trang 27Hàm sóng bậc nhất
)
x2
mexp(
.xi
mm
2)
x(
u
)
x2
mexp(
.xim}
x2
mexp(
.ixm{
mm
2
1
)
x2
mexp(
m]
x
imdx
di
mexp(
A)a()
x(u)aˆ()
2 2
4 / 1
2
4 / 1
2 0
0 1
Trang 28PhD D.H.Đẩu 28
Hint
2 0
2 0
2 0 x
2
0
x
K 2
1 '
Hˆ x
K 2
1 )
x
K 2
1 m
2
(
) 5 2 ( ' Hˆ Hˆ
K 4
1 m
2
m K
2
1
dx x
) x
m exp(
m K
2
1
dx )
x 2
m exp(
) x
K 2
1 )(
x 2
m exp(
m
' Hˆ E
0 2
/ 3
2 / 1 0
2 2
2 / 1 0
2
2 0 2
2 / 1
0 0
0 0
1
0
n
2 n
2
) 2 (
! )! 1 n 2
( dx
).
x exp(
x
Trang 29Tính năng lượng chính xác
2 2 2
/ 5
2 / 1 2
0
4 2
2 / 1 2
0
2
2 0
2 2
2 / 1
0 1
0 1
1
1
4
3 m
4
3 m
m 2
K
2
1
dx x ) x
m exp(
m m
x 2
m exp(
).
x
K 2
1 )(
x 2
m exp(
x
m m
2
' Hˆ E
2
1 ( E
2
) 2 (
! )! 1 n 2
( dx
).
x exp(
x
Trang 30x 2
m exp(
m ) x
K 2
1 )(
x 2
m exp(
).
x i (
m m 2 )
E E
(
'
Hˆ C
dx ) x 2
m exp(
).
x i (
m m 2 ) x K 2
1 )(
x 2
m exp(
m )
E E
(
'
Hˆ C
) 21 2
( )
E E
(
' Hˆ )
E E
(
'
Hˆ C
2 4
/ 1 2
0 2
4 / 1
0 1
0 0
0 0
0 1 10
0 2
4 / 1
0 0
0 1
0 1
0 0 01
)
1
(
0 K
0 n
0 n
0 K 0
n
0 k
0 n
0 K Kn
)
1
(
0 0
) 1
( 01
0 1
0 m
1 , 0 n m
) 1
( 1 m
0 1
1 1
0
1
1
0 1
) 1
( 10
0 0
0 m
1 , 0 n m
) 1
( 0 m
0 0
1 0
0
0
0
0 m n
m 0n 0m
mn
0 m n
m
) 1
( mn
1
n
c c
c c
) 22 2
( )
E E
(
' H c
order first
the : Applied
Trang 31Kết quả lưu ý
0 dx x ) x
m exp(
) i (
m K 2
1
m
2
dx )
x 2
m exp(
m ) x
K 2
1 )(
x 2
m exp(
).
x i (
m m 2 )
E E
(
'
Hˆ C
0 dx x ) x
m exp(
) i (
m K 2
1
m
2
dx )
x 2
m exp(
).
x i (
m m 2 ) x
K 2
1 )(
x 2
m exp(
m )
E E
(
'
Hˆ C
3 2
2 / 1 0
2
4 / 1 2
0 2
4 / 1
0 1
0 0
0 0
0 1 10
)
1
(
3 2
2 / 1 0
2
4 / 1 2
0 2
4 / 1
0 0
0 1
0 1
0 0 01
Trang 32PhD D.H.Đẩu 32
Xét tiếp nhiễu loạn bậc 2
) 11
2 ( )
E E
E ( '
Hˆ
Hˆ0 2n 1n 0n 2n 1n 1n 2n 0n
• Từ phương trình 2.9 cho thành phần 2
• Ta có phương trình nhiễu loạn bậc hai:
Mục đích của bài toán là tính mức năng lượng
bổ chính là E n 2 và hàm sóng bổ chính n 2
Phương pháp tương tự như nhiễu loạn
bậc nhất ta xem là bài tập
Trang 33Bài tập 5 w
• Xét nhiễu loạn bậc hai PT 2.11
• Tìm giá trị hiệu chỉnh năng lượng bậc hai
En2
• Hướng dẫn: Tích chập n 2 với 2.11
Sau đó chuyển vế rút gọn:
Trang 34PhD D.H.Đẩu 34
Hướng dẫn
Lấy tích trong n 0 với PT 2.11 (thực ra là nhân
( n 0 )* sau đó lấy tích phân) ta có:
) 23 2 ( '
Hˆ E
' Hˆ Hˆ
Hermitian :
H
:
left
E E
E '
Hˆ Hˆ
1 n
0 n
2 n
0 n
2 n
0 n 0
0 n
0 n
) 2
( n
1 n
0 n
) 1
( n
2 n
0 n
0 n
1 n
0 n
2 n
0
0
n
1 n
0 n
1 n
1 n
0 n
( )
E E
(
'
Hˆ )
E E
(
'
H c
: ce
sin
) trucgiao (
0 0
c E
c E
E
0 K
0 n
0 n
0 K 0
n
0 k
Kn )
1
( kn
n m
) 1
( mn
1 n
0 m
0 n n
m
) 1
( mn
1 n
1 n
Hˆ
E2n 0n 1n
Trang 35Kết quả năng lượng bổ chính
Khai triển n 1 thành tổ hợp các n 0 ta có:
)25.2
()
EE
(
'
Hˆ)
EE
(
'Hˆ'
HˆE
)21.2
()
EE
(
'
Hˆc
:
note
'Hˆc
c'
Hˆ'
HˆE
0 0
2 0 n
0 m 0
0
0 m
0 n
0 n
0 m 2
n
0 m
0 n
0 n
0 m )
1
( mn
0 m
0 n n
m
) 1
( mn
0 m n
m
) 1
( mn
0 n
1 n
0 n 2
n
Trang 36PhD D.H.Đẩu 36
Bài tập 6w
• Giải lại bài toán dao động tử điều
hòa 1D (bài tập 4) trong trường hợp nhiễu loạn bậc hai để tính chính xác
• E0 = E0 0 + E0 1 + 2E0 2
Trang 37Hint (hàm sóng cơ sở chỉ có 2)
• Năng lượng bổ chính cho mức cơ bản E 0 :
2
Kx 2
Kx
0 )
E E
(
2
Kx 2
Kx E
E 4
1 )
2
1 ( E
E E
E
) E E
(
' Hˆ '
Hˆ E
0 1
2 0
0
0 0
2 0
1
n
0 m
2 0
0
0 0
2 0
m 2
0
2 0
2
2 0
2
1 0
0 0 0
n
0 m
0 n
0 n
0 m 2
n
Trang 38PhD D.H.Đẩu 38
Bài tập 7
• Xét dao động tử điều hòa của một hạt mang
điện có điện tích là q chịu tác dụng nhiễu loạn của điện trường E có thế nhiễu loạn là:
H’=-qEx
• Chỉ ra là ở nhiễu loạn bậc nhất thì các mức
năng lượng không có thay đổi Tính sự thay
đổi năng lượng do nhiễu loạn bậc hai
• CM: PT Schrodinger có thể giải chính xác bằng cách đổi biến: x’=x-(qE/m 2) Tính các giá trị
năng lượng chính xác
Trang 39Lý thuyết nhiễu loạn có suy biến
)27.2(0
andE
Hˆ,E
Hˆ
,
0 B
0 A
0 B
0
0 B
0
0 A
0
0 A 0
0 B
0 B
0 A 0
Vấn đề là làm sao xác định được trạng thái tạo bởi tổ
hợp tuyến tính trên (xác định , ) Khi có tổ hợp ta có
thêm trạng thái mới phá 2 mức suy biến nhiều mức
Trang 40PhD D.H.Đẩu 40
Vấn đề cần giải quyết
• Cần giải chính xác bài toán schrodinger có dạng:
)30.2(E
EE
EE
)29.2(
:HereE
)HˆHˆ
(
n n 2
2 1
0
n n 2
2 1
0
' 0
• Đưa (2.29 và 2.30) vào PT schrodinger chính xác:
) 32 2 ( E
E )
' Hˆ Hˆ
) 31 2 (
) E
E E
( )
E E
( E
' Hˆ Hˆ
) '
Hˆ Hˆ
(
Hˆ
2 0 1
1 0
2 2
1 0 0
1 0
0
1 2
0 2
0 1
0 0
0
Vì số hạng đầu vế trái và vế phải bằng nhau (bỏ
qua)Nếu xét nhiễu loạn bậc nhất:
Trang 41E'
Hˆ
A
1 1
0 A
0 0
0 A
1 0
0
A
Nhiễu loạn suy biến hai cấp
Lấy tích trong A 0 với 2 vế 3.32
Vì H là Hermitian nên tác dụng lên A 0 cho ra E 0
E E
E : left :
right
) (
E )
(' Hˆ
) khaitrien
( E
' Hˆ
1
0 B
0 A
1
0 A
0 A 1
0 B
0 A
0 A
1
0 B
0 A
0 A
0 0
0 A
1 0
0 A
Trang 42PhD D.H.Đẩu 42
Tương tự nhân B 0
) 35 2 ( E
' Hˆ '
Hˆ :
left
E )
(' Hˆ
) khaitrien
( E
' Hˆ
1
0 B
0 B
0 A
0 B
0 B
0 A
0 B
1
0 B
0 A
0
B
0 0
0 A
1 0
0
A
) 35 2 ( E
' H '
H :
and
) 34 2 ( E
' H '
H
' Hˆ '
Hˆ
1 BB
BA
1 AB
AA
0 B
0 B
0 A
0
B
Viết lại 2.34 và 2.35 theo thành phần matrix H’ của
hai hàm suy biến ta có:
BB BA
AB
AA
' H '
H
' H '
H '
MXH
Trang 43Gỉai tường minh
) 36 2 ( 0
} '
H E
) '
H E
( '
H '
H {
0 '
H '
H E
} '
H E
E '
H '
H
{
' H E
' H :
replace
0 '
H '
H }
' H E
E '
H '
H {
' H E
E '
H E
: ) 34 2
(
x
E
) 35 2 ( '
H E
' H '
H '
H '
H
AA
1 BB
1 BA
AB
BB AA
1 AA
1
1 BA
AB
AA
1 AB
BB AB
AA
1
1 BA
AB
AA
1
1 AB
1 1
AB
1 BB
AB BA
AB
Nhân 2.35 cho H’ AB ta có:
Trang 44PhD D.H.Đẩu 44
Bài tập 8w: Giải phương trình tính E1
• Chứng minh với khác không ta có:
)38.2(
'H4'
H'
H'
H'
H2
1E
'H.'H4'
H'
H'
H'
H2
1E
2 AB
2 BB AA
BB AA
1
BA AB
2 BB AA
BB AA
1
Trang 45Hướng dẫn
• Từ PT 2.36 ta suy ra PT:
) '
H '
H '
H '
H ( )
' H '
H ( E )
E
(
0 '
H E
) '
H E
( '
H
'
H
BA AB
BB AA
BB AA
1 2
1
AA
1 BB
1 BA
AB
Và lưu ý: H 'AB H 'BA * ( 2 39 )
Trang 46PhD D.H.Đẩu 46
Kết luận
• Hai nghiệm của PT 2.38 là 2 giá trị bổ
chính của cùng một mức năng lượng E0
• Nó tạo thành 2 mức năng lượng nhiễu
loạn có suy biến.
• Nếu băng không khi đó =1
PT 2.34 là:
) 41 2 ( E '
H
E '
H '
H )
35 2 (
) 40 2 ( 0 '
H E
' H '
H
1 BB
1 BB
BA
AB
1 AB
AA
Trang 47Bài tập 9W
• Tính lại giá trị bổ túc năng lượng nếu băng không khi đó =1
Trang 48' ,
) 42 2 (
1
0 0
0
E H
B A
Nhận các giá trị từ 0 đến 1.0 theo PT :
Chứng minh là:
1 0
0
0 0
0 0
'
ˆ )
0 '
ˆ )
0 )
E H
c
H b
a
Trang 49Xem lại các hàm trong hố thế vuông
2D có suy biến năng lượng
• Bài toán hạt tự do trong hố thế vuông có
cạnh là a ( 0 x, y a) với nghiệm là:
) 0
( ny
) 0
( nx
) 0
( 2
2 2
2 y )
0
( ny 2
2 2
2 x )
0
( nx
) 0
( ny
Ema
2
nE
;ma
2
nE
:
here
)a
y
nsin(
a
2)
y(
),a
x
nsin(
a
2)
0
( ny
ma 2
5
Tính các mức năng lượng
Trang 50PhD D.H.Đẩu 50
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAO
Chương hai : NHIỄU LOẠN
Trang 52PhD D.H.Đẩu 52
Ôn lại Nhiễu loạn có suy biến 2 cấp
• Nhiễu loạn suy biến 2 mức có 2 bổ chính
năng lượng
) 38 2 ( '
H '
H 4 '
H '
H '
H '
H 2
1 E
0 if
) 36 2 ( 0
} '
H E
) '
H E
( '
H '
H
{
: Equation
) 28 2 ( E
Hˆ
BA AB
2 BB AA
BB AA
1
AA
1 BB
1 BA
AB
0 0 0
0
0 B
0 A 0
Trang 53Xác định các hệ số
1 BB
AB
1 AB
AA
1 BB
AB
AB AA
E '
H '
H :
and E
' H '
H
) 35
2 34
2 (
E '
H '
H
' H '
H
Sử dụng phương trình vector (Đại số tuyến tính)
Trang 54PhD D.H.Đẩu 54
Bài tập 11
• Xét bài toán hạt m trong hố thế vuông
độ rộng a Thế nhiễu loạn có dạng:
• U= V0 exp(-x2 /a2) với -(a/2)< x < (a/2)
• Giả sử mức năng lượng thứ nhất bị
suy biến 2 cấp Tính bổ chính năng
lượng ở mức 1 dùng công thức 2.38
• Lưu ý H’ chỉ có trị khác zero
nếu –a<x<+a
Trang 55Hướng dẫn
Dùng nghiệm của hạt trong hố thế có
dạng cơ bản là
2 2
2 )
0 (
) 0 (
:
1 1
) sin(
1 )
cos(
1 )
(
n E
here
a a
a
x
n a
a
x
n a
x
B A
n
Trang 56( '
'
' '
' '
'
' '
:
1
E H
H
H H
H H
H
H MXH
if
BB BA
AB AA
BB BA
AB
AA AB
Ý nghĩa: E 1 là trị riêng của matrix MXH’ ứng với hai vector riêng là ,
Trang 57Mở rộng
• Viết phương trình 2.44 với nhiễu loạn có bậc là n >2 (thí dụ n=3)
Trang 58PhD D.H.Đẩu 58
Hint
) 44
2
( '
' '
' '
'
' '
'
' '
'
' '
'
' '
' '
:
1
E H
H H
H H
H
H H
H
H H
H
H H
H
H H
H MXH
if
CC CB
CA
BC BB
BA
AC AB
AA
CC CB
CA
BC BB
BA
AC AB
AA ABC
Trang 59Bài tập
• Xét bài toán hạt trong hố thế vuông 3D cạnh là a và xét toán tử nhiễu loạn
• H’= 0.1 V0 trong khoảng (0, a/4)
• Tính mức năng lượng E=6.E1
(E1 năng lượng của BT 1D)
Tính các thành phần của toán tử nhiễu
loạn?
•
Trang 60PhD D.H.Đẩu 60
Nhiễu loạn suy biến bậc cao
Phương pháp là giải bài toán tìm trị riêng của
matrix vuông có nn thành phần ứng với n vector riêng (dùng máy tính) các vector riêng ( , , ,
…) là cơ sở để tạo tổ hợp tuyến tính của n các
hàm suy biến
0 K
0 j JK
1 nn
1 n
n
1
11
nn 1
n
n
1
11
' Hˆ '
H
) 45 2
(
E
' H
' H
' H
' H
' H
' H
' H
'
H '
MXH :
if
